江苏高考数学总复习--集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语

知识网络

考纲要求

其中A（了解）：要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题.B（理解）：要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题.C（掌握）：要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

复习策略

在近几年的江苏高考中，集合知识主要考查集合与集合之间的运算，考查中常与其他知识相结合，比如不等式、方程以及函数的性质.逻辑知识重点考查充要条件，考查方式都是出现在解答题的证明或求解的语言叙述中，简单逻辑联结词、命题和新增加的量词近几年没有

在小题中出现，它们只是以语言叙述的方式出现在题目中，说明这些了解性知识只是考查其最基本的含义.

从上述考纲要求及分析可知，集合每年都以小题形式考查，涉及集合关系和运算，常与其他知识交汇，要学会化简、转化集合.对于充要条件,要理解其概念，要会从“充分”和“必要”两个方面判断.其他知识只要求了解其含义，会处理最基本的问题，无需提高要求.

第1课 集合的概念与运算

课前热身

激活思维

1．用“∈”或“?”填空：

3.14___________ Q ；π___________ R ；0___________ N ；-1____________{-2，0}；1.5___________{x |-2

?, ?

2．（2010·南京市学情分析）设集合A ={x |x ≤1|},B ={x |x ≥-2}，则A ∩B =___________. [答案]: {x |－2≤x ≤1-}

3．（2009·全国卷Ⅱ文）已知全集U ={1，2，3，4，5，6，7，8}，M ={1，3，5，7}，N ={5，6，7}，则()U M N e=___________.

[答案]: {2，4，8} [解析]M N ={1,3,5,6,7}.

4.（2009·浙江卷理改编）设U =R ，A ={x |x >0}，B ={x |x >1}，则()U A B e=___________.

[答案]: {x |0

[解析]因为eU B =

{}1x x ≤,所以A (eU B )=

{}01.x x <≤

5．（2009·上海卷理）已知集合A ={x |x ≤1}，B ={x |x ≥a }，且A ∪B =R ，则实数a 的取值范围是___________. [答案] (-≦,1］

[解析]因为A B =R ,画数轴可知,实数a 必须在点1上或在1的左边,所以,a 1≤.

知识梳理

1．集合的概念

(1) 集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.

(2) 集合的表示法：列举法、描述法、Venn 图法等.

(3) 集合按所含元素个数可分为:有限集、无限集；按元素特征可分为：数集、点集.

(4) 常用数集符号：N 表示自然数集；N *或N +表示正整数集；Z 表示整数集；Q 表示有理数集；R 表示实数集. 2. 两类关系

（1） 元素与集合的关系，用∈或()?∈或

表示.

（2） 集合与集合的关系，用?，或=表示.当A B ?时，称A 是B 的子集；当A

B 子时，称A 是B 的真子集；当A =B 时，称A

是与B 相等的集合，两集合的元素完全相同.

3． 集合的运算

(1) 全集：如果集合S 含有我们所研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U 来表示.一切所研究的集合都是这个集合的子集.

（2） 交集：由属于A 且属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A ∩B ，即A ∩B ={}x x A x B ∈∈且.

(3) 并集：由属于A 或属于B 的所有元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B =

{}x x A x B ∈∈或.

(4) 补集：集合A 是集合S 的一个子集，由S 中所有不属于A 的元素组成的集合叫做A 的补集（或余集），记作A S e，即

A S e={},x x S x A ∈?但.

4． 常见结论与等价关系

(1) 若集合A 中有n （n ∈N +）个元素，则A 的子集有2n 个，真子集有2n-1个，非空真子集有2n -2个. (2) A ∩B =A A B ??;A ∪B =A A B ??.

(3)

eU (A ∩B )=()()U U A B 痧，eU (A ∩B )=()()U U A B 痧.

课堂导学

知识点1 集合中元素的性质

【例1】设a ，b ∈R ，集合{1,a +b ,a }=0,

,b b a ??

???

