中山市华侨中学2016届高三3月高考模拟考试(理数)

中山市华侨中学2016届高三3月高考模拟考试

数学（理科）

本试卷共4页，24小题，满分150分．考试用时120分钟．

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卷上．

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．设集合{}

{}

212,log 2A x x B x x =-≤=<，则A B =( ) A ． []1,3-

B ．(),4-∞

C ． (]0,3

D ．[)1,4-

2．命题“2cos sin ,,2>-???

?

??∈?x x x ππ”的否定是（ ） A ．2cos sin ,,2<-??????∈?x x x ππ B ．2cos sin ,,2≤-???

???∈?x x x ππ

C ．2cos sin ,,2≤-??????∈?x x x ππ

D ．2cos sin ,,2<-??

?

???∈?x x x ππ

3．直线2y x =与曲线3

y x =围成的封闭图形的面积是( )

A ．1

B ．

C ．2

D ．4

4．已知等比数列{n a }中，2854,a a a ?= 等差数列{}n b 中，465b b a +=，则数列{}n b 的前

9项和9s 等于( ) A. 9

B. 18

C. 36

D. 72

5．已知函数()2sin()sin()3

f x x x π

π?=++

+的图象关于原点对称，其中(0,)?π∈，则

函数()cos(2)g x x ?=-的图象（ ）

A ．关于点(

,0)12π对称; B ．可由函数()f x -的图象向右平移12

π

个单位得到; C ．可由函数()f x 的图象向左平移6

π

个单位得到;

D ．可由函数()f x 的图象向右平移

3

π

个单位得到．

6．已知函数()(ln ,f x x =若实数,a b 满足()()20f a f b +-=，则a b +=（ ）

A. 0

B.1-

C. 2

D. 2- 7．右图给出的是计算

20

1614121+???+++的 值的一个程序框图，其中判断框内应填入

的条件是( )

A.10i >

B.10i <

C.20i >

D. 20i <

8

．如下图，已知||1,||0OA OB OA OB ==?=

，

点C 在线段AB 上，且AOC ∠=0

30，设 (),OC mOA nOB m n R =+∈ ,则m

n

等于（ ）

A ．

13 B

C ．3 D

9．设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 22

22>=-b a b

y a 的左、右焦点，

若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且5

4

cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）

A ．034=±y x

B ．053=±y x

C ．043=±y x

D ．045=±y x 10. 已知ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若2sin sin a b c B A

+=，则ABC ?是( )

A. 等腰直角三角形

B.锐角三角形

C. 等边三角形

D.钝角三角形

11．某四面体的三视图如图所示，正视图、俯视图都是腰长 为2的等腰直角三角形,左视图是边长为2的正方形，则此

四面体的四个面中面积最大的为( ) A

． B ． 4

C

． D

．12．设函数3

()(33),(2)x

x

f x e x x ae x x =-+--≥-，若不等式()f x ≤0有解．则实数a 的最小值为（ ） A ．

21e - B ．22e - C ．212e + D ．1

1e

-

俯视图

左视图

二、填空题：本大题共4小题,每小题5分,共20分

13．设实数,x y 满足240,0,0.x y x y y +-≤??

-≥??>?

则2x y -的最大值为_________．

14. 已知3cos(

)sin(

)22()cos()tan()

f π

παααπαπα+-=---，则25()3f π-

的值为 ； 15．已知()32

log ,03

,,,,1108,3

3

3x x f x a b c d x x x ?<≤?

=?-+>??是互不相同的正数，且()()f a f b ==()()f c f d =，则abcd 的取值范围是 ；

16．已知等差数列{}n a 中， 11a =，公差0d >，且125,,a a a 成等比数列，

1

1

(1)n n n n n

b a a -+=-，则数列{}n b 的前n 项和n S = ； 三、解答题（17—21为必做题，每题满分12分） 17．（本小题满分12分）

在ABC ?中，,,a b c 分别是角A ，B ，C 的对边，已知2

2

2

,b ac a c ac bc =-=-且

（1）求A ∠的大小； （2）设()cos()sin()(0)2

A

f x x x ωωω=-

+>且()f x 的最小正周期为π，求()[0,]2

f x π

在的最大值。

18.（本小题满分12分）

如图，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上异于A 、B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，1DC EB ==，4AB =． （1）求证：DE ⊥平面ACD ；

（2）若AC BC =，求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值． 19．（本小题满分12分）

设一个口袋中装有10个球其中红球2个，绿球3个，白球5个，这三种球除颜色外完全相同.从中一次任意选取3个，取后不放回.

