高等数学IIB

课程名称：《高等数学IIB》

作业：主观题

专业名称：机械制造与自动化

姓名：晏光胜学号：15830187

第一次作业

11、求下列微积分方程的通解

（1）Xy’-ylny=0

解：由Xy’-ylny=0分离变量得：dy/ylny=dx/x两边积分得：ln∣lny∣=ln∣x∣+c所以通解：lny=cx

（2）3x2+5x-5y’=0

解由：3x2+5x-5y’=0解得：5dy/dx=3x2+5x

dy=(3/5x2+x)dx

y’=3/5x2+x

通解：y=(1/5)x3+(1/2)x2+c

（3）(y+1)2dy/dx+x3=0

解由：(y+1)2dy/dx+x3=0解得通解：1/3(y+1)3+1/4x4=c

12、求下列一阶微分方程的通解

（1）dy/dx+y=e-x

解由：dy/dx+y=e-x解得：y=ce-x+xe-x

（2）xy’+y=x2+3x+2

解由: xy’+y=x2+3x+2解得(xy)’ =x2+3x+2通解:y=c/x+(1/3)x2+(3/2)x+2 （3）dy/dx+2xy=4x

解由dy/dx+2xy=4x

解得通解：y=ce-x2+2

（4）dy/dx+3y=8, y∣x=0=2

解由:dy/dx+3y=8

解得:y=ce-3x+8/3再由：y∣x=0=2解得:c= -2/3解得通解:y=(-2/3)e-3x+8/3 13、求下列二阶微分方程的通解

(1)y”+y’-2y=0

解由: y”+y’-2y=0解得:r2+r-2=0根为：r1=1 r2=-2通解为:y=c1e-2x+c2e x (2)4d2x/dt2-20dx/dt+25x=0

解由: 4d2x/dt2-20dx/dt+25x=0解得:4r2-20r+25=0根为:r1=r2=5/2

通解为:x=(c1+c2t)e5/2t

(3)y”-4y’+5y=0

解由: y”-4y’+5y=0解得:r2+4r+5=0根为:r1=2+i r2=2-i

通解为:x=(c1cosx+c2sinx)e2x

(4)y”-4y’+3y=0，y∣x=0=6,y”∣x=0=10

解由：y”-4y’+3y=0解得:r2-4r+3=0根为:r1=1 r2=3得出:y=c1e x+c2e3x

再由y=∣x=0=6, y’∣x=0=10解得:c1=4 c2=2

通解为:y=4e x+2e3x

14、求下列各函数的定义域

(1)z=ln(y2-2x+1)

解：D={(x,y):y2-2x+1>0}

(2)z=1/(√x+y)+1/(√x-y)

解：D=｛（x,y）:x>∣y∣｝

15、求下列函数的偏导数

（1）z=x3y-y3x (2)z=sin(xy)+cos2(xy)

解：Z x’=3x2y-y3 解：Z x’=ycos(xy)-2ycos(xy)sin(xy) Z y’=x3-3y2x Z y’=xcos(xy)-2ycos(xy)sin(xy) (3)z=(1+2x)y

解:Z x’=2y(1+2x)y-1

Z y’=(1+2x)y ln(1+2x)

16、求下列函数的?2z/?X2,?2z/?y2和?2z/?x? y

(1)z=x4+y4-4x2y2

解:z x’=4x3-8xy2

Z xx’=12x2-8y2

Z y’=4x3-8x2y

Z yy’=12y2-8x2

Z xy’=-16xy

(2)z=y x

解:z x’=y x lny

Z xx”=y x(lny)2

Z y’=xy x-1

Z yy”=x(x-1)y x-2

Z xy”=y x-1(xlny+1)

17、验证

（1）y=e-kn2t sinnx满足?y/?t=k?2y/?x2

解:y t’=-kn2e-n2t sinnx

y x’=ne-kn2t cosnx

y xx”=-n2e-kn2t sinnx ?x/?t=k?2y/?x2

(2)√(x2+y2+z2)满足?2r/?x2+?2r/?y2+?2r/?z2=2/r

解:?r/?x=y/r ?2r/?x2=(r-x x/r)/r2=(r2-x2)/r3

?r/?x=y/x ?2r/?y2=(r2-y2)/r3

?r/?z=z/r ?2r/?z2=(r2-z2)/r3

?2r/?x2+?2r/?y2+?2r/?z2=2/r

第二次作业

7、设z=u2+v2,而u=x+y,v=x-y,求?z/?x,?z/?y

解:代入可得:z=u2=v2=(x+y)2+(x-y)2=2(x2+y2)

