江西省六校2012届高三上学期第一次联考试题(数学理)

宁都中学 新干中学 黎川中学

上票中学 都昌中学 安义中学

命题人：上栗中学 审题人：宁都中学 彭伟平

一、选择题（每题5分，共50分）

1．若复数i a a z )2()2(2++-=为纯虚数,则

i

i a 212011++的值为（ ） A. 1 B. 1- C. i D. i - 2．若向量),2,4(),1,1(),1,1(=-==则c 等于（ ）

A. +3

B. -3

C. 3+-

D. 3+

3．设}{n a 是公比为q 的等比数列，1>q ，令),2,1(1 =+=n a b n n ，若数列}{n b 有连续四项在集合}82,37,19,23,53{--中，则q 等于（ ）

A. 21-

B. 21

C. 2

3- D. 23

4．某几何体的三视图如图，它的表面积为（ ）

A. 52+

B. 53+

C. 532+

D. 523+

5．如果对于任意实数x ,][x 表示不超过x 的最大整数,例如0]6.0[,3]27.3[==,那么“][][y x =”是“1<-y x ”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

6． 若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为（ ）

A ． n ≤5

B ． n ≤6

C ． n ≤7

D ． n ≤8

7．x 、y 满足约束条件??

?

??≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数)0,0(>>+=b a by ax z 的最大值为7，

则

b

a 4

3+的最小值为（ ） A. 14 B. 7 C. 18 D. 13

左视图

正视图

俯视图

六校2012届高三第一次联考数学试题(理科)

江西省

8．函数2()f x x bx a =-+的图象如图所示，则函数()ln ()g x x f x '=+ 的零点所在的区间是（ ）

A ．11(,)

42 B ．1

(,1)2

C ．（1，2）

D ． (2,3)

9．若自然数n 使得作竖式加法)2()1(++++n n n 均不产生进位现象,则称n 为“良数”.例如:32是“良数”，因为32+33+34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23+24+25产生

进位现象.那么小于1000的“良数”的个数为 ( )

A. 27

B. 36

C. 39

D. 48 10．函数11

y x =-的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于

( )

A.

310 B. 4 C. 3

16 D. 6 一、填空题（每题5分，共25分） 11. 不等式

21

≥-x

x 的解集是 12. 椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22

，若直线kx y =与其一个交点的横坐标为

b ，则k 的值为

13.

由曲线y 2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为

14. 已知集合{}4,3,2,1=A ，集合{}4321,,,a a a a B =，且A B =，定义A 与B 的距

离为∑=-=

4

1

),(i i

i a

B A d ，则2),(=B A d 的概率为

15. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆

点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下 一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行 的实心圆点的个数是

二、解答题（16—19题各12分，20题13分，21题14分，共75分）

16. 已知向量)sin ,cos 2(x x a =，)cos 32,(cos x x b =，函数1)(+?=b a x f ． （1）求函数)(x f 的单调递增区间．

（2）在ABC ?中，c b a ,,分别是角A 、B 、C 的对边，1=a 且3)(=A f ，求ABC ?面积S 的最大值．

............第1行 ............第2行 ............第3行 ............第4行 ............第5行 (6)

17. 车站每天8∶00~9∶00，9∶00~10∶00都恰有一辆客车到站，8∶00~9∶00到站的客车A

可能在8∶10，8∶30，8∶50到站，其概率依次为111

,,

623;9∶00~10∶00到站的客车B

可能在9∶10，9∶30,9∶50到站，其概率依次为111

,,326

.

(1) 旅客甲8∶00到站，设他的候车时间为ξ，求ξ的分布列和E ξ； (2) 旅客乙8∶20到站，设他的候车时间为η,求η的分布列和E η.

18. 已知定义在（0，＋∞）上的函数(]()

??

?

??

∞+∈-∈-=,,01ln )14()(2e x kx kx e x x

k x f 是增函数

（1）求常数k 的取值范围

（2）过点（1，0）的直线与)(x f （()∞+∈,e x ）的图象有交点，求该直线的斜率的取值

范围

19．如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31= (1)证明：1

AC ⊥平面BED ； (2)求二面角1A DE B --的余弦值．

20. 已知抛物线2

:2(0)C y px p =>的准线为l ，焦点为F ，圆M 的圆心在x 轴的正半轴上，

A

B

C

D 1

A 1

D 1

C E

1

B

且与y 轴相切，过原点O 作倾斜角为

3

π

的直线n ，交l 于点A ，交圆M 于另一点B ，且2==BO AO

（1）求圆M 和抛物线C 的方程；

（2）若P 为抛物线C 上的动点，求PM PF ?