（1）求三种颜色球各取到1个的概率；

（2）设X 表示取到的红球的个数，求X 的分布列与数学期望.

20．（本小题满分12分）

已知直线10x y -+=经过椭圆S ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的一个焦点和一个顶点．

（1）求椭圆S 的方程；

（2）如图，M ，N 分别是椭圆S 的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线P A 的

斜率为k ．

①若直线P A 平分线段MN ，求k 的值；

②对任意0k >，求证：PA PB ⊥．

21. ( 本小题满分12分)

设函数)1()(+=x ae x f x

（其中718.2=e 28．．．）

0=x 处有相同的切线.

(Ⅰ) 求函数)(x f ,)(x g 的解析式；

(Ⅱ) 求函数)(x f 在[]1,+t t )3(->t 上的最小值；

(Ⅲ) 若对2-≥?x ，)()(x g x kf ≥恒成立，求实数k 的取值范围．

四、解答题（三选一，多选者以第一题的分数计入总分） 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，已知AB 为半圆O 的直径，C 为圆弧上一点，过点C 作半圆的切线CF ，过点A 作CF 的垂线，垂足为D ，AD 交半圆于点E ，连结EC ，BC ，AC ．

（Ⅰ）证明：AC 平分BAD ∠；

（Ⅱ）若AB =3，DE =

3

4

，求ABC ?的面积． 23．（本题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为??

?+-=+=θ

θ

sin 24cos 23y x （θ为参数）．

（Ⅰ）以原点为极点．x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； （Ⅱ）已知(2,0),(0,2)A B -，圆C 上任意一点),(y x M ，求△ABM 面积的最大值． 24．（本题满分10分）选修4－5：不等式选讲

设函数()222f x x x =+--． （Ⅰ）求不等式2)(>x f 的解集；

（Ⅱ）若R ∈?x ，2

7

()2

f x t t ≥-

恒成立，求实数t 的取值范围．

数学（理科）参考答案

一、选择题（每题5分，共60分）

二、填空题（每题5分，共20分） 13. 4； 14.

12； 15. ()21,24；

16．1

11[1(1)

]421

n n -+-+

三、解答题（17—21为必做题，每题满分12分）

17．（本小题满分12分）

（1）∵222

,b ac a c ac bc =-=-且 ∴2

2

2

b c a bc +-=

∴2221cos 222b c a bc A bc bc +-=== 又∵0＜x ＜π

∴A=3

π

……6分

(2)．()f x =cos()sin 6

x x π

ωω-

+cos x ω+1

2

sin x

ω+sin x ω cos x ω+32sin x ω== sin(ωx+6π

) ∵

2π

ω

=π ∴ω=2 ……………9分

∴()f x =

6

π

) ∵[0,

]2x π∈ ∴

2x+6π∈[

6π,76

π

] ∴6x π=时

max ()f x =

………12分

18．（本小题满分12分）

【命题意图】考查立体几何中线面关系的判定和性质；空间向量知识的运用及二面角的计算． 【解析】（1）∵DC ⊥面ABC ，∴DC ⊥BC ，

又∵AB 是O 的直径，∴AC ⊥BC

AC ∩DC =C

，,AC DC

?面ACD ，∴BC ⊥平面ACD 又∵DC //EB ，DC =E B ，∴四边形BCDE 是平行四边形， ∴DE //BC ∴DE ⊥平面ACD . ……4分 （2）如图，以C 为原点建立空间直角坐标系，

则

()()()

()

,0,0,1,0,,A D B E

()()

,0,AD DE =-=

，…… 6分

设平面ADE 的一个法向量()1,,n x y z = ，则110

n AD z n DE ??=-+=???==??

