巧解圆中最值问题
巧解圆中的最值问题
求最值是常见的数学问题，几何最值又是各地中考中的热门话题.随着直线型问题逐渐被我们熟悉，圆中的最值问题也走进了我们的视野.
基本模型
如图1、2，平面内有一定点A 和一动点P ,点P 的运动轨迹是圆O ，连结AO 并延长，分别交圆于B C 、两点，则AB 为AP 的最小值，AC 为AP 的最大值，即最小值为AO -半径，最大值为+AO 半径.
类型1 定点定长定圆
例1 如图3，在ABC ?中，90ACB ∠=?，30ABC ∠=?，将ABC ?绕顶点C 顺时针旋转，得到MNC ?，P Q 、分别是AC MN 、的中点，2AC =，连结PQ ，则旋转时PQ 长度的最大值是( ).
(A) 26 (B) 23 (C) 6 (D) 3
分析连结CQ ，点P 是定点，点Q 是动点，欲求PQ 长度的最大值，就得知道Q 的运 动轨迹.在这里，可以利用点Q 是Rt MNC ?斜边的中点，得出CQ 是定值，到定点的距离等
于定值，由圆的定义可以联想到运动轨迹是圆.再结合基本模型，可以得出PQ 长度的最大值为'3PC CQ +=，所以选D.
例2 (2015年宁波考纲)如图4，二次函数2
(0)y ax bx c a =++≠的图象交x 轴于点(1,0)(4,0)A B -，，交y 轴于点(0,2)C ，过B ，C 画直线，并连结AC .
(1)求二次函数的解析式和直线BC 的解析式.
(2)点F 是线段BC 上的一点，过点F 作ABC ?内接正方形DEFG ，使得边DE 落在x 轴上，点G 在AG 上，GF 交y 轴于点M .
①求该正方形的边长;
②将线段EF 延长，交抛物线于点H ，那么点F 是EH 的中点吗请说明理由.
(3)在(2)的条件下，将线段BF 绕点B 旋转，在旋转的过程中，点P 始终为CF 的中 点，请直接写出线段OP 的最大值.
分析 (1)二次函数解析式为
213222
y x x =-++ 直线解析式为122
y x =-+ (2)①107
，②不是； (3)本题中，O 是定点，P 是动点，取BC 的中点K ，连结BF PK ，，由题意，得 155(2,1)27
PK BF K ==， 所以P 的运动轨迹是一个以K 557OP 的最大值为 5125577
OK =
类型2 定线定角定圆
例3 (2016年宁波考纲)如图5，在等腰Rt ABC ?中，2AB BC ==，点P 为等腰 Rt ABC ?所在平面内一点，且满足PA PB ⊥，则PC 的取值范围为 . 分析 根据条件可知线段AB 是定值，且AB 所对的张角APB ∠是定值，根据同弧所对的圆周角相等可知，动点P 的运动轨迹在过点A B P 、、三点的圆周上(不与A B 、重合).
又因为90APB ∠=?，所以AB 恰好是直径。连结CO 并延长交圆O 分别为12P P 、，故 1CP 最小，2CP 最大，所以PC 的取值范围为
5151PC -≤≤+
例4 (2013年武汉中考题)如图6，E 、F 是正方形ABCD 的边AD 上两个动点，满足AE DF =，连结CF 交BD 于点G ，连结BE 交AG 于点H 。若正方形的边长为2，则线段DH 长度的最小值是 。
分析在确定动点H 的轨迹时，需要我们先去证明90AHB ∠=?。因为AE DF =，易 证ABE DCF ???，得到DCF ABE ∠=∠，由正方形对称性可知DAG DCG ???，得到DCF DAG ∠=∠，所以90AHB ∠=?.
再考虑到E 、F 是边AD 上两个动点，所以动点H 的轨迹是以AB 中点为圆心，1
2
AB
为半径的14圆，连接OD ，故可求得DH 长度的最小值是51-. 例5 (2016年宁波考纲)如图7，⊙O 半径为3 , Rt ABC ?的顶点A ，B 在⊙O 上，90B ∠=?，点G 在⊙O 内，且3tan 4
A =，当点A 在圆上运动时，OC 的最小值为（ ） (A) 2 (B) 32 (C) 3 (D) 53
分析 O 是定点，C 是动点，确定点C 的运动轨迹是本题的难点.延长AC 交圆于点E ,
连结EO 并延长，交圆于点F ，连结FB .
