全国2014年4月自考高等数学(一)00020试题
全国2014年4月高等教育自学考试
高等数学(一)试题 课程代码:00020
请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。
选择题部分
注意事项:
1.答题前,考生务必将自己的考试课程名称、姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上.
2.每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.不能答在试题卷上.
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题3分,30分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题纸”的相应代码涂黑.错涂、多涂或未涂均无分. 1.下列运算正确的是( ). A. ln 6 + ln 3 = ln 9 B. ln 6- ln 3 = ln 2 C. (1n 6)(ln 3)=ln 18
D.
ln 6
ln 2ln 3
= 答案:B
解析:ln6-ln3=ln (6 / 3)= ln2
2.设函数f (x )可导,且1
f x x ??
= ???
,则导数f'(x )=( ).
A.1x
B.-1x
C.
21x
D.-21x
答案:D 解析:f'(x)=()2221111f x x x x x ??????''-=-=-
??? ???????
3.设函数厂f (x ,y )=xy
x y -,则 f 11,y x ?? ???
=( ). A.
1
y x
- B.
x y
yx
-
C.1x y
- D. 22
x y x y
-
答案:C
解析:f 11,y x ??
???11111xy yx
yx x y x y y
x
===---
. 4.函数f(x)=sin x +cos x 是( ). A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数
D. 既是奇函数又是偶函数
答案:C
解析:f (-x )=sin (-x )+cos (-x )=-sin x +cos x ≠-f (x ) , -sin x +cos x ≠f (x ) 所以函数f (x )=sin x +cos x 是非奇非偶函数
5.下列各对函数中,为同一函数的是( ). A. y = ln(x 2) 与y = 21n|x | B. y = tan(2x ) 与y = 2tan x
C. y=x 与y
=2
D. y =x -1与y=21
1
x x -+
答案:A
解析:A 中ln(x 2
) =21n |x | ,B 中 tan(2x )22tan 1tan x x
=-≠2tan x ,C
中2的定义域是x >0,D 中
21
1x x -+的定义域是x ≠0.
6.设函数f (x )=2x 2,g (x )=sin x ,则当x →0时( ). A. f (x ) 是比g (x ) 高阶的无穷小量 B. f (x ) 是比g (x ) 低阶的无穷小量
C. f (x ) 与g (x ) 是同阶但非等价的无穷小量
D. f (x ) 与g (x ) 是等价无穷小量
答案:A
解析:()()22
0000
22lim lim lim lim20sin x x x x f x x x x g x x x →→→→====
7.设函数234,<2
(),22,2x x a x f x b x x x ?-+?
==??+>?
在x =2处连续,则( ).
A. a =1,b =4
B. a =0,b =4
C. a =1,b =5
D. a =0,b =5
答案:B
解析:()()()2
2
lim lim 24,2,x x f x x f b →→=+==所以()()
2
22
4,lim lim 341284,x x b f x x x a a →→==-+=-+=所以0a =
8.设y =y (x )是由方程xy 3=y -1所确定的隐函数,则导数y ′=0
x =( ).
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答案:C
解析:设F (x ,y (x ))=31,xy y -+则32,31,x y F y F xy ''==-将x =0代入方程31,xy y =-得y =1. 因为()()()
()
30
0,10,111,0,1011,10,1x x y x y F F F y F =''''
===-=-=-
='
9.已知函数y = a cos x +12
cos 2x (其中a 为常数)在x =2
π
处取得极值,则a =( ). A.0 B.1 C.2
D.3
答案:A
解析:2
sin sin 2,sin
sin 00,02
x y a x x y a a a π
π
π=
''
=--=--=--==
10.设函数f (x )=
ln x
x
,则下列结论正确的是( ). A. f (x )在(0,+∞)内单调减少 B. f (x )在(0,e)内单调减少… C. f (x )在(0,+∞)内单调增加
D. f (x )在(0,e)内单调增加
答案:D 解析:()2
1ln x
f x x -'=
,当()0,e x ∈,()0f x '>,所以f (x )在(0,e)内单调增加,当()e,+x ∈∞,()0f x '<,所以f (x )在(0,e)内单调减少,
非选择题部分
注意事项:
用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上.
二、简单计算题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.求极限lim x →∞32332
51
x x x +++. 解:3
2
3
33
32
1321lim lim 15155x x x x x x x x
→∞→∞++++==++
12.设函数f (x )在x =0处可导,且f (0)=1, f ′(x )=2.用导数定义求极限0
()1
lim
x f x x
→-. 解:()()()
()0
0100lim
lim 02x x f x f x f f x x
→→-+-'=== 13.设函数f (x )满足f ′(x
,且f (1)=2,求f (x ).
解:由不定积分的性质有
()()d f x x f x C '=+?,
(C 为任意常数),则有()(
)d .f x f x x C C '=-=?
