3变限积分函数的性质及其应用

404

§3 变限积分函数的性质及其应用

由于定积分概念是利用极限工具给出的，所以利用定积分的定义计算定积分是十分困难的，有时甚至是不可能的。为了让定积分概念能得到实际应用，必须寻找简便有效的计算定积分的方法，那么我们必须探求定积分更加深刻的性质。本节将介绍两个重要的定理，通过沟通定积分与不定积分的关系，给出了一个解决定积分计算问题的有效途径。 3.1 变限积分

定积分有一个十分特殊而重要的性质，它对进一步考察微分和积分的关系起十分关键的作用。但需要先介绍一个概念：

注 由于

??

-=x

b

b

x

dt t f dt t f )()(，因此，只要讨论变上限函数即可。

证 利用连续函数的定义及定积分的性质即可证得。

对[a ，b ]上的任一点x ，只要[],x x a b +?∈，按照Φ的定义有 ()()x x x a

a

x x x fdt f dt +??Φ=Φ+?-Φ=-

?

?

。

又函数

)

(x f 在[a ， b ]上可积，则

)

(x f 在[a ， b ]上有界，即存在正数M ，对

一切[],x a b ∈有()f x M ≤。又当0x ?≥时有

x x x x x x x

x

x

f d t f d t M d t

M x

+?+?+??Φ=≤≤=??

?

?

。

405

又不难验证，当0x ?<时，上述不等式M x ?Φ≤?仍然成立。从而有

lim 0x ?→?Φ=。这就证得Φ在[],a b 上的连续性。

3.2 微积分学基本定理

1 变限积分的可微性 ——微积分学基本定理

当函数得可积性问题获得解决后，接着是要找到一种计算定积分得有效方法。下面将通过揭示定积分与不定积分之间的内在联系来完成这一任务。下面的两个定理，由于所起的重要作用而被称为微积分学基本原理。

证 ],[b a x ∈?，任取0≠?x ，且],[b a x x ∈?+，则

?

?

-

=

Φ-?+Φ=?Φ?+x a

x x a

t d t f t d t f x x x )()()()(

?

?

?

?

?+?+=

-

+

=

x x x

x a

x x x

x a

t d t f t d t f t d t f t d t f )()()()(，

由积分中值定理知，存在ξ 介于x 与x +?x 之间，使得

x f ?=?Φ)(ξ， 由于x x

→?→?ξ0，再由导数定义及)

(x f 的连续性知

)()(l i m )(l i m l i m )(00x f f f x x x

x x ===??Φ

=Φ'→→?→?ξξξ。 注 (1) 当],[b a C f ∈时， ?

=

Φx

a

dt

t f x )()(可导且在点∈x ] , [b a 的导数

恰为被积函数在上限的值。 亦即 )(x Φ是)(x f 的一个原函数。即连续函数必有原函数，因此定理1又称原函数存在定理。

(2) 变上限函数与分段函数有点类似，是一个难点，从而也是一个考试的热点，它常与极限、求导、最值等知识结合出现形成综合性的题目，应与重视。我们将这里拓宽一下。

若)(x ?可导，则)(x ?与变上限函数)(x Φ构成了复合函数?)

()(x a t d t f ?，由复

合函数求导法则知

406

)()]([)()

(x x f t d t f dx d x a

???'=?。 (3.2) 例3.1 设

?+=2

sin 2

1)(x

t dt

x f ，求

)6

(πf '。 解 ?+-=x

t dt

x f sin 22

1)(，2

21cos )(sin 11)(t x

x t x f +-='+-

='，3

5

2

)6(-

='πf 。

注 一般地有公式：

)()(])([)(x x f dt t f a

x ??'-='?；

(3.3)

)]

()([)(])([)

()(x x x f dt t f x x φ??φ'-'='?。 (3.4)

例3.2 设)(x f 在[0，+∞]内连续，且)(x f > 0，求证函数??=x

x

dt

t f dt

t f t x F 00)()()(在

[0，+∞]内为单调增加函数。

证 ?x >0，由)(x f >0，得0)(0>?x

dt t f ，所以)(x F 在(0，+∞)内有定义，且

2

002

000])([)()()(]

)([)()()()()(??-=

??-?=

'x

x

x

x

x dt t f dt

t f t x x f dt t f dt

t f t x f dt t f x xf x F 。

因)(x f >0， ? 在),0(x 内 0))((>-t x t f ，又)((t

x t f -连续， ?

