【2014朝阳一模】北京市朝阳区2014届高三第一次综合练习 数学文试题

开始 S =1，i =1 结束

i =i +2

i >7?

输出S

是

否

S =S +i 北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试（文史类）2014．3

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

（1）已知集合|03}A x x =∈<｛，则A B =I （ ）．

A ．?

B ．{}1

C ．{}2

D ．{}1,2

（2）已知i 为虚数单位，复数2i

1i

-的值是（ ）． A ．1i -- B ．1i + C ．1i -+ D ．1i -

（3）若,x y 满足约束条件,

1,33,x y y x x y +??

+??+?

≤3≤≥则函数2z x y =-的最大值是（ ）．

A ．1-

B ．0

C ．3

D ．6

（4）在索契冬奥会跳台滑雪空中技巧比赛赛前训练中，甲、乙两位队员各跳一次．

设命题p 是“甲落地站稳”，q 是“乙落地站稳”，则命题“至少有一位队员落地没 有站稳”可表示为（ ）．

A ．p q ∨

B ．()p q ∨?

C ．()()p q ?∧?

D ．()()p q ?∨?

（5）执行如右图所示的程序框图，则输出S 的值是（ ）．

A ．10

B ．17

C ．26

D ．28

（6）函数2sin ()1

x

f x x =+的图象大致为（ ）．

A ．

B ．

C ．

D ．

（7）已知AB uu u r 和AC uuu r 是平面内两个单位向量，它们的夹角为60o

，则2AB AC -u u u r u u u r 与CA uu r 的夹角是 （ ）． A ．30o B ．60o C ．90o D ．120o

（8）如图，梯形ABCD 中，AD BC ，1AD AB ==，AD AB ⊥，45BCD ∠=o ，将ABD ?沿对角线BD

折起．设折起后点A 的位置为A '，并且平面A BD '⊥平面BCD ．给出下面四个命题： ①A D BC '⊥；

②三棱锥A BCD '-的体积为2

2

；

③CD ⊥平面A BD '； ④平面A BC '⊥平面A DC '．

其中正确命题的序号是（ ）．

A ．①②

B ．③④

C ．①③

D ．②④

y

x

o

-π

π

y

x

o

-π

π

-

π2

y x

o

π2

-

π2

y

x

o

π2

C B

A D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上． （9）抛物线28y x =的准线方程是 ．

（10）在一次选秀比赛中，五位评委为一位表演者打分，若去掉一个最低分后平均分为90分，去掉一个最

高分后平均分为86分．那么最高分比最低分高 分．

（11）在ABC ?中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边．已知4b =，2c =，60A ∠=o ，则a = ；C ∠= ．

（12）一个空间几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 ；

表面积为 ． （13）已知直线y x m =+与曲线224x y +=交于不同的两点,A B ，若||AB ≥23，则实数m 的取值范围是 ．

（14）将1，2，3，…………，9这9个正整数分别写在三张卡片上，要求每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上．现在第一张卡片上已经写有1和5，第二张卡片上写有2，第三张卡片上写有3，则6应该写在第 张卡片上；第三张卡片上的所有数组成的集合是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分） 已知函数()2sin cos 3cos 2f x x x x =-．

（Ⅰ）求(0)f 的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）求函数()x f 在区间π0,2??

????

上的最大值和最小值．

1 正视图 侧视图

1

1

俯视图

（16）（本小题满分13分）

某单位从一所学校招收某类特殊人才．对20位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力 的测试，其测试结果如下表：

一般 良好 优秀 一般 2 2 1 良好 4

b

1

优秀

1

3 a 例如表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生是4人．由于部分数据丢失，只知道从这20位

参加测试的学生中随机抽取一位，抽到逻辑思维能力优秀的学生的概率为1

5

．

（Ⅰ）求a ， 的值； （Ⅱ）从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，求其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概 率．

运动 协调能力

逻辑思维

能力

（17）（本题满分14分）

在四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，O 为11A C 与11B D 交点， 已知11AA AB ==，60BAD ∠=o ． （Ⅰ）求证：11AC ⊥平面11B

BDD ； （Ⅱ）求证：AO ∥平面1BC D ； （Ⅲ）设点M 在1BC D ?内（含边界），且OM ⊥11B D ，说明满足条件的点M 的轨迹，并求OM 的最 小值．