再由题目条件f (1)=2 , 即f
2C =,解得C=1-,则(
)1f x =
14.求曲线3231y x x =--的拐点.
解:2
36,66y x x y x '''=-=-,令y ''=0,即660x -=,解得3
2
1,13113x y ==-?-=-此时,
1660x y x ''<=-<当时,, 1660x y x ''>=->当时,,因此点(1,-3)是曲线的拐点. 15.求微分方程3e e =0y x y '-的通解.
解:333d e e
e e 0,e d e d d y
x
y
x
y x y y y x x
'-=-==则有,对方程两边同时积分3e d e d y x
y x =??3311e e 3e e 33
y x y x C C ?=+?=+(C 为任意常数). 三、计算题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)
16.已知极限lim x →∞1x
k x ??
+ ???
=e 2,求常数k 的值. 解:/1lim 1lim 1e ,2/k
x
x k
k x x k k x x k →∞
→∞????
??+=+=∴=?? ? ???????
?? 17.求抛物线y= x 2上一点,使该点的切线平行于直线43y x =-.
解:直线43y x =-的斜率为()434y x ''=-=,两条直线平行,是指斜率相等,因此2y x =的切线的斜率
()224y x x ''===,解得2x =,此时2224y x ===,即抛物线上的点(2,4)的切线平行于直线43y x =- 18.求极限0lim x →21
ln(1)x x
x +??
-????
. 解:()222000011111ln(1)ln(1)11lim lim lim lim 22
2x x x x x x x x x x x x x →→→→??
????
-??++-+????+??-====????????????????????
19.计算定积分I=22
2x
x
+?
d x .
解:I=()222222222220
002111111221d d d(2+)ln 2ln ln30222222
2202x x x x x x x x +===+==++++?
??
20.计算二重积分I=D
??
1
ln y x
d x d y ,其中D 是由直线y =x ,y =1及x =5所围成的平面区域,如图所示.
解:由图可以看出x 的取值范围为15x ≤≤,二重积分可以化为
I=D ??1
ln y x d x d y=()5555
1111111111d d =ln d ln ln1d 1d 514ln ln ln x
x x y y
x x x x x y x x ???=?-==-= ? ??
?
????? 四、综合题(本大题共4小题,共25分) 21.(本小题6分)
设某厂生产收音机Q 台时的总成本为C(Q)=2000+10Q(元),销售价格为P=800-Q(元),假定产销平衡. (1)求利润函数L (Q);
(2)问该厂生产多少台时可获得最大利润?并求获得最大利润时的价格.
解:(1)求利润函数L (Q)=P Q ()()2800Q Q 200010Q Q 790Q 2000C -=--+=-+-
(2)(
)()2Q Q 790Q 20002Q 790,Q 0,-Q+790=0L L '
''=-+-=-+=令即2,解得Q =395(台)
()()(
)Q Q 2Q 79020L L '''''==-+=-???,因此Q =395是极大值点,由于Q =395是唯一的驻点,因此Q =395时L (Q)取最大值.也就是说产量为395台时,该公司可获得最大利润.
获得最大利润的价格P =800Q=800395405--=(元).
22.(本小题6分)
设D 是由抛物线y =1-x 2与x 轴所围成的平面区域,如图所示.求: (1)D 的面积A ;
(2)D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积V x .
解:(1)由图可以看出,区域D 是简单的上下结构,D 的面积为
()()()1
3331
2
1111410d 113333
x A x x x --??-????=--=-=----=?? ????????????
(2)D 绕x 轴旋转一周所得的旋转体体积
V x .=()
()1
51
1
2
2242
3111
210d 21d 53x x x x x x x x πππ---????--=-+=-+??
???
?????()()()5
533112*********π????-????=-?+--?-+-???? ???????????
=16
15π
23.(本小题6分)
设z =z (x ,y )是由方程2sin(2x +3y -5z )=2x +3y -5z 所确定的隐函数,求证
1z z x y
??+=??. 证:令(,,)2352sin(235),F x y z x y z x y z =+--+-则
()()()[]()(,,)2352sin(235)24cos 235x x x x x F x y z x y z x y z x y z '''''=+--+-=-+-
()()()[]()(,,)2352sin(235)36cos 235y y y y y F x y z x y z x y z x y z '''''=+--+-=-+- ()()()[]()(,,)2352sin(235)510cos 235z z z z y F x y z x y z x y z x y z '''''=+--+-=-++-
从而
()()24cos 235510cos 235x z x y z F z x F x y z -+-'?=-=-'?-++-,()()
36cos 235510cos 235y z F x y z z
y F x y z '-+-?=-=-
'?-++-, ()()()()()()24cos 23536cos 235510cos 2351510cos 235510cos 235510cos 235x y z x y z x y z z z x y x y z x y z x y z -+--+--++-??+=--==??++--++--++-,原题得证. 24.(本小题7分) 计算定积分I
=8
?d x .
