刚体的转动课后习题答案

第五章 刚体的转动

5-1 在图5-21中，一钢缆绕过半径为0.4 m 的定滑轮吊着一个升降机，钢缆不打滑. 假设升降机以0.5 m/s 2的加速度向上提升.（1）求滑轮的角加速度.（2）如果滑轮转三周，问从静止开始的加速运动持续了多长时间？（3）求当t =2 s 时，轮缘上一点的瞬时加速度（切向和法向加速度）.

解：（1）由于钢缆与滑轮间无相对滑动，轮缘上各点的切向加速度与升降机的加速度相同，即

a a t ==0.5m/s 2, 2

2

rad/s

25.1rad/s

4

.05.0===

R a t β

（2）由于滑轮作匀角加速运动，角位移

2

002

1t t βωθθ+

=-

已知 rad 63220πππθθ=?==-n ，且00=ω，故

s 5.5s 49.525

.162)

(20≈=?=

-=

s t πβ

θθ

（3）由t βωω+=0，可知rad/s t 25.1==t βω，法向加速度

2

22

2

2

2

2

m/s 625.0m/s

4.0)2

5.1(t t R t R a n =?===βω t=2s 时， 2

2

2

m/s 5.2m/s

2625.0=?=n a

又 2

m /s 5.0=t a ，∴ 总加速度为

2

2

222

2m/s 55.2m/s

5.05.2=+=

+=

t n a a a

?====---4.63225

.05.01

1

1

tg

tg

a a tg

n

t α

α为总加速度与法线方向的夹角.

5-2 轮A 半径r A =15cm ，轮B 半径r B =30cm ，两轮通过一皮带耦合，如图5-22所示.

轮A 从静止开始以恒定的角加速度1.2rad/s 2

转动，问从开始运动30s 后轮B 的转速（min /rev ）是多大？假定皮带不打滑. 解：由于皮带与两个轮的轮缘间无相对滑动，所以两轮轮缘上各点的切向加速度相等，设等于t a ，两轮的角加速度分别为A β和B β，由角量与线量的关系有

B B A A t r r a ββ==

2

2

rad/s

6rad/s

1230

15=?=

=A B

A B r r ββ

s 30=t 时

rad/s 180rad/s 630=?==t B B βω

而 n B πω2=，故 r e v /m i n

17192601802=?=

=

π

π

ωB

B n 5-3 一匀质园盘从静止开始以恒定的角加速度绕过盘心的竖直轴转动，某一时刻的转速为10rev/s.再转100转后，转速达20rev/s. 试求（1）园盘的角加速度；（2）从静止到转速为15rev/s 所需的时间；（3）在第（2）向的过程中园盘转了多少圈？ 解：（1）由匀角加速运动的规律可知角加速度

2

2

2

22

1

22rad/s 42.9rad/s

321002)

210()220(2==???-?=

-=

ππππθ

ωωβ

（2）所需时间 s 103215=?==

π

πβ

ωt

（3）由 π

θ

2=

n ， 2

022ωωθβ-=

及 00=ω

r e v 75rev 3

5.22322)

215(221

2

2

==

???=

?

=

π

ππβ

ω

π

n

5-4 6个质量均为m 的粒子与6根长度均为d 的轻杆组成一个正6边形的刚体，如图5-23所示. 计算该刚体关于如下转轴的转动惯量：（1）转轴通过任意相邻的粒子；（2）转轴通过任意粒子且与6边形的平面垂直.

解：这是质量呈分立分布的刚体，由转动惯量的定义 2

i i r m I ∑?=其中i r 为i m ?到转

轴的垂距，可计算如下：

（1）2

21)3(2)2

3(

2d m d m I +=

2

2

5.7)34

3(

2md

md

=+=

（2）2

2

2

2)2()3(22d m d m md

I ++=

2

2

12)42(md b md =++= 解5-4图

5-5 三根长度均为l 的细杆组成一个等边三角形刚体ABC 如图5-24所示. 计算其关

于中线的转动惯量. 假定杆的单位长度质量为λ.

解： AB BC I I I 2+=

已知BC 关于图中转轴的转动惯量为

3

2

2

12

)(12

1121l l

l ml

I BC λ

λ=

=

=

而 ??=

=

l r m r I AB d 22

λ，其中 r r dl d 260cos d =?=

∴ ??