所以z x’=4x Z y’=4y

8、设z=e x-2y,而x=sint,y=t3求dz/dt

解:代入可得z=e sint-2t3

Z t’=e sint-2t3(cost-6t2)

9、求函数f(x.y)-4(x-y)-x2-y2的极值

解:由f x’(x,y)=4-2x=0和f y’(x,y)=-4-2y=0,得x=2,y=-2 所以A=f xx”(x,y)=-2, B=f xy”(x,y)=0, c=f yy”(x,y)=-2 且AC-B2=4>0故A<0,f(2,-2)=16-4-4=8是极大值

10、求函数f(x,y)=(6x-x2)(4y-4y2)的极值

解:由f x’(x,y)=(6-2x)(4y-y2)=0得x=3或y=0或y=4再由

f y’(x,y)=(6x-x2)(4-2y)=0得x=0或x=6或y=2容易看出只有x=3

和y=2可能是极值点，经判断可知：f(3,2)=36是极大值。

11、计算下列二重积分

（1）?D(3x+2y)d?，其中D是由两坐标轴及直线x+y=2所围成的闭区域

解：I=∫02dx∫02-x3x+2ydy=∫02[6x-3x2+(y2)02-x]dx

=∫02(-2x2+2x+4)dx=20/3

(2)? D(x3+3x2y+y3)dQ,其中D是矩形闭区间：0≤x≤1,0≤y≤1

解：I=∫01dx∫01(x3+3x2y+y3)dy=∫01dx(∫01x3dy+∫013x2ydy+∫01y3dy)=∫01[x3+(3x2.1/2y2+1/4y4)01]dx=∫01(x3+3/2x2+1/4)dx=1

(3)?D cos(x+y)d?其中D是顶点分别为（0，0）（n,0）和（n,n）的三角形闭区域

解:I=∫0лdx∫0x cos(x+y)dy=∫0лdx∫0x cos(x+y)d(x+y)

=∫0л[sin(x+y)]0x dx=∫0л(sin2x-sinx)dx=[-1/2cos2x+cosx]0л=-2

12、利用格林公式计算下列曲线积分

（1）∮(2x-y+4)dy+(5y+3x-6)dy其中L为三顶点分别为（0，0），（3，0）和（3，2）的三角形正向边界

解：令p=2x-y+4?=5y+3x-6显然p,?在D上具有一阶连续偏导数，

(?Q/?x-?p/?y)dxdy

L取向为D的正向边界曲线，原式=?

D

[3-(-1)]dxdy=4.3.2.1/2=12

=?

D

(x2-y)dx-(x+sin2y)dy其中L是在圆周y=√2x-x2上由点（0，(2)∫

L

0）的一段弧

解：令p=x 2-y,?=-(x+sin 2y)则?p/?y=-1=??/?x 因此原点曲线积分与路径无关，取L:y=x,0≤x ≤1,则原式=∫L pdx+?dy =∫01(x 2-2x-sin 2x)dx=1/3-1-1/2+sin2/4=sin2/4-7/6

13、 用比值审敛法判别下列级数的收敛性 （1）∑x n=1n 2/3n

解：(U n +1)/U n =(n+1)2/3n+1.3n /n 2=1/3.[(n+1)/n]2

lim n →∞(U n +1)/U n = lim n →∞1/3[(n+1)/n]2=1/3<1,根据比值审敛法可知该级数收敛

（2）∑n=1∞(U n +1)/U n =(n+1)/2n .2n-1/n=1/2[(n+1)/n]

lim n →∞(U n +1)/U n = lim n →∞1/2[(n+1)/n]=1/2<1,根据比值审敛法可知该级数收敛 (3)∑n=1∞[n/(2n+1)]n

解：因为lim n →∞n √U n = lim n →∞n √[n/(2n+1)]2

= lim n →∞n/(2n+1)=1/2<1根据比值审敛法可知该级数收敛

第三次作业

5、利用极坐标计算下列各题：

（1）?D e x2-y2d ?,其中D 是由圆周x 2+y 2=4所围成的闭区域 解：利用极坐标变换，I=4∫0л/2d ?∫02re r2dr=4∫0л/2d ?[1/2e r2]02 =л(e 4-1)

(2)?D √x 2+y 2d ?其中D 是圆环闭区域?2≤x 2+y 2≤b 2

解：利用极坐标变换,I=4∫0л/2d ?∫a b r √r 2dr=4.л/2∫a b r 2dr =2л.[1/3r 3]a b =2/3л(b 3-a 3)