第2炼 充分条件与必要条件

第2炼 充分条件与必要条件

一、基础知识

1、定义：

（1）对于两个条件,p q ，如果命题“若p 则q ”是真命题，则称条件p 能够推出条件q ，记为p q ?，

（2）充分条件与必要条件：如果条件,p q 满足p q ?，则称条件p 是条件q 的充分条件；称条件q 是条件p 的必要条件

2、对于两个条件而言，往往以其中一个条件为主角，考虑另一个条件与它的关系，这种关系既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判断时既要判断“若p 则q ”的真假，也要判断“若q 则p ”真假

3、两个条件之间可能的充分必要关系：

（1）p 能推出q ，但q 推不出p ，则称p 是q 的充分不必要条件

（2）p 推不出q ，但q 能推出p ，则称p 是q 的必要不充分条件

（3）p 能推出q ，且q 能推出p ，记为p q ?，则称p 是q 的充要条件，也称,p q 等价

（4）p 推不出q ，且q 推不出p ，则称p 是q 的既不充分也不必要条件

4、如何判断两个条件的充分必要关系

（1）通过命题手段，将两个条件用“若……，则……”组成命题，通过判断命题的真假来判断出条件能否相互推出，进而确定充分必要关系。例如2

:1;:10p x q x =-=，构造命题：

“若1x =，则210x -=”为真命题，所以p q ?，但“若210x -=，则1x =”为假命题（x 还有可能为1-），所以q 不能推出p ；综上，p 是q 的充分不必要条件

（2）理解“充分”，“必要”词语的含义并定性的判断关系

① 充分：可从日常用语中的“充分”来理解，比如“小明对明天的考试做了充分的准备”，何谓“充分”？这意味着小明不需要再做任何额外的工作，就可以直接考试了。在逻辑中充分也是类似的含义，是指仅由p 就可以得到结论q ，而不需要再添加任何说明与补充。以上题为例，对于条件:1p x =，不需再做任何说明或添加任何条件，就可以得到2

:10

q x -=所以可以说p 对q 是“充分的”，而反观q 对p ，由2:10q x -=，要想得到:1p x =，还要补充一个前提：x 不能取1-，那既然还要补充，则说明是“不充分的”

② 必要：也可从日常用语中的“必要”来理解，比如“心脏是人的一个必要器官”，何谓“必要”？没有心脏，人不可活，但是仅有心脏，没有其他器官，人也一定可活么？所以“必要”体现的就是“没它不行，但是仅有它也未必行”的含义。仍以上题为例：如果2:10q x -=不成立，那么x 必然不为1，但是仅靠2:10q x -=想得到:1p x =也是远远不够的，还需要更多的补充条件，所以仅仅是“必要的”

（3）运用集合作为工具

先看一个问题：已知P Q ,那么条件“x P ∈”是“x Q ∈”的什么条件？

由P Q 可得到：x P x Q ∈?∈，且x Q ∈推不出x P ∈，所以“x P ∈”是“x Q ∈”充分不必要条件。通过这个问题可以看出，如果两个集合存在包含关系，那么其对应条件之间也存在特定的充分必要关系。在求解时可以将满足条件的元素构成对应集合，判断出两个集合间的包含关系，进而就可确定条件间的关系了。相关结论如下：

① P Q ：p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件

② P Q ?：p 是q 的充分条件

③ P Q =：p 是q 的充要条件

此方法适用范围较广，尤其涉及到单变量取值范围的条件时，不管是判断充分必要关系还是利用关系解参数范围，都可将问题转化为集合的包含问题，进而快捷求解。例如在

2:1;:10p x q x =-=中，

满足p 的x 取值集合为{}1P =，而满足q 的x 取值集合为{}1,1- 所以P Q ，进而判断出p 是q 的充分不必要条件

5、关于“,p q ??”的充分必要关系：可从命题的角度进行判断。例如：p 是q 的充分不必要条件，则命题“若p ，则q ”为真命题，根据四类命题的真假关系，可得其逆否命题“若q ?，则p ?”也为真命题。所以q ?是p ?的充分不必要条件