?

>-x

dt t x t f 0

0))((，?在区间) , 0 (∞+内0)(>'x F ? )(x F 在区间) , 0 (∞+内

严格递增。

2 Newton — Leibniz 公式

证 已知函数)(x F 是连续函数)(x f 的一个原函数，又根据定理3.2知道，变上限函数?=Φx a t d t f x )()(也是)(x f 的一个原函数。于是这两个原函数之差为某个常数，即

407

C

x x F =Φ-)()( 。 (3.6)

在(3.6)式中令a x =，得C a a F =Φ-)()(。又由)(x Φ的定义式及上节定积分的补充规定知0)(=Φa ，因此，)(a F C =。

以)(a F 代入(3.6)式中的C ，以?x

a

dt t f )(代入(3.6)

式中的)(x Φ，可得

)()()(a F x F dt t f x

a

-=?。

在上式中令b x =，就得到所要证明的公式(3.5) 。

注 (1) 在实际应用中，定理的条件是可以适当减弱的，如)(x F ：在在

],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且)

,(),()(b a x x f x F ∈='。而)(x f 只要在在],[b a 上

可积即可。

(2) 这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。它表明：一个连续函数在区间[],a b 上的定积分等于它的任一个原函数在区间[],a b 上的增量。这就给定积分提供了一个有效而简便的计算方法，大大简化了定积分的计算手续。

3 定积分计算的算术化

由积分性质知，(3.5)式对b a >的情形同样成立。为方便起见，以后把

)()(a F b F -记成[]b

a

x F )(。公式(3.5)叫做Newton-Leibniz 公式，也称为微积分

基本公式。有了微积分基本公式，便可以将定积分的计算转化为寻求原函数，即转化为不定积分的计算。然后利用不定积分的计算结果，经过简单的代数运算，即可得出定积分的值。它给定积分提供了一种有效而简便的基本计算方法，它是整个积分学中十分重要的公式。

例3.3 计算定积分dx x ?1

2。

解

dx x ?

1

2

3

13

1

3

=

=

x

。

408

例3.4 计算

?-+

3

1

2

1x

dx 。

解

π12

7arctan 131

3

1

2

=

=+--?x

x

dx

。

例3.5 计算?

--1

2

x

dx 。

解

2

ln 2ln 1ln ln 12

1

2

-=-==----?

x

x

dx 。

例3.6 计算积分)(x f =?-1

||dt t x t 。

解 1>x 时， )(x f =?-

=

-1

3

1

2)(x

dt t x t ; 0

)(x f =?-=-102

31)(x

dt x t t

;

10≤≤x 时， )(x f =??

=

-+

-x

x

x

dt x t t dt t x t 0

1

3

3

)()(3

12

+

-

x 。

因此，

???

?

?????>-≤≤+-<-=. 1

, 31

2, 10 , 3231,0

,231)(3

x x x x x

x x

x f

例3.7 利用积分 ?=2

sin

π

xdx J n

n 的值， 计算积分?=

π

sin

xdx

x I n

n 。

解 0()s i n ()x u

n

n I u u du p p

p p =-=-

--ò?=

-=

π

π

s i n )(udu u n

???-=-=π

π

π

ππ0

s i n s i n s i n n n n

n

I udu udu u udu ?

???????

? ?

?+==π

ππ

πππ020

2s i n s i n 2s i n 2udu xdx udu I n n n n

，

409

而

02

2

2

sin sin ()sin u x

n

n

n

udu x dx xdx

p

p

p p p p =-=--=

蝌

， ?

n n n n J J J I ππ

=+=

)(2

。

因此， ???????-?-=. , !

