山东省实验中学2013届高三数学第二次(6月)模拟考试试题 理 新人教B版

(第3题)

山东省实验中学2010级第二次模拟考试

数学试题（理科）

注意事项：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。两卷合计150分，考试时间为120分钟。选择题答案填涂在答题卡上;填空题、解答题答在答题纸上.

第Ⅰ卷（选择题 60分） 一．选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1．已知全集{}3,2,1,0,1,2--=U ，{},3,1,0,1-=M ，{}3,2,0,2-=N ，则(?U M )N 为

A ．{},1,1- B

．{}2- C ． {

}2,2- D ． {}2,0,2-

2．已知a 是实数，

i

1i

a +-是纯虚数，则a 等于 （ ） A ．1- B ． 1 C D ．

3．若某程序框图如图所示，则输出的n 的值是 （ ）

A .43

B . 44

C . 45

D . 46

4．设非空集合P Q ， 满足P Q P = ，则 （ ） A ．,x Q x P ?∈∈有 B ．x Q ??，有x P ? C ．0x Q ??，使得0x P

∈

D ．0x P ?∈，使得0x Q ? 5．直线l ,m 与平面γβα,,，满足γβ =l ，l //α，α?m ，γ⊥m 则必有 （ ）

A . γα⊥且β//m

B . γα⊥且m l ⊥

C .β//m 且m l ⊥

D .βα//且γα⊥

6．在等比数列{}n a 中，5113133,4,a a a a ?=+=则

15

5

a a = A ．3 B ．13 C ．3或13

D ．3-或13

-

7．设z x y

=+

，其中x ，y 满足20,0,0,x y x y x k +≥??

-≥??≤≤?

当Z 的最大值为6时，k 的值为 （ ） A .3 B .4 C .5 D .6 8．设()0

cos sin a x x dx π

=

-?

，则二项式6

2

a x x ??+ ??

?展开式中的3x 项的系数为 （ ）

A .20-

B . 20

C .160-

D . 160

9．函数|

sin

tan

|

sin

tan x

x

x

x

y-

-

+

=在区间?

?

?

?

?

2

3

,

2

π

π

内的图像是（）

A. B. C. D.

10．△ABC外接圆的半径为1，圆心为O，且20

OA AB AC

++=

，||||

OA AB

=

，则

CA CB

?

的值是（）

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

11. 在区间15

,

??

??和24,

??

??分别取一个数,记为a b,, 则方程

22

22

1

x y

a b

+=表示焦点在x轴

（） A．

1

2

B．

15

32

C．

17

32

D．

31

32

12．已知函数()(

f x x∈R)是偶函数，且(2)(2)

f x f x

+=-，当[0,2]

x∈时，()1

f x x

=-，则方程

1

()

1||

f x

x

=

-

在区间[10,10]

-上的解的个数是（）A．8 B．9 C．10 D．11

第II卷（非选择题 90分）

二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.

13．已知向量(21,4)

c x

→

=+，(2,3)

d x

→

=-，若//c d

→→

，则实数x的值等于_________．14．已知某几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体

积为____________.

15．以双曲线1

16

4

2

2

=

-

y

x

的右焦点为圆心，且被其中一

条渐近线截得的弦长为6的圆的标准方程为

____________.

16.设x

x

f cos

)

(

1

=，定义)

(

1

x

f

n+

为)

(x

f

n

的导数，即

)

(

'

)

(

1

x

f

x

f

n

n

=

+

，n∈N，若ABC

?的内角A满足

3

1

)()()(201321=+++A f A f A f ，则A 2sin 的值是__________.

三、解答题：本大题共6个小题,共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. （本小题满分12

分）已知函数22()cos cos sin f x x x x x =+- （1）求()f x 的最小正周期和值域；

（2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()22

A f =且2a bc =，试判断ABC ? 的形状.

