2012年天津高考试题(文数,word解析版)

2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（文科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1. 每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2. 本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

﹒如果事件A,B 胡斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B). ﹒棱柱的体积公式V=Sh.

其中S 表示棱柱的底面面积，h 表示棱柱的高。

﹒圆锥的体积公式V=

1

3

Sh[来源:https://www.360docs.net/doc/9311676153.html,] 其中S 表示圆锥的底面面积， H 表示圆锥的高。[来源:学科网]

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1） i 是虚数单位，复数

534i i

+-=

（A ）1-i （B ）-1+I （C ）1+I （D ）-1-i

【解析】复数i i

i i i i i i +=+=+-++=-+117

1717)4)(4()4)(35(435，选C. 【答案】C

（2） 设变量x,y 满足约束条件??

?

??≤-≥+-≥-+010420

22x y x y x ,则目标函数z=3x-2y 的最小值为

（A ）-5 （B ）-4 （C ）-2 （D ）3

【解析】做出不等式对应的可行域如图，由y x z 23-=得

223z x y -=

，由图象可知当直线223z x y -=经过点)2,0(C 时，直线2

23z x y -=的截距最大，而此时y x z 23-=最小为423-=-=y x z ，选B.

【答案】B

（3） 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为

（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80

【解析】第一次循环2,2330

==-=n S ，第二次循环3,83322

==-+=n S ，第三

次循环4,263382

3==-+=n S ，第四次循环满足条件输出26=S ，选C.

【答案】C

（4） 已知a=21.2，b=

()

12

-0.2

，c=2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为

（A ）c

【解析】因为

12

2.02.022)2

1

(<==-b ，所以

a

b <<1，

14log 2log 2log 25255<===c ，所以a b c <<，选A.

【答案】A

（5） 设x ∈R ，则“x>1

2”是“2x 2+x-1>0”的

（A ） 充分而不必要条件 （B ） 必要而不充分条件 （C ） 充分必要条件

（D ） 既不充分也不必要条件

【解析】不等式0122>-+x x 的解集为21>x 或1-

1

>x ”是“0122>-+x x ”成立的充分不必要条件，选A.

【答案】A

（6） 下列函数中，既是偶函数，又在区间（1,2）内是增函数的为

（A ） y=cos2x ，x ∈R

（B ） y=log 2|x|，x ∈R 且x ≠0

（C ） y=

2

x

x

e e --，x ∈R

（D ） y=x3+1，x ∈R

【解析】函数x y 2log =为偶函数，且当0>x 时，函数x x y 22log log ==为增函数，所以在)2,1(上也为增函数，选B. 【答案】B

（7） 将函数f(x)=sin x ω（其中ω>0）的图像向右平移4

π

个单位长度，所得图像经过点

（

34

π，0），则ω的最小值是

（A ）1

3

（B ）1 C ）5

3

（D ）2

【解析】函数向右平移

4

π得到函数)4sin()4(sin )4()(ωπ

ωπωπ-

=-=-=x x x f x g ，因为此时函数过点)0,43(π，所以0)443(s i n =-ππω，即,2

)443(πωπππωk ==-所以Z k k ∈=,2ω,所以ω的最小值为2，选D.

【答案】D

（8） 在△ABC 中，∠ A=90°，AB=1，设点P ，Q 满足AP =AB λ ，AQ =(1-λ)AC

，λ

∈R 。若BQ

?CP

=-2，则λ=

（A ）13

（B ）23

C ）4

3

（D ）2

【解析】如图

，设c AC b AB ==, 0,21=?==，

又c b AQ BA BQ )1(λ-+-=+=，b c AP CA CP λ+-=+=，由2-=?CP BQ 得

2)1(41()(])1([-=--=--=+-?-+-λλλλλb c c b ，即3

2

,23=

=λλ，选B.