，令1x =得(11,0,n =

…8分

设平面ABE 的一个法向量()2,,n x y z =

，110

n AB n BE z ??=-+=???==??

， 令1x =得()21,1,0n =

，……10分

∴121212cos ,n n n n n n ?<>==

=?

.……12分 19．（本小题满分12分）

解：（1）设A 表示事件“三种颜色的球各取到一个” ……2分

则111

2353

101

()4

C C C P A C == ……6分 （2）X 的所有可能值为0,1,2 ……7分

且383107(0)15C P X C === 12283107

(1)15C C P X C === 21283

101(2)15

C C P X C === X 的分布列为

……10分

7713

()0121515155

E X =?

+?+?=（个） ……12分 20．（本小题满分12分）

解：（1）在直线10x y -+=中令0x =得1y =；……1分

令0

y =得1x =- ……2分

1c b ∴==，

22a ∴= ……3分

则椭圆方程为

2

212x y +=

……4分 （2）①(M ,(0,1)N -,M 、N

的

中点坐标为(2-

，12-)，所以2

k =

……6②法一：将直线PA 方程y kx =代入2212x y +=，解得x =……7分

m =，则(,)P m mk ，(,)A m mk --，于是(,0)C m ，故直线AB 方程为

0()()2mk k

y x m x m m m +=

-=-+

……8分

代入椭圆方程得22222(2)240k x k mx k m +-+-=，……9分

由2222B A k m x x k +=+，因此23

22(32)(,)22m k mk B k k +++

……10分

(2,2)AP m mk ∴= ，2322

222(32)22(,)(,)2222m k mk mk mk

PB m mk k k k k +-=--=++++

……11分

2

222222022mk mk

AP PB m mk k k -∴=?+?=++ P A P B ∴⊥

……12分

法二：由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则， ……7分 ∵ A 、C 、B 三点共线，0101

10010,

2y y y y x x x x x +∴

==-+

……8分

又因为点P 、B 在椭圆上，2222

00111,12121

x y x y ∴+=+=， ……9分 两式相减得：01

012()PB x x k y y +=-

+

……10分

00110010011001()()

[]1

2()()()PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=

-=-=-+++

……11分 PA PB ∴⊥ ……12分

21. ( 本小题满分12分)

解：（Ⅰ）)2()(+='x ae x f x

，b x x g +='2)(．由题意两函数在0=x 处有相同的切

线．

∴(0)g (0)(0)g(0)f f ''=??=? ∴22a b a =??=?

∴4,2==b a ． ……2分

∴)1(2)(+=x e x f x ，24)(2++=x x x g ……3分

（Ⅱ）)2(2)(+='x e x f x

，由0)(>'x f 得2->x ，由0)(<'x f 得2-

∴)(x f 在),2(+∞-单调递增，在)2,(--∞单调递减． 3->t ∴21->+t

当23-<<-t 时，)(x f 在[]2,-t 单调递减，在[]12+-t ，单调递增，

∴2min 2)2()(--=-=e f x f

当2-≥t 时，)(x f 在[]1,+t t 单调递增，

∴)1(2)()

(min

+==t e t f x f t

； ???-≥+-<<--=-2

),1(2)23(2)(2

min t t e t e x f t

……7分

（Ⅲ）解法一：∵)1(2)(+=x e x f x

，24)(2

++=x x x g

2,()()x kf x g x ?≥-≥恒成立；

∴22(1)42x k x e x x +≥++（①） ……8分

（1）当1x =-时，k R ∈，（①）式恒成立； ……9分

（2）当[2,1)x ∈--时，由（①）得：242

2(1)x x x k x e ++≤+

令242

(),[2,1)(1)x

x x H x x x e

++=∈--+ ∴2

2(2)()0(1)x

x x H x x e -+'=≥+ 对[2,1)x ∈--恒成立；

∴()H x 在区间[2,1)--上是增函数，2min ()(2)2H x H e =-=

∴2

22,k e ≤ 即2

,k e ≤ ……10分

（3）当(1,)x ∈-+∞时，由（①）得：242

2(1)x x x k x e ++≥+

令242

(),(1,)(1)x

x x H x x x e ++=∈-+∞+； ∴当(1,0)x ∈-时，2

2(2)()0(1)x x x H x x e -+'=≥+ ，

当(0,)x ∈+∞时，2

2(2)()0(1)x

x x H x x e

-+'=<+； ∴()H x 在区间(1,0)-上是增函数，在(0,)+∞上是减函数，min ()(0)2H x H == ∴22,k ≥ 即1,k ≥ ……11分