A B D 1 C 1

D C O

A 1

B 1

（18）（本小题满分13分）

设函数()ln f x x =，()1g x ax =+，a ∈R ，记()()()F x f x g x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在e x =处的切线方程； （Ⅱ）求函数()F x 的单调区间；

（Ⅲ）当0a >时，若函数()F x 没有零点，求a 的取值范围．

（19）（本小题满分14分）

已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3

(1,)2

，一个焦点为(3,0)．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线

与x 轴交于点Q ，求||

||AB PQ 的取值范围．

（20）（本小题满分13分）

已知{}n a 是公差不等于0的等差数列，{}n b 是等比数列(N )n *∈，且110a b =>． （Ⅰ）若33a b =，比较2a 与2b 的大小关系； （Ⅱ）若2244,a b a b ==．

（ⅰ）判断10b 是否为数列{}n a 中的某一项，并请说明理由；

（ⅱ）若m b 是数列{}n a 中的某一项，写出正整数m 的集合（不必说明理由）．

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类）

一、选择题

题号

1 2 3 4 5 6 7 8

答案

C C D

D B

A C B

二、填空题

题号 9 10 11

12

13 14 答案 2x =-

16

23；30o

1

2

；32+ 2,2??-??

二；{}3,4,9

三、解答题

15． 解：（Ⅰ）因为π

()sin 23cos22sin(2)3

f x x x x =-=-

所以，(0)3f =-．

由πππ

2π22π232

k x k -+-+≤≤，k ∈Z ， 得π5π

ππ1212

k x k -

++≤≤，k ∈Z 所以)(x f 的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ?

?

-

+???

?

，k ∈Z ． ………………………………………8分 （Ⅱ）因为π

0,2x ≤≤

所以ππ2π

2333

x --≤≤．

所以，当ππ

233

x -=-，即0x =时，()f x 取得最小值3-；

当ππ232x -=即5π

12

x =时，()f x 取得最大值2． ……………………………………………13分

16． 解：（I ）由题意可知，逻辑思维能力优秀的学生共有(2)a +人． 设事件A ：从20位学生中随机抽取一位，逻辑思维能力优秀的学生，

则21

()205

a P A +==． 解得 2a =．

所以4b =． ……………………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可知，运动协调能力为优秀的学生共有6位，分别记为

123456,,,,,M M M M M M ．其中5M 和6M 为运动协调能力和逻辑思维能力都优秀的学生． 从中任意抽取2位，可表示为1213141516,,,,M M M M M M M M M M ，2324,,M M M M 2526,M M M M ，343536,,M M M M M M ，454656,,M M M M M M ，共15种可能．

设事件B ：从运动协调能力为优秀的学生中任意抽取2位，其中至少有一位逻辑思维能力优秀的学生． 事件B 包括1516,M M M M ，2526,M M M M ，3536,M M M M ，454656,,M M M M M M ，共9种可能．

所以93

()155

P B ==．

所以至少有一位逻辑思维能力优秀的学生的概率为3

5

． ………………………………………………13分

17． 解：（Ⅰ）依题意， 因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA ⊥底面ABCD ， 所以1BB ⊥底面1111A B C D ．

又11AC ?底面1111A B C D ， 所以1BB ⊥11A C ．

因为1111A B C D 为菱形，

所以1111AC B D ⊥．而1111BB B D B =I ，

所以11AC ⊥平面11B BDD ． ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）连接AC ，交BD 于点E ，连接1C E ．

依题意，1AA ∥1CC ，

且11AA CC =，1AA AC ⊥， 所以11A ACC 为矩形． 所以1OC ∥AE ．

又111

12OC AC =，1

2

AE AC =，11AC AC =， 所以1OC =AE ，所以1AOC E 为平行四边形， 则AO ∥1C E ．

又AO ?平面1BC D ，1C E ?平面1BC D ，

所以AO ∥平面1BC D ． ………………………………………………………9分 （Ⅲ）在1BC D ?内，满足OM ⊥11B D 的点M 的轨迹是线段1C E ，包括端点．

分析如下：连接OE ，则BD OE ⊥．

由于BD ∥11B D ，故欲使OM ⊥11B D ，只需OM BD ⊥，从而需ME BD ⊥． 又在1BC D ?中，11C D C B =，又E 为BD 中点，所以BD ⊥1C E ． 故M 点一定在线段1C E 上．

