2016年山东省高考理科数学试卷解析版

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2016年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)

理科数学解析

本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项：

1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填

写在答题卡和试卷规定的位置上．

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改

动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号．答案卸载试卷上无效．

3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相

应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．

4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

参考公式： 如果事件A,B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).

第Ⅰ卷（共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的

（1）若复数z 满足i －z z 23

2=+，其中i 为虚数为单位，则=z （A ）i 21+ （B ）i －21

（C ）i －21+

（D ）i －－21

【解析】 设 )∈,(,+=R b a bi a z ，

则i －bi a a bi a z z z z z 23322=+=++=)+(+=+， 所以21－b a =,=，故选（B ）

（2）已知集合{}

{}0122<=,∈,==A －x x B R x y y x ，则=B A

（A ）),(11－ （B ）),(10 （C ）)+∞,(1－ （D ）)+,(∞0

【解析】 由题意），（），（11=,∞+0=A －B ，所以=B A )+∞,(

1－，故选（C ）

（3）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，

[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于

22.5小时的人数是

（A ）56 （B ）60 （C ）120 （D ）140

【解析】 由图可知组距为2.5，

每周的自习时间少于22.5小时的频率为

0.30=2.5×)0.1+0.02(

所以，每周自习时间不少于22.5小时的人数是

140=0.301×

200）（－人，故选D ．

（4）若变量y x ,满足??

???≥≤-≤+09322x y x y x ，则2

2y x +的最大值是

（A ）4 （B ）9 （C ）10 （D ）12 【解析】 由2

2

y x +是点),(y x 到原点距离的平方， 故只需求出三直线的交点),(),,(),,(133020--， 所以),(13-是最优解，

22y x +的最大值是10，故选C

（5）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三 视图如右图所示，则该几何体的体积为

（A ）

π32+31 （B ）π3

2+31 （C ）π62+31 （D ）π6

2+1

【解析】 由三视图可知,半球的体积为

π6

2, 四棱锥的体积为31,所以该几何体的体积为π6

2+31，故选C ．

（6）已知直线b a ,分别在两个不同的平面βα、内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面α相交”的

（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件

（D ）既不充分也不必要条件

【解析】 由直线a 和直线b 相交，可知平面βα、有公共点，所以平面α和平面β相交． 又如果平面α和平面β相交，直线a 和直线b 不一定相交．故选A ．

（7）函数)sin cos )(cos +sin (=)(x x －x x x f 33的最小正周期是

（A ）

2π （B ）π （C ）2

π

3 （D ）π2 【解析】 由）（33π

+2sin

2=2cos +cos sin 2=)(x x x x x f

所以，最小正周期是π，故选B

（8）已知非零向量n m ,满足3

1

3>=

,

49 （D ）—4

9 【解析】 因为2

4

1n n m n m nm >=,

由)+(⊥n tm n ，有02

=+=)+(n tmn n tm n ， 即014

2

=)+(n t ，所以=t —4，故选B

（9）已知函数)(x f 的定义域为R ，当0

=)(；当11≤≤x －时，

)(—=)(x f －x f ；当21>x 时，)(=)+(2

1

21x －f x f ，则=)(6f

（A ）—2 （B ）—1

（C ）0 （D ）2

【解析】由)(=)+(2121

x －f x f ，知当2

1

>

x 时，)(x f 的周期为1，所以)(=)(16f f ． 又当11≤≤x －时，)x (f )x (f -=-，所以)(

—=)(11－f f ． 于是2111163

=---=--==])[()()()(f f f ．故选D ．

（10）若函数)(=x f y 的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称)(=x f y 具有T 性质．下列函数具有T 性质的是

（A ）x y sin = （B ）x y ln = （C ）x

e y = （D ）3

x y = 【解析】 因为函数x y ln =，x

e y =的图象上任何一点的切线的斜率都是正数； 函数3

x y =的图象上任何一点的切线的斜率都是非负数．都不可能在这两点处的切线互相垂直,即不具有T 性质．故选A ．

第Ⅱ卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

（11）执行右边的程序框图，若输入的的值分别为0和9， 则输出i 的值为

【解析】1=i 时，执行循环体后81=,=b a ，b a >不成立；

2=i 时，执行循环体后63=,=b a ，b a >不成立；

3=i 时，执行循环体后36=,=b a ，b a >成立；

所以3=i ，故填 3.