=

?==

l

l AB l r r l r I 0

2/0

3

2

2

12d 2d λ

λλ

∴ 3

3

3

4

12

212

2l l

l I I I AB BC λ

λ

λ

=

?

+=

+=

解5-5图

5-6 一个半径为R 的匀质半园环的质量为m ，计算其关于如图5-25中所示的轴的转

动惯量.

解：这是质量连续分布的刚体，取如图质元 l R m l m d d d πλ=

=θm

R

mR

d d π

θπ=

=

m d 与转轴的垂距 θsin R r =

∴

??

?

==2

/0

2

22

d sin 2d πθπ

θm

R m r I

?=

2

/0

2

d 2

2c o s 2πθθ

πH mR

解5-6图

??+

=s

mR

mR /0

2

2

2d 2

22cos 2

πθθπ

2

2

mR =

5-7 在图5-26中，一匀质园盘安装在固定的水平轴上，园盘半径R =20cm ，质量M =3kg.园盘边缘上绕着轻绳，轻绳下端悬挂着一个质量m =1.0kg 的物体.（1）求物体下落的加速度，园盘的角加速度以及绳中的张力；（2）物体下落3m 所需的时间.

解：（1）忽略轴处可能存在的摩擦，盘受的合外力矩M =TR ，对园盘用转动定理，对

物体用牛顿第二定律，并注意到物体下落的加速及t a a =，列方程组如下

βI TR = ① ma T mg =- ② R a a t β== ③ 2

2

1MR I =

④ 联立①②③④

解5-7图

解得

2

2

m/s 92.3m/s

1

230.128.922=?+??

=+?

==m

M m g a a t

角加速度 2

rad/s 6.192

.092.3==

=

R

a t β

张力 N 88.5N 1

2338.90.12=?+??=+?=m

M M

mg T

（2）由题意知，物体从静止下落，由于a 为恒量，由2

2

1at h =

可得所求时间为

s 24.192

.3322=?==a

h t

5-8 唱机的转盘由电机驱动，转盘以恒定的角加速度在 2.0秒内从零加速到

min /rev 3

133. 均质转盘质量为1.5kg ，半径1.2cm. 为驱动转盘所需的关于转轴的力矩多

少？如果驱动轮的外缘与转盘相接触，如图5-27所示. 求驱动轮必须施予转盘的法向力是多大？假定两轮间的摩擦系数7.0=μ.

解：由题意可知角速度

rad/s 49.360

23

133=?

=π

ω 角加速度 2

rad/s 75.10

.249

.3==??=t ωβ

转动惯量 2

2

2

2

kgm

10

08.1)

2.0(5.12

12

1-?=??==

MR

I 解5-8图

由转动定理可得驱动转盘所需的力矩为

2

2

2

kgm

10

89.1Nm 75.110

08.1--?=??==βI M

产生这个力矩的力必在切向，如图所示

N 158.0N 10

75.1512

.010

89.12

2

=?=?=

=

--R M F t

由切向力与正压力（沿法向指向园心）的关系N F t μ=知驱动轮必须施予转盘的法向力

N 226.0N 7

.0158.0==

=

μ

t

F N

5-9 两个质量为m 的物体悬挂在一刚性轻杆两端，杆长为l 1+l 2，其中l 2=3l 1，如图5-28所示，初始时使杆处于水平位置，杆与物体保持静止，然后释放. 求两个物体刚开始运动时的加速度.

解：如图设轻杆两端的轻绳中张力分别为T 1和T 2，刚开始运动的瞬间两物体的加速度分别为a 1和a 2，由转动定理和牛顿第二定律，列方程组如下： 02211=-l T l T ① （轻杆转动惯量I ≈0） 22ma T mg =- ②

11ma mg T =-

③

∵ r a a t β== ∴

31

21

2==l l a a ④

从①得

31

22

1==

l l T T ①′ 解5-9图

将①′代入②得 212

1ma T l l mg =-

∴ )(21

21a g m l l T -?=

②′

将②′和④代入③化简得

2

2112122m/s 88.55

33

/132)//()1/(==+=

+-=

g l l l l g l l a

2

2

22

11m/s 96.1m/s

88.531=?=

?=

a l l a

5-10 一长度为L 的匀质细杆最初垂直地立在地板上，如图5-29所示. 如果此杆倾倒，试求杆撞击地板时的角速度是多大？假定杆与地板的接触端不发生滑动.