18. （本小题满分12分）如图所示的几何体是由以等边三角形

ABC 为底面的棱柱被平面DEF 所截面得，已知FA ⊥平面ABC ，AB ＝2，BD ＝

1，AF ＝2，

CE ＝3，O 为AB 的中点． （1）求证：OC ⊥DF ；

（2）求平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小；

19．（本题满分12分）我校要用三辆校车从本校区把教师接到东校区，已知从本校区到东校区有两条公路，校车走公路①堵车的概率为

14，不堵车的概率为3

4

；校车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1p -．若甲、乙两辆校车走公路①，丙校车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响．

（1）若三辆校车中恰有一辆校车被堵的概率为

7

16

，求走公路②堵车的概率； （2）在（1）的条件下，求三辆校车中被堵车辆的个数ξ的分布列和数学期望．学

20、（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2

+=的图像上，且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）若n k n

a b n 2=，求数列}{n b 的前n 项和n T ；

（3）设},2{},,{*

*∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ，等差数列}{n c 的任一项

R Q c n ?∈，其中1c 是R Q ?中的最小数，11511010<

21. （本小题满分13分）已知椭圆C ：22

22b

y a x +=1（a ＞b ＞0）的离心率21=e ，且经过点

A )2

3

,1(--.

（1）求椭圆E 的标准方程；

B

C

E

D

A

F

O

（2）如果斜率为

2

1

的直线EF 与椭圆交于两个不同的点E 、F ，试判断直线AE 、AF 的斜率之和是否为定值，若是请求出此定值；若不是，请说明理由. (3) 试求三角形AEF 面积S 取得最大值时，直线EF 的方程.

22. （本小题满分13分）已知函数)()(2R a ax e x f x ∈-=

（1）求函数)(x f 在点P （0,1）处的切线方程；

（2）若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，试求a 的范围;

（3）若函数)(x f 不出现在直线1+=x y 的下方，试求a 的最大值.

山东省实验中学2010级第二次模拟考试 理科数学答案 2013.06

一选择题

CBCBB CACCB BB 二填空题 13.

21 14. 3

10

15. 25)52(22=+-y x 16．

9

2

4 三解答题

17（本小题满分12分）

解：﹙Ⅰ﹚22()cos cos sin f x x x x x =+-

cos2x x =+ ……………………………………………………….3分 2sin(2)6

x π

=+

……………………………………………………………4分

所以π=T ,…………………………………………………………………5分

]2,2[)(-∈x f ……………………………………………………………6分

﹙Ⅱ﹚由()22A f =，有()2sin()22

6

A f A π

=+

=，

所以sin() 1.6

A π

+= ……………………………………………………………7分

因为0A π<<，所以6

2

A π

π

+

=

,即3

A π

=

. …………………………………8分

由余弦定理2222cos a b c bc A =+-及2a bc =，所以2()0b c -=.……………10分 所以,b c = 所以3

B C π

==

.……………………………………………………11分

所以ABC ?为等边三角形. ………………………………………………………12分 18．（本小题满分12分）

解：（1）证法一： ⊥FA 平面ABC ，OC ?平面ABC ，,FA OC ∴⊥ …………2分 又CB CA =且O 为AB 的中点，,AB OC ∴⊥ OC ∴⊥平面ABDF ， ………………4分

DF ?

平面A ，

.OC DF ∴⊥ ……………………………………………………………………6分

证法二：如图，以O 为原点，Oz OC OB 、、分别为x 轴、y 轴、z

轴建立空间直角坐标系，

(1,0,1),(1,0,2).C D E F ==- …………………………2分

(2,0,1),0.OC DF OC DF ==-∴?=

即.OC DF ⊥ ………………6分

（2）解法一：解：设平面ABC 的法向量为1(0,0,1),n =

(7)

分

设平面DEF 的法向量为2(1,,),n y z =

(2),DE =-

由2200n DE n DF ??=???=??

得12020z z ?-++=??-+=?

?,

解得2

y z ?=??=??…………………………9分

所以

121212cos ,||||n n n n n n ?<>===?

…………………11分

故平面DEF 与平面ABC 相交所成锐二面角的大小为4

π

. …………………12分

19．（本小题满分

，……………………2分

即31p =，4分（Ⅱ）解：ξ可能的取值为5分

y

x

z

…………9分

………10分

．…………………………………………12分20解：（1） 点)

,

(

n

n

S

n

P都在函数x

x

x

f2

)

(2+

=的图像上，∴2*

2()

n

S n n n N

=+∈, 当n2

≥时，

1

2 1.

n n n

a S S n

-

=-=+…………………………………2分当1

=

n时，

11

3

a S

==满足上式，所以数列}

{

n

a的通项公式为2 1.

n

a n

=+…3分（2）由x

x

x

f2

)

(2+

=求导可得()22

f x x

=+

‘

过点)

,

(

n

n

S

n

P的切线的斜率为

n

k，22

n

k n

∴=+.…………………………………4分24(21)4

n

k n

n n

b a n

∴=?+?