（12）若

5

)+x

ax 1（2

的展开式中5x 的系数是80－，则实数=a

【解析】由55

32523

22580C )1C x －x a x

ax ==（）

（， 得2－a =，所以应填2－．

（13）已知双曲线)>,>(=:00122

22b a b

y －a x E ，若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，

CD AB ,的中点为E 的两个焦点，且BC 3=AB 2，则E 的离心率为

【解析】由题意c 2=BC ，所以3c =AB ，

于是点

),23（c c 在双曲线E 上，代入方程，得14922

22=b c －a c ， 在由2

c b a =+2

2

得E 的离心率为2==a

c

e ，应填2.

（14）在],[

11－上随机的取一个数k ，则事件“直线kx y =与圆952

2=+)(y x －相交”发生的概率为

【解析】首先k 的取值空间的长度为2，

由直线kx y =与圆952

2

=+)(y x －相交，得事件发生时k 的取值空间为

]4

3

,43[－， 其长度为23，所以所求概率为4

3=223

，应填43．

（15）在已知函数=)(x f ，其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程b x f =)(有三个不同的根，则m 的取值范围是

【解析】因为m mx －x x g 422

+=)(的对称轴为m x =，

所以m x >时m mx －x x f 422+=)(单调递增，只要b 大于m mx －x x g 422

+=)(的最小值2

4m m —时，关于x 的方程b x f =)(在m x >时有一根；

又x x h =)(在m x ≤，0>m 时，存在实数b ，使方程b x f =)(在m x ≤时有两个根，只需m b ≤<0；

故只需m m m <—2

4即可，解之，注意0>m ，得3>m ，故填），（∞+3．

三、解答题：本答题共6小题，共75分． （16）（本小题满分12分）

在ABC ?中，角C B,A,的对边分别为a,b,c ，已知cosA

tanB

+cosB tanA =tanB)+2(tanA (Ⅰ)证明：c b a 2=+； （Ⅱ）求C cos 的最小值． 【解析】(Ⅰ)由cosA

tanB

+cosB tanA =

tanB)+2(tanA 得 cosAcosB

sinB

cosAcosB sinA cosAcosB sinC 2+=?

，

所以C B C sin sin sin +=2，由正弦定理，得c b a 2=+．

（Ⅱ）由ab

c ab b a ab c b a C 2222

2222--+=-+=)(cos

21

12312

23123222=-=-+≥-=)(b a c ab c ．

所以C cos 的最小值为2

1．

（17）（本小题满分12分）

在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O ′的直径，FB 是圆台的一条母线．

(Ⅰ)已知H G,分别为FB EC,的中点，求证：GH//平面ABC ；

(Ⅱ)已知BC =AB ,32=AC 2

1

=

FB =EF ，求二面角A -BC -F 的余弦值． 【解析】(Ⅰ)连结FC ，取FC 的中点M ，连结HM GM,， 因为GM//EF ，EF 在上底面内，GM 不在上底面内， 所以GM//上底面，所以GM//平面ABC ； 又因为MH//BC ，?BC 平面ABC ，

?MH 平面ABC ，

B

所以MH//平面ABC ； 所以平面GHM//平面ABC ，

由?GH 平面GHM ，所以GH//平面ABC ． (Ⅱ) 连结OB ，

BC AB = OB A ⊥∴O

以为O 原点，分别以O O OB,OA,'为z y,x,轴， 建立空间直角坐标系．

BC AB ,32AC 2

1

FB EF ==== ，

3)(22=--='FO BO BF O O ，

于是有)0,0,3A(2，)0,0,3C(-2，)0,3B(0,2，)3,3F(0,， 可得平面FBC 中的向量)3,(30,-BF =，)0,,(3232CB =, 于是得平面FBC 的一个法向量为)1,3,3(1-=n ， 又平面ABC 的一个法向量为)1,0,0(2=n ， 设二面角A -BC -F 为θ，

