大气湍流纠错鬼成像

单位代码： 10293 密 级：

硕 士 学 位 论 文

论文题目： 大气湍流对纠缠关联成像的干扰 及其抑制方法研究

Y001090620 杨 华 赵生妹 信号与信息处理 无线通信与信号处理技术 工学硕士 二零一二年三月

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南京邮电大学

硕士学位论文摘要

学科、专业：工学信号与信息处理

研究方向：无线通信与信号处理技术

作者：杨华

指导老师：赵生妹教授

题目：大气湍流对纠缠关联成像的干扰及其抑制方法研究

英文题目：Study on influence of atmosphere turbulence on entangled correlated imaging and the method to mitigate

主题词：鬼成像；多灰度; 轨道角动量；大气湍流；线性分组码Keywords: Correlated Imaging; Multiple Grey Scales; Orbital Angular Momentum;

Atmosphere Turbulence; Linear Block Code

摘要

量子关联成像又称为“鬼成像”，它利用量子的纠缠特性，实现了在不含物体的光路获取物体清晰图像。由于“鬼成像”本身的分布特性，可被应用于分布图像处理、分布感知及通信方案中。

量子关联成像由一光源通过BBO晶体产生两束纠缠光，其中一束光称为信号光，另一束光称为闲置光。在信号光路上包含待成像的物体，闲置光路不包含物体，通过对两束光的符合测量，可以在闲置光路得到物体的像。

本文在基于轨道角动量纠缠的量子多灰度鬼成像理论基础上，考虑大气湍流对量子鬼成像质量的影响及相应的抑制方法。由于量子鬼成像和光束有直接关系，而光在传输过程中容易受到大气湍流等的干扰，从而导致光束质量发生变化。为了简单方便，本文只在信号光路中加入大气湍流的干扰，而让闲置光路的状态保持不变。由仿真和实验结果表明，当大气中存在湍流时，成像质量受到影响。并且湍流越强，成像质量越差；传输距离越长，成像质量越差。随着湍流增大，峰值信噪比（Peak Signal to Noise Ratio，简称为PSNR）值逐渐变小，表明成像质量逐渐下降。比如在二灰度NUPT的仿真过程中，当湍流强度从10-16 m-2/3增加到10-12 m-2/3的时候，其PSNR值由104dB降到24dB，说明湍流的存在对成像质量产生了严重的干扰。

纠错编码能有效地降低通信噪声对信息传输的影响，大气湍流的作用可看作是一种噪声。为了减小或者抑制湍流带来的成像质量下降，本文采用（7,4）线性分组码对成像的二灰度NUPT进行编码，仿真和实验结果表明，通过线性编码，同等条件下的成像的质量得到明显提高，线性编码较好地抑制了大气湍流对基于轨道角动量纠缠的量子多灰度鬼成像的影响。仿真结果还表明，在一定的湍流强度下，恢复出的物体其PSNR值达到无穷大，这说明经过线性编码后可以完全恢复出物体的信息，有效的抑制了湍流的干扰。由此可见，信道编码是提高基于轨道角动量纠缠的量子多灰度鬼成像质量的一种有效方法。

关键词：鬼成像；多灰度；轨道角动量；大气湍流；线性分组码

ABSTRACT

The quantum correlated imaging, also known as quantum ?ghost imaging‘,uses the properties of quantum entanglement to obtain a clear image of the object on the idler optical path, where there is no object in the path. The distributed nature of ?ghost imaging‘ make it a good candidate for the distributed image processing, and the distributed sensing and communication scheme.

In quantum ghost imaging, a pump light passes through a BBO to produce two entangled-photon beams. One is called signal beam, and the other one is called idle beam. The signal beam passes through the object to be imaged, while there is no object in the idle path. One can get the image of the object in the idle arm by measuring the coincidence of the two beams.