!!)!1(, , 2

!!!)!1(2

为奇数为偶数n n n n n n I n

ππ 3.3 若干应用

1 利用积分关于被积函数的单调性证明积分不等式

例3.8 证明不等式

1

12

14 , 1

3n x

dx

n n x x n

-＃ -+ò

￥

。

证 注意在区间 [ 0，1]上有

1 1 4

32

≤+-≤x x ， ? ……

例3.9 证明不等式 n n

n ln 1 1211 )1ln(+<+

++

<+ 。

证 考虑函数 , 2 , 1 , 1 , 1)(=+<≤=n n x n n

x f ， ) , 1[ , 1

)(∞+∈=x x

x g 。

易见对任何n ，在区间 ] 1 , 1 [+n 上)(x g 和)(x f 均单调，因此可积，且有

)(x g ≤)

(x f ，注意到)(x g ≡/ )(x f ，就有

?

?

++<

1

1

1

1

)()(n n dx

x f dx x g 。而

∑

?

∑?∑?

=+=+=+=

=

=n

i i i

n

i i i

n

i n i dx i

dx x f dx x f 1

1

1

1

1

1

1

1

1

)()(，

?

+=

11

)(n dx x g ?

+++==1

1

1

1

)1l n (|ln n n n x x dx 。

因此有 12

11 1 )1ln(1

n

i

n n

i +

++

=<+∑= 。

取 , 2 , 1 , 1 , 1

1)(=+<≤+=

n n x n n x f ， )

, 1[ , 1)(∞+∈=

x x

x g 。

在区间] 1 , 1 [+n 仿以上讨论， 有??

>

n

n

dx

x f dx x g 1

1

)()(。而

?

=n

n dx x g 1

,ln )(

n

i i dx x f n

n i n i i i

13

12

1 1

11

1

)(1

1

1

11

1

+++=+=+=

?

∑

∑?-=-=+ ，

410

?

n n

ln 1 12

11+<+

++

。

综上 ， 有不等式n n

n ln 1 1211 )1ln(+<+

++<+ 。

2 某些不等式的积分推广

原理 设函数)(x f 和)(x g 在区间 ] , [b a 上可积。 T 为区间 ] , [b a 的n 等分分法， ],[1i i i x x -∈ξ。 若对任何n 和n i ≤≤1， 均有

()()

∑

∑==≤n

i n

i i i n g n f 1

1

1

1

ξξ， 即得()

()

∑∑==-≤-n

i n

i i i n

a b g n

a b f 1

1

ξξ。

令∞→n ， 注意到函数)(x f 和)(x g 在区间 ] , [b a 上可积， 即得积分不等式

?

b

a

dx x f )(≤

?

b

a

dx x g )(。

倘若函数Φ和ψ连续 ， 还可由 ()()??? ??ψ≤??? ??Φ∑∑==n

i i n i i n g n f 1

11 1ξξ ?

??

? ??ψ≤??? ??Φ??1

010)( )(dx x g dx x f 。 例3.10 证明 Schwarz 不等式： 设函数)(x f 和)(x g 在区间 ] , [b a 上连 续(其实只要可积就可)。 则有不等式

????≤??

????b a b a b a dx

x g dx x f dx x g x f )()( )()(222

。

证法一 设T 为区间 ] , [b a 的n 等分分法。由Cauchy 不等式，有

) ( ) ( ) ( ) (11i 2

i 22

1i i i ∑∑∑===?≤??

? ??n i n

i n g f g f ξξξξ，

两端同乘以

0)(2

2

>-n

a b ，有

n a b g n a b f n a b g f n i n

i i i n

i i -?-≤??? ?

?-∑∑∑

===) (

) ( ) ( ) (11

2

22

1

i ξξξξ，

令∞→n ，注意到函数)(2x f 、)(2x g 和)(x f )(x g 在区间 ] , [b a 上的可积性以及函数2)(x x =Φ的连续性，就有积分不等式

411

????≤??

????b a b a b a dx

x g dx x f dx x g x f )()( )()(222

。

证法二 对任何实数t ，有 ()0)()( 2

≥+x g x tf ，

()()

??≥++=

+

b

a b

a

dx x g x tf x g x f t

dx x g x tf 0)()(2)()( )()( 2

2

2

2

，

即 ?

??≥+??

? ?

?+??

? ?

