竞赛讲义——集合

竞赛讲义

（一）集合

例1. 设R b a ∈,，(){

},,,,Z n b an y n x y x A ∈+===(){},,153,,2Z m m y m x y x B ∈+===

(){}

144,22≤+=y x y x C 是平面xoy 的集合，讨论是否存在b a ,，使得φ≠B A ,且()C b a ∈,。

例2. 设集合{}4321,,,a a a a A =，若A 中所有的三元子集的3个元素之和组成的集合为{}8,5,31，-=B ，则集合=A

例3. 已知集合|}.|||1|||),{(},0,|||||),{(y x xy y x B a a y x y x A +=+=>=+= 若B A ?是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a 的值为 .

例4. 设})],([|{},),(|{),,()(2R R R ∈==∈==∈++=x x f f x x B x x f x x A c b c bx x x f 且， 如果A 为只含一个元素的集合，则A=B.

例5. 求1003,2,1，，???中不能被2,3,5整除的数的个数。

例6. 已知集合S 中有10个元素，每个元素都是两位数，求证：一定可以从S 中取出两个无公共元素的子集，使两个子集的元素之和相等。

例7. 给定集合{

}n I ，，???=3,2,1的k 个子集，k A A A ,,,21???满足任何两个子集的交集非空，并且在添加I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质，求k 的值。

例8. 在20123,2,1，，???中取一组数，

使得任意两数之和不能被其差整除，最多能取多少个数？ 例9. 已知54321,,,,x x x x x 为正整数，任取其中四个数，其和组成的集合为{}47,46,45,44，求这五个数。

例10. 设有1999个几何，每个集合有45个元素，任意两个集合的并集有89个元素，问此1999个集合的并集有多少个元素。

例11. 设n 是大于3的自然数，且具有下列性质：把集合{}n S n ,,2,1???=任意分成两组，总有某个组，它含有三个数()b a c b a =允许,,，使得c ab =。求这样的n 的最小值。 练习：

1. 定义闭集合S :若S b a ∈,，则.,S b a S b a ∈-∈+（1）举一例真包含于R 的无限闭集合；（2）求证：对于任意两个闭集合R S S ?≠

21、，必存在.21S S c ?

2. 设{}A M ,1995

,,3,2,1???=是M 的子集且满足条件：当A x ∈时，A x ?15，问A 中元素最多有几个？