Based on the multiple grey scales quantum ghost imaging scheme using orbital angular momentum, we discuss the impact of atmosphere turbulence on quantum ghost imaging and the corresponding mitigation methods. Because quantum ghost imaging is closely related to the light beams, and the transmission of light is vulnerable to atmosphere turbulence, turbulence will bring the viration to beam quality, and then the imaging quanlity of quantum ghost imaging. For simplicity, we only consider atmosphere turbulence in the signal light path. The simulation and experimental results show that the image quality is affected when the turbulence exists in the signal beam path. When the atmosphere turbulence becomes stronger, the image quality gets worse. In addition, if the propagation distance is longer, the quality of the image is also worse. As the strength of turbulence increases, the PSNR (Peak Signal to Noise Ratio) gradually becomes smaller, corresponding to the decrease of image quality. For example, for two Grayscale character 'NUPT', the PSNR values reduce from 104dB to 24dB when the strength of turbulence increases from 10-16 m-2/3 to 10-12 m-2/3, which indicate that the presence of turbulence is a serious interference to the image quality.

Error correcting codes can effectively reduce the impact of communication noise in information transmission.The role of the atmosphere turbulence on image quanlity can be regarded as one kind of noise to information transmission. In order to mitigate the impact of turbulence on image quality, we use the (7, 4) linear block code to encode the two gray-scale imaging NUPT before quantum ghost imaging. The simulation and experimental results indicate

that, under the same conditions, the image quality improves significantly by the encoding. The encoding suppresses the impact of atmosphere turbulence on entangled quantum ghost imaging using orbital angular momentum. Simulation results also show that under certain conditions, the PSNR of the reconstructed image can reach infinity. It can be seen that channel coding is an effective method to improve the image quality of the entangled quantum ghost imaging using orbital angular momentum.

Keywords: Correlated Imaging; Multiple Grey Scales; Orbital Angular Momentum; Atmosphere Turbulence; Linear Block Code

目录

摘要...................................................................... I ABSTRACT ................................................................... II 目录..................................................................... IV 第一章绪论.. (1)

1.1课题研究背景 (1)

1.2 论文主要内容 (2)

第二章量子关联成像基本理论 (4)

2.1 量子力学基础知识 (4)

2.1.1 量子比特的概念 (4)

2.1.2 量子纠缠态 (5)

2.1.3态叠加原理 (5)

2.1.4 贝尔不等式的违背 (6)

2.2 轨道角动量（OAM） (8)

2.2.1 OAM基本概念 (8)

2.2.2 轨道角动量的产生 (9)

2.3 LG模式激光的产生 (9)

2.4 符合计数 (10)

2.5 实验台简介 (12)

2.6 本章小结 (14)

第三章大气湍流对多灰度鬼成像的性能影响 (15)

3.1 多灰度鬼成像的基本原理 (15)

3.1.1 Poincaré球面 (15)

3.1.2 多灰度编码原理及仿真结果 (16)

3.2 大气湍流的数值模拟以及对光束产生的影响 (18)

3.2.1 大气湍流的的模型仿真 (18)

3.2.2 大气湍流对光束产生的影响 (20)

3.3大气湍流对多灰度鬼成像影响的理论推导 (23)

3.4 仿真结果与分析 (24)

3.5 实验结果与分析 (31)

3.5.1 贝尔不等式的违背实验验证 (31)

3.5.2 实验结果分析 (33)

3.6 本章小结 (37)

第四章采用纠错编码的方法抑制湍流对成像的影响 (39)

4.1（7,4）线性分组码简介 (39)

4.1.1 线性分组码的基本概念 (39)

4.1.2（7,4）线性分组码 (39)

4.2 将编码应用于鬼成像中 (41)

4.3 仿真结果与分析 (41)

4.4 实验结果与分析 (44)

4.5 本章小结 (47)

第五章全文总结 (48)

5.1 课题研究总结 (48)

5.2 进一步的工作 (48)

致谢 (50)

参考文献 (51)

攻读硕士学位期间发表的论文 (55)