?，求b -a . ［思维引导］ 本题通过集合相等，考查集合中元素的关系.由于集合中元素性质的无序性,必须分别对应讨论，但从特殊观察上要能抓住关键的元素0进行分析. ［解答］∵a ≠0,∴a +b =0.∴b

a

=-1. ∴a =-1,b =1.∴b -a =2.

［精要点评］本题利用集合元素的互异性与无序性，先找到特殊的元素0及a 处于分母位置作为突破口，从而逐个求出a ,b .因此，我们在处理问题时要注意观察题目的特点. 集合之间的关系2 知识点2 集合之间的关系

【例2】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1

，求m 的取值范围.

［思维引导］本题考查集合之间的关系，所给集合是用不等式表示的关于集合的包含关系，从而得知集合之间的元素关系，然后利用数轴来处理.

［解答］∵B ?A ，且B ≠?，

∴(]12,217,24,2,4.121,m m m m m m +≥-??

-≤<≤∈??+<-?

得即 ［精要点评］学会利用数轴来处理有关不等式表示的集合关系问题，要注意端点是否取到.

【变式拓展】已知集合A ={x |－2≤x ≤7}，B ={x |m +1

（1） 若B=?，则m+1≥2m-1，即m ≤2；

（2） 若B ≠?，则12217,2 4.121,m m m m m +≥-??

-≤<≤??+<-?

得

综上所述,(],4.m ∈

-∞.

知识点3 集合的运算

【例3】已知全集U ={x |-1≤x ≤4}，A ={x |x 2-1≤0}，B ={x |0

［思维引导］本题主要考查集合的各种运算，首先要把集合A 化成最简单的集合形式，由于都是不等式形式，所以我们可以用数轴的方式进行处理，要注意端点的取舍.

［解答］∵A ＝{x |x 2

-1≤0}={ x |-1≤x ≤1}， ∴A ∩B={x |0

U A e={x |1

∴

()U

B e A ={x |-1≤x ≤0}.

［精要点评］对集合进行运算，首先要化简集合，再根据集合的类型选择数轴，或韦恩图，或转化为函数来处理.

【变式拓展】（2009·苏、锡、常、镇二模）已知集合A ={x |x 2-2x -3≤0,x ∈R }，

B ={x |x 2-2mx +m 2-4≤0,x ∈R ,m ∈R }．

(1) 若A ∩B =[0,3]，求实数m 的值； (2) 若R A B ?e，求实数m 的取值范围．

［解答］由已知得：A ={x |-1≤x ≤3}，B={x |m-2≤x ≤m+2}． (1) ∵A ∩B=［0,3］，

∴20,23,m m -=??

+≥?∴2,

2.1,m m =?=?

≥?

即m (2) R B e={x |x m +2}．

∴

R A B ?e,∴m -2>3或m +2<-1.

∴m >5或m <-3,即∈

(),3-∞-()5,.+∞

【备讲例题】设A ={x |x 2

+4x =0}，B={x |x 2

-ax -6a <0}.若A ∩B=A ，求a 的取值范围.

［解答］由A ∩B =A ，知A ?B . 而A ={0,-4}，令f （x ）=x 2

-a x -6a , 得()(0)60,

8,8,.(4)16460,

f a a f a a =-∈+∞?

-=+-

规范答题赏析（2009·淄博一模）（本小题满分12分）

已知集合A ={x ||x -2|≤a }，B ={x |x 2-5x +4≥0}.若A ∩B =?，求实数a 的取范围.

［规范解答］① 当a <0时，A =?，显然A ∩B =?成立.………………………………2分 ② 当a ≥0时，A ≠?.A ={x |2-a ≤x ≤2+a },……………………………………………4分

B ={x |x ≤1或x ≥4},……………………………………………………………………………6分

由A ∩B =?，得21,

24,0,a a a ->??

