2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(一试)(word版)

2016年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）

参考答案及评分标准

说明：

1. 评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．

2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次给分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分一个档次，不要增加其他中间档次．

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分

1．设实数a 满足||1193a a a a <-<，则a 的取值范围是 答案：)3

10,332(--∈a 解：由||a a <可得0

1||11913-=>->a

a a a a 即111912<-<-a ，所以)34,910(2∈a ．又0

10,332(--∈a ． 2．设复数w z ,满足3||=z ，i w z w z 47))((+=-+，其中i 是虚数单位，

w z ,分别表示w z ,的共轭复数，则)2)(2(w z w z -+的模为 答案：65 解：由运算性质，)(||||))((4722zw zw w z w z w z i ---=-+=+，因为2||z 与2||w 为实数，0)Re(=-zw zw ，故7||||22=-w z ，i zw zw 4-=-，又3||=z ，所以2||2=w ，从而

i i zw zw w z w z w z 81889)(2||4||)2)(2(22+=+-=---=-+ 因此，)2)(2(w z w z -+的模为65．

3．正实数w v u ,,均不等于1，若5log log =+w vw v u ，3log log =+v u w v ，则u w log 的值为

答案：5

4 解：令a v u =log ，b w v =log ，则

a u v 1log =，b

v w 1log =，ab a w v v vw v u u u +=?+=log log log log 条件化为5=++b ab a ，311=+b a ，由此可得4

5=ab ，因此 54log log log ==?=u v u v w w ． 4．袋子A 中装有2张10元纸币和3张1元纸币，袋子B 中装有4张5元纸币和3张1元纸币．现随机从两个袋子中各取出两张纸币，则A 中剩下的纸币面值之和大于B 中剩下的纸币面值之和的概率为 答案：35

9 解：一种取法符合要求，等价于从A 中取走的两张纸币的总面值a 小于从B 中取走的两张纸币的总面值b ，从而1055=+≤

法数为323=C ．又此时2=>a b ，即从B 中取走的两张纸币不能都是1元纸币，相应有182327=-C C 种取法．因此，所求的概率为35

92110541832725=?=??C C ． 5．设P 为一圆锥的顶点，A ，B ，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC ∠=90°，M 为AP 的中点．若AB =1，AC =2，2=

AP ，则二面角M —BC —A 的大小为 答案：3

2arctan

解：由ABC ∠=90°知，AC 为底面圆的直径．设底面中心为O ，则⊥

PO 平面ABC ，易知12

1==

AC AO ，进而122=-=AO AP PO ． 设H 为M 在底面上的射影，则H 为AO 的中点．在底面中作BC

HK ⊥于点K ，则由三垂线定理知BC MK ⊥，从而MKH ∠为二面角M —BC —A 的平面角． 因21=

=AH MH ，结合HK 与AB 平行知，43==AC HC AB HK ，即4

3=HK ，这样32tan ==∠HK MH MKH ．故二面角M —BC —A 的大小为3

2arctan ． 6．设函数10cos 10sin )(44kx kx x f +=，其中k 是一个正整数．若对任意实数a ，均有}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<，则k 的最小值为

答案：16 解：由条件知，10

cos 10sin 2)10cos 10(sin )(22222kx kx kx kx x f -+=

4352cos 415sin

12+=-=kx kx 其中当且仅当)(5Z m k

m x ∈=π时，)(x f 取到最大值．根据条件知，任意一个长为1的开区间)1,(+a a 至少包含一个最大值点，从而15

π，即π5>k ． 反之，当π5>k 时，任意一个开区间均包含)(x f 的一个完整周期，此时}|)({}1|)({R x x f a x a x f ∈=+<<成立．综上可知，正整数的最小值为161]5[=+π．

7．双曲线C 的方程为132

2

=-y x ，左、右焦点分别为1F 、2F ，过点2F 作直线与双曲线C 的右半支交于点P ，Q ，使得PQ F 1∠=90°，则PQ F 1?的内切圆半径是

答案：17-

解：由双曲线的性质知，

431221=+?=F F ，22121=-=-QF QF PF PF ．

因PQ F 1∠=90°，故2212221F F PF PF =+，因此

7

2242)()(222221222121=-?=--+=+PF PF PF PF PF PF 从而直角PQ F 1?的内切圆半径是

17)(2

1)(21)(21212111-=--+=-+=QF QF PF PF Q F PQ P F r 8．设4321,,,a a a a 是1，2，…，100中的4个互不相同的数，满足

