二维圆柱坐标系中五角形共形网格算法
第14卷 第6期
强激光与粒子束Vol.14,No.6 2002年11月HIGH POWER LASER AND PARTIC LE BE AMS Nov.,2002 文章编号: 100124322(2002)0620897204
二维圆柱坐标系中五角形共形网格算法
Ξ
毛从光, 周 辉
(西北核技术研究所,陕西西安710024) 摘 要: 时域有限差分(FDT D )算法求解电磁问题时,如果目标结构不能和传统网格体系共形,往往采用
局部共形网格或非正交网格算法。详细讨论了二维圆柱坐标系中五角形共形网格算法,该算法能方便地对倾
斜薄层媒质或电导率不均匀的倾斜媒质等复杂结构建模,并以锥形电磁脉冲天线为例,验证了该算法的有效
性。
关键词: FDT D ; 五角形共形网格算法; 锥形电磁脉冲天线
中图分类号: O441.4 文献标识码: A
时域有限差分(FDT D )方法在对复杂电磁结构建模时,常常会遇到电磁边界不能和传统网格体系(如Y ee 氏网格)共形的情况。这时如果电磁边界非线性度很强,只好采用复杂的非正交网格算法,如果非线性度不是很强,往往采用阶梯曲线或三角形、不规则四边形等局部共形网格算法。倾斜理想导体PEC 边界的模拟,阶梯曲线的方法一般是够用的。而对于倾斜电介质薄层这种特殊结构,用阶梯曲线和不规则四边形建模,运算略嫌繁琐。本文详细讨论的五角形共形网格算法对上述两种情形都是有效的。
1 理想导体斜面五角形共形网格模拟
1.1 公式推导
设二维圆柱坐标系中倾斜理想导体边界在均匀网格空间中的位置如图1(a )所示,Δr =Δz ,将图中斜线经过的网格剖分,和邻近网格单元构成规则的五角形。斜线的两端各有两个小五角形,它们一端连接共形网格一端连接均匀网格,使局部五角形网格“嵌到”均匀网格中。大五角形单元面积Δs 1=
32Δr Δz ,小五角形单元面
积Δs 2=54Δr Δz 。
Fig.1 Pentag onal grids in the even grids (a )and the pentag onal cell (b )
图1 均匀网格中的五角形网格(a )和五角形网格单元(b )
取五角形网格中某一单元如图1(b )所示。由Max well 方程积分形式
-55t μ0κs
H ?d s =∮
E ?d l (1)得-μ0H n +0.5Φ(i ,j )-H n -0.5Φ(i ,j )Δt Δs 1=-ΔrE n r (i ,j -0.5)-Δz E n z (i +0.5,j )-Δnorm E n n 0(i +0.5,j )-Δt a n E n t (i -0.5,j +0.5)+Δno rm E n n 0(i ,j -0.5),其中,Δt a n =Δr 2+Δz 2,Δno rm =Δt a n Π2。整理得
Ξ收稿日期:2002202228; 修订日期:2002205231基金项目:国防科技基础研究基金资助课题
作者简介:毛从光(19772),男,在读硕士,主要从事电磁场数值计算和瞬态电磁辐射方面的研究;西安市69213信箱。
H n +0.5Φ(i ,j )=H n -0.5Φ(i ,j )+Δt μ0
Δs 1{ΔrE n r (i ,j -0.5)+Δz E n z (i +0.5,j )+ Δnorm[E n n 0(i +0.5,j )-
E n n 0(i ,j -0.5)]-Δtan E n t (i -0.5,j +0.5)}(2)同理,可以导出4个小五角形中磁场的迭代公式。
二维圆柱坐标系中T M 模Max well 方程微分形式为
ε05E 5t =1r 5(r H Φ)5r
+J (3)自由空间,J =0,所以直接按中心差分离散解析式(3),得五角形网格新增电场分量
E n +1n 0(i +0.5,j +0.5)=E n n 0(i +0.5,j +0.5)+
Δt ε0
Δtan [r i +1H n +0.5Φ(i +1,j +1)-r i H n +0.5Φ(i ,j )]Πr i +0.5(4)倾斜面为理想导体时,
E n t (i ,j )=0(5)
计算空间中没有被剖分的网格上的电磁场分量E r ,E z ,H Φ,仍然按常规的迭代公式计算。
1.2 算法验证
30°半锥角的锥形天线(如图2(a )所示)具有特殊的尺寸,我们首先计算这种天线的反射电压,以保证程序正
确。天线由特性阻抗为50
Ω的同轴线馈电,即同轴线外内半径之比b Πa =2.3。我们采用单向波激励源,即同轴线中的脉冲源只向天线区传播,后向近似为零,在激励源下方的同轴线区提取反射电压。激励源为高斯脉冲