?b

a

b a

b

a dx x g t dx x g x f t dx x f 0)()()(2)(2

22对任何实数t 成立。

即上述关于t 的二次不等式的解集为全体实数， 于是就有

)()(4)()(2222

≤?

?? ?????? ??-??

??????? ?????b a b a b

a

dx x g dx x f dx x g x f ，

即

????≤??

????b a b a b a dx

x g dx x f dx x g x f )()( )()(222

。

例3.11 设函数)(x f C ∈] , [b a 且 0)(>x f 。 证明不等式

?

?

-≥?b

a

b

a

a b x f dx dx x f 2

)

( )

( )(。

证 取)

(1)( ,)()(x f x x f x =

=

ψφ 。对函数 )(x φ和)(x ψ应用Schwarz

不等式， 即得所证。

例3.12 设函数)(x f 在区间 [ 0 ， 1 ]上可积 。 试证明有不等式

dx

x f dx x f )(

|)(|1

2

1

?

?≤。

证 先用Jensen 不等式法证明不等式 ： 对 R x x x n ∈?,,,21 ， 有不等式

n

x x x n

x x x n

n

2

2

22

121

+++≤+++ 。

设T 为区间 ] 1 , 0 [的n 等分分法。 由上述不等式 ， 有

∑

∑

==??? ??≤??? ??n

i n

i n

n i f n

n i f 1

21

1 1

。

令∞→n ， 注意到函数)(x f 和)(2x f 在区间 [ 0，1]上的可积性以及函

412

数 ||x 和x 的连续性，就有积分不等式

dx

x f dx x f )(

|)(|1

2

1

?

?≤。

例3.13 仿该例， 可得到均值不等式、用Jensen 不等式法证明的某些不等 式的积分形式。 3 面积函数的导数 ()x f dt t f x

a ='?))((，或

()x f dt t f dx

d x a

=?

)(； (3.1)

))(()

(0

'?

x dt t f ?()()()x x f ??'=。 (3.2)

例3.14 设()?

=

x dt

t x 1

2

sin ?，求导数()x ?'。

解 ()2s i n x x ='?。

例3.15 设()?

=

13

2

sin x

dt

t x ?，求导数()x ?'，)2

(π

?'。

解 ()?

=

13

2

s i n x

dt t x ??

-=x d t t 13

2

s i n ，故()32

sin x

x -='?，1)2

(-='π

?。

例3.16

设?????==?

?00cos sin t

t udu y udu x ，求

dx

dy 。

解

t

dt

dy cos -=，

t dt

dx sin =，故

t

dx

dy dt

dx dt dy

cot -==

。

例3.17 求函数?

+-+=

x dx

x x x y 0

2

1

1

3在]1,0[上的最大、最小值。

解 由01

132

>+-+=

'x x x y ，]1,0[∈x ，表明函数单调增加，从而 011

3)0(002

m in =+-+=

=?dx x x x y y 。

?

+-+=

=10

2

m a x 1

1

3)1(dx

x x x y y

?+-+-=1023511223dx x x x ??

+--

+--=10

2

10

2

112

5

1

1223dx

x x dx x x x

?

?+

--

+-+-=

10

4

32

21

10

2

2

)(125)1(1

123

dx

x x x d x x

1

1

2

3

12arctan

3

22

51ln 2

3-?

+

+-=

x x x π3

35=

。

413

例3.18 设?

=

+x c

dt

t f x )(40503，求()x f 及c 。

解 两边求导数：()x f x =2150，则， 3

33

23

5050501504050c

x t

dt t x x c

x c

-===

+?

，

即：40503=-c ，3

5

4-=c 。

例3.19 求函数()?

=

2

sin x dt

t x φ的导数。

解 ())s i n (2

'='?

x dt t x φ()||s i n 2s i n 2

2

x x x

x ='?=。

例3.20 求

?

x

x

dt

t dx

d 2

2

cos 。

解 因为，?

?

?+=

x x

x

x

dt t dt t dt t 0

2

02

2

cos cos cos 2

2

?

?

+

-=x x dt

t dt t 0

2

2

cos cos 2

，

故

?

x x

dt t dx

d 2

2

cos ?