解:令300;82;t x t x t x t =====;当时,当时,
从而,I
=8
0?d x =()()()22
2
22223000001111111d 3d 3d 3d 31d 11111t t t t t t t t t t t t t t t +-+-+??
====-+??+++++?
?????? ()()02
2221113ln 1322ln 2100ln 013ln 322
2t t t ??
??????=-++=??-++-?-++=????????????????
自考 高等数学(工本)公式大全
《高等数学(工本)》公式 第一章 空间解析几何与向量代数 1. 空间两点间的距离公式21221221221)()()(z z y y x x p p -+-+-= 2. 向量的投影 3. 数量积与向量积: 向量的数量积公式:设},,{},,,{z y x z y x b b b a a a == .1?z z y y x x b a b a b a b a ++=? .2?b a ⊥的充要条件是:0=?b a .3 ?b a =∧ )cos(向量的数量积公式: .1?k b a b a j b a b a i b a b a b b b a a a k j i b a x y y x z x x z y z z y z y x z y x )()()(-+-+-==? .2 ?= ?sin .3?b a //的充要条件是0=?b a 4. 空间的曲面和曲线以及空间中平面与直线 平面方程公式: ),,(o o o o z y x M },,{C B A = 点法式:0)()()(=-+-+-o o o z z C y y B x x A 直线方程公式: },,{n m l S = ,),,(o o o o z y x M 点向式:n z z m y y l x x o o o -=-=- 5. 二次曲面 第二章 多元函数微分学 6. 多元函数的基本概念,偏导数和全微分 偏导数公式:
.1?),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?=== x v v z x u u z x z ????+ ????=?? y v v z y u u z y z ????+????=?? .2?设),(),,(),,(y x v y x u v u f z ψ?=== dx dv v z dx du u z dx dz ??+ ??= .3?设0),,(=z y x F Fz Fy y z Fz Fx x z -=??-=?? 全微分公式:设),,(y x f z =dy y z dx x z dz ??+??= 7. 复合函数与隐函数的偏导数 8. 偏导数的应用:二元函数极值 9. 高阶导数 第三章 重积分 10. 二重积分计算公式:. 1???=D kA kd σ(A 为D 的面积) . 2?? ??? ? ?==) () () () (1212),(),(),(y y c d D x x b a dx y x f dy dy y x f dx d y x f ????σ . 3??? ? ?=D rdr r r f d d y x f ) () (12)sin ,cos (),(θ?θ?β α ???σ 11. 三重积分计算公式: .1?利用直角坐标系计算,Ω为?? ? ??≤≤≤≤≤≤b x a x y y x y y x z z y x z ) ()() ,(),(2121 ? ? ????=Ω ) ,() ,() () (2121),,(),,(y x z y x z x y x y b a dz z y x f dy dx d z y x f σ .2?利用柱面坐标计算:Ω为?? ? ??===z y r y r x ??sin cos ? ? ????=Ω ) ,() ,() () (21212 1 ),sin ,cos (),,(?????? ??r z r z r r dz z r r f rdr dx dv z y x f
最新自考高等数学(工本)00023试题及答案解析
2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本) 试卷 (课程代码 00023) 本试卷共3页,满分l00分,考试时间l50分钟。 考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效。试卷空白处和背面均可作草稿纸。2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4. 合理安排答题空间,超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1.已知向量a={-1,3,2),b={-3,0,1),则a×b= A. {3,5,9} B. {-3,5,9) C.(3,-5,9) D. {-3,-5,-9) 2.已知函数,则全微分dz= 4. 微分方程是 A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 无穷级数的敛散性为 A.条件收敛 B. 绝对收敛 C.发散 D. 敛散性无法确定 第二部分非选择题
二、填空题 (本大题共5小题,每小题2分,共10分) 请在答题卡上作答。 6.已知点,则向量的模= _______. 7·已知函数=_______. 8.设积分区域,且二重积分,则常数a= _______.9.微分方程的特解y*=_______. 10. 已知无穷级数=_______. 三、计算题 (本大题共l2小题,每小题5分,共60分) 请在答题卡上作答。 11.求过点A(2,10,4),并且与直线平行的直线方 12.求曲线的点处的法平面方程·13.已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x,y),求. 14.求函数的梯度 15.计算二重积分,其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域. 16. 计算三重积分,其中积分区域. 17. 计算对弧长的曲线积分,其中C是从点A(3,0)到点B(3,1)的 直线段· 18.计算对坐标的曲线积分,其中N抛物线y=x2上从点A(一1,1)到