+

……………………………………………………………10分

解得0≤a <1.…………………………………………………………………………………11分 综上所述，a 的取值范围为（-∞，1）. …………………………………………………12分

［要点反思］ (1) 空集是一种不含任何元素的特殊集合，在解题中很容易被忽视，应引起足够的重视.

(2) 分类讨论是一种重要的数学思想，它是思维是否严谨的重要体现.在分类讨论的过程中，要从简单的讨论着手，并注意讨论的完整性，最后更不要忘记总结结论.

总结规律

1．准确把握集合的有关概念与关系，能熟练地将集合语言、数学语言和图形语言进行转化.在分类讨论时要注意空集的情况，以及在集合关系转化时要特别注意端点.

2. 解决集合问题时，一般经历化简、找关系、列式子、解答四个过程，主要思想方法是数形结合思想（利用数轴和韦恩图）、转化思

想（转化集合的表达形式或化简问题）和分类讨论思想（把问题分成几个层次来处理）.

3. 高考考查本课内容时，往往会涉及其他章节的内容,因此，我们在处理问题时,一定要及时提取其他章节处理问题的方法. 温馨提醒

本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第1课时.

第2课四种命题与充要条件

课前热身

激活思维

1．(2009·淮安调研)已知集合A={3，m2},B={-1,3,2m-1}.若A B，则实数m的值为___________.

[答案]1

[解析]由m2=2m-1,得m=1.经验证,满足互异性.

2．(2009·重庆卷文)命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是“___________”.

[答案]若一个数的平方是正数，则它是负数

[解析]因为一个命题的逆命题是将原命题怕条件与结论进行交换,所以逆命题为“若一个数的平方是正数，则它是负数”.

3．命题“若a>1,则a2>1”的逆否命题是“___________”.

[答案]若a2≤1,则a≤1

[解析]因为一全命题的逆命题是将原命题的条件与结论进行交换并否定，所以其逆命题为“若a2≤1,则a≤1”

4．(2009·天津卷文改编)设x∈R,则“x=1”是“x3=x”的___________条件.

[答案]充分不必要

[解析]因为x3=x,解得x=0,1或-1.显然条件表示的集合小，结论表示的集合大，所以由集合的包含关系，我们不难得出结论. 5．(2009·安徽卷文)“a+c>b+d”是“a>b且c>d”的___________条件.

[答案]必要不充分

[解析]当a>b且c>d时，必有a+c>b+d；当a+c>b+d时，可能有a>d且c>b.故填“必要不充分”

知识梳理

1． 记“若p 则q ”为原命题，则否命题为“若非p 则非q ”，逆命题为“若q 则p ”，逆否命题为“若非q 则非p ”.其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价.因此，四种命题为真的个数只能是偶数个.

2． 对命题“若p 则q ”而言，当它是真命题时，即p ?q ，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；当它是假命题时，即p

q ，p 是

q 的非充分条件，q 是p 的非必要条件.

3． ① 若p ?q ，但q

p ，则p 是q 的充分不必要条件；② 若p

q ，但q ?p ，则p 是q 的必要不充分条件；③ 若p ?q ，

且q ?p ，即p ?q ，则p 是q 的充分必要条件；④ 若p

q ，且q

p ，则p 是q 的即不充分也不必要条件.

4． 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的充分性)，又要证明它的逆命题成立(即条件的必要性).

课堂导学

知识点1 四种命题及其关系

【例１】 写出“若x =3且y =2，则x +y =5”的逆命题、否命题和逆否命题. [思维引导]本题考查四种命题之间的转换，抓住条件与结论时行改写.