因为3tan 4
A =，所以AC
B ∠为定值，即BCE ∠为定值. 因为⊙O 半径为3，F A ∠=∠，所以185EB =
，符合定线定角定圆这种类型，故点C 的运动轨迹是过B C E ，，三点的圆弧且在⊙O 内部.
不妨设圆心为1O ，连结1O E ，1O O
因为1180BCE D O D ∠+∠=?∠=∠，
所以1180BCE O ∠+∠=?
易得1=O ACB FEB ∠∠=∠
所以1EO O ?为直角三角形，
且14tan 3
O = 因为3OE =
所以1191544O E O O ==， 所以最小值为1132O O O E -=
例6 (2016年宁波考纲)边长为3的等边ABC ?的顶点A 在x 轴的正半轴上移动，顶 点B 在射线OD 上移动，30AOD ∠=?，则顶点C 到原点O 的最大距离为 . 分析 此题定点是点O ，动点是点C ，尽管3AB =是确定的，但由于点A B ，都是在动的，故确定点C 的运动轨迹时难度仍较大.
不妨换个角度来看问题，正难则反，把正ABC ?看成是不动的，此时平面直角坐标系在动，原点O 在运动时满足30AOB ∠=?，而AOD ∠所对的边AB 是不变的，符合定线定角定圆这种类型，所以点O 的运动轨迹是过点A B O ，，三点的圆弧(优弧BA 上)，取圆心E ，连结EA EB ，
因为30AOB ∠=?，所以60AEB ∠=? ,
即ABE ?是边长为2的正三角形，23CE =.
连结CE 并延长，交圆于点'O ，此时'CO 最大，最大值为
232CE +=+半径
从上面的几个例子中可以发现，模型中难度最大的就是如何判断动点的运动轨迹是一个圆.尽管不外乎利用定点定长和定线定角来定圆这两种类型，但在实际的解题过程中，会遇到各种困难，这时就需要我们利用题目的已知条件，挖掘潜在的结论，把隐藏在里面的圆还原出来.
圆中的最值问题
圆中的最值问题 Prepared on 24 November 2020
圆中的最值问题 【考题展示】 题1 (2012年武汉中考)在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 (2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求a b +的最大值.（有修改） 题3 (2013年武汉四调)如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为_________． 题4 (2013年武汉五模)在△ABC中，120 A BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最 ∠=?，6 大值为_________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF 交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 _________． 题1图题2 图题3 图
题4图题5图 【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O的距离的最大值是_________． 在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°，AC=8，BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图），求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 如图，在平面直角坐标系中，已知等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； （3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值，并说明理由．
(完整版)圆最值问题题型归纳
x 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22 (3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22 (3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小 值的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？ 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：22 1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ?u u u r u u u r 的最小值为
例5已知圆C ： 22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点， （1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值． 6、已知e C 过点)1,1(P ,且与e M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求e C 的方程； (Ⅱ)设Q 为e C 上的一个动点,求PQ MQ ?u u u r u u u u r 的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与e C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆 心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分 矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切， 试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆． l P E C M
圆中有关最值问题一.doc
圆中有关最值问题（1）教学设计 一、设计思路： 圆中有关最值问题是中考数学中的重要内容，是综合性较强的问题，它贯穿初中数学的 始终，是中考的热点问题。其运用性质有：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三边关系定 理、对称法等。本节课以例题入手来研究圆中的有关最值问题。 二、学情分析 学生知识技能基础：学生在前面几节课已经认识了圆，学习了圆的有关知识，以及数学 的基本结论：圆中直径是最长的弦、垂线段最短、三角形三边关系等基本知识，这些为本节 课的学习奠定了良好的知识技能基础。 学生活动经验基础：通过以往的数学学习，学生已经具有了一些数学活动经验的基础； 另一方面，在以往的数学活动中，学生已经经历了很多合作交流的学习过程，具有了一定的 合作学习的经验，具备了一定的合作交流的能力。 三、教学目标 知识与技能： 1、会利用直径是圆中最长的弦这一基本结论解决有关最值问题； 2、会利用圆外一点与圆上各点的连线中最短与最近距离这一基本事实，解决圆中有关最值问题。 方法与途径： 通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念，培养学生动手动脑、发现 问题及解决问题的能力，以及推理能力和有条理的表达能力。 情感与评价： 通过实际操作、画图等活动，培养学生的动手能力，提高学生的识图技能，使学生的思 维变得更加灵活。 现代教学手段： 多媒体和几何画板的合理应用，增加了课时内容，激发了学生学习的积极性，突破了教 学重点、难点的同时，更重要的是使复杂问题更加简单化，通过清楚的动画演示，使学生进 一步感受何时取得最大值问题。 四、教学重点与难点 教学重点：将试题转化为最值中的有关模型 教学难点：将试题转化为最值中的有关模型的方法