解：设杆的质量为m ，则其对O 轴的转动惯量2

3

1mL I =

，重力到O 轴的垂距为

θsin 2

L r =

，故重力对O 的力矩为

θθπSin L mg

L mg M 2

)sin(2

=-?

= 沿顺时针方向，

由转动定理βI M =我们有

ββθ?=

=2

3

1s i n 2

mL I L mg

∴ θβs i n 23L

g =

又 t

d d ωβ=

，

t d d βω=， 即

ω

θ

θθθ

θβωd sin 23d d d sin 23d d L g t L

g t =

?

=

= 分离变量积分 ??=πωθθωω00d sin 23d L g

可得

L g /)cos 1(3θω-= 解5-10图

将杆倒地时的 ?=90θ 代入上式，得 L g /3=ω

5-11 图5-30表示飞轮的制动装置包括一个制动杆和一个制动靴. 飞轮质量为50 kg ，

半径为0.5 m ，以1200 rev/min 的速率旋转. 当给制动杆末端施加100N 的制动力时，使飞轮停止转动所需多长时间？设飞轮与制动靴之间的摩擦系数5.0=μ.

解：本题涉及两个刚体，一个是飞轮，另一个是制动杆，由题意知，合外力矩使飞

轮产生角加速而制动，而作用在杆上的力矩则保持平衡，设杆受到的正压力为N ′，轮受到的正压力为N ，根据转动定理M = I β，我们有摩擦力μf 对飞轮的定轴O ，的力矩

ββμ2

2

1mR I R f ==-

① N f μμ=

②

对制动杆的定轴A ，F 和N '的力矩平衡

0)(121=?'-+?l N l l F

③ N N -='

④ 由③得 N 2501004

.00.1)(1

21=?=?+=

'F l l l N

⑤

解5-11图

又由①可得 mR

f μβ2-=

⑥

将N =250 N ，m =50 kg 代入②及⑥中可得

2

2

rad/s 25rad/s

2

.050250

5.0222-=???-=

'-

=-

=mR

N mR

f μβμ

由于β为恒量，可由匀角加速运动公式

t t βωω=-0，

即

β

ωω0

-=

t t

其中

0=t ω，n πω20=，将已知 m i n /r e v 1200=n 代入上式

可得

s 5.03s )

25(60120020?-??-=

πt

5-12 一个倾角为?的光滑斜面上安装着转动惯量为I 的定滑轮，斜面上质量为m 1

的物体系在一绕在轮轴上的轻绳的一端，另一质量为m 2的物体则由缠绕在轮缘上的另一轻绳悬挂着，当m 2下降时，m 1则被拉上斜面，如图5-31所示.定滑轮的半径为R =0.3m 而其轴的半径为r =0.1m.试计算滑轮的角加速度 解：在图中标出了m 1，m 2和滑轮的受力情况，其中T 1、T 2分别为两轻绳中的张力，对轮及两质点分别应用转动定理和牛顿第二定律，可列如下方程

βI r T R T ='

-'12

① 1111sin a m g m T =-? ② 2222a m T g m =- ③ r a β=1 ④ R a β=2

⑤

解5-12图

'

-=11T T ， '

-=22T T

⑥ 由②及④可得 )sin (11?βg r m T -= ⑦ 由③及⑤可得

)(22R g m T β-=

⑧

将⑦、⑧代入①得 β?ββI g r r m R g R m =---)sin ()(12

整理为

)(sin 2

12

212r m R m I gr m gR m ++=?-β?

解得 2

12

212sin r

m R m I gr m gR m ++?-=

?β

将

m R 3.0=，m r 1.0=及2m/s 8.9=g

代入上式，得

1

11201.009.0sin 98.094.2m m I m m ++-=

?β

5-13 计算习题5-8中，力矩在加速过程中所作的功和平均功率.

解：由转动动能定理 2

12

2122

12

1ωωI I E E W k k -

=

-=，

可得力矩的功为 J 10

58.6J )49.3(10

08.12

10212

2

2

2

--?????=

-=

ω

I W

平均功率 W 10

29.30

.210

58.62

2

--?=?=

=

t

W p

5-14 一蒸汽机飞轮的质量为200kg ，半径为1m ，如果当转速达150rev/min 时阀门被关闭，设作用于飞轮轴处的平均摩擦力矩是5m.N ，计算（1）飞轮停止转动前力矩所作的功；（2）关闭阀门后经多长时间飞轮即可停止转动.