2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++=++++

则这样的有序数组),,,(4321a a a a 的个数为

答案：40

解：由柯西不等式知，2433221242322232211)())((a a a a a a a a a a a a ++≥++++，等号成立的充分必要条件是4

33221a a a a a a ==，即4321,,,a a a a 成等比数列．于是问题等价于计算满足{1,2,3,},,,{4321?a a a a …,100}的等比数列4321,,,a a a a 的个数．设等比数列的公比1≠q ，且q 为有理数．记m

n q =，其中n m ,为互素的正整数，且n m ≠．

先考虑m n >的情况． 此时3

3

1314)(m n a m n a a ==，注意到33,n m 互素，故31m a l =为正整数． 相应地，4321,,,a a a a 分别等于l n l mn nl m l m 3223,,,，它们均为正整数．这表明，对任意给定的1>=

m n q ，满足条件并以q 为公比的等比数列4321,,,a a a a 的个数，即为满足不等式1003≤l n 的正整数l 的个数，即]100[3n

． 由于10053>，故仅需考虑3

4,4,23,3,2=q 这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312]64

100[]64100[]27100[]27100[]8100[=++++=++++． 当m n <时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比数列4321,,,a a a a ．

综上可知，共有40个满足条件的有序数组),,,(4321a a a a ．

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）在ABC ?中，已知CB CA BC BA AC AB ?=?+?32．求C sin 的最大值． 解：由数量积的定义及余弦定理知，2

cos 2

22a c b A cb -+==?． 同理得，2222b c a -+=?，2

2

22c b a -+=?．故已知条件化为 )(3)(2222222222c b a b c a a c b -+=-++-+

即2

2232c b a =+．………………………………8分

由余弦定理及基本不等式，得 ab

b a b a ab

c b a C 2)2(312cos 2222222+-+=-+= 3

263263=?≥+=a b b a a b b a 所以3

7cos 1sin 2≤-=C C ．………………………………12分

等号成立当且仅当5:6:3::=c b a ．因此C sin 的最大值是

3

7．……………16分 10．（本题满分20分）已知)(x f 是R 上的奇函数，1)1(=f ，且对任意0

)()1

(

x xf x x f =-． 求+++)981()31()991()21()1001()1(f f f f f f …)51

1()501(f f +的值． 解：设n n

f a n )(1(==1，2，3，…），则1)1(1==f a ． 在)()1(x xf x x f =-中取*)(1N k k x ∈-=，注意到11111+=---=-k k k x x ，及)(x f 为奇函数．可知

)1(1)1(1)11(k

f k k f k k f =--=+……………………5分 即k a a k k 11=+，从而)!1(11111111-==?=∏∏-=-=+n k

a a a a n k n k k k n ．……………………10分 因此

∑∑∑===--?=--=49050

1501101)!99(!1)!100()!1(1i i i i i i i i i a

a !992221!991)(!991!99198

99490

99999949099=??=+==∑∑=-=i i i i i C C C ……………………20分

11．（本题满分20分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，F 是x 轴正半轴上的一个动点．以F 为焦点，O 为顶点作抛物线C ．设P 是第一象限内C 上的一点，Q 是x 轴负半轴上一点，使得PQ 为C 的切线，且｜PQ ｜=2.圆21,C C 均与直线OP

相切于点P ，且均与轴相切．求点F 的坐标，使圆1C 与2

C 的面积之和取到最小值．

解：设抛物线C 的方程是)0(22

>=p px y ，点Q 的坐

标为)0)(0,(>-a a ，并设21,C C 的圆心分别为),(),,(222111y x O y x O ．

设直线PQ 的方程为)0(>-=m a my x ，将其与C 的方程联立，消去x 可知0222=+-pa pmy y ．

因为PQ 与C 相切于点P ，所以上述方程的判别式为024422=?-=?pa m p ，解得p

a m 2=．进而可知，点P 的坐标为)2,(),(pa a y x P P =．于是 )2(2221|0|1||2a p a pa p a y m PQ P +=?+

=-+=． 由｜PQ ｜=2可得

4242=+pa a ①……………………5分

注意到OP 与圆21,C C 相切于点P ，所以21O O OP ⊥．设

圆21,C C 与x 轴分别相切于点M ，N ，则21,OO OO 分别是

PON POM ∠∠,的平分线，故21OO O ∠=90°．从而由射

影定理知

pa a y x OP P O P O N O M O y y P P 22222212121+=+==?=?=

结合①，就有2

221342a pa a y y -=+= ②……………………10分 由21,,O P O 共线，可得 2

12121212

122y y N O M O PO P O y y y y y pa pa

y P P ===--=--． 化简得 212122y y pa y y =

+ ③……………………15分 令2221y y T +=，则圆21,C C 的面积之和为T π．根据题意，仅需考虑T 取到最小值的情况． 根据②、③可知，

212221212212242)(y y y y pa

y y y y T -=-+= 2

2222221)2)(34()34(2)34(444a a a a a a ---=----=．

作代换21a t -=，由于024442>=-=pa a t ，所以0>t ．于是

4324132413)1)(13(+=+?≥++=++=t

t t t t t t T ． 上式等号成立当且仅当33=

t ，此时3111-=-=t a ，因此结合①得， 33133331

1122

-=-=-=-=t t a a p

从而F 的坐标为)0,3

31()0,2(

-=p ．………………………20分