“隐圆”最值问题习题
B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角
人教版九年级数学上册：探解圆中最值问题的三种 基本思路
探解圆中最值问题的三种基本思路 圆中探求最值是近几年中考的一个凸显亮点，背景丰富有创意，解法灵活有创新，可谓八仙过海，各显其能，是一个值得深思和探究的好课题.下面就结合2019年的考题，向大家推荐这类最值的探解基本思路，供学习时借鉴. 一、直径是圆中最长的弦为依据求最值 1.探求三角形中位线的最大值 例1 （2019年东营）如图1，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°， 若点M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则MN 的最大值是 ． 解析：因为点M ，N 分别是BC ，AC 的中点，所以MN=2 1AB ，所以当弦AB 取得最大值时，MN 就取得最大值，因为直径是圆中最大的弦，所以当弦AB 是直径时，AB 最大，如图1，连接 AO 并延长交⊙O 于点B ′，连接CB ′，因为AB ′是⊙O 的直径，所以∠ACB ′=90°． 因为∠ABC=45°，AC=5，所以∠AB ′C=45°，所以AB ′=2255 =52，所以MN 的最大 值为最大MN =225．所以应该填． 点评：当线段是圆的某条弦时，熟记直径是圆中最大的弦是解题的关键. 2.探求圆上动点到定弦的最大值 例2（2019?广元）如图2，△ABC 是⊙O 的内接三角形，且AB 是⊙O 的直径，点P 为⊙O 上 的动点，且∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，则点P 到AC 距离的最大值是 ． 解析：如图2，过O 作OM ⊥AC 于M ，延长MO 交⊙O 于P ，则此时，点P 到AC 的距离最大，且点P 到AC 距离的最大值=PM ，因为OM ⊥AC ，∠A=∠BPC=60°，⊙O 的半径为6，
隐圆最值问题
隐圆最值问题 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
B M C D A E F D C B A B D C F A “隐圆”最值问题 分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题。 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是 __________． 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是__________． 【例2】如图，在Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC 2AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是 ． 【例3】如图，已知边长为2的等边△ABC ，两顶点A 、B 分别在平面直角 坐标系的x 轴、y 轴的正半轴上滑动，点C 在第一象限，连接OC ，则OC 长的最大值是（ ） A ．2 B ．1 C ．3 D ．3 【练1】如图，在矩形ABCD 中，AB = 2，BC 3A 、B 分别在平面
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题 真题感悟 (2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切. (1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径； (2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由. 解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a). 因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4. 故⊙M的半径r＝2或r＝6. (2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值. 理由如下： 设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x. 因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1. 因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1， 所以存在满足条件的定点P. 考点整合 1.最值与范围问题 (1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解. (2)常见的最值问题有以下几种类型： ①形如μ＝y－b x－a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；
③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. (3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ. 2.定点问题的求解步骤 (1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量. (2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数). (3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证. 3.定值问题的处理 (1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值. (2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形. 热点一 最值与范围问题 【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －1 2被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方. (1)求圆M 的方程； (2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值. 解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－? ?? ? ?322 ＝12， ∴ |8a －3|82＋（－6）2＝1 2 ，