【答案】B

第Ⅱ卷

注意事项：

1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。[来源:https://www.360docs.net/doc/9311676153.html,]

2.本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本答题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）集合{}

|25A x R x =∈-≤中最小整数位 .

【解析】3-不等式52≤-x ，即525≤-≤-x ，73≤≤-x ，所以集合

}73{≤≤-=x x A ，所以最小的整数为3-。

【答案】3-

（10）一个几何体的三视图如图所示（单位：m ）,则该几何体的体积

3

m

.

【解析】由三视图可知这是一个下面是个长方体，上面是个平躺着的五棱柱构成的组合体。长方体的体积为24243=??，五棱柱的体积是

6412

)

21(=??+，所以几何体的总体积为30。

【答案】30

（11）已知双曲线)0,0(1:22221>>=-b a b

y a x C 与双曲线1164:

2

22=-y x C 有相同的渐近线，且1C

的右焦点为F ,则a = b =

【解析】双曲线的

116422=-y x 渐近线为x y 2±=，而12222=-b y a x 的渐近线为x a b

y ±=，所以有2=a b

，a b 2=，又双曲线12222=-b y a x 的右焦点为)0,5(，所以5=c ，又

222b a c +=，即222545a a a =+=，所以2,1,12===b a a 。

【答案】1，2

（12）设,m n R ∈,若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且l 与圆

224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ?面积的最小值为 。

【解析】直线与两坐标轴的交点坐标为)0,1

(

),1

,0(m

B n A ，直线与圆相交所得的弦长为2，圆心到直线的距离d 满足31412

22=-=-=r d ，所以3=d ，即圆心到直线的距离

312

2=+-=

n m d ，所以3122=

+n m 。三角形的面积为mn

n m S 211121=?=，又31212

2=+≥=

n

m mn S ，当且仅当61==n m 时取等号，所以最小值为3。 【答案】3

（13）如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,3

2

EF =

,则线段CD 的长为 .

【解析】如图连结BC ，BE ，则∠1=∠2，∠2=∠A

1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ?∴∽ABC ?，AC CF

AB CB BC BF AB CB ==∴

,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=3

4

. 【答案】

3

4

（14）已知函数211

x y x -=-的图像与函数y kx =的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围

是 . 【解析】函数1

)

1)(1(1

12-+-=

--=

x x x x x y ，当1>x 时，111

12+=+=--=

x x x x y ，

当1

,111,1111

2x x x x x x x y ，综上函数???

??-<+<≤---≥+=--=

1

,111,11

111

2x x x x x x x x y ，，做出函数的图象，要使函数y 与kx y =有两个不同的交点，则直线kx y =必须在蓝色或黄色

区域内，如图

，则此时当直线经过黄色区域时)2,1(B ，k

满足21<

【答案】10<

三.解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（15题）（本小题满分13分）

某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。

（I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目。

（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析， （1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率。

【解析】（1）从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目之比为21:14:73:2:1= 得：从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1 （2）（i ）设抽取的6所学校中小学为123,,A A A ，中学为45,A A ，大学为6A ； 抽取2所学校的结果为：1213141516{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，

23242526343536{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A A A

454656{,},{,},{,}A A A A A A 共15种；

（ii ）抽取的2所学校均为小学的结果为：121323{,},{,},{,}A A A A A A 共3种 抽取的2所学校均为小学的概率为31155

=

在ABC ?中，内角,,A B C 所对的分别是,,a b c ；已知2,a c A ===； （I ）求sin C 和b 的值； （II ）求cos(2)3

A π

+

的值。

【解析】（I ）cos (0,)sin 44

A A A π=-∈?=

sin sin sin sin a c c A C A C a =?==

2222

2cos 201a b c bc A b b b =+-?+-=?=

（II ）23

sin 22sin cos 22cos 14

A A A A A ===-=-

3cos(2)cos 2cos sin 2sin 3338

A A A πππ-+=-=

17.（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，

,1,2AD PD BC PC PD CD ⊥====

（I ）求异面直线PA 与BC 所成角的正切值； （II ）证明：平面PDC ⊥平面ABCD ；

（III ）求直线PB 与平面ABCD 所成角的正弦值。 【解析】（I ）//AD BC ?PAD ∠是PA 与BC 所成角 在ADP ?中，,1,2AD PD AD BC PD ⊥===