当1OM C E ⊥时，OM 取最小值．

在直角三角形1OC E 中，1OE =，132OC =，172

C E =， 所以1min 121

7

OC OE OM C E ?=

=． ……………………………………………………………14分 18．解：（I ）1()f x x

'=

，则函数()f x 在e x =处的切线的斜率为1

e k =．又(e)1

f =，

所以函数()f x 在e x =处的切线方程为1

1(e)e y x -=-，即1e y x = …………………………………4分

（Ⅱ）()ln 1F x x ax =--， 11()ax

F x a x x

-'=-=，（0x >）．

①当0a ≤时，()0F x '>，()F x 在区间(0,)+∞上单调递增；

②当0a >时，令()0F x '<，解得1x a >

；令()0F x '>，解得1

0x a

<<． 综上所述，当0a ≤时，函数()F x 的增区间是(0,)+∞；

当0a >时，函数()F x 的增区间是1(0,)a

，减区间是1

(,)a +∞． …………………………………………9分

（Ⅲ）依题意，函数()F x 没有零点，即()ln 10F x x ax =--=无解．

由（Ⅱ）知，当0a >时，函数()F x 在区间1(0,)a

上为增函数，区间1

(,)a +∞上为减函数，

A B

D 1 C 1

D C O

E

M A 1 B 1

由于(1)10F a =--<，只需111

()ln 1ln 20F a a a a a

=-?-=--<， 解得2e a ->．

所以实数a 的取值范围为2

1

(,)e +∞． …………………………………………………………………13分

19． 解：（Ⅰ）由题意得222

2=3,13

1,4a b a b ?-?

?+=??解得=2a ，1b =． 所以椭圆C 的方程是2

214

x y +=． ………………………………………………………4分

（Ⅱ）由22

(1),1,4

y k x x y =-??

?+=??得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，2122

44

14k x x k -=+，

12122

2(2)14k

y y k x x k -+=+-=+．

所以线段AB 的中点坐标为222

4(,)1414k k

k k

-++， 所以线段AB 的垂直平分线方程为2

22

14()1414k k y x k k k

--=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 22

3(,0)14k

k

+，又点(1,0)P ， 所以2222

3111414k k

PQ k k +=-=++．

又222222844

(1)[()4]1414k k AB k k k -=+-?++222

4(1)(13)14k k k

++=+． 于是，2222222

2

4(1)(13)

||132144431||1114k k AB k k k PQ k k k ++++===-++++． 因为0k ≠，所以2

2

1331k <-

<+． 所以||

||

AB PQ 的取值范围为(4,43)． ……………………………………………………14分

20． 解：记{}n a 的11a b a ==，{}n a 公差为d ，{}n b 公比为q ，由0d ≠，得1q ≠

（Ⅰ）2310b b q =>，1313222

a a

b b a ++==，2

2

13b b b =，213b b b =±， 当213b b b =-时，显然22a b >；

当213b b b =时，由平均值不等式13

132

b b b b +≥，当且仅当13b b =时取等号， 而13b b ≠，

所以13132

b b

b b +>即22a b >．

综上所述，22a b >． ……………………………………………………………………5分 （Ⅱ）（ⅰ）因为2244,a b a b ==， 所以3,3,a d aq a d aq +=+=得313(1),q q -=- 所以213,1q q q ++==或2q =-．

因为1q ≠，所以2q =-，(1)3d a q a =-=-．

令10k a b =，即911(1)a k d b q +-=，93(1)(2)a k a a --=-，172k =， 所以10b 是{}n a 中的一项．

（ⅱ）假设m k b a =，则111(1)m a k d b q -+-=，13(1)(2)m a k a a ---=-，143(2)m k --=- 当1,m =或2m n =，（n *∈N ）时，k *∈N ．

正整数m 的集合是{}

12m m =m =n,n *

∈N 或． ……………………………………………13分

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习

数学学科测试答案（文史类）

一、 选择题 1． 【答案】C

【解析】解：因为|03}{1,2}A x x =

∈<<=N ｛，1|21}{|1}x B x x x -=>=>｛ 所以{2}A B =I 故选C

2． 【答案】C

【解析】解：

222i 2i(1i)2i+2i 2i 21i 1i (1i)(1i)1i 2

+-====-+--+- 故选C

3． 【答案】D

【解析】画出,1,33,x y y x x y +??