V inc (t )=V 0exp [-0.5(t Πt p )2]
(6)式中:V 0=1.0;t p =0.344t a 为高斯脉冲特征时间,t a =h Πc 为天线特征时间,c 为光速。计算区开放边界用一种基于线形插值的算子类吸收边界条件(我们称为Maloney ABC )截断。天线理想导体斜面由阶梯曲线模拟
。
Fig.2 30°half 2angle conical antenna (a )and reflected v oltage (calculating result (b )and document result (c ))
图2 30°半锥角锥形天线(a )及其反射电压(计算结果(b )和文献[1]结果(c ))
计算结果如图2(b )所示,文献[1]结果如图2(c )所示。图2(b )中的反射分别由图2(a )所标示的拐角处引起,(1)为同轴线与天线的连接点,(2)为近角,(3)为远角。(1)和(2)之间相对时间间距t Πt a 为2,(2)与(3)之间间距为1。由于反射电压提取的位置不同,两个波形存在时间上的平移。计算结果与文献[1]结果符合较好,证明了程序的正确性。
为了验证五角形共形网格算法的正确性,我们分别用阶梯曲线和五角形共形网格模拟天线理想导体倾斜面,计算了45°半锥角锥形天线(如图3(a )所示)的反射电压(如图3(b )所示)。图中负过冲由馈电端结构引起,天线特性阻抗近似为50Ω,和同轴线匹配,所以第一个正峰减小,第二个正峰仍由锥体终端反射引起。两种斜面模拟方法的计算结果符合较好,证明五角形共形网格算法是有效的。
2 倾斜电介质薄层的五角形共形网格模拟
2.1 公式推导
五角形共形网格算法的主要优点在于能够比较方便地模拟倾斜媒质,媒质的电磁参数可以根据需要任意赋值。下面推导用该共形网格模拟倾斜电介质薄层的差分公式。设加入薄层电介质的五角形网格单元如图4
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98强激光与粒子束 第14卷
Fig.3 45°half 2angle PEC conical antenna (a )and reflected v oltage (b )
图3 45°半锥角锥形理想导体天线(a )及其反射电压(b )
Fig.4 Pentag onal cell containing the electrically 2thin sheet 图4 包含电介质薄层的五角形网格单元
所示,介质厚度为d ,电导率为σ,介电常数为ε0,磁导率为
μ0。
加入薄层电介质而增加的电场分量有介质内的法向分量E ni 与切向分量E t 。用与公式(2)类似的推导方法[2]得
到此时的磁场分量
H n +0.5Φ(i ,j )=H n -0.5Φ(i ,j )+
Δt μ0
Δs 1{ΔrE n r (i ,j -0.5)+Δz E n z (i +0.5,j )+Δnorm (1-d Δnorm
)[E n n 0(i +0.5,j )-E n n 0(i ,j -0.5)]+Δnorm (d Δnorm
)[E n ni (i +0.5,j )-E n ni (i ,j -0.5)]-Δtan E n t (i -0.5,j +0.5)}(7)介质中J =σE ,仍由基本公式(3)出发,得到
E n +1ni (i +0.5,j +0.5)=
1-σΔt /2ε0
1+σΔt Π2ε0E n
ni (i +0.5,j +0.5)+Δt /ε0Δtan 1+σΔt Π2ε0[r i +1H n +0.5Φ(i +1,j +1)-r i H n +0.5Φ(i ,j )]/r i +0.5(8)
公式推导过程中应用了边界条件:平行于电介质表面的磁场分量连续。这样,将邻近的磁场平移到介质内不会带来很大误差,或者说包含电介质薄层的网格单元内的磁场是均匀的。介质中的E t 不再为0。以E t 为中心
的一个倾斜步长内,加权平均电导率 σ=d σΠ2Δnorm ,介电常数加权平均后仍为ε0。
则E n +1
t (i -0.5,j +0.5)=
1-σ-Δt /2ε0
1+σ-Δt Π2ε0E n
t (i -0.5,j +0.5)+Δt /ε0Δtan 1+σ-Δt Π2ε0[r i H n +0.5Φ(i ,j )-r i -1H n +0.5Φ(i -1,j +1)]/r i +0.5(9)
其他场量仍按前述公式计算。
2.2 算法验证
为了验证上述算法的有效性,我们计算了由有耗电介质薄层(σ为常数)构成的阻抗加载锥形天线[3](如图