二、典型例题：

例1：已知2:31,:60p x q x x -<+->，则p 是q 的（ ）

A. 充要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

思路：考虑利用集合求解：分别解不等式得到对应集合。31131x x -

24x <<，即{}|24P x x =<<；2603x x x +->?<-或2x >，即

{}|32Q x x x =<->或。所以P Q ，进而p 是q 的充分不必要条件

答案：C

例2：已知,a b R ∈，那么1122log log a b >是33a b

<的（ ）

A. 充要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分不必要条件

D. 既不充分也不必要条件

思路：本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“33a b

<”等价于a b <，所以只需判断1122log log a b >与a b <的关系即

可。根据12log y x =的单调性可得：如果1122

log log a b >，则a b <，但是若a b <，在,a b 大于零的前提下，才有112

2log log a b >，而题目中仅说明,a b R ∈。所以不能推出。综上可判断1122

log log a b >是33a b <的充分不必要条件

答案：C

小炼有话说：（1）如果所给条件不方便直接判断，那么可以寻找它们的等价条件（充要条件），再进行判断即可

（2）在1122log log a b >推a b <中，因为1122

log log a b >是条件，表达式成立要求,0a b >，

但是在a b <推1122

log log a b >中，a b <是条件，且对,a b 取值没有特殊要求，所以

,a b R ∈，那么作为结论的1122

log ,log a b 就不一定有意义了。在涉及到变量取值时要首先分

清谁是条件，谁是结论。作为条件的一方默认式子有意义，所以会对变量取值有一定的影响。 例3：已知3:,:11

p x k q x ≥<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是_____ 思路：设{}{}3|,|1|121P x x k Q x x x x x ?

?=≥=<=<->??+??

或，因为p 是q 的充分不必要条件，所以P Q ，利用数轴可而判断出2k >

答案：2k >

例4：下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）

A. 1a b >+

B. 1a b >-

C. 22a b >

D. 33

a b >

思路：求a b >的充分不必要条件，则这个条件能够推出a b >，且不能被a b >推出。可以考虑验证四个选项。A 选项1a b >+可以推出a b >，而a b >不一定能够得到1a b >+（比如1, 1.5a b ==），所以A 符合条件。对于B ，C 两个选项均不能推出A ，所以直接否定。而

D 选项虽然可以得到a b >，但是a b >也能推出33a b >，所以D 是A 的充要条件，不符题

意

答案：A

例5：（2015浙江温州中学高二期中考试）设集合{}1|

0,|11x A x B x x a x -??=<=-

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 思路：先解出两个解集：()1,1A =-，B 的解集与a 的取值有关：若0a ≤，则B =?；若0a >，则()1,1B a a =-+，观察条件，若1a =，则()0,2B =，所以A

B ≠?成立；若A

B ≠?，则通过数轴观察区间可得a 的取值为多个（比如12

a =），所以“1a =”是“A B ≠?”的充分不必要条件 答案：A

例6：对于函数(),y f x x R =∈，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 思路：如果()y f x =是奇函数，图像关于原点对称，则()y f x =中()y f x =位于x 轴下方的部分沿x 轴对称翻上来，恰好图像关于y 轴对称，但()y f x =的图象关于y 轴对称未

必能得到()y f x =是奇函数（例如()2f x x =），所以“()y f x =的图象关于y 轴对称”

是“()y f x =是奇函数”的必要不充分条件

答案：B

例7：已知,a b R ∈，则“22

1a b +≤”是“1a b +≤”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 思路一：可以考虑利用特殊值来进行判断。比如考虑左?右，可以举出反例0.9,0.4a b ==，则1a b +≤不成立，所以左边无法得到右边。而右?左能够成立，所以“221a b +≤”是“1a b +≤”的必要不充分条件

思路二：本题也可以运用集合的思想，将,a b 视为一个点的坐标(),a b ，则条件所对应的集合为(){}(){}22,|1,,|1P a b a b Q a b a b =+≤=+≤，作出两个集合在坐标系中的区域，

观察两个区域可得P Q ?，所以“221a b +≤”是“1a b +≤”的必要不充分条件

答案：B

例8（2015菏泽高三期中考试）：设条件p ：实数x 满足22430(0)x ax a a -+<<；条件q ：实数x 满足2280x x +->且p ?是q ?的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是_________

思路：本题如果先将p ?，q ?写出，再利用条件关系运算，尽管可行，但p ?，q ?容易书写错误。所以优先考虑使用原条件。“p ?是q ?的必要不充分条件”等价于“q 是p 的必要不充分条件”，而,p q 为两个不等式，所以考虑求出解集再利用集合关系求解。

解：设{}22|430,0P x x ax a a =-+<<，可解得：()3,P a a =，

设{}2|280Q x x x =+->可解得：()(),42,Q =-∞-+∞，

p ?是q ?的必要不充分条件 q ∴是p 的必要不充分条件

Q P ∴? 0a < 4a ∴≤-

答案：4a ≤-

例9：数列{}n a 满足()

111,,0n n a a r a r n N r *+==?+∈≠，则“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 思路：当1r =时，可得11n n a a +=+，即{}n a 成等差数列。所以“1r =”是“数列{}n a 成

等差数列”的充分条件。另一方面，如果{}n a 成等差数列，则123,,a a a 成等差数列，所以有()()()213121122121a a a r a r ra r r a r r ra r r =+??+=++??+=+++，代入11a =可得：224212310r r r r r =++?-+=，解得1r =或12r =

