湖北省华师一附中、荆州中学、黄冈中学等八校2016届高三3月联考 数学理

湖北省 八校

2016届高三第二次联考

数学试题（理科）

命题学校：黄冈中学 命题人：冯小玮 袁小幼 审题人：范裕龙

考试时间：2016年3月29日 下午15:00—17:00 试卷满分150分 考试用时120分钟

注意事项：

1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上．

2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效． 3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第I 卷（选择题 共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知集合2{230},{ln(2)}A x x x B x y x =--≤==-，则A B = ( )

A ．(1,3)

B ．(1,3]

C ．[1,2)-

D ．(1,2)-

2．若复数43(cos )(sin )55z i θθ=-+-是纯虚数（i 为虚数单位），则tan ()4π

θ-的值为( )

A ．7-

B ．1

7- C ．7

D ．7-或1

7

-

3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12,a =且245,2,a a a +成等差数列，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则5S = ( )

A ．32

B ．62

C ．27

D ．81 4．已知函数()sin()(0,)2

f x x πω?ω?=+><的最小正周期为π，且其图像向左平移3π

个单

位后得到函数()cos g x x ω=的图像，则函数()f x 的图像( ) A ．关于直线12

x π

=

对称 B ．关于直线512

x π

=

对称 C ．关于点(,0)12π对称 D ．关于点5(,0)12

π

对称

5．甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为( ) A ．

110

B ．23

C ．13

D ．1

4

6．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(1)(1)f x f x +=-，且当[0,1]x ∈ 时,2()log (1f x x =+）,则(31)f = ( )

华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 襄阳四中 襄阳五中 孝感高中 鄂南高中

A ．0

B ．1

C ．1-

D ．2 7．若如下框图所给的程序运行结果为S =41，则图中的判断框①中应填入的是( ) A ．6?i > B ．6?i ≤ C ．5?i > D ．5?i <

8．有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是( )

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁 9．设12,F F 为椭圆

22195

x y +=的两个焦点，

点P 在椭圆上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21

PF PF 的值为( ) A ．

514

B ．

513

C ．49

D ．5

9

10．已知变量,x y 满足480

50,10x y x y y +-+--??

???

≥≤≥若目标函数(0)z ax y a =+>取到最大值6，则a 的值

为( )

A ．2

B ．

54 C ．5

24

或 D ．2- 11．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某

多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为( ) A ．8π B ．252π

C ．12π

D ．

414

π

12．已知直线980x y --=与曲线32:3C y x px x =-+相交于,A B ,且曲线C 在,A B 处的切

线平行，则实数p 的值为( )

A ．4

B ．4或3-

C ．3-或1-

D ．3-

第Ⅱ卷（非选择题 共90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知0

3sin m xdx π

=?，则二项式(23)m a b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 ．

14．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ＝2，点D 为AC 中点，点E 满足13

BE BC =

，则A

E B D ?

＝

．

15．已知双曲线2

2221(0,0)y x a b a b

-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则

该双曲线的离心率为 ．

16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1

(1)32

n n n n S a n =-+

+-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为c b a ,,，且满足

2sin()6

b C a

c π

+

=+．

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）若点M 为BC 中点，且AM AC =，求sin BAC ∠．

18．(本小题满分12分)某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校

200名高三学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间进行调查，如下表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）

将学生日均课外课外体育运动时间在[40,60)上的学生评价为“课外体育达标”． （Ⅰ）请根据上述表格中的统计数据填写下面22?列联表，并通过计算判断是否能在犯 错误的概率不超过0.01的前提下认为 “课外体育达标”与性别有关？

（Ⅱ）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该校高三学生中，抽取3名学生，记被抽取的3名学生中的“课外体育达标”学生人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的数学期望和方差． 参考公式：()

()()()()

2

2=

n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中.n a b c d =+++

参考数据：

19．(本小题满分12分)已知四棱锥P ABCD -,底面ABCD 是直角梯形，AD ∥BC ,

90BCD ∠= ,PA ABCD ⊥底面， ABM ?是边长为

2的等边三角形，PA DM ==

（Ⅰ）求证：平面PAM PDM ⊥平面；

（Ⅱ）若点E 为PC 中点,求二面角P M D E --的余弦值．

20．（本题满分12分）已知抛物线22x py =上点P 处的切线方程为10x y --=． （Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设11(,)A x y 和22(,)B x y 为抛物线上的两个动点，其中12y y ≠且124y y +=，线段AB 的垂直平分线l 与y 轴交于点C ，求ABC ?面积的最大值．