?

+

-

=x x dt

t dx

d dt t dx

d

2

2

cos cos 2

()()()()'

?+'?-=x x x x 2

22

2c o s c o s x

x

x x c o s 21c o s 24+

-=。

例3.21 设函数)(x f 连续且

?

-+=1

3

)(x c

x dt t f 。求c 和)7(f 。

解 令1 , 1-=?=c x 。 两端求导， ? )7(f =

12

1。

例3.22 设)(x f ∈],[b a C 。 )(x F =?∈-x

a

b a x dt t x t f ],[ , ))((。 试证明 ：

)(x F ''=)(x f 。

证 )(x F =??-x

a

x

a

dt t tf dt t f x )()(， ?

?

?

=

-+=

'x

a

x

a

dt t f x xf x xf dt t f x F , )()()()()(

? )(x F ''=)(x f 。

例3.23 已知，0cos 20

02

=+

?

?x y

t tdt dt e ，求

dx

dy 。

解 注意到y 是x 的函数，两边对x 求导，得022cos 2

=?+'x y e y ，求得：

x

e

y dx

dy y

2cos 22

--'=。

414

例3.24 设()x g 处处连续，()()()?-=

x

dt t g t x x f 0

，求()x f '，()x f ''。

解 ()()()?-=x

dt t g t x x f 0()()?

?-

=x x

dt

t tg dt t g x 0

，则

())()()(0x xg x xg dt

t g x f x

--+=

'??

=

x

d t t g 0

)(；

()()x g x f =''。

例3.25 设()1

0011≤<≤≤-??

?+=x x x

x x f ，()?

-=

x dt

t f x F 1

)(，[]1,1-∈x ，求)(x F 。

解 若01≤≤-x ：则 ()?

-=x dt t f x F 1

)(?

-+=

x

dt t 1

)1(()212

1+=

x ；

若10≤

-=

x dt t f x F 1

)(?

?

+

+=

-x tdt dt t 0

01

)1(()1

2

12

+=

x

；

所以，()()

()

1

0011

12

21221≤<≤≤-?????++=x x x x x F 。

4 含有变限积分的未定型极限

例3.26 求极限2

cos 1

2

lim

x

dt

e

x t

x ?

-→。

解 =??

?

???

-→00lim

2

cos 1

2

x

dt

e

x t

x ()

e

x

x e x

x 212s i n l i m

2

c o s 0

-

=--→。

例3.27 求极限 ?

?→x

x

x tdt

dt

t x 0

2

sin cos lim

。

解

x

x

x dt t tdt dt t x x

x x x

x sin cos cos lim 00sin cos lim 2

200

2

+=??? ???

?

?→→

x x

x x dt t x x

x sin cos lim

00sin cos lim

200

2

→→+??

? ??=?

21cos cos lim 20=+=→x x x 。

5 利用定积分求和式极限

因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊的极限。利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式。

415

例3.28 求极限 ∑

=∞

→-n

k n k

n n

k 1

2

23

lim

。

解 ∑

=-n

k k

n n

k 1

2

23

=)1(

11

2

∑

=??

?

??-n k n k n

k n

。 (3.7) (3.7)式是函数()21x x x f -=在[]1,0上的一个积分和。它是把[]1,0n

等分，

i ξ取为???

??

?-n i n i ,1的右端点(即()2

1,?

?

?

??-=

=

n i n

i f n

i i i ξξ)构成的积分和。因为函

数()21x x x f -=在[]1,0上可积， 由定积分定义， 有

∑

=∞

→-n

k n k

n n

k 1

2

23

lim

=3

111

2=

-?dx x x 。

例3.29

求极限n n k n n k 1

1

11lim ?

???????? ?

?

+∏-=∞→。

解

ln n n k n k 1

1

11?

???????? ??

+∏-==ln n n k n k 1

1

01?

???????? ?

?

+∏-==

∑-=??

? ??

+1

01ln 1

n k n k n 。 由函数)1ln(x +在区间 [ 0，1]上可积 ， 有

=????????? ?

?+∏-=∞→n n k n n k 1

1

11ln lim ∑-=∞→???? ??

