高中数学21向量的线性运算213向量的减法优化训练新人教B版4!
2.1.3 向量的减法
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下面给出了四个式子，其中值为0的有( )
①++②+++③-+-
④++-
A.①②
B.①③
C.①③④
D.①②③
解析：①中，++=+=0；②中,+++=(+)+ (+)=+0=；③中，(-)+(-)= +=0；④中，(+)+ (-)=+=0.
答案：C
2.如图2-1-12,已知ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中=a，=b，=c，则EF等于( )
图2-1-12
A.a+b
B.b-a
C.c-b
D.b-c
解析：==b-c.
答案：D
3.若OA=a，则AO=_______________.
答案：-a
4.化简：AB-AD-DC=_______________.
解析：AB-AD-DC=DB-DC=CB.
答案：
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.下列命题中，正确命题的个数为( )
①|a|+|b|=|a+b|?a与b方向相同②|a|+|b|=|a-b|?a与b方向相反
③|a+b|=|a-b|?a与b有相等的模④|a|-|b|=|a-b|?a与b方向相同
A.0
B.1
C.2
D.3
解析：当向量共线时，向量加法的平行四边形法则不适用，可考虑应用向量加法的三角形法则，其中①②是正确的；③由向量加减法的几何意义知|a +b |=|a -b |等价于以a 、b 为邻边的平行四边形的对角线相等，即为矩形，此时a 与b 垂直，但a 与b 的模不一定相等;④错在|a |-|b |不知符号正负，而|a -b |一定大于等于0，故不一定成立.
答案：C
2.下列等式中，正确的个数为( )
①0-a =-a ②-(-a )=a ③a +(-a )=0 ④a +0=a ⑤a -b =a +(-b ) ⑥a -(-a )=0
A.3
B.4
C.5
D.6
解析：①②③④⑤正确，⑥错误.
答案：C
3.如图2-1-13所示，D 、E 是△ABC 中AB 、AC 边中点，M 、N 分别是DE 、BC 的中点，已知BC =a ，=b ，试用a 、b 分别表示、和.
图2-1-13
解：由三角形中位线定理知DE 21BC ，故=21，即=2
1a . =++=-a +b +21a =2
1-a +b . =MD +DB +=21ED +DB +21=4
1-a -b +21a =41a -b . 4.如图2-1-14所示，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF -等于( )
图2-1-14 A.FD B.FC C.FE D.BE
解析：由图可知=，则-=-=.又由三角形中位线定理知=.
答案：D
5.若||=8，||=5，则||的取值范围是_______________.
解析：由题中所给向量之间的关系BC=AC-AB，再根据向量不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a+b|，问题迎刃而解.
即||AC|-|AB||≤|BC|=|AC-AB|≤|AC|+|AB|.
∴3≤|BC|≤13.
答案：［3，13］
6.已知两个向量a和b，求证：若|a+b|=|a-b|，则a的方向与b的方向垂直；反之也成立. 证明：①如图所示.若a与b方向垂直，设=a，=b，
∵a与b方向垂直，
∴OA⊥OB.以OA、OB为邻边作矩形OACB，
则|a+b|=||，|a-b|=||，
∵AOBC为矩形，
∴|OC|=|BA|.∴|a+b|=|a-b|.
②反之，若|a+b|=|a-b|，设=a，=b，以、为邻边作平行四边形OACB，则|a+b|=||，|a-b|=||，又|a+b|=|a-b|，
∴||=||，即平行四边形OACB对角线相等.
∴平行四边形OACB为矩形.
∴a的方向与b的方向垂直.
30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.若平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且=a，=b，用a、b表示向量
为( )
A.a+b
B.-a-b
C.-a+b
D.a-b
解析：由平行四边形对角线互相平分的性质知OA=-OC，即OC=-a，=-=-a-b.
答案：B
2.对于任意向量a，b，恒有( )
A.|a+b|=|a|+|b|
B.|a-b|=|a|-|b|
C.|a-b|≤|a|+|b|
D.|a-b|≤|a|-|b|
解析：利用||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|.
答案：C
3.在平行四边形ABCD中，-与-分别等于( )
A.AC，CA
B.CA，AC
C.AC，AC
D.AC，AD
解析：-=；-=+=.
答案：C
4.△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，DE=a,则DE-BC等于( )
A.a
B.-a
C.0
D.
解析：=a，=2a,∴-2a=-a.
答案：B
5.已知平行四边形ABCD，O是 ABCD所在平面外任意一点，=a，=b，=c，则向量等于( )
A.a+b+c
B.a-b+c
C.a+b-c
D.a-b-c
解析：如图，有=+=+=+-=a+c-b.
答案：B
6.O是四边形ABCD所在平面上任一点，∥，且|-|=|-|，则四边
形ABCD一定为( )
A.菱形
B.任意四边形
C.矩形
D.平行四边形
解析：由|-|=|-|知||=||，且∥，
∴四边形ABCD一定为平行四边形.
答案：D
7.(2006高考全国卷Ⅰ，理9)设平面向量a1，a2，a3的和a1+a2+a3=0.如果平面向量b1，b2，b3满足|b i|=2|a i|，且a i顺时针旋转30°后与b i同向，其中i=1,2,3,则( )
A.-b1+b2+b3=0
B.b1-b2+b3=0
C.b1+b2-b3=0
D.b1+b2+b3=0
解析：如图.在平行四边形OACB中，令OA=a1，OB=a2，OC=-a3，则OA+OB+CO=0，a1，a2，a3满足a1+a2+a3=0.将向量，，绕点O顺时针旋转30°且模扩大2倍后，得到的是与原四边形相似的平行四边形，这时仍有++=0，同时=b1，=b2，=b3，故有b1+b2+b3=0.
答案：D
8.计算：（1）a+b-(a-c)+(-b)=_______________；
（2）(p+q-r)+(q+r-p)+(r+p-q)=________________；
（3）(i-j)+(j-h)+(h-i)=__________________.
解析：（1）原式=a+b-a+c-b=c；（2）原式=p+q-r+q+r-p+r+p-q=p+q+r；（3）原式=i-j+j-h+h-i=0.
答案：（1）c（2）p+q+r（3）0
9.|a|=8，|b|=6，则|a+b|的最小值为______________,此时，a与b的方向______________;|a-b|的最大值为______________；此时a与b的方向______________. 解析：|a+b|≥||a|-|b||,
∴|a+b|的最小值为2，此时a、b反向，同理|a-b|的最大值为8+6=14，此时a、b也反向. 答案：2 反向 14 反向
10.化简：(AB-CD)-(AC-BD)=_______________.
解析：(-)-(-)=--+=+++= (+)+(+)=+=0(此法是将向量减法转化为加法进行化简的).
答案：0
11.如图2-1-15的五边形ABCDE中，若=m，=n，=p，=q，=r，求作向量m-p+n-q-r.
图2-1-15
解：∵m-p+n-q-r=(m+n)-(p+q+r)=AC-CA=AC+AC，所以延长AC至F点，使
|CF|=|AC|，则CF=AC，
∴=+，即向量为所求.