21．（本题满分12分）已知函数ln ()(0)1

x x

f x a a x =

-<-． （Ⅰ）当(0,1)x ∈时，求()f x 的单调性；

（Ⅱ）若2()()()h x x x f x =-?,且方程()h x m =有两个不相等的实数根12,x x ．求证： 121x x +>．

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答题时请用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.

22．(本小题满分10分) 选修4-1 ：几何证明选讲

如图，在锐角三角形ABC 中，AB AC =，以AB 为直径的圆O 与边 ,BC AC 另外的交点分别为,D E ，且DF AC ⊥于F ． （Ⅰ）求证：DF 是O ⊙的切线；

（Ⅱ）若3CD =，7

=5

EA ，求AB 的长．

23．(本小题满分10分) 选修4-4 ：坐标系与参数方程

以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐

标为(1,2)，点M 的极坐标为(3,)2

π

，若直线l 过点P ，且倾斜角为6

π，圆C 以M 为圆

心，3为半径．

（Ⅰ）求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求PA PB ?．

24．(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知函数()f x R

．

E

（Ⅰ）求实数m 的范围；

（Ⅱ）若m 的最大值为n ，当正数b a ,满足

41

532n a b a b

+=++时，求47a b +的最小值．

湖北省八校2016届高三第二次联考

理科数学试题答案及评分参考

一、选择题

1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．C 8．D 9．B 10．B 11．D 12．B 二、填空题

13．6480- 14．2- 15

16．311,44-??

??? 三、解答题

17．解答：

（Ⅰ）1

2sin (sin cos )sin sin 2

B C C A C +?=+，

sin sin cos sin sin sin cos cos sin sin B C B C A C B C B C C +=+=++

，

sin cos sin sin B C B C C =+

，

cos 1B B =+，所以2sin()16B π-=，得3

B π=． ………6分

（Ⅱ）解法一：取CM 中点D ,连AD ,则AD CM ⊥,则CD x =，则3BD x =， 由（Ⅰ）知3

B π

=

，,AD AC ∴=∴=，

由正弦定理知，

4sin x BAC =∠

sin BAC ∠=. ………12分 解法二：由（Ⅰ）知3

B π

=

，又M 为BC 中点，2

a BM MC ∴==

， 在ABM ABC ??与中，由余弦定理分别得：

22

22

2()2cos ,

2242

a a a ac AM c c B c =+-???=+-

222222cos ,AC a c ac B a c ac =+-?=+-

又AM AC =，2242a ac c ∴+-=22,a c ac +

-3,2a c b ∴=∴=，

由正弦定理知，sin a BAC ∠

sin BAC ∠=. 18 ．解答：（Ⅰ）

()2

2

20060203090200

=

6.060 6.635,1505090110

33

K ??-?=

≈

………6分

（Ⅱ）由表中数据可得，抽到“课外体育达标”学生的频率为0.25，将频率视为概率，

1

(3,),4X B ∴ ………8分

1313

()3,

()344449

16

E X D X ∴=?

==?

?=

． ………12分

19．解答：（Ⅰ）ABM ? 是边长为2的等边三角形, 底面ABCD 是直角梯形，

CD ∴=

又3,DM CM =∴=314,AD ∴=+= 222,.AD DM AM DM AM ∴=+∴⊥

又,PA ABCD ⊥底面,DM PA ∴⊥,DM PAM ∴⊥平面

DM PDM ?∴ 平面，平面.PAM PDM ⊥平面 ………6分

（Ⅱ）以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴， 过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，

则

C

M (0,4,P

设平面PMD 的法向量为1111(,,)n x y z =

，

则

1111

30

,40y y +=+=??