圆中的最值问题
圆中的最值问题 【考题展示】 题1 （2012年武汉中考）在坐标系中，点A的坐标为（3,0),点B为y轴正半轴上的一点,点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 题2 （2013年武汉元调)如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧AB上的一个动点(不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b，求 +的最大值.（有修改） a b 题3 (2013年武汉四调)如图,∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P 为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点,连接DE，则线段DE长度的最大值为_________．题4 （2013年武汉五模）在△ABC中,120 BC=．若△ABC的内切圆半径为r，则r的最大值为 A ∠=?，6 _________．（有修改） 题5 (2013年武汉中考)如图，E,F是正方形ABCD的边AD上两个动点,满足AE=DF．连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2,则线段DH长度的最小值是_________． 题1图题2 图题3 图
【典题讲练】 类型1（相关题：题5） 1.1 如图，边长为a的等边△ABC的顶点A，B分别在x轴正半轴和y轴正半轴上运动，则动点C到原点O 的距离的最大值是_________． 1。2在直角坐标系中，△ABC满足，∠C=90°,AC=8,BC=6，点A，B分别在x轴、y轴上，当A点从原点开始在正x轴上运动时，点B随着在正y轴上运动（下图)，求原点O到点C的距离OC的最大值，并确定此时图形应满足什么条件． 1。3如图，在平面直角坐标系中,已知等腰直角三角形ABC,∠C=90°，AC=BC=2，点A、C分别在x轴、y轴上，当点A从原点开始在x轴的正半轴上运动时，点C在y轴正半轴上运动． （1）当A在原点时，求点B的坐标； （2)当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB； (3）在运动的过程中，求原点O到点B的距离OB的最大值,并说明理由．
高中数学例析圆中的最值问题专题辅导
高中数学例析圆中的最值问题 在解圆中的最值问题时，涉及到二元函数变量的取值范围，直接涉及到不等式的有关性质，如果不注意合理使用不等式的性质，就会造成错解，下面分析一例。 例：平面上有两点A （-1，0），B （1，0），P 为圆x y x y 2268210+--+=上的一点，试求S AP BP =+||||22的最大值与最小值，并求相应的P 点坐标。 错解1：把已知圆的一般方程化为标准方程得()()x y -+-=34422 ，设点P 的坐标 为(,)x y 00，则S AP BP x y x y x y =+=+++-+=++||||()()()220202020202021121 点P （x y 00,）在已知圆上， ∴+=+-x y x y 020******* ∴=+-+=+-S x y x y 268211434100000()() ()()x y x x 020******* 23215 -=--≤∴-≤-≤≤≤， 同理，()()y x y y 020200443424226-=--≤-≤-≤≤≤，， ∴≤≤≤≤≤+-≤331584244434101160000x y x y ，，()，即4116≤≤S 。 ∴S 的最大值为116，最小值为4。 错解2：设点P 的坐标为（x y 00,），则S AP BP x y =+=+++||||()220202 1 ()()()x y x y x y 02020202 00121221-+=++≥+ 当x y 00=时等号成立，把x y 00=代入圆的方程化简，得214210020x x -+=，解得x 0772 =±，取较小值得x y 00772==-，这时 S ≥-+=-22772 1581472[()]。 ∴S 的最小值为58147-，而无最大值。 错因分析1：在错解1中，产生错误的原因，在于把x y 00、看成相互独立的，能同时达到最大值、最小值的量。实际上x y 00、作为两个“变量”是相互联系的，它们同时受()()x y 0202344-+-=的约束，这个约束条件表示了x 0与y 0的最大取值区间。但是，当x 0、y 0成为没有联系的独立变量后，就不一定同时满足()()x y 0202344-+-=约束条件了，离开了约束条件的变量肯定会扩大解集。例如当x 0取得最大值5时，y 0只能等于4，不能取得最大值6；当y 0取得最大值6时，x 0只能等于3， 不能取得最大值5。同样x y 00、也不能同时取得最小值。 在不等式的性质中，若“a b c d a c b d >>?+>+，”，但反之，由“a c b d +>+?/a b c d >>，”，也就是说，a b c d a c b d >>+>+，是的充分不必要条件。 错解用的是放缩变形，不是同解变形，故改变了解集，比如：设a m n ∈[]，， b p q ∈[,]，可以得到： a b m p n q a b m q n p +∈++-∈--[][]，，， 然而，由a b m p n q a b m q n p +∈++-∈-+[,],[,]却得不出a m n b p q ∈∈[][,]，，，只能得出 a m p q n q p b p m n q n m ∈+-+-∈+-+-[,],[,]2222 。这是因为a b a b -+与中的a b 、
中考数学压轴题突破-圆的双动点最值问题
中考数学压轴题突破 圆的双动点最值问题 1．如图，在△Rt ABC中，∠C=90°，AC=6， BC=8，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_____． 分析：本题中，要求点P到边AB距离的最小值，先要确定点P的运动轨迹．因为FP=FC=2，所以点P的运动轨迹是以点F为圆心，2为半径的圆弧（如图），过点F作FQ⊥AB，以F为圆心的弧与FQ的交点为满足条件的点P． 答案：6/5 这是动点轨迹为圆弧的一种类型，动点满足到定点的距离等于定长，确定动点的运动轨迹为以定点为圆心，定长为半径的圆（或一段弧）．
2.如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一个动点(不与B、D重合)，连结AP，过点B作直线AP的垂线，垂足为H，连结DH，若正方形的 边长为4，则线段DH长度的最小值是_______． 分析：要求线段DH长度的最小值，先要确定动点H的运动轨迹。在点P的运动过程中，∠AHB=90°，点H 的运动轨迹是以AB为直径的半圆，题目转化为圆外一点到圆上一点之间的最小距离的问题（如图），连结点D 和AB中点O，与半圆O交于点H，此时DH长度最小． 答案： 这一类动点满足与定线段构成一个直角三角形，且为直角顶点，则这个动点的轨迹是以定线段为直径的圆（或圆弧）。由特殊到一般，如果动点与定线段构成的三角形中，以动点为顶点的角度确定，这个动点的运动轨迹是以定线段为弦的圆（或圆弧）.