则77

7

1cos ==

=

θ． 二面角A -BC -F 的余弦值为7

7

． （18）（本小题满分12分）

已知数列{}n a 的前n 项和n n S n 832+=，{}n b 是等差数列，且1++=n n n b b a ． (Ⅰ)求数列{}n b 的通项公式；

(Ⅱ)令n

n n n n b a c )

2()1(1++=+．求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【解析】(Ⅰ)因为数列{}n a 的前n 项和n n S n 832

+=，

所以111=a ，当2≥n 时，

56)1(8)1(383221+=----+=-=-n n n n n S S a n n n ，

又56+=n a n 对1=n 也成立，所以56+=n a n ．

又因为{}n b 是等差数列，设公差为d ，则d b b b a n n n n +=+=+21． 当1=n 时，d b -=1121；当2=n 时，d b -=1722， 解得3=d ，所以数列{}n b 的通项公式为132

+=-=

n d

a b n n ． (Ⅱ)由1

112)33()

33()66()2()1(+++?+=++=++=n n

n n n n n n n n n b a c ， 于是14322)33(2122926+?+++?+?+?=n n n T ， 两边同乘以２，得

21432)33(2)3(29262++?++?++?+?=n n n n n T ，

两式相减，得

214322)33(23232326++?+-?++?+?+?=-n n n n T

222

2)33(2

1)21(2323+?+---?+?=n n n

222232)33()21(2312++?=?++-?+-=n n n n n n T ．

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是

43

，乙每轮猜对的概率是3

2；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．假设“星队”参加两轮活动，求：

(Ⅰ) “星队”至少猜对3个成语的概率；

(Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的分布列和数学期望EX ．

【解析】(Ⅰ) “至少猜对3个成语”包括“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”． 设“至少猜对3个成语”为事件A ；

“恰好猜对3个成语”和“猜对4个成语”分别为事件C B ,，

则12

53232414331324343)(121

2=????+????

=C C B P ； 4

132324343)(=???=

C P ． 所以3

241125)()()(=+=

+=C P B P A P ． (Ⅱ) “星队”两轮得分之和X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,6 于是144

131413141)0(=???=

=X P ； 725144103143314131413241)1(1212==???+???==C C X P ；

14425313243413131434332324141)2(12=???+???+???=

=C X P ； 12

1

1441231413243)3(1

2

==???==C X P ； 12

514460)31433241(3243)4(1

2

==?+???==C X P ； 4

11443632433243)6(==???=

=X P ； X 的分布列为：

X 的数学期望6

2314455264141253121214425172501441==?+?+?+?+?+?=

EX ．

（20）（本小题满分13分） 已知.,1

2)ln ()(2R a x

x x x a x f ∈-+

-=

(Ⅰ) 讨论)(x f 的单调性；

(Ⅱ) 当1=a 时，证明23

)()(+

'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立． 【解析】(Ⅰ) 求导数3

2

2)1

1(=)(′

x x x

a x f －－－ 3

22)(1(=x ax x )－－

当0≤a 时，(0,1)∈x ，0>)(′

x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈+∞x ，0<)(′x f ，)(x f 单调递减；

当0>a 时，3

3

22

+(2)(1(=2)(1(=)(′

x a

x a x x a x ax x x f ))－

－)