的最小值；

（3）过l 上的动点Q 向圆M 作切线，切点为S ，T ，

求证：直线ST 恒过一个定点，并求该定点的坐标.

21．已知函数e kx e x f kx 22

)(-= (0>k )（e 为自然对数的底数） （1）求)(x f 的极值 （2）对于数列{}n a ,21

2

n e a n

n -=- (*∈N n )

① 证明:1+

② 考察关于正整数n 的方程n a n =是否有解，并说明理由

六校联考数学试题（理科）参考答案

一、选择题：

二、填空题：

11、)0,1[-； 12、

21； 13、316； 14、8

1； 15、55. 三、解答题：

16.解：（1）易得2)6

2sin(2)(++=π

x x f

由2

26

22

2π

ππ

π

π+

≤+

≤-

k x k ，得6

3

π

ππ

π+

≤≤-

k x k

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D

B

C

A

A

B

B

C

D

B

所以)(x f 的单调递增区间为]6

,3

[π

ππ

π+

-

k k )(Z k ∈

（2）由3)(=A f 得3

π

=

A ,从而3

cos

212

2

2π

bc c b -+=，

即122+=+bc c b ，由bc c b 22

2≥+得1≤bc

从而4343sin 21≤

==

bc A bc S ，即4

3

max =S 17.解：（1）ξ的分布列为:

3

100

=

ξE （分钟） （2）η的分布列为：

9

235

=

ηE （分钟） 18．解：（1）由题意得??

?

??-≤->>-ke

ke k k k 24100

41，从而k 的取值范围为)41,41[2

+-e e ； （2）设过点)0,1(的直线为)1(-=x m y ，联立??

?-=-=kx

kx y x m y 2

)

1( ， 得kx kx x m -=-2)1( ，

由于e x >，所以ke kx m >=，即直线的斜率取值范围为),(+∞ke

19．解：如图建立空间直角坐标系，则)4,0,2(1A ，)0,2,2(B ，)0,2,0(C ，)0,0,0(D ，

)1,2,0(E

（1）)4,2,2(1--=A ,)0,2,2(=,)1,2,0(= 00422221=?-?+?-=?A ,

01422021=?-?+?-=?A

ξ 10

30

50

6

1

P

2

1 3

1 η

P

10 30 50 70 90

21 3

1 3161? 2161?6

161?

∴A ⊥1,A ⊥1,

BED C A 平面⊥∴1

(2))3,2,2(1--=A ,)4,0,2(1--=A ,

设平面DE A 1的法向量为),,(z y x =，

由01=?A 及01=?A ,得042,0322=--=-+-z x z y x ， 取)2,1,4(--=

同理得平面BDE 的法向量为)2,1,1(--=m ,

算得42

14),cos(-

= 所以二面角B DE A --1的余弦值为

42

14 20．解：（1）易得)3,1(B ，)3,1(--A ，设圆M 的方程为222)(a y a x =+-，

将点)3,1(B 代入得2=a ，所以圆M 的方程为4)2(2

2=+-y x

点)3,1(--A 在准线l 上，从而

12

=p

，抛物线的方程为x y 42= （2）由（1）得)0,1(),0,2(F M ,设点),(y x P ，则x y 42=

得),2(y x --=，),1(y x --=，

所以2222432)1)(2(x x x x x y x x ++=++-=+--=? 因为0≥x ，所以2≥?,即?的最小值为2.

（3）设点),1(m Q -，过点Q 的切线长为52+m ，则以Q 为圆心，切线长为

半径的圆的方程为5)()1(2

2

2

+=-++m m y x ， 即04222

2

=--++my x y x ①

又圆M 的方程为4)2(2

2

=+-y x ，即042

2

=-+x y x ② 由①②两式相减即得直线ST 的方程：023=--my x

显然上面直线恒过定点)0,3

2(

21． （1）0)(2)('2

=-=e e kx x f kx 得0=x 或k

x 1±

= 易得)(x f 在↓-

-∞)1,(k ，↑-)0,1(k ,↓)1,0(k ,↑+∞),1(k

1)0()(==∴f x f 极大 , 0)1

()(=±

=k

f x f 极小 （2）① 当1=k 时，)()(21

22

2

x e e ex e x f x

x -=-=-，

由（1）知上递增在),1()(+∞x f ，从而1+

n +=-21

2，

因+∈N n ,得 ,,11

2

2是无理数所以是整数--n e n

而n n +2

为整数，所以n n e n +≠-21

2

即方程n a n =无解