3.如图，正方形OABC的边长为4，以O为圆心，EF为直径的半圆经过点A，连接AE，CF相交于点P，将正方形OABC从OA与OF重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，交点P运动的路径长是（） 分析：这题看似动点很多，其实点A、B、C可看成是同一个动点，点P是第二动点，要求点P运动的路径长，先要确定点P的运动轨迹。因为四边形OABC是正方形，所以∠AOC=90°，所以∠AFC=45°，因为EF是直径，所以∠EAF=90°，∠APF=45°，∠EPF=135°，点P的运动轨迹是以EF为弦且该弦所对的一个圆周角为135° 的一段圆弧（如图）。求出这段圆弧所对圆心角以及所在圆半径便可解决问题． 答案：A. 由此可见，定线段和动点组成的三角形中，如果以动点为顶点的角度是定值，那么这个动点的运动轨迹是一个 圆（或一段圆弧）．
圆锥曲线的定点、定值和最值问题
圆锥曲线的定点、定值、范围和最值问题 会处理动曲线（含直线）过定点的问题；会证明与曲线上动点有关的定值问题；会按条件建 . 一、主要知识及主要方法： 1. 形式出现，特殊方法往往比较奏效。 2.对满足一定条件曲线上两点连结所得直线过定点或满足一定条件的曲线过定点问题，设该直线（曲线）上两点的坐标，利用坐标在直线（或曲线）上，建立点的坐标满足的方程（组），求出相应的直线（或曲线），然后再利用直线（或曲线）过定点的知识加以解决。 3.解析几何的最值和范围问题，一般先根据条件列出所求目标的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用参数法、配方法、判别式法、不等式法、单调性法、导数法以及三角函数最值法等求出它的最大值和最小值. 二、精选例题分析 【举例1】 （05广东改编）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x =上异于坐标原点O 的两不同 动点A 、B 满足AO BO ⊥． （Ⅰ）求AOB △得重心G 的轨迹方程； （Ⅱ）AOB △的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由． 【举例2】已知椭圆2 2142x y +=上的两个动点,P Q 及定点1,2M ? ?? ，F 为椭圆的左焦点，且PF ，MF ，QF 成等差数列.()1求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； ()2设点A 关于原点O 的对称点是B ，求PB 的最小值及相应的P 点坐标. 【举例3】（06全国Ⅱ改编）已知抛物线2 4x y =的焦点为F ，A 、B 是抛物线上的两动点，且 AF FB λ=u u u r u u u r （0λ>）．过A 、B 两点分别作抛物线的切线（切线斜率分别为0.5x A ，0.5x B ），设其交点为 M 。 （Ⅰ）证明FM AB ?u u u u r u u u r 为定值；
“隐圆”最值问题
B M C D A E F D C B A B E D C F A “隐圆”最值问题 教学目标：让学生掌握各类隐藏圆的最值求法 教学重难点：分析题目条件发现题目中的隐藏圆，并利用一般的几何最值求解方法来解决问题 【例1】在平面直角坐标系中，直线y = - x + 6分别与x 轴、y 轴交于点A 、B 两点，点C 在y 轴的左边，且∠ACB = 90°，则点C 的横坐标x C 的取值范围是__________． 分析：在构造圆的前提下 考虑90°如何使用。直角对直径所以以AB 为直径画圆。使用垂径定理即可得到3-20c x ≤<3 【练】（2013-2014·六中周练·16）如图，已知Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 3，BC = 4，点D 是AB 的中点，E 、F 分别是直线AC 、BC 上的动点，∠EDF = 90°，则EF 长度的最小值是______ 25 6 ____． 分析：过D 点作DE 垂直AB 交AC 于点M 可证△FBD ∽△ECD 即可 求出最小值 【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，D 是AC 的中点， M 是BD 的中点，将线段AD 绕A 点任意旋转（旋转过程中始 终保持点M 是BD 的中点），若AC = 4，BC = 3，那么在旋转 过程中，线段CM 长度的取值范围是_______________． 分析：将线段AD 绕A 点任意旋转隐藏着以A 为圆心AD 为半径的圆构造 出来。接下来考虑重点M 的用途即可。中点的用法可尝试下倍长和中位线。 此题使用中位线。答案是 3722 c x ≤≤ 【练】已知△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE = 90°，AC = 22，AD = 1，F 是BE 的中点，若将△ADE 绕点A 旋转一周，则线段AF 长度的取值范围是4242 22 AC -+≤≤． 分析：同例题
中考压轴题专题(十)圆中定值问题