，经检验，12r =时，2111122a a =+=，32111,22

a a =+=利用数学归纳法可证得1n a =，则{}n a 也为等差数列（公差为0），所以12

r =符合题意。从而由“数列{}n a 成等差数列”无法推出“1r =”，所以“1r =”是“数列{}n a 成等差数列”的不必要条件

答案: A

例10：设02x π

<<，则2

sin 1x x <是sin 1x x <的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件 思路：因为02x π<<

，所以0sin 1x <<。故由sin 1x x <可得sin sin sin 1x x x x ?<<，即2sin 1x x <，对于2sin 1x x <能否推出sin 1x x <

，可考虑寻找各自等价条件：

221sin 1sin sin x x x x x

?<，1sin 1sin x x x x

<

sin x <

x 以2sin 1x x <是要不充分条件

答案：B

1、（2014，江西赣州高三摸底考试）若,a b R ∈，则“a b a b -=+”是“0ab <”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

2、（2014南昌一模，3）设,a b 为向量，则“||=||||a b a b ?”是“//a b ”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4、（2014，北京）设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的( )

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

5、（2014上海13校联考，15）集合{}20,()()01x A x B x x a x b x ?-?=<=--

，若

“2a =-”是“A B ≠?I ”的充分条件，则b 的取值范围是（ ）

A. 1b <-

B. 1b >-

C. 1b ≥-

D. 12b -<<

6、（2015，福建）“对任意的0,2x π??∈ ???

，sin cos k x x x <”是“1k <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

7、（2014北京朝阳一模，5）在ABC △中，π4A =，BC =则“AC =”是“π3B =”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

8、（2014 湖北黄冈月考，4）已知条件3:4

p k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分又不必要条件9、(2014陕西五校二模，1）命题:p x R ∈且满足sin 21x =.命题:q x R ∈且满足tan 1x =.则p 是q 的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

10、（2015北京理科）设,αβ是两个不同的平面，m 是直线且m α?．

则“m β∥”是“αβ∥”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

11、（2016，上海交大附中期中）条件“对任意0,

,sin cos 2x k x x x π??∈< ???

”是“1k <”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

习题答案：

1、答案：B

解析：从集合的角度来看，满足a b a b -=+条件的(),a b 取值范围是0ab <或0ab =，所以可知“a b a b -=+”是“0ab <”的必要不充分条件

2、答案：C 解析：==,a b a b a b a b a b ???±?的夹角为0,π，从而等价于//a b

3、答案：C

解析：由不等式性质可知：0a b >≥，则22

a b >即22a b >，反之若22a b >，则

a b >

4、答案：D

解析：若{}n a 的项均为负项，则“1q >”，“{}n a 为递增数列”之间无法相互推出，所以两条件既不充分也不必要

5、答案：B

解析：():1,2A -，()():20B x x b +-<，因为A B ≠?I ，由数轴可得：1b >-即可

6、答案：B

解析：左侧条件中恒成立不等式可化为sin 202k x x -<，设()sin 22

k f x x x =-，可知()00f =，所以若()f x 为减函数，则一定有()()00f x f <=成立。考虑

()'cos21f x k x =-，由0,2x π??∈ ???

可得：()20,x π∈，故1k ≤时，()'0f x ≤成立，所以()f x 为减函数， ()()00f x f <=成立。所以使不等式恒成立的k 的范围包含(],1-∞，

而()(],1,1-∞?-∞，故“对任意的0,

2x π??∈ ???，sin cos k x x x <”是“1k <”的必要不充分条件

7、答案：B

解析：由正弦定理可得：sin sin sin 2

BC AC B A B =?=，所以3B π=或23π，均满足题意，由两条件对应集合关系可知

“AC =是“π3B =

”的必要不充分条件 8、答案：C

解析：从q 入手，若()21y k x =++与圆相切，

则2d =

=解得34k =，所以p q ? 9、答案：C

解析：分别解出满足两个条件x 的解，()():2224p x k k Z x k k Z π

π

ππ=+∈?=+∈；

():tan 14q x x k k Z ππ=?=

+∈，可知两个集合相等，故p q ?

10、答案：B 解析：依面面平行的判定和性质可知：“m β∥”无法得到“αβ∥”，但“αβ∥”可推出“m β∥”

11、答案：B 解析：将不等式变形为sin 2sin 2202

k x x k x x

单调递减，()()00f x f <=，即不等式恒成立。所以若“1k <”，则“对任意

0,,sin cos 2x k x x x π??∈< ???”；而“对任意0,,sin cos 2x k x x x π??∈< ???

”，未必能得到“1k <”（1k =不等式也成立），所以为“必要不充分条件”