＝.

123

43445447421)4n

n

∴=??+??+??+????+?

n

T+4（①

由①×4，得

2341

443445447421)4n

n+

=??+??+??+????+?

n

T+4（②………………5分

①-②得：

()

231

343424421)4

n n

n+

??

-=?+?++???+?

??

n

T+4-（

21

1

41

434221)4

14

n

n

n

-

+

??

-

=?+?+?

??

-

??

（4）

-（

2

6116

4

99

n

n

+

+

∴=?-

n

T…………………………………………………………..7分（3）{22,},{42,}

Q x x n n N R x x n n N

**

==+∈==+∈

,Q R R

∴?=.

又

n

c Q R

∈?

，其中

1

c是R

Q?中的最小数，

1

6

c

∴=……………..8分

{}

n

c

是公差是4的倍数，*

10

46()

c m m N

∴=+∈………………….9分

又10110115c << ，*

11046115m m N

<+

∈?,解得ｍ＝27. ………………….10分

所以10114c =，设等差数列的公差为d ，则1011146

121019

c c

d ---＝

＝＝，………11分

6(1)12126n c n n ∴=++?=-，所以{}n c 的通项公式为126n c n =-…12分

21. （本小题满分13分） 解：（1）由题意，2

1

==

a c e ,………………….1分 椭圆C 经过点A )23,1(--，123)1(2

2

22=?

?

? ??-+-∴b

a ， 又2

2

2

c b a +=，解得32

=b ，42

=a ，所以椭圆方程为22

143x y +=. …………….3分 （2）设直线EF 的方程为：m x y +=21

，代入

22143x y +=

得：0322=-++m mx x .

0)3(422>--=?m m 且???-=-=+3

2

2121m x x m

x x ；………………….4分 设),(00y x A ，由题意，010

1x x y y k AE --=

，0

202x x y y k AF --=；………………….5分

)

)(()

)(())((02010102020102020101x x x x x x x y x x x y x x x y x x x y k k AF AE ----+--=

--+--=

+∴ 分子为：0021021012212)()(y x x x y y y x x y x y t ++-+-+=

又m x y +=

1121，m x y +=222

1

， 00210210221121212)()())((y x x x y y y x y x y x y y x x t ++-+---++=∴

32))(2(2121+++++=m x x x x m 0323))(2(2=++-+-+=m m m m

0=+∴AF AE k k .

即，直线AF AE 、的斜率之和是为定值0.………………….8分

（3）2212

3122

5

||1||m x x k EF -=

-+= 2

5|1|m d +=

，|1|3122

1||212+-==

∴m m d EF S ………………….9分 11

...................................................................................................2,43311,43314331143312)(2

2,4

33

1,4331,10)()

42)(1(2

3

629293)(3

649

2343)(3212232342单减单增，在，，，在所以又可得令设???

? ??+-???? ??---????

??+--???? ??---<<-+-=--=-=='-++-=++--='+++--==m f m m m m m f m m m m m m m f m m m m s m f 所以)()()(23m f m f m f 或的最大值为，经运算)3m f （最大………………….12分 所以直线方程为4

33

121+-+

=

x y ………………….13分 22. （本小题满分13分）

解：(1)ax e x f x

2)(-=' ，1)1(='∴f ………………….1分

所以)(x f 在点)1,0(P 处的切线方程为x f f y )0()0('=-，即1+=x y .………….3分

(2) 由题意02)(≥-='ax e x f x

恒成立………………….4分

0>x 时x e a x ≤2，令x e x g x

=)(，则2

)1()(x

x e x g x -='， 由0)(='x g 得1=x ，1>x 时0)(>'x g ，1

e g x g ==∴)1()(min ,2

e

a ≤

∴；………………….5分 0

e x

，02≥∴a 则0≥a ；………………….6分

又0=a 0)(≥='x

e x

f 恒成立；………………….7分

综上，若函数)(x f 为R 上的单调递增函数，则2

0e

a ≤

≤.………………….8分 (3) 由题意，1)(+≥x x f ，记1)(2---=x ax e x F x ,即0)(≥x F 恒成立. ……….9分

若0>a ，则01

<-

x 时，01)1(1)(<-+-

0=∴x 时0)0()(min ==F x F ，即0)(≥x F 恒成立. ………………….12分

综上，若函数)(x f 不出现在直线1+=x y 的下方，则 a 的最大值为0. ………………….13分