第一章绪论

1.1课题研究背景

关联成像又被称为“鬼”成像或者双光子成像，它是利用双光子符合探测技术恢复出待测物体空间信息的一种新型的成像技术。近年来，由于其可以突破衍射极限和奇特的非定域性质而受到学者的关注。纠缠关联成像实验的实现使得人们在两个独立的空间中传递其中一个空间的物体的信息具有了可行性。其独特的非定域成像方式在军事、天文、医疗以及遥感等领域有巨大的应用前景。在军事上，鬼成像传感器可以使直升机或无人机能获得评估投下的炸弹所造成的破坏程度的图像，可以在硝烟弥漫的战场上辨别敌我。在医学领域方面，可以根据关联成像的高斯透镜成像公式利用X光拍摄透射物体的立体图像。

量子成像技术是由成像技术和量子物理相互结合成的交叉学科，其主要是利用了量子的纠缠特性。完成第一次鬼成像的实验利用的是双光子的偏振态纠缠[1]，而文献[2]中则把基于光子轨道角动量的纠缠态应用于鬼成像中。20世纪80年代，前苏联科学家Klyshko提出了鬼成像的方案[3]，他根据自发参量下转换（Spontaneous parametric down-conversion，简称为SPDC）光子对的纠缠行为提出了这一设想。1995年，史砚华等人利用自发参量下转换得到的纠缠光子对完成了鬼成像实验[1]。实验中将产生的光分为两道光路，一支路为信号光路，放有待成像的物体，另一支路作为闲置光路，不存放任何物体。在信号光路中测量光的强度分布并不能获得待成像物体的像，只能得到很少的物体信息[4]，但是通过记录这两条光路的符合计数却可以得到物体的像。开始的时候，理论上认为这种特性是由于自发参量下转换光子的纠缠特性而引起的现象。但随着鬼成像系统理论的逐渐形成，人们慢慢开始思考实现鬼成像的必要条件是否是纠缠光源。2002年，Bennink等人利用经典光源获得了鬼成像[5]，获得了和量子符合成像类似的结论。2004年，他们又通过经典相干光重现了物体的衍射图[6]。由于测不准原理，没有任何经典光可以做到远场和近场的空间关联—即动量和位置都关联的光子，因此学者们曾一度认为只有纠缠光才可以绝对同时的做到这点。2004年所做的实验[6,7,8]明确指出了自发参量下转换所产生的纠缠光子对所形成的EPR态实现了任何经典光（非纠缠光）的关联性所不能达到的位置和动量的关联。在这些结论的基础上，文献[8]得出理想的纠缠光源具有的关联性—在动量和位置同时能够存在的相关性，使它可以在任何一个像平面上都能够得到很高质量的成像，而经典光却不具有这种特性。纠缠光的鬼成像能够比经典关联的光束产生更高质量的成像结果。但是，不久理论上就提出了用热光实现远场和近场的鬼成

像，除了经典的非相干光可见度比较低之外，可以模拟量子成像的所有特性。2004年底，文献[9,10]利用类热光实现了关联成像，吴令安等人真正地完成了热光的符合成像实验[11]。

鬼成像自提出以来，就引起广泛热议和研究，对于经典热光源与量子纠缠光源的讨论还在继续。文献[12]很好地阐述了鬼成像的发展过程。近年来，压缩感知的提出，将鬼成像的研究又推进了一步。文献[13,14]将压缩感知重构算法应用于赝热光源鬼成像，通过减少测量次数，可以有效提高重构图像的质量，以及提高分辨率和信噪比。

上面这些对鬼成像的研究都是基于自由空间的光传输，但在实际应用中，光的传输会受到大气湍流等其他因素的干扰，进而物体的成像质量也会受到影响。因此，本文着重研究大气湍流对鬼成像质量的影响。并采用纠错编码的方法来抑制或者减小这种影响。本文在已有的[15,16]研究基础上，对多灰度的鬼成像加入湍流进行研究。主要研究湍流强度的改变和传输距离的增大对成像质量带来的变化，并借鉴纠错编码的原理，采用线性分组码来抑制湍流的影响。通过仿真和实验给出分析结果。本文用PSNR值判断大气湍流对成像质量的影响，PSNR 是客观评价图像质量的重要参数，在研究大气湍流鬼成像[17,18,19,20,21]的其他文献中没有发现使用PSNR作为成像质量比较的。我们利用PSNR值来直观给出多灰度鬼成像的质量受大气湍流影响产生的变化。