[解答]逆命题:“若x +y =5，则x =3且y =2”;否命题:“若x ≠3或y ≠2，则x +y ≠5”;逆否命题:“若x +y ≠5，则x ≠3或y ≠2”. [精要点评]四种命题的转换，要抓住“若p ,则q ”的结构时行转换，先写成“若q ,则p ”，其次要注意常见的否定转换. 【变式拓展】写出“有一组对边平行且相等的四边形是菱形”的逆命题、否命题和逆否命题. [解答]将原命题改写成“若一个四边形有一组对边平行且相等，则这个四边形是菱形”. 逆命题:“若一个四边形是菱形，则这个四边形有一组对边平行且相等”； 否命题:“若一个四边形有一组对边不平行或不相等，则这个四边形不是菱形”； 逆否命题:“若一个四边形不是菱形，则这个四边形有一组对边不平行或不相等”. 【备讲例题】写出“若x 2<1,则-1

［解答］逆命题:“若-1

【例2】已知20,:100x p x x ?+≥???

???-≤??

??

,q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}. (1) 若m =1,则p 是q 的什么条件?

(2) 若p 是q 的充分不必要条件，求实数m 的取值范围.

［思维引导］问题(1)考查充要条件的判定,我们需要从“充分”和“必要”两个方面考查,并且用集合方法处理；问题（2）考查充要条件的应用,根据“若p 是q 的充分不必要条件”,得出所对应集合的关系,从而求出实数m 的取值范围.

[解答］(1) 因为{20,:210},100x p x

x x x ?+≥???

=-≤≤???-≤??

??

q :{x |1-m ≤x ≤1+m ,m ＞0}={x |0≤x ≤2},

显然{x |0≤x ≤2}{x |-2≤x ≤10}， 所以p 是q 的必要不充分条件. (2) 由(1)知,p:{x |-2≤x ≤10}. 因为p 是q 的充分不必要条件,

所以01211012110m m m m m >??-≤-??+≥??-=-+=?与不同时相等,

解得m ≥9，即m [)9,.∈

+∞

［精要点评］处理充要性问题，要先化简，再把充要性转化为集合的包含关系，然后再列关系式解之.

【变式拓展】 把(2)中“若p 是q 的充分不必要条件”改为“若p ?是q ?的必要不充分条件”，求m 的取值范围. ［解答一］直接法求出p ?={x |x >10或x <-2}，q ?={x |x >m+1或x <1-m}.由“?p 是q ?的必要不充分条件”，

01211012x m m m >??-≤-?

?

+≥??-=-?得与1+m=10不同时相等

解得m ≥9，即[)9,.∈

+∞

［解答二］先根据互为逆否命题同真假把“若p ?是q ?的必要不充分条件”转化为“若p 是q 的充分不必要条件”，再用上面的过程解答.

【备讲例题】在△A BC 中,“∠A =∠B ”是“cos A =cosB ”的什么条件? ［解答］∠A =∠B ?cos A =cosB,反之也成立,所以是充要条件. 知识点3 充要条件的证明

【例3】 已知函数f (x )是R 上的增函数，a ，b ∈R ,求证：f (a )+f (b)≥f (-a )+f (-b )的充要条件是a +b ≥0. ［思维引导］本题考查充要条件的证明，涉及到函数的单调性，对充分性与必要性的证明要灵活变化命题. ［解答］(1) 充分性，即已知a +b ≥0，求证:f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）. ∵a +b ≥0, ∴a ≥-b ,b ≥-a .

∴f （a ）≥f （-b ）,f （b ）≥f （-a ）. ∴f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）.

（2） 必要性，即已知f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ），求证:a +b ≥0. 由于直接证明比较困难，所以可以用反证法. 假设a +b <0, ∴a <-b ,b <-a .

∴f （a ）

综合（1）（2），可得f （a ）+f （b ）≥f （-a ）+f （-b ）的充要条件是a +b ≥0.

［精要点评］充要条件的证明需要注意三个方面:（1） 从两个方面来证明，即充分性和必要性;（2） 注意充分、必要的方向;（3） 当直接解答较困难时，可以考虑命题的转化和反证法.

规范答题赏析 (2008·江苏卷)(本小题满分12分)

若f 1(x )=1

3

x p -，f 2（x ）=2·2

3

x p -，x ∈R ,p 1,p 2为常数，且

112212

(),()(),()(),()().f x f x f x f x f x f x f x ≤?=?>?

