2018届高三数学一轮复习专项检测试题: 空间向量与立体几何 Word版含答案-
空间向量与立体几何
一、选择题(每小题5分,共50分)
1. 与向量(-3,-4,5)共线的单位向量是 ( )
(A )(1052)和(105
2--); (B )(21052-;
(C )); (D )(2);
2. 在下列命题中:
①若向量,a b 共线,则向量,a b 所在的直线平行;
②若向量,a b 所在的直线为异面直线,则向量,a b 一定不共面;
③若三个向量,,a b c 两两共面,则向量,,a b c 共面;
④已知是空间的三个向量,,a b c ,则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x,y,z 使得p xa yb zc =++;其中正确的命题的个数是 ( )
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3
3. 已知A 、B 、C 三点不共线,点O 为平面ABC 外的一点,则下列条件中,能得到M ∈平面ABC 的充分条件是 ( )
(A )111222OM OA OB OC =++; (B )11
33
OM OA OB OC =-+;
(C )OM OA OB OC =++; (D )2OM OA OB OC =--
4. 已知点B 是点A (3,7,-4)在xOz 平面上的射影,则2()OB 等于 ( ) (A )(9,0,16) (B )25 (C )5 (D )13
5. 设平面α内两个向量的坐标分别为(1,2,1)、(-1,1,2),则下列向量中是平面的法向
量的是( )A (-1,-2,5) B (-1,1,-1) C (1, 1,1) D (1,-1,-1)
6. 如图所示,在正三棱柱ABC ——A 1B 1C 1中,若1,则AB 1与C 1B 所成的角的大小
为 ( )(A )60° (B )90° (C )105° (D )75°
7. 到定点()1,0,0的距离小于或等于1的点集合为( )
A.
()(){}222,,|11x y z x y z -++≤ B.()(){}222,,|11x y z x y z -++= C.()(){},,|11x y z x y z -++≤ D.(){}222,,|1x y z x y z ++≤
8. 已知,a b 均为单位向量,它们的夹角为60?,那么3a b +等于( )
A B C D .4
9. 在平面直角坐标系中, (2,3),(3,2)A B --,沿x 轴把平面直角坐标系折成120?的二面角后,
则线段AB 的长度为( ) A B . C . D .10. 已知α,β表示两个不同的平面,m 为平面α内的一条直线,则“β⊥”是“β”
的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
二、填空题(每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)
11. 若空间三点A (1,5,-2),B (2,4,1),C (p,3,q+2)共线,则p=______,q=______。
12. 设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点,DE ⊥AB 于E (如图).现将△ADE 沿DE 折起,使二面角A -DE -B 为45°,此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ,
则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________. 13. 如图,PA ⊥平面ABC ,∠ACB=90°且PA=AC=BC=a 则异面直线PB 与AC 所成角的余弦值等于________;
14.已知123F i j k =++,223F i j k =-+-,3345F i j k =-+,若123,,F F F 共同作用于一
物体上,使物体从点M (1,-2,1)移动到N (3,1,2),则合力所作的功是 .
三、解答题(本大题共四个小题,15题11分,16题11分,17题12分,共24分.解答应写出文字说明,证明过程或演算过程)
15. 设向量()(
)3,5,4,2,1,832,,a b a b a b =-=-?,计算并确定,λμ的关系,使
a b z
λμ+与轴垂直
16. 如图,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为1,P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点,且D 1P :PA=DQ :QB=5:12,
(1) 求线段PQ 的长度;
(2) 求证P Q ⊥AD ;
(3) 求证:PQ//平面CDD 1C 1;
17. 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=2
E ,
F 分别是AD ,PC 的中点
(Ⅰ)证明:PC ⊥平面BEF ;(Ⅱ)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小。
D C B A
E N M
18. 如图,四棱锥S-ABCD 的底面是矩形,AB=a,AD=2,SA=1,且SA ⊥底面ABCD,若边BC 上存在异于
B,C 的一点P ,使得PS PD ⊥.
(1)求a 的最大值;
(2)当a 取最大值时,求异面直线AP 与SD 所成角的大小;
(3)当a 取最大值时,求平面SCD 的一个单位法向量n
及点P 到平面SCD 的距离.
参考答案
1-5 AABBB 6-10 BACBB
11. 3,2 12. 2π
13. 14. 14 15. 解:323(3,5,4)2(2,1,8)a b -=--=(9,15,-12)-(4,2,16)=(5,13,-28)
a b ?=(3,5,-4)?(2,1,8)=6+5-32=-21
由()(0,0,1)(32,5,48)a b λμλμλμλμ+?=++-+(0,0,1)?480λμ=-+=
即当,λμ满足48λμ-+=0即使a b λμ+与z 轴垂直.