1、如图10，扇形OAB 的半径OA=3，圆心角∠AOB=90°，点C 是?AB 上异于A 、B 的动点，过点C 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E ，连结DE ，点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE （1）求证：四边形OGCH 是平行四边形 （2）当点C 在?AB 上运动时，在CD 、CG 、DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线 段的长度 （3）求证：2 23CD CH 是定值
2、（2010年四川凉山州）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠，顶点(1,4)C -，与x 轴交于A 、 B 两点， (1,0)A -。 (1) 求这条抛物线的解析式； (2) 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线的对称轴交于点F ，依次连接A 、D 、B 、E ，点Q 为线段AB 上一个动点（Q 与A 、B 两点不重合），过点Q 作QF AE ⊥于F ，QG DB ⊥于G ， 请判断 QF QG BE AD +是否为定值；若是，请求出此定值，若不是，请说明理由； (3) 在（2）的条件下，若点H 是线段EQ 上一点，过点H 作MN EQ ⊥，MN 分别与边AE 、BE 相交于M 、N ，（M 与A 、E 不重合，N 与E 、B 不重合），请判断QA EM QB EN =是否成立；若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由。 A B x G F M H E N Q O D C y
3、（2010年深圳）如图10，以点M （－1,0）为圆心的圆与y 轴、x 轴分别交于点A 、B 、C 、D ，直线y ＝－ 33 x － 53 3 与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ． （1）请直接写出OE 、⊙M 的半径r 、CH 的长； （2）如图11，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP :PH ＝3:2，求cos ∠QHC 的值； （3）如图12，点K 为线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN ·MK ＝a ，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由． x D A B H C E M O F 图10 x y D A B H C E M O F 图11 P Q x y D A B H C E M O F 图12 N K y
2016年中考压轴题专题：与圆有关的最值问题(附答案)
与圆有关的最值（取值范围）问题 引例1：在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是_________． 引例2：如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作⊙O，C为半圆弧上的一个动点（不与A、B两点重合），射线AC交⊙O于点E， ?AB BC=，AC=，求的最大值. a b a b 引例3：如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切，P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE 长度的最大值为( ). A．3 B．6 C D． 一、题目分析： 此题是一个圆中的动点问题，也是圆中的最值问题，主要考察了圆内的基础知识、基本技能和基本思维方法，注重了初、高中知识的衔接 1．引例1：通过隐藏圆（高中轨迹的定义），寻找动点C与两个定点O、A构成夹角的变化规律，转化为特殊位置（相切）进行线段、角度有关计算，同时对三角函数值的变化（增减性）进行了延伸考查，其实质是高中“直线斜率”的直接运用； 2．引例2：通过圆的基本性质，寻找动点C与两个定点A、B构成三角形的不变条件，结合不等式的性质进行转化，其实质是高中“柯西不等式”的直接运用； 3．引例3：本例动点的个数由引例1、引例2中的一个动点，增加为三个动点，从性质运用、构图形式、动点关联上增加了题目的难度，解答中还是注意动点D、E与一个定点A 构成三角形的不变条件（∠DAE=60°），构造弦DE、直径所在的直角三角形，从而转化为弦DE与半径AP之间的数量关系，其实质是高中“正弦定理”的直接运用； 综合比较、回顾这三个问题，知识本身的难度并不大，但其难点在于学生不知道转化的套路，只能凭直观感觉去寻找、猜想关键位置来求解，但对其真正的几何原理却无法通透. 二、解题策略 1．直观感觉，画出图形； 2．特殊位置，比较结果； 3．理性分析动点过程中所维系的不变条件，通过几何构建，寻找动量与定量（常量）之间的关系，建立等式，进行转化.