（1） 求f （x ）=f 1（x ）对所有实数成立的充要条件（用p 1,p 2表示）；（2） 略. ［规范解答］ （1） f （x ）=f 1（x ）恒成立?f 1(x )≤f 2(x )

?1

3

x p -≤2·2

3

x p -?12

3

x p x p ---≤3log 2

3

………………………………………………2分

?|x -p 1|-|x -p 2|≤log 32.………………………………………………………………………3分

因为|x -p 1|-|x -p 2|≤|（x -p 1）-（x -p 2）|=|p 1-p 2|,所以，只需| p 1-p 2|≤log 32恒成立.………5分 综上所述，f （x ）=f 1(x )对所有实数成立的充要条件是| p 1-p 2|≤log 32.…………………6分 (2)略.

［要点反思］ 求充要条件即是求其等价条件，注意等价转化.

总结规律

(1) 写一个命题的其他三个命题时,首先要注意转化为标准的“若p 则q ”的结构，再进行转换;其次要注意否定中的“或”与“且”的转化. (2) 在判断充分条件及必要条件时，首先要分清哪个命题是条件，哪个命题是结论;其次，要从两个方面即“充分”与“必要”分别考查.判定时，对于有关范围的问题可以从集合观点看，如p ,q 对应的范围为集合A ，B ，若A ?B ，则A 是B 的充分条件，B 是A 的必要条件；若A =B ，则A 、B 互为充要条件.

(3) 充要条件的证明要注意从两个方面来证明，即充分性和必要性.如果是证不必要，或是不充分，只需要举出特殊例子否定即可. 温馨提醒

本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第2课时.

第3课 简单的逻辑联结词、全称量词和存在量词

课前热身

激活思维

1． 已知命题p :a ∈M ={x |x 2-x <0}；命题q :a ∈N ={x ||x |<2},则p 是q 的___________条件． ［答案］充分不必要

［解析］a ∈M ={x |x 2

-x <0}={x |0

2． (2009·天津卷理改编)命题“0x ?∈R ,使2x 0≤0”的否定是___________. ［答案］?x ∈R ，2x >0

3． 下列是全称命题的有___________.

① 末位是0的整数，可以被2整除；② 有些三角形不是等腰三角形； ③ 正四面体中两侧面的夹角相等；④ 有的菱形是正方形. ［答案］①③

4． 若命题“p ?或q ?”是假命题，则下列各结论中正确的是___________. ① 命题“p 且q ”是真命题；② 命题“p 且q ”是假命题； ③ 命题“p 或q ”是真命题；④ 命题“p 或q ”是假命题. ［答案］①③

［解析］命题“?p 或?q ”是假命题，则?p 、?q 都是假命题，所以p 、q 都是真命题，所以“p 且q ”是真命题，“p 或q ”也是真命题.

5． (2009·金陵中学三模）若“x ∈[2,5]或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，则x 的取值范围是___________． ［答案］［1,2)

［解析］x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}={x |x ≥2或x <1},而“x ∈［2,5］或x ∈{x |x <1或x >4}”是假命题，所以x 的取值范围是［1,2). 知识梳理

1. 全称量词

我们把表示全体的量词称为全称量词.

对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“?”表示. 含有全称量词的命题，叫做全称命题.如“对任意实数x ∈M ,都有p （x ）成立”简记成“,

()x M p x ?∈”.

2. 存在量词

我们把表示部分的量词称为存在量词.

对应日常语言中的“存在一个”“至少有一个”“有个”“某个”“有些”“有的”等词，用符号“?”表示. 含有存在量词的命题，叫做存在性命题.“存在实数x 0∈M ，使p （x 0）成立”简记成“00,()x M p x ?∈”.

3． 简单逻辑联结词有或（符号为∨），且（符号为∧），非（符号为?）. 4． 命题的否定：“,

()x M p x ?∈”与“,()x M p x ?∈?”互否定.