－－

（1） 当＜２＜a 0时，

1>2

a

， (0,1)∈x 或),(

∈+∞2

a

x ，0>)(′

x f ，)(x f 单调递增， )(1,∈a

x 2

，0<)(′

x f ，)(x f 单调递减； (2) 当２=a 时，

1=2

a

， )(0,

∈+∞x ，0≥)(′x f ，)(x f 单调递增， (3) 当２>a 时，1<2

<0a

，

)(0,

∈a

x 2

或∞)(1,∈+x ，0>)(′

x f ，)(x f 单调递增， ,1)(

∈a

x 2

，0<)(′

x f ，)(x f 单调递减； (Ⅱ) 当1=a 时，2

1

2+

ln =)(x x x x x f －－，

323

22

+11=2)(1(=)(′x x x x x x x f 2－－)－－

于是)2

+1112+ln =)(′

)(322x

x x x x x x x f x f 2－－－(－－－， －1－1－322+3+

ln =x

x x x x ，]2,1[∈x

令x x x ln =)g(－ ，322

+3+=)h(x

x x x －1－1，]2,1[∈x ，

于是)(+(g =)(′

)(x h x x f x f ）－， 0≥1

=1=)(g ′x

x x x －1－，)g(x 的最小值为1=g(1)；

又4

2432+=+=)(h ′x x x x x x x 6

－2－362－3－

设6+23=)(θ2

x x x －－，]2,1[∈x ，因为1=)1(θ，10=)2(θ－

， 所以必有]2,1[0∈x ，使得0=)(θ0x ，且

0<<1x x 时，0>)(θx ，)(x h 单调递增； 2<<0x x 时，0<)(θx ，)(x h 单调递减；

又1=)1(h ，21=)2(h ，所以)(x h 的最小值为21

=)2(h ．

所以2

3=21+1=)2(+1(g >)(+(g =)(′

)(h x h x x f x f ））－． 即2

3

)()(+'>x f x f 对于任意的]2,1[∈x 成立．

（21）（本小题满分14分）

平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0>>(1=+:2222b a b y a x C 的离心率是2

3

，抛物线

y x E 2=:2的焦点F 是C 的一个顶点．

(Ⅰ) 求椭圆C 的方程；

(Ⅱ) 设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交于不同的两点

B A ,，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M ．

（i ）求证：点M 在定直线上；

（ii ）直线l 与y 轴交于点G ,记PFG ?的面积为1S ，PDM ?的面积为2S ，求2

1

S S 的最大值及取得最大值时点P 的坐标． 【解析】(Ⅰ) 由离心率是

2

3，有2

24=b a ， 又抛物线y x 2=2

的焦点坐标为)2

1,0(F ，所以2

1

=

b ，于是1=a ， 所以椭圆C 的方程为1=4+2

2y x ．

(Ⅱ) （i ）设P 点坐标为)0>(),2

m m,P 2

m （， 由y x 2=2

得x y =′

，所以E 在点P 处的切线l 的斜率为m ， 因此切线l 的方程为2

=2

m m x －y ，

设),(),,(2211y x B y x A ，),(00y x D ，

将2

=2m m x －y 代入1=4+2

2y x ，得

0=1+4)4+12322－m x m －x m （．

于是2

3

214+14=+m m x x ，232104+12=2+=m m x x x ， 又)

4+1(2=2=22

200m －m m －mx y ，

于是 直线OD 的方程为x m

－

y 41

=． 联立方程x m －

y 41

=与m x =，得M 的坐标为)4

1M(m,－．

所以点M 在定直线4

1

=y －

上． （ii ）在切线l 的方程为2=2

m m x －y 中，令0=x ，得2

m =y 2－，

即点G 的坐标为)2m G(0,－

2，又)2

m P(m,2

，)21F(0,， 所以4

)

1+(=×21=S 21m m GF m ；

再由)1)+2(4m －m ,1+4m 2m D(

22

23，得 )1+4(8)1+2(=1+4+2×41+2×21=S 22

22322m m m m m m m

于是有 2

22221)1+2()1+)(1+4(2=

S S m m m ． 令1+2=2

m t ，得22

2111+2=)1+)(21

(2=S S t －t t t t － 当21=

1

t

时，即2=t 时，2

1S S 取得最大值49

． 此时21=

2

m ，22=m ，所以P 点的坐标为)4

1

,22P(． 所以2

1S S 的最大值为49，取得最大值时点P 的坐标为)41,22P(．