+1

011ln lim n k n n n k =e

dx x 4ln

12ln 2) 1 ln(1

=-=+?。

? n n k n n k 1

1

11lim ??????

??? ?

?

+∏-=∞→ e 4

=。

例3.30 求极限∞

→n lim

)

21( 213

3

3

44

4

n n n

++++++ 。

解

)

21( 213

3

3

444n n n

++++++ =

∑

∑

==??

? ?????

?

??n i n i n i n

n n i n

13

3

1

4

4

=

∑

∑

==???? ?????? ??n

i n

i n

n i n n i 1

3

14

11。

∞

→n lim

∑

?

==

=???? ??n

i dx x n

n i 1

1

4

4

5

11 ，

416

∞

→n lim

∑

?

=≠=

=???? ??n

i dx x n

n i 1

1

3

3

4

11。

因此， ∞

→n lim

)

21( 213

3

3

44

4

n n n

++++++ 5

4=

。

例3.31 证明： 对任何n +?￠， 有不等式n

n n n +++++

+12

11

1 < 2ln 。

证

n

n n n ++

+++

+12

11

1 =∑

=?

+

n

k n

n

k 1

111 是)(x f =x

+11在区间[ 0，1]

上相应于n 等分分法n T 的小和)(n T s 。由函数)(x f =

x

+11在区间[ 0，1]上可积，

有∞→n 时， )(n T s →

?

?=+=

1

1

2

ln 1)(x

dx

dx x f 。又易见)(n T s 严格递增 ?

对任何n ， 有)(n T s < 2ln ， 即 n

n n n ++

+++

+12

1

1

1 < 2ln 。

417

练习6.3

1． 设[](),f x a b 在上连续，0

()()()x F x f t x t dt

=

-?

。证明)()(x f x F =''。

2． 利用Newton —Leibniz 公式计算下列定积分：

(1)

?

??? ?

?

+2

1

2

1dx

x x ； (2)

?

-4

3

2

1)

1(x x dx ；

(3) dx

x ?

-4

3

； (4) dx x ?-21；

(5)

?

-b a

n

dx

a x )(； (6)

?

2

2sin π

xdx

；

(7)

?

--11e

dx

x

； (8)

?

--2

2

2cos 1ππdx

x ；

(9) ?30

c o s π

x d x ； (10)

?

b a

x

dx

e ；

(11)

?

π

sin xdx

； (12)

2

c o s x

d x π?

；

(13)

a ?

； (14)

π

?

；

(15)

34

--?

； (16)

2

1

ln x dx

x

?

；

(17)

1ln e e

x dx

?

。 (18)

?

b

a

n

dx

x （n 为整数）；

(19) ?b

a x

dx 2

（0

2

4dx x x ；

(21)

?

3

1

3

dx

x ； (22)

(

)

dx

x x +

?

194

；

(23)

()

?

++3

1

2

2

2121dx

x

x x

； (24)

?

π

π

2

1

2

1sin dy

y

y

；

(25)

?

4

3

tan π

θ

θd ； (26)

dx

x

e ?

---+2

1

11；

(27) dx

x x ?--22

5

3

cos

cos

ππ

； (28)

?

-2

cos sin π

dx

x x ；

(29)

?

+π

2cos 1dx x ； (30)

()?

-3

22dx x 。

418

3． 设()??

?≤≤<≤-=2

1103x x x

x x f ，求

()?2

dx x f 。

4． 设

()??

?

?

?≤

≤=2

4

cos sin 4

0tan 32

π

π

π

x x x x x x f ，求

()?

2

π

dx x f 。

5． 若()f x 连续，求：

(1)

()()b x

d f t dt

dx

?

； (2)

20()x d f t dt dx ?? ???

?；

(3)

?

b

a

dx

x dx

d 2

sin ； (4)

dt

t dx

d x

a

2

sin ?

；

(5)

'

??

?

???102arctan x t dt t e ； (6)

?

2

s i n x

dt

t dx

d ；

(7)

?>t

t

t x

dx dt

d 32

1 , ln

；

6． 求下列函数的导数：

(1) ()?

=

x

tdt

t x F 0

cos ； (2) ()?