5. 复合命题的真假：对p 且q 而言，当q 、p 均为真时，其为真；当p 、q 中有一个为假时，其为假.对p 或q 而言，当p 、q 均为假

时，其为假；当p 、q 中有一个为真时，其为真；当p 为真时,p ?为假；当p 为假时,

p ?为真.

6． 常见词语的否定如下表所示：

课堂导学

知识点1 含逻辑联结词命题的判定

【例1】已知命题p :对任意实数a ，都有|a |>0;命题q:存在数列{a n }既是等差数列，又是等比数列.试判定“p 或q ”“p 且q ”“p ?”“p ?”的真假.

［思维引导］本题考查复合命题的真假，对于复合命题的真假判定，首先要判定每一个命题的真假，再根据真值表判定复合命题的真假. ［解答］由于当a =0时，命题“对任意实数a ，有|a |>0”是假命题，所以命题p 是假命题.因为数列a n =1既是等差数列，又是等比数列，所以命题q 是真命题.所以“p 或q ”为真命题、“p 且q ”为假命题、“?p ”为真命题、“?q ”为假命题.

［精要点评］判断命题的真假要注意：全称命题为真要证明，为假时要举反例；存在性命题为真时要举一个例子，为假要证明全称为假.

【变式拓展】写出由下述各命题构成的“p 或q ”“p 且q ”“非p ”形式的复合命题，并指出所构成的这些复合命题的真假. (1) p ：连续的三个整数的乘积能被2整除，q ：连续的三个整数的乘积能被3整除. (2) p ：对角线互相垂直的四边形是菱形，q ：对角线互相平分的四边形是菱形. ［解答］（1）p 或q ：连续的三个整数的乘积能被2或3整除; p 且q ：连续的三个整数的乘积能被2和3整除;

?p ：连续的三个整数的乘积不能被2整除.

∵连续的三个整数中有一个（或两个）是偶数，且有一个是3的倍数， ∴p 真，q 真.

∴“p 或q ”与“p 且q ”均为真，而“?p ”为假.

（2） 根据真值表，只能用逻辑联结词联结两个命题，不能写成简单形式. p 或q ：对角线互相垂直的四边形是菱形或对角线互相平分的四边形是菱形; p 且q ：对角线互相垂直的四边形是菱形且对角线互相平分的四边形是菱形;

?p ：对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.

∵p 假,q 假，∴“p 或q ”与“p 且q ”均为假，而“?p ”为真. 【备讲例题】（2009·辽宁卷文改编）有下列4个命题:

（1） p 1

:?x ∈（0,+∞）,11;23x x

????< ? ?????

（2） p 2: ?x ∈（0,1）,12log x >13

log x ;

(3) p 3

:? x ∈（0,+∞）,12

1log 2x

x ??

> ???;

(4) p 4

: ?x ∈0,13, 13

1log 3x

x ??

> ???.

其中，真命题有_________. ［答案］(2)(4)

知识点2 含量词的命题的否定

【例2】 写出下列命题的否定形式，并判定其真假. （1） p :不论m 取何实数，方程x 2+x -m =0必有实数根； （2） q :存在一个实数x ，使得x 2+x +1≤0； （3） r :等圆的面积相等，周长相等； （4） s :对任意角α，都有sin 2α+cos 2α=1.

［思维引导］ 本题考查命题的否定形式，要分析其是全称命题还是存在性命题，要抓住本质，然后根据其否定形式来判断其真假. ［解答］（1） 否定为“?m ∈R ，使方程x 2

+x -m =0没有实数根”，由于Δ=1+4m <0有解，所以 ?p 为真；

（2） 否定为“?x ∈R ，有x 2

+x +1>0”，由于x 2

+x +1=2

13024x ?

?++> ??

?，所以?q 为真；

（3） 否定为“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识得知，?r 为假； （4） 否定为“?α∈R ，使sin 2

α+cos 2

α≠1”，由三角知识，显然错误，所以?s 为假.