圆中的最值问题
拔咼专题圆中的最值问题 、基本模型构建 图 （1）图（2） 图（1）两点之间线段最短； 图（2）垂线段最短。 ?在直线L上的同侧有两个点 A、B,在直线L上有到A、B 的距离之和最 短的点存在，可以通过轴对称来确定， 即作出其中一点关于直线L的对称 点，对称点与另一点的连线与直线L 的交点就是所要找的点. 二、拔高精讲精练 探究点一：点与圆上的点的距离的最值问题 例1:如图，A点是O O上直径MN所分的半圆的一个三等分点，B点是弧AN的中点，P 点是MN上一动点，O O的半径为3，求AP+BP的最小值。 解：作点A关于MN的对称点A '，连接A ' B，交MN于点P,连接0A AA ???点A与A '关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点， :丄 A ' 0N= / AON=60 ° , PA=PA 点B 是弧AN 的中点， ???/ BON=30 ° ,?/ A ' 0B= / A ' 0N+ / BON=90。，又T OA=OA ' =3, ??? A' B=3?,2 ?两点之间线段最短，??? PA+PB=PA ' +PB=A ' B=3 S . 常见模型 思考
【教师总结】解决此题的关键是确定点P的位置.根据轴对称和两点之间线段最短的知识, 把两条线段的和转化为一条线段，即可计算。 探究点二：直线与圆上点的距离的最值问题
例2:如图，在Rt△ AOB中，0A=0B=3 . 2 , O O的半径为1点P是AB边上的动点, 过点P作O 0的一条切线PQ (点Q为切点)，求切线PQ的最小值 解：连接OP、OQ.T PQ是O 0的切线，??? 0Q丄PQ;根据勾股定理知PQ2=Op2-OQ2, Rt △ AOB 中，OA=OB=3 .2 , ? PQ= 'OP? OQ? =2、2 . 【变式训练】如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点0为圆心，2为半径画O 0, P是O 0是一动点且P在第一象限内，过P作O 0切线与x轴相交于点A ,与y轴相交于点B.求 解：(1)线段AB长度的最小值为4, 理由如下： 连接0P, ?/ AB 切O 0 于P, ?0P丄AB , 取AB的中点C, ?AB=20C ; 当OC=OP时，0C最短， 即AB最短， 此时AB=4 .
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题总结
椭圆大题定值定点、取值范围、最值问题等总结 一、直线与椭圆问题的常规解题方法： 1．设直线与方程；(提醒：①设直线时分斜率存在与不存在；②设为y kx b =+与x my n =+的区别) 2．设交点坐标；(提醒：之所以要设是因为不去求出它，即“设而不求”) 3．联立方程组； 4．消元韦达定理；(提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单) 5．根据条件重转化；常有以下类型： ①“以弦AB 为直径的圆过点0”(提醒：需讨论k 是否存在) 121212100OA OB k k OA OB x x y y ?⊥?=??-?=?+=u u u r u u u r ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ?“直角、锐角、钝角问题” ? “向量的数量积大于、等于、小于0问题”12120x x y y ?+>； ③“等角、角平分、角互补问题”令斜率关系(120k k +=或12k k =)； ④“共线问题” (如：AQ QB λ=?u u u r u u u r 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法)； (如：A O B ，，三点共线?直线OA 与OB 斜率相等)； ⑤“点、线对称问题”?坐标与斜率关系； ⑥“弦长、面积问题”?转化为坐标与玄长公式问题(提醒：注意两个面积公式的合理选择)； 6．化简与计算； 7．细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线、双曲线问题中二次项系数是否会出现0． 二、基本解题思想： 1．“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明定值问题的方法： (1)常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关； (2)也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明． 4．处理定点问题的方法： (1)常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点； (2)也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明， 5．求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法(转化为二次函数的最值)、三角代换法(转化为三角函数的最值)、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6．转化思想：有些题思路易成，但难以实施．这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转
圆最值问题题型归纳