tan 2PD

PAD AD

∠=

= 异面直线PA 与BC 所成角的正切值为2

（II ）,,AD PD AD DC PD DC D AD ⊥⊥=?⊥ 面PDC

AD ? 面ABCD ∴平面PDC ⊥平面ABCD （III ）过点P 作PE CD ⊥于点E ，连接BE

平面PDC ⊥平面ABCD PE ?⊥面ABCD PBE ?∠是直线PB 与平面ABCD 所成角

2,1201CD PD PC PDC PE DE ?===∠=?==

在Rt BCE ?中，BE PB =

=?==

在Rt BPE ?中，sin 13

PE PBE PB ∠=

=

得：直线PB 与平面ABCD

已知{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ，{}n b 是等比数列，112a b ==

44+=27a b ，44=10S b -.

(Ⅰ)求数列{n a }与{n b }的通项公式；

(Ⅱ)记112233n n n T a b a b a b a b =++++ ；证明：*118(,2)n n n T a b n N n -+-=∈≥ 【解析】(Ⅰ)设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q ；

则 3443

441273

2322710246210a b d d q S b q a d q +==?++=???????-==+-=?

?? 得：31,2n n n a n b =-=

(Ⅱ)1*1(31)2(34)2(37)2()k k k k k k k a b k k k c c k N ++=-?=-?--?=-∈ 1

213

21

11()()()

(34)28

n n n n

n

T c c c c c c c c n +++=-+-++-=-=-?+

当2n ≥时，118n n n T a b -+-=

（19）（本小题满分14分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>

，点)P 在椭圆上；

（I ）求椭圆的离心率；

（II ）设A 为椭圆的右顶点，O 为坐标原点，若Q 在椭圆上且满足AQ AO =求直线OQ

的斜率的值。 【解析】(Ⅰ)

点)P 在椭圆上

2222222221153521188a a

b b e e a b a a ?+=?=?=-=?=

(Ⅱ) 设(cos ,sin )(02)Q a b θθθπ≤<；则(,0)A a

22222

2

(1cos )sin 13cos 16cos 50cos 3

AQ AO a b a θθθθθ=?-+=?-+=?=

直线OQ

的斜率sin cos OQ b k a θ

θ

==

已知函数32

11()32

a f x x x ax a -=

+--(0,)a x R >∈ （I ）求函数)(x f 的单调区间；

（II ）若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点，求a 的取值范围；

（III ）当1a =时，设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，

记()()()g t M t m t =-；求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值。 【解析】(Ⅰ) 32

211()()(1)(1)()32

a f x x x ax a f x x a x a x x a -'=

+--?=+--=+- ()01f x x '>?<-或x a >，()01f x x a '

得：函数)(x f 的单调递增区间为(,1),(,)a -∞-+∞，单调递减区间为(1,)a - (Ⅱ) 函数)(x f 在(2,1)--内单调递增，在(1,0)-内单调递减

原命题1

(2)0,(1)0,(0)003

f f f a ?-<->

（lfxlby ） （III ）当1a =时，154

(2)(1),(2)(1),(1)(1)333

f f f f f f =-=--==---=

()f x 在[3,1],[1,2]--上单调递增,在[1,1]-上单调递减

当[3,2],3[0,1]()(1),()(2)(1)t t M t f m t f f ∈--+∈?=-≤-=

4()(1)(1)3

g t f f ?≥--=

当[2,1],3[1,2]()(1),()(1)t t M t f m t f ∈--+∈?=-=

4()(1)(1)3

g t f f ?=--=

得：函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值为

4

3

（lfxlby ）