综合（1）(2)(3)可得实数k 的取值范围是2

1k e ≤≤． ……12分

解法二：令24)1(2)()()(2---+=-=x x x ke x g x kf x F x ， 由题意，当2-≥x ，0)(min ≥x F ．

2-≥?x ，)()(x g x kf ≥恒成立， ∴022)0(≥-=k F ，∴1≥k ．

)1)(2(2422)1(2)(-+=--++='x x x ke x x ke x ke x F ，

2-≥x ，由0)(>'x F 得k e x 1>

，∴k

x 1ln >． 由0)(<'x F 得k

x 1ln

< ∴)(x F 在??? ??∞-k 1ln ,单调递减，在??

?

???+∞,1ln k 单调递增． ……10分

当21

ln

-

，即2e k >时，)(x F 在[)+∞-,2单调递增，0

)(2

22)2()(222min <-=+-=-=-k e e

ke F x F ，不满足0)(min ≥x F ． 当21ln -=k

，即2

e k =时，由

知0)(2

)2()(22min =-=-=k e e

F x F 满足0)(min ≥x F ． 当21ln

->k ，即21e k <≤时，)(x F 在??????-k 1ln ,2单调递减，在??

?

???+∞,1ln k 单调递增，0

)ln 2(ln )1

(ln )(min >-==k k k

F x F ，满足0)(min ≥x F ． ∴ 实数k 的取值范围是2

1k e ≤≤．

四、解答题（三选一，多选者以前一题的分数计入总分）

22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲 解答：（Ⅰ）证明：由CD 为半圆O 的切线，根据弦切角定理得DCA CBA ∠=∠，

又因为0

90CDA BCA ∠=∠=，得BAC CAD ∠=∠，

所以AC 平分BAD ∠；…（5分）

（Ⅱ）解：由CD 为半圆O 的切线，根据弦切角定理得DCE CDA ∠=∠，

又因为CAD CAB ∠=∠，所以DCE CAB ∠=∠，

可得DCE CAB ?? ，则

DE CB

CE AB

= 又因为EC=BC ，AB=3，34DE =，所以3

2

BC =，即

8

ABC S ?=

…（10分） 23．（本题满分10分） 【解】（1）圆C 的参数方程为??

?+-=+=θ

θ

sin 24cos 23y x （θ为参数）

所以普通方程为4)4()3(22=++-y x ……………2分

∴圆C 化为极坐标方程：021sin 8cos 62=++-θρθρρ ………5分

（2）点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离为 ………6分

2

|

9sin 2cos 2|+-=

θθd ………7分

△ABM 的面积

|9)4

sin(22||9sin 2cos 2|||21+-=+-=??=

θπ

θθd AB S …………9分 所以△ABM 面积的最大值为229+ ………10分 【解2】圆心C(3,-4)到直线AB ：02=+-y x 的距离为d=|3-(-4)+2|2=9

2,

点),(y x M 到直线AB ：02=+-y x 的距离最大值为9

2

+2， △ABM 的面积最大值12×22×（9

2+2）=229+

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 【解】（1）不等式2)(>x f 等价于

1(22)(2)2x x x <-??-++->?或12(22)(2)2x x x -≤≤??++->?或1

(22)(2)2

x x x >??

+-->? ……2分 解得：6x <-或2

23

x <≤或2x > ∴2

63

x x >

<-或 ∴不等式的解集为 2|63x x x ??

>

<-????

或 ． ………5分 （2）∵ 4,1

()3

,124,2x x f x x x x x --<-??=-≤

∴min ()(1)3f x f =-=-， …………8分

若R ∈?x ，t t x f 211

)(2

-

≥恒成立， 则只需22min 73

()32760222

f x t t t t t =-≥-?-+≤?≤≤，

综上所述

3

22

t ≤≤． …………10分