x y O C 圆中最值问题 类型一 圆上一点到直线距离的最值问题 例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ： 22(3)1x y -+=上任一点，则PQ 的最小值为 . 变题1：已知A (0,1),B (2,3),Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QAB S V 的最小值为 . 变题2：由直线y=x +1上一点向圆C ：22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则当PC= 时，APB ∠最大． 变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 . 例2已知圆C ：222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆 引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小 值的点P 坐标． 类型二 利用圆的参数方程求最值（或几何意义） 例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值． 如在上例中，改为求 12 y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围，该怎么求解？ 类型三：转化成函数或不等式求最值 例4已知圆O ：22 1x y +=，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，则PA PB ? 的最小值为
例5已知圆C ：22+24x y +=（）， 过点(1,0)A -做两条互相垂直的直线12l l 、，1l 交圆C 与E 、F 两点，2l 交圆C 与G 、H 两点， （1）EF +GH 的最大值．(2) 求四边形EGFH 面积的最大值． 6、已知 C 过点)1,1(P ,且与 M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称. (Ⅰ)求 C 的方程； (Ⅱ)设Q 为 C 上的一个动点,求PQ MQ ? 的最小值； (Ⅲ)过点P 作两条相异直线分别与 C 相交于B A ,,且直线PA 和直线PB 的倾斜角互补,O 为坐标原点,试判断直线OP 和AB 是否平行?请说明理由. 7、如图，在矩形ABCD 中，3,1AB BC ==，以A 为圆 心1为半径的圆与AB 交于E （圆弧DE 为圆在矩形内的部 分） （Ⅰ）在圆弧DE 上确定P 点的位置，使过P 的切线l 平分 矩形ABCD 的面积； （Ⅱ）若动圆M 与满足题（Ⅰ）的切线l 及边DC 都相切， 试确定M 的位置，使圆M 为矩形内部面积最大的圆． l P E C A B M D
与圆有关的最值问题,附详细答案
与圆有关的最值（取值范围）问题，附详细答案 姓名 1.在坐标系中，点A的坐标为(3，0)，点B为y轴正半轴上的一点，点C是第一象限内一 点，且AC=2．设tan∠BOC=m，则m的取值范围是____ _____． 2.如图，在边长为1的等边△OAB中，以边AB为直径作⊙D，以O为圆心OA长为半径作圆 O，C为半圆AB上不与A、B重合的一动点，射线AC交⊙O于点E，BC=a，AC=b． （1）求证：AE=b+a； （2）求a+b的最大值； （3）若m是关于x的方程：x2+ax=b2+ab的一个根，求m的取值范围． 3.如图，∠BAC=60°，半径长为1的圆O与∠BAC的两边相切， P为圆O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的圆P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE， D． 则线段DE长度的最大值为( ). A．3 B．6 C． 2
4.如图，A点的坐标为（﹣2，1），以A为圆心的⊙A切x轴于点B，P（m，n）为⊙A上的一个动点，请探索n+m的最大值． 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M 为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是 . 6.如图是某种圆形装置的示意图，圆形装置中，⊙O的直径AB=5，AB的不同侧有定点C和动点P，tan∠CAB=．其运动过程是：点P在弧AB上滑动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q． （1）当PC= 时，CQ与⊙O相切；此时CQ= ． （2）当点P运动到与点C关于AB对称时，求CQ的长； （3）当点P运动到弧AB的中点时，求CQ的长． （4）在点P的运动过程中，线段CQ长度的取值范围为。 7.如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=D是线段BC上的一个动点，以AD 为直径作⊙O分别交AB，AC于E，F两点，连接EF，则线段EF长度的最小值为．
圆中定值问题
圆中定值问题 定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变 的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决. 图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别 交x轴、y轴于A、B、C、D四点. 此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知 识联系，演变成一系列定值问题. （以下各题如无特殊说明，圆心M的坐标（3，0），半径为5） 一.探究a b?型定值问题 例1.如图2，点P是上一动点，连接CP并延长交x轴于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在?为定值，并求其值. 上运动时，试探究MQ MH
二. 探究a b 型定值问题 例2.如图，点P是上一动点，过点C作⊙M的切线交x轴于点Q，连接PO，当点P在上运动时， 试探究PO PQ为定值，并求其值.
型定值问题 三. 探究a b 例3.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.
变式练习. 如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.
四. 探究11 a b +型定值问题 例4.如图，过C点作⊙M的切线交x轴于Q点，连接CA，过A点的直线EF交CQ于E点，交y轴于F 点，当直线EF绕点A旋转时，探究 11 CE CF +为定值，并求其 值.