［精要点评］要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题，还是存在性命题，注意与否命题区别.对于真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定. 知识点3 命题的真假问题

【例3】 已知命题p :方程x 2+mx +1=0有两个不相等的负数根；命题q :方程4x 2+4(m -2)x +1=0无实根．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．

［解答］240,

: 2.0,

m p m m ??=->∴>?

-

-16=16（m 2

-4m +3）<0，∴1

∴21m m >??≤≥?

或1

故m ≥3或1

【变式拓展】（2009·通州一模）若命题“?x∈[1,2],使x2+2x+a≥0”是真命题，求实数a的取值范围. ［解答］令f（x）=x2+2x+a.

先求其否定命题：?x∈［1,2］,有x2+2x+a<0.

即

(1)0,3,

8.

(2)08

f a

a

f a

<<-

??

??<-??

<<-

??

所以，所求实数a的取值范围为［-8，+∞）.

【备讲例题】若命题“?a∈［1,3］,使a x2+(a-2)x-2>0”是真命题，求实数x的取值范围. ［解答］令f(a)=a x2+(a-2)x-2=(x2+x)a-2x-2.

先求其否定命题：?a∈［1,3］,有(x2+x)a-2x-2≤0，

即

12,

(1)0,2

1.

2

(3)03

1

3

x

f

x

f x

-≤≤

?

≤

??

??-≤≤

??

≤-≤≤

??

?

所以，所求实数x的取值范围为（-∞,-1）

2

,

3

??

+∞

?

??

总结规律

1. 判断一个命题是全称命题还是存在性命题时，要抓住其本质含义是全部还是部分，一般我们学过的定理都是全称命题.

2．要写一个命题的否定，得先分清其是全称命题还是存在性命题，对照否定结构去写，并注意与否命题区别；对于命题否定的真假，可以直接判定，也可以先判定原命题，再判定其否定.判断命题的真假要注意：全称命题为真需证明，为假举反例即可；存在性命题为真需举一个例子，为假则要证明全称为假.

3．要把握命题的形成、相互转化，会根据复合命题，或命题的否定来判断简单命题的真假.

4．简易逻辑联结词内容的考查注重基础、注重交汇，较多地考查简易逻辑与其他知识的综合问题，要注意其他知识的提取与应用，一般先化简转化命题，再处理关系.

温馨提醒

本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第3课时.

第4课性集合与常用逻辑用语的综合应用

课前热身

激活思维

1．(2009·广州二模)命题“?x∈R，x2-2x+1<0”的否定是___________.

［答案］?x ∈R ，x 2

-2x +1≥0

2． 已知如图，其中A ，B 为全集U 的子集，则图中阴影部分表示的集合（用含有A 、B 、U 的式子表示）为___________.

［答案］U e（A ∪B ）或U U

A B

痧

3． (2009·浙江卷文)“x >0”是“x ≠0”的___________. ［答案］充分而不必要条件

［解析］对于“x >0”?“x ≠0”,反之不一定成立，因此“x >0”是“x ≠0”的充分而不必要条件． 4． (2009·广州调研)命题“若a >b ，则a -1>b -1”的否命题是___________. ［答案］若a ≤b,则a -1≤b-1

5． （2009·北京卷文）设A 是整数集的一个非空子集.对于k ∈A ，如果k -1?A 且k +1?A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”.给定

S ={1,2,3,4,5,6,7,8,}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个___________.

［答案］6

［解析］依题意可知，“孤立元”必须是没有与k 相邻的元素，因而无“孤立元”3个元素的集合一定是相邻的3个数, 因此，符合题意的集合是：{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5},{4,5,6},{5,6,7},{6,7,8}共6个.

课堂导学

知识点1 集合关系与运算综合

【例１】 设A ={x |x 2+4x =0}.若B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1=0},A ∩B =B ,求实数a 的值. [思维引导]本题的关键是把A B =B 转化为B ?A . ［解答］A ={x |x 2

+4x =0}={0，－4}. ∵A ∩B =B ,∴B ?A .