16. 解:以D 为坐标原点。DA 、DC 、DD 1分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系。由于正方体的棱长为1,所以D (0,0,0),D 1(0,0,1),B (1,1,0),A (1,0,0),∵P 、Q 分别是线段AD 1和BD 上的点,且D 1P :PA=DQ :QB=5:12,∴P 512(
,0,)1717,Q (55,,01717),∴512(0,,)1717
PQ =-,所以 (1)∴13||17
PQ PQ ==; (2)∵(1,0,0)DA =,∴0PQ DA ?=,∴P Q ⊥AD ;
(3)∵(0,1,0)DC =,1(0,0,1)DD =,∴15121717
PQ DC DD =-,又1,DD DC ?平面CDD 1C 1,PQ ?平面CDD 1C 1,∴PQ//平面CDD 1C 1;
高三数学知识点总结:立体几何
2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台:
定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β
C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33
立体几何与空间向量-浙江省台州市书生中学2020届高三数学复习专题练习(无答案)
立体几何 例1.在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC ,,6,8AB AC AB AC ⊥==,D 是线段AC 上一点,且3AD DC =.三棱锥P ABC -的各个顶点都在球O 表面上,过点D 作球O 的截面,若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π,则球O 的表面积为( ) A .72π B .86π C .112π D .128π 2.三视图 例2.某简单组合体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .164+π B .484π+ C .4812π+ D .4816π+ 3.常见几何体的体积计算公式 例3.已知直角三角形 ABC 两直角边长之和为3,将ABC ?绕其中一条直角边旋转一周,所形成旋转体体积的最大值为__________,此时该旋转体外接球的表面积为___________. 例4.如图,三棱锥的顶点,,,都在同一球面上,过球心且,是边长为等边三角形,点、分别为线段,上的动点(不含端点),且 ,则三棱锥体积的最大值为__________. 例5.如图,在几何体中,平面底面ABC , 四边形是正方形,,Q 是的中点,且,. 求证:平面; 求二面角 的余弦值.
例6.如图几何体中,底面ABCD 为正方形,PD ⊥平面ABCD , //EC PD ,且22PD AD EC ===.(1)求证://BE 平面PDA ; (2)求PA 与平面PBD 所成角的大小. 例7.已知三棱锥A BCD -的棱长均为6,其内有n 个小球,球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都 相切,球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切,如此类推,…,球n O 与三棱锥A BCD -的 三个面和球1n O -都相切(2n ≥,且n *∈N ),则球1O 的体积等于__________,球n O 的表面积等于__________. 例8.如图所示,在等腰梯形ABCD 中,,,E ,F 为AB 的三等分点,且将和分别沿DE 、CF 折起到A 、B 两点重合,记为点P . 证明:平面 平面PEF ; 若,求PD 与平面PFC 所成角的正弦值.
高中数学立体几何专题
高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体
的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。
高中数学:空间向量
空间向量 一、向量的基本概念与运算 1.定义:在空间内,把具有大小和方向的量叫空间向量,可用有向线段来表示.用同向且 等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. 2.零向量:起点与终点重合的向量叫做零向量,记为0或0. 3.书写:在手写向量时,在字母上方加上箭头,如a ,AB . 4.模:表示向量a 的有向线段的长度叫做向量的长度或模,记作||a 5.方向:有向线段的方向表示向量的方向. 6.基线:有向线段所在的直线叫做向量的基线. 7.平行向量:如果空间中一些向量的基线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量或平 行向量.a 平行于b 记为a b ∥. 8.向量运算:与平面向量类似; 二、空间向量的基本定理 1.共线向量定理:对空间两个向量a ,b (0b ≠),a b ∥的充要条件是存在实数x ,使a xb =. 2.共面向量:通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 3.共面向量定理:如果两个向量a ,b 不共线,则向量c 与向量a ,b 共面的充要条件是, 存在唯一的一对实数x ,y ,使c xa yb =+. 4.空间向量分解定理:如果三个向量a ,b ,c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在一 个唯一的有序实数组x ,y ,z ,使p xa yb zc =++.表达式xa yb zc ++,叫做向量a ,b ,c 的线性表示式或线性组合.
注:上述定理中,a ,b ,c 叫做空间的一个基底,记作{}a b c , ,,其中a b c ,,都叫做基向量. 由此定理知,空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 三、向量的数量积 1.两个向量的夹角 已知两个非零向量a b ,,在空间任取一点O ,作OA a =,OB b =,则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角,记作a b ??, .通常规定0πa b ??≤,≤.在这个规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且a b b a ??=??, ,.如果90a b ??=,°,则称a 与b 互相垂直,记作a b ⊥. 2.两个向量的数量积 已知空间两个向量a ,b ,定义它们的数量积(或内积)为:||||cos a b a b a b ?=??, 空间两个向量的数量积具有如下性质: 1)||cos a e a a e ?=??,;(2)0a b a b ??=; (3)2||a a a =?;(4)a b a b ?||≤||||. 空间两个向量的数量积满足如下运算律: 1)()()a b a b λλ?=?;(2)a b b a ?=?;(3)()a b c a c b c +?=?+?. 四、空间向量的直角坐标运算 前提:建立空间直角坐标系Oxyz ,分别沿x 轴,y 轴,z 轴的正方向引单位向量i j k ,,,这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}i j k ,,,这个基底叫做单位正交基底. 空间直角坐标系Oxyz ,也常说成空间直角坐标系[]O i j k ;, ,. 1.坐标 在空间直角坐标系中,已知任一向量a ,根据空间向量分解定理,存在唯一数组123()a a a ,,,使123a a i a j a k =++,1a i ,2a j ,3a k 分别叫做向量a 在i j k ,, 方向上的分量,有序实数组123()a a a ,,叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标.上式可以简记作123()a a a a =,,. 若123()a a a a =, ,,123()b b b b =,,, 则:112233()a b a b a b a b +=+++, ,;112233()a b a b a b a b -=---,,;