解：（1）关闭阀门时飞轮的角速度为

rad/s 7.1560/150220=?==ππωn

由转动动能定理，2

02

2

121ωω

I I W -

=，其中0=ω，得飞轮停止转动前摩擦力矩作的功：

J 12324J 7.1512002

1212

102

2

2

0-=????-

=-

=ωI W

（2）由于力矩是恒定的，平均角加速度也是恒定的，故有

β

ω0=

t ， 其中 I

M =

β

则有 min 2.5s 3146

12002

17.152

00?=???=

=

=

M

I t ωβ

ω

5-15 试用转动动能定理再解习题5-10. 解：根据转动动能定理和力矩的功的定义

?-

=

=

02

2

12

1d ωω

θI I M W

在解5-10图中，重力对水平轴O 的力矩为

θsin 2

l mg M =， 则有当杆的角位置为θ时，重力矩的功 ?-=

=θ

θθθ0

)cos 1(2

1d sin 2

mgl l mg W

此时角速度为ω

O I W -=

2

21ω

即 2

2

3

12

1)cos 1(2

1ωθ??

=

-ml

mgl

可得

l g /)cos 1(3θω-=

当杆倒地时，?=90θ， 代入上式可得

l g /3=

ω

由角加速度 θθ

ωω

θθ

ωωβsin 23d d d d d d d d l

g t

t ==?==

当 ?=90θ 时

l

g 23=

β.

5-16 在图5-32中，长为1.0 m 的匀质杆最初静止于竖直位置，然后杆的下端获得

一初始线速度0v ，使得杆绕水平固定轴O 开始旋转. 试求为使杆至少完成一周的旋转，0v 的最小值是多大？

解：当杆通过πθ=的角位置时角速度0≥ω，即可至少完成一周的旋转，设这过程中重力作的功为W ，即

2

021ωI O W -

≥ ① 而重力的元功 θθd sin 2

1d ??-

=mg l W

mgl lmg

W W =-

==

??θθπ

d sin 21d 0

②

将②及2

3

1ml I =

，l /00v =ω代入①可得

7.67m/s m/s 18.9660=??==

gl v 解5-16图

5-17 明渠中的流水驱动着水车的叶轮，叶轮半径2.0m ，如图5-33所示. 水流到达叶轮的速度是6.0m/s ，离开叶轮的速度是3.0m/s ，水流量为每秒300kg.（1）水流作用于叶轮的力矩有多大？（2）如果叶轮边缘的速度是3m/s ，传送给叶轮的功率是多大？

解：（1）考虑水的一个小质元d m 沿切向速度以v 1冲向水平的叶片，离开时速率减为v 2，该质元对水车中心的角动量增量为0)(d )d ()d (1212<-=-R m R m R m v v v v ，这是

因为叶片的反作用力矩所致，由合外力矩与角动量对时间变化率的关系，可知

R t

m t

L M )(d d d d 12v v -==

其中t

m d d 是每单位时间流经水车的水质量，即水的流量.

由作用反作用定律，水作用在水轮机叶片上的力矩为

m N 101.8m N 2)0.30.6(300)(d d 3

21??=??-?=-=

-='R t

m M M v v

（2）水流传递给叶轮的功率为 R

M

M t M

t

W P v ====

ωθd d d d

k W 7.2W 107.22

3108.13

3=?=?

?=

5-18 一个人坐在可绕竖直轴自由转动的转椅上，开始时，人静止地坐在转椅上，用

手握住一转盘的中心轴，转盘以4rev/s 的角速度旋转，其转轴在竖直位置，角动量i L 的方向向上，如图5-34所示. 如果此人将转盘的轴倒置会发生什么现象？假定轮盘对其中心轴的转动惯量是1kg.m 2. 解：由于系统是孤立的，对竖直轴的外力矩为零，所以系统对该轴的总角动量守恒.