（1） 若B =?，则Δ=4［（a +1）2

-（a 2

-1）］<0,∴a <-1.

（2） 若B ={0}，则把x =0代入方程得a =±1. 当a =1时，B ={0,-4}≠{0};∴当a =-1时,B ={0}. ∴a =-1.

（3） 若B ={-4}，则把x =-4代入方程得a =1或a =7. 当a =1时，B ={0，-4}≠{-4},∴a ≠1; 当a =7时，B ={-4，-12}≠{-4},∴a ≠7. （4） 若B ={0，-4}，则a =1. 综上所述,a ≤-1或a =1.

［精要点评］不要忘记B =?，B =A 的情况

【变式拓展】 设A ={x |x 2+4x <0},B ={x |x 2+2(a +1)x +a 2－1<0}.若A ∩B =A ,求实数a 的值. ［解答］A ={x |x 2

+4x <0}={x |-4

令f （x ）=x 2

+2(a +1)x +a 2

－1, ∴(0)0,

1.(4)0,

f a f ≤?∴=?

-≤?

知识点2 常用逻辑关系的综合

【例2】（2009·广州一模改编）已知p ：关于x 的不等式x 2+2a x -a >0的解集是R ，q ：-1

+2a x -a >0的解集是R ， ∴Δ=（2a ）2

-4（-a ）<0，解得-1

【变式拓展】已知p ：关于x 的不等式x 2+a x -a >0的解集是R ，q ：-10的解集是R ，得Δ=a 2-4（-a ）<0，解得-4

4 1.10

a a a a -<

≤-≥?或

（2）q 真、p 假10,

.40a a a a -<

≤-≥?

或 所以a ∈（-4,-1］.

【备讲例题】已知p ：关于x 的不等式x 2+2ax -3a 2>0的解集为{x ｜-3a ＜x ＜a }，q ：-10的解为-3a

∴0,

131

3031a a a a a >??

-≤-?≥??≥-≤-?

与等号不能同时成立

（取等号时满足条件）. ∴正数a 的取值范围为

1,.3??+∞????

知识点3 集合与逻辑关系的综合

【例3】设A ={x |-2≤x ≤a }，B ={y |y =2x +3,x ∈A }，C ={z |z =x 2,x ∈A }，求使C ?B 的充要条件.

［思维引导］ 先化简集合B ，C ，注意集合是值域，再根据子集关系利用数轴来处理，求充要条件就是找等价关系. ［解答］B ={y |y =2x +3,x ∈A }={y |-1≤y ≤2a +3}.

（1） 当-2≤a <0时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |a 2≤z ≤4}.由C ?B ，得234,

.20

a a a +≥??∈??

-≤

（2）当0≤a ≤2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤4}.由C ?B ，得234,1

2.022a a a +≥??≤≤?

≤≤?

（3）当a >2时，C ={z |z =x 2,x ∈A }={z |0≤z ≤a 2}.由C ?B ，得2

2,2 3.23

a a a a >??<≤?

≤+?

综上所述,使C?B的充要条件是1

3. 2

a

≤≤

［精要点评］对集合问题要分清集合元素是什么，如不清楚，则先根据所涉及的知识化简、讨论，然后根据条件列关系式解答.

总结规律

本章内容处理的问题多数是以其他章节知识为核心内容，因此在解答时要联想对应章节的知识和方法.一般解题思路为：(1）认识是什么知识；（2）要不要化简转化，使命题或集合清晰化；（3）根据提供的条件列出关系式；（4）处理关系式.此外，本章知识有许多需要注意的地方：（1）集合中的空集；（2）利用互为逆否命题进行等价转化；（3）充要条件要注意两种说法和两种方法；（4）注意量词定义的理解.

温馨提醒

本课时结束后，请使用《配套检测与评估》相应的第4课时.