+=

3

2

1x

dt

t x F ；

(3) ()dt

e t x F x

x

t

?

-=

2

2； (4)

设??

???==

?

?

t

t

udu

y du

u x 0

0cos sin ，求

dx

dy 。

7． 试讨论函数()?

-=

x

t

dt te

x F 0

2

的极值。

8． 设当0≥x 时，函数)(x f 连续且

?

=2

3

)(x

x

dt t f 。求)(x f 。

9． 设2

2

3

30

40y

t x e dt y --++=?，求

dx

dy y =

'。

419

10． 求下列极限：

(1) x

dt t x

x ?

→0

2

cos lim

； (2) ?

?→x

x

x dt

t dt t 0

2

2

2

)2exp(]

)exp([lim

；

(3) ()2

1ln lim

x

dt t x

x ?

+→； (4) 3

1

cos 0

4ln lim

x

tdt

t x

x ?→。

11． 应用定积分求下列极限

(1) 2

1

l i m n

n k k n

→∞

=∑

； (2) 2

2

2

22lim 1

2

n n

n n

n n n n →∞

?

?+

++

?

+++??

； (3) 1

1l i m s i n n

n k k n n

π

→∞

=∑

； (4) 1

12lim

(0)p p p

p n n

p n

+→∞

+++> ；

(5)

l i m 1)n →∞

??

+

++

?

； (6) )21211

1(

l i m n

n n n +

+++

+∞

→ ； (7) ∑

=∞

→+n

i n i

n i 1

2

2

lim

；

(8)

l i 1)

n →∞

。 12．

设 ],,[b a C f ∈ 0)(≥x f 但0)(≡/x f 。证明dx x f b

a

)(?>0。

13． 证明不等式

?

<-

<

2

2

2

sin

2112

π

π

π

x

dx 。

14． 证明 (1) ?=∞

→2

0cos

lim

π

xdx n

n ； (2) ?=+∞

→1

1lim

dx

x x

n

n 。

420

15． 设()f x 在[0,) +∞连续且单调递增，求证：函数

1

()()x F x f t dt

x

=

?

在(0,) +∞上连续且单调递增。

§5 复合函数的全微分与求导法则

5.1 多元复合函数的链导法则

1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形

定理 5.1 若函数()y x f z ,=在()y x ,可微，而()t x ?=，()t y ψ=在t 可导，则复合函数()()[]t t f z ψ?,= 在 t 也可导，且

证明 给自变量t 一个改变量t ?，相应有x ?与y ?，从而有z ?。由可微定义，有

(),x y

z f x y f ⅱD =+()y x ,y ?ρα?+， (5.2)

其中()()2

2

y x ?+?=ρ，0lim 0

=→αρ，因为在0→?t 的过程中，x ?与y ?可能同

时为0，即0=ρ。规定：当0=ρ时，0=α。

等式(5.2)两端用t ?除之，有

()

()

,,x y z x y f x y f x y t

t

t

t

r a

D D D ⅱ=++D D D D 。

等号两端取极限0→?t ，有

=??→?t

z t 0

lim

(),x f x y ￠t

x t ??→?0

lim

.+(),y f x y ￠t

y t ??→?0

lim

.+0

lim →?t t

?ρ

α

0lim →?t t ?ρ

α=0lim →?t 0

.2

2

=??

?

????+??? ????t y t x α，

即

+

??=

dt

dx x z dt

dz dt

dy y z ??。

类似的有，若函数()n x x x f z ...,,21=在()n x x x ...,,21可微，而()t x k k ?=在t 可导()n k ,...,2,1=，则复合函数()()()[]t t t f z n ???,...,,21=在t 也可导，且

421

2 复合函数的中间变量有多元函数的情形

定理5.2 若函数()y x f z ,=在()y x ,可微，而()s t x ,?=与()s t y ,ψ=在()s t ,存在偏导数，则复合函数()()[]s t s t f z ,,,ψ?=在()s t ,存在偏导数，且

证明 将s 看作常数，应用定理5.1，得(5.4)式。将t 看作常数，再应用定理5.1，得(5.5)式。

如果中间变量的个数或自变量的个数多于2，并满足相应的条件，则有类似的结果。例如，若f u =()z y x ,,在()z y x ,,可微，而()()()s t z z s t y y s t x x ,,,,,===在

()s t ,都存在偏导数，则

+

????=??t x x u t u +

????t y y u t z z u ????