取113,(3,x n =∴=

………8分 E 为PC

中点，则E

， 设平面MDE 的法向量为2222(,,)n x y z =

，

则2222230

,+20y x y +=+=

取2213,(3,).2x n =∴= ………10分 由121213cos 14

n n n n θ?==u r u u r

u r u u r ．∴二面角P M D E --的余弦值为1314． ………12分

20．解答：（Ⅰ）设点2

00(,)2x P x p

，由2

2x py =得22x y p =，求导'

x y p =，

因为直线PQ 的斜率为1，所以

01x p

=且2

00102x x p --=，解得2p =， 所以抛物线的方程为24x y =． ………4分 （Ⅱ）设线段AB 中点()00,M x y ，则1212

00,,22

x x y y x y ++=

= ()22

2102112212114442

AB

x x x y y k x x x x x x -

-===+=--， ∴直线l 的方程为00

2

2()y x x x -=-

-， 即02(4)0x x y +-+=，l ∴过定点(0,4). ………6分 联立0022

002:2()22802

4x AB y x x x xx x x y ?

-=-??-+-=??=?

得22

00044(28)0x x x ?=--?-＞＜

AB 12x =-

== ………8分 设()4,0C 到AB

的距离d CM =

12ABC S AB d ?∴=?

8=

=， ………10分 当且仅当2200

4162x x +=-，即20±=x 时取等号，ABC S ?∴的最大值为8. ……12分 21．解答：（Ⅰ）2

1ln '(),(1)x x f x x --=

-设()1ln ,g x x x =--则1

'()1,g x x =-

∴当(0,1)x ∈时，'()0()(1)0,'()0,g x g x g f x <∴>=∴>

()f x ∴在(0,1)上单调递增． ………4分

（Ⅱ）22()ln (0),h x x x ax ax a =-+< '()2ln 2,h x x x x ax a ∴=+-+ ''()2ln 23h x x a ∴=-+''()h x ∴在(0,)+∞上单调递增，

当0x →时，''()0,''(1)320,h x h a <=->

∴必存在(0,1),α∈使得''()0,h x =即2ln 230,a α-+= '()h x ∴在(0,)α上单调递减，在(,)α+∞上单调递增，

又'()20,'(1)10,h a h a αα=-<=->设0'()0,h x =则0(0,1),x ∈ ()h x ∴在0(0,)x 上单调递减，在0(,)x +∞上单调递增，

又(1)0,h =不妨设12,x x <则10020,1,x x x x <<<<

由（Ⅰ）知2

1010112

202022()()()()()

()()()()()f x f x h x f x x x f x f x h x f x x x ?<>-?????><-???， 2

202221011()()()()()()f x x x h x h x f x x x ∴->=>-，

222211212112()()()(1)0, 1.x x x x x x x x x x ∴---=-+->∴+> ………12分

22．解答：（Ⅰ）连结,.AD OD 则AD BC ⊥，又AB AC =， ∴D 为BC 的中点，而O 为AB 中点，∴OD AC ∥，

又DF AC ⊥，∴OD DF ∥，而OD 是半径，∴DF 是O ⊙的切线. ………5分 （Ⅱ）连DE ，则CED B C ∠=∠=∠，则DCF DEF ??≌，

∴CF FE =，设CF FE x ==，则229DF x =-， 由切割线定理得：2DF FE FA =?，

即279+5x x x ??

-= ???，解得：1295=52x x =-，（舍），∴ 5.AB AC == ………10分

23．解答：（Ⅰ）直线l

的参数方程为1,

12,2

x y t ?

=+??

?

?=+??

为参数）t (，（答案不唯一，可酌情给分） 圆的极坐标方程为θρsin 6=. ………5分

（Ⅱ）把1,12,2

x y t ?=+????=+??代入22(3)9x y +-=

，得21)70t t +-=， 127t t ∴=-，设点,A B 对应的参数分别为12,t t ，

则12,PA t PB t ==,∴7.PA PB ?= ………10分 24． 解答：（Ⅰ） 函数的定义域为R ，6)4()2(42=--+≥-++x x x x ，6≤∴m .

………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知6=n ，由柯西不等式知，47a b +=

141

(47)()6532a b a b a b

++++ 1[(5)(32)]6a b a b =+++413()5322a b a b +≥++，当且仅当15

,2626a b ==

时取等号，47a b ∴+的最小值为

2

3

. ………10分