+??+?

≤3≤≥表示的区域，如图所示：

由2z x y =-，得2y x z =-，画出2y x =并平移，当过(3,0)时，

截距z -最小，即z 最大为6． 故选D

4． 【答案】D

【解析】解：因为p 是“甲落地站稳”，则p ?表示“甲落地没有站稳”；q 是“乙落地站稳”，则q ?表示“乙落地没有站稳” 所以“至少有一位队员落地没有站稳”可以表示为()()p q ?∨?．

5． 【答案】B

【解析】解：列表法：

S 1 2 5 10 17 循环结束 i 1

3 5 7 9 故答案选B

6． 【答案】A

【解析】解：因为22sin()sin ()()()11

x x

f x f x x x --=

=-=--++，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称；故排除C ．D ；

又2π1()0π

214

f =>+，排除B

． 故选A ．

7． 【答案】C

【解析】解：设2AB AC -uu u r uu u r 与CA uu r 的夹角是θ，则

(2)cos 2AB AC CA AB AC CA

θ-?=-uu u r uuu r uu r uu u r uuu r uu r 又AB uu u r

和AC uuu r 是平面内两个单位向量，则1AB =uu u r ，1AC =uuu r ；

则2

2(2)(2)22cos600AB AC CA AB AC AC AB AC AC AB AC AC -?=--?=-?+=-??+=u u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

所以cos 0θ= ，则=90θ?． 故选C

8． 【答案】B

【解析】解：依题意，标出平面图形上的信息如图所示，

画出折起后的几何体，设BD 中点为E ，并连接'A E 如图所示， 对于①，因为''A B A D =，所以'A E BD ⊥；又平面A BD '⊥平面BCD ，则'A E ⊥面BCD ，'A E BC ⊥； 若A D BC '⊥，'''A D A E A =I ，则BC ⊥面A BD '，则BC BD ⊥矛盾，故①错； 对于②，'11122

'2233226

A BCD BCD V S A E -==????=

△，故②错； 对于③，因为'A E ⊥面BCD ，则'A E C D ⊥，又C D B D ⊥，'A E BD E =I ，所以CD ⊥平面A BD '；故③正确；

对于④，由③知，CD ⊥平面A BD '，所以'CD A B ⊥；又''A B A D ⊥，'A D CD D =I ，所以'A B ⊥面'A DC ；

又'A B ?平面A BC '，所以平面A BC '⊥平面A DC '．故④正确； 故答案选B

二、 填空题 9． 【答案】2x =-

【解析】解：因为抛物线28y x =，则28p =，即4p =，

所以准线方程为22

p

x =-

=-． 故答案为2x =- ． 10． 【答案】16

【解析】解：因为去掉一个最低分后平均分为90分，则这4人的总分为904360?=． 因为去掉一个最高分后平均分为86分，则这4人的总分为864344?=； 所以最高分比最低分高36034416-=． 故答案为16． 11． 【答案】23，30?

【解析】解：由余弦定理，得2222cos 164812a b c bc A =+-=+-=，解得23a =；

由正弦定理，得3

2sin 12sin 223

c A C a ?

===，所以30C =?或150?（舍） 故答案为23，30?．

12． 【答案】1

3

，3+2

【解析】解：由三视图画出几何体的直观图如图所示， 则几何体是底面是直角三角形的直三棱柱横着放．

所以11

11133V =???=，

1

112111121322

S =???+?+?+?=+

故答案为1

3

，3+2

13． 【答案】[2,2]-

【解析】解：如图，圆心O 到直线AB 距离为2

m d =

，

则2

2

2

224232

m AB r d =-=-≥，

解得22m -≤≤． 故答案为[2,2]m ∈-． 14． 【答案】二，{3,4,9}

【解析】解：因为每一张卡片上的任意两数之差都不在这张卡片上，

所以6只能在第二张卡片上（否则，若6在第一张上，651-=矛盾；若6在第三张卡片上633-=矛盾）

同理，4只能在第三张卡片上（否则，4若在第一张上，514-=矛盾；若4在第二张上，422-=矛盾）；

同理，8只能在第一张卡片上，7只能在第二张卡片上，9只能在第三张卡片上．如图所示． 故答案为：二，{3,4,9}．