+????=??s

x x u s

u +

????s

y y u s

z z u ????

例5.1 设函数y x z =，而,cos ,sin t y t x ==求dt

dz 。

解 由公式(5.1)，有

+

??=dt

dx x z dt dz dt

dy y z ??=()t x x t yx y y sin ln cos 1-?+- =x t x t yx y y ln sin cos 1?--。

例5.2 设函数x y z =而,12x y -=求

dx

dz 。

解

+

??=dx

dx x z dt dz dx

dy y z ??==--?

+

-

2

2

1221

x

x

x x

y 2

2

11x

x

y --

-

422

=y

x y x y

x

y 2

2

22

1+-

=-

-

。

例5.3 设函数()t

z s t y e x y x z s t ??+==+=+求,,,ln 222

，

s

z ??

解 由公式(5.4)与公式(5.5)，有

+

????=??t x x z t z t y y z ????=

t

y

x e

y x x s

t 2122

2

2

++

++=

()t

xe

y x s

t +++2

2

2， +

????=??s

x x z s

z s

y y z ????=

y

x se

y

x x s

t ++

++2

21

222

=

()1

41

2

2

+++s

t sxe

y

x 。

例5.4 设)z

F

y F x F xyz xy x f F ??????=,,,,，求

。

解 设,,,w xyz v xy u x ===有(),,,w v u f F =并用123,,f f f ⅱ 分别代替

,v f u f

????，w f ??。于是

+????=??x

u u f x

F +????x

v v f x

w w f ????=123f f y f yz ⅱ +? ；

+

????=

??y u u f y F +

????y v v f y w w f ????=23f x

f xz

ⅱ? ；

+????=??z

u u f z

F +

????z

v v f z

w w f ????=3f xy ￠×。

例5.5 证明：若()则而,sin ,cos ,,θθr y r x y x u u ===

2

??

?

????r u +=???

????2

21θu r +???

????2

x u 2

???? ????y u 。

证明

+

????=

??r x x u r u r y y u ????θ

θsin cos y

u x u ??+

??=；

+????=??θ

θ

x x u u θ

????y y u θ

θcos sin r y

u r x

u ??+

??-

=；

于是，

2

??

?

????r u +=??

? ????2

21θu r +???? ????+??2sin cos θθy u x u 2

cos sin ?

??

? ????+??-θθy u

x u

423

=2

?

?

?

????x u +2

???

?

????y u 。

例5.6 设()z y x f u ,,=，而()()x z z x y y ==,。求dx

du 。

解 由公式(5.3)，有

dx

dz z f dx

dy y f x

f dx

du ??+??+??=。

5.2 微分形式不变性

一阶微分有个很重要性质——形式不变性。在多元函数中也有类似的性质。 设z =f (u ，v )具有连续偏导数，则有全微分

如果z =f (u ， v )具有连续偏导数，而u =?(x ，y )， v =ψ(x ，y )也具有连续偏导数，则

dy y

z dx x

z dz ??+??=

dy y v v z y

u u z dx x v v z x

u u z )()(????+????+????+????=

)()(dy y

v dx x

v v z dy y

u dx x u u z ??+????+??+????=

dv

v

z du u

z ??+

??=

。

由此可见，无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数，它的全微分形式是一样的。这个性质叫做全微分形式不变性。

注 一般地讲，高阶微分没有微分形式不变性这一性质，如下例： 设v u y v u x y x z +==+=,,2。则

2

2

2

2

2

22

2

2

2

24z z

z d z du dudv dv vdu ududv

u

u v

v

???=

++

=+????

如果二阶微分有形式不变性，则有：

2

2

2

2

2

2

2

2

2

dy

y

z dxdy y

x z

dx

x

z z d ??+

???+??=

。

但

02

2

2

2

2

2

==??=

???=

??dz

y

z y

x z

x

z ，从而。