==∑i L L 常量

人将转盘轴倒置后，转盘的角动量变为i L -，设在相互作用过程中，系统获得的角动量为L ，则后来的总角动量为L -L i ，由于系统总角动量守恒，即

i i L L L -=

从而 L =2L i

设系统对转椅轴共同的角速度为ω，则有

ωI L = 即人将转盘轴倒置后，整个系统将绕转椅的竖直轴以角速度ω旋转

rev/s 6.15

4122=??=

=

=

I

L I

L i ω

其中转盘的初角动量 11ωI L i =，2

1kgm 1=I ，rev/s 41=ω.

5-19 一质量为M ，半径为R 的匀质园盘以角速度ω绕过其中心的竖直轴旋转，如果

盘缘质量为m ?的一小块破裂并飞离园盘，如图5-35所示，（1）园盘的角动量在边缘破损后变成多大？（2）小块被抛出多远？假定园盘与地面的距离为h .

解：在盘缘破损过程中，对轴的合外力矩为零，故总角动量守恒 =∑ωI 常量 设盘后来的转动惯量为I ′，角速度为ω′，则有

ωωω2

mR I I ?+''=

即

ωωω2

22

2

)21(2

1mR mR MR

MR ?+'?-=

ωω

ω=?-?-='2

2

2

2

2

1)2

1

(

mR

MR mR MR

园盘的角动量变为 ωω)2

1(

2

2

mR MR

I L ?-=''='

（2）小块m ?作平抛运动

2

2

1gt h =

，g

h t 2=

故m ?被抛出的水平距离为

g

h R

Rt t S 20ωω===v

5-20 一质量为M ，半径为R 的匀质园台，可以绕过中心的竖直轴无摩擦地旋转.假定初始时一个人静止地站在台边缘处，然后沿园台边缘行走.(1)如果此人步行一周回到台面的初始位置，园台将转过多大角度？（2）如果此人回到相对于地面的初始位置，园台又将转过多大角度？ 解：∵

运动过程中对竖直轴的合外力矩 M =0， ∴

系统总角动量守恒 =∑L 常量.

（1）园台将沿相反方向相对地面旋转，设任意时刻人、台对地面的角速度分别为ω和

Ω，∵ 0=∑i L ，

∴ 任意时刻有 02

12

2

=Ω-

MR mR ω

①

又设人对台的相对角速度为ω'，由速度合成定理

Ω-'=ωω ②

将②代入①得 02

1)(2

2

=Ω-

Ω-'MR mR ω

解得

ω'+=

Ωm

M m 21 ③

设H 为台对地的角坐标，θ'为人对台的角坐标，则

Ω=Θt

d d ， ωθ

'=t

d d

④

将④代入③，两边积分 ??'+=ΘH

m M m 0

20

d 22d π

θ

得台转过的角度

π222?+=

Θm

M m

（2）设人对地的角坐标为θ，则有人对地的角速度 t

d d θω=

，

将 t

d d θω= 和 t

d d Θ=Ω代入①式，得

Θ=d 2

1d 2

2

MR mR θ 对两边积分得

??Θ=π

θ20

2

2d 21d H

MR

mR

这次台对地转过的角度为

π22?=

ΘM

m

显然，第二种情况园台转过的角度大些.

5-21 两个飞轮A 和B 可以通过轮轴上的摩擦离合器连接或分离，如图5-36所示.当两轮分离时，B 轮静止，而A 轮角度速度达600rev/min ，然后连接离合器，B 轮开始加速而A 轮减速，直到两轮具有相同的角速度240rev/min. 当连接完成时，离合器片发出的热量是2000J ，分别求出两轮的转动惯量.

解：在连接过程中，合外力矩M=0（离合器片作用的摩擦力矩为内力矩）∴系统总角

动量守恒f i L L ∑=∑. 即

21)(ωωB A A I I I +=

①

由于相互作用是完全非弹性的，动能不守恒，由能量守恒与转化定律，动能的减少量即为摩擦产生的热量

Q I I I E B A A k =+-

=

?2

22

1)(2

121ωω

②

从①可得

221)(ωωωB A I I =-

B B B A I I I I 3

2240

6002402

12=

?-=

?-=

ωωω

③

把 J Q E k 2000

==?和③代入②，得

2000)12

3(212

12

22

1=+-

ωωA A I I 解得

2

2

2

2

kgm

69.1kgm

)

42(2

5)102(4000

=??-

?=

ππA I

其中用到 10rev/s rev/min 6001==ω， rev/s 42=ω.

由 ③ 得

2

kgm

53.22

3==

A B I I