5(a )所示)的远场辐射波形。天线激励源采用微分高斯脉冲
V inc (t )=-V 0(t Πt p )exp{-0.5[(t Πt p )2-1]}
(10)式中:V 0=0.25;t p =0.0804t a 。由于理想导体天线的终端反射,使得天线远场辐射波形上叠加着小的振荡,如
图5(c )[3]所示。对于阻抗加载锥形天线,由于有耗电介质薄层对电磁能量的吸收,天线体的反射将减小或消除,使得远场波形基本保持微分高斯脉冲的形式。计算结果(如图5(b ))与文献结果(如图5(c ))相符,验证了算法的可行性。两图中横坐标存在坐标平移。上述计算说明该算法确实具有较强的建模能力。
3 结 论
通过上述推导和计算,我们可以得出如下结论:首先,五角形共形网格自身比较规则,与斜面共形的同时,也能自然地嵌入到矩形网格中去。表现在编程过程中,该算法对基本FDT D 程序改动较小。其次,在五角形共
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98第6期 毛从光等:二维圆柱坐标系中五角形共形网格算法
Fig.5 45°half 2angle resistive 2loaded conical antenna (a )and far 2z one radiated waveforms (calculating results (b )and document results (c ))
图5 45°半锥角阻抗加载锥形天线(a )及其远场辐射波形(计算结果(b )和文献结果(c ))
形网格的基础上,还可以进一步模拟如薄层电介质等更为复杂的结构,这是该算法突出的优越性。文中只推导了均匀网格中的五角形共形算法,其实该算法也能推广到非均匀网格中去,只是公式稍微复杂。
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Pentagonal conformal grids modeling in the tw o 2dimensional
cylindrical coordinate
M AO C ong 2guang , ZH OU Hui
(Northwest Institute o f Nuclear Technology ,P .O .Box 69213,Xi ’an 710024,China )
Abstract : When using the finite 2difference time 2domain (FDT D )method to s olve the electromagnetic problems ,the locally con formal grids are often chosen to con form the shape of the boundary such as a curved or slant plane.Pentag onal con formal grids m odeling in the tw o 2dimensional cylindrical coordinate are specially discussed in this paper.This m odel is available not only to the perfectly electrically conducting boundary but als o to the m ore complex structures such as the slant thin material sheets and the uneven specific conductance slant materials.The reflection from the pec conical antenna and the far 2zone radiated waveform from the resistive 2loaded conical antenna are taken as examples to validate the effec 2tiveness of the m odeling ,and the results are g ood.
K ey w ords : FDT D ; pentag onal con formal grids ; electromagnetic pulse conical antenna
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