1.2 论文主要内容

本文主要内容及结构安排如下：

全文总共分为五个章节，每个章节的内容如下所示：

第一章：简单介绍一下本课题研究的背景。

第二章：介绍量子关联成像的相关知识，主要包括量子比特的基本的概念、量子纠缠态以及量子叠加态。然后介绍贝尔不等式的违背原理。由于鬼成像是基于两条光路的符合计数得到的，因此对符合计数的相关概念进行了简单介绍。由于本文中所做的仿真将会在实验台子上进行验证，因此在本章介绍了实验室的相关装置。

第三章：介绍了多灰度鬼成像的基本原理，通过仿真结果给出大气湍流对光束产生的影响，进而介绍了大气湍流对多灰度的鬼成像产生的影响，并给出了仿真和实验结果。由仿真和实验结果可以看出，当有湍流存在时，成像质量下降，并且随着传输距离的增加以及湍流强度的增大，成像质量逐渐下降。最后用PSNR曲线给出了直观描述，随着传输距离的增加以及湍流强度的加强，PSNR的值成下降趋势，说明成像的质量下降了。

第四章：先介绍了一下线性分组码的原理，接着给出（7,4）线性分组码的编码方法，以

及检错纠错的方法。然后根据（7,4）线性分组码的原理，把信号光路中要成像的NUPT图转换为一维的图进行分组编码，之后与闲置光路进行符合计数。将符合计数值进行归一化之后，检错纠错译码，最终恢复出原始图像。虽然成像的时间增加了，但是成像的质量却是显著提高的，对实际的应用有很大帮助意义。

第五章：全文总结。

第二章 量子关联成像基本理论

本章主要介绍一下量子关联成像的相关概念，包括量子力学的基础知识、轨道角动量（Orbital Angular Momentum ，简称为OAM ）以及符合计数的公式。在此基础上，对量子关联成像相关的实验平台进行介绍。

2.1 量子力学基础知识

量子力学是关于微观世界的物理理论。为了表述这个理论，我们需要讨论如何描述微观粒子系统的状态，如何描述微观粒子系统的力学量。就量子力学而言，一个物理体系的状态可以由波函数表示，波函数的任意线性叠加仍然能够代表物理体系的一种可能存在状态。

2.1.1 量子比特的概念

“比特”是经典信息与通信中最为基本的概念，而在量子信息理论与量子通信中称其为量子比特（quantum bit ）或者鬼比特（qubit ）。量子比特和经典比特一样，也是描述一种物理状态。经典比特一般用0和1表示，量子比特也通常写为0和1的形式，称之为计算基矢，其中“”为Dirac 标记。通常用0代表0，用1代表1，然而量子比特不仅仅是0和1两种状态，还能够是这两种状态的任意线性组合，于是量子态又被称为“叠加态”(superposition)，可以表示为：

10βαψ+= (2.1.1)

其中，α和β是可以取连续值的复数。当测量量子比特的时候，可以获得0的概率为|α|2，获得1的概率是|β|2，满足|α|2+|β|2=1的条件，0和1常被称为正交基态。

量子比特还可以表示成如下形式：

12sin 02cos θ

θ

φi e +=ψ (2.1.2)

式中θ，φ定义为单位球面上的任意一个点，这个球体通常被称为Bloch 球，因此一个量子比特如果从几何角度看，应为Bloch 球面上的一个点。

2.1.2 量子纠缠态

所谓量子纠缠态(entangled state)指的是两个或者多个量子系统之间的非定域、非经典的关联，是量子系统内个各子系统或者各个自由度之间的相关联的力学属性。量子纠缠态是量子信息理论当中所特有的概念。如果量子比特的叠加态不能用各个量子比特的张量积表示时，此种叠加态就被称为量子纠缠态[22]。例如有一量子叠加态：

)0100(21

)1000(21

+=+ (2.1.3) 因为其最后一位量子比特都为0，于是上面的式子可以写成量子态)10(2

1+和量子态0的直积，即表示为：

0)10(2

1?+ (2.1.4) 因此，它不是纠缠态。但是对于量子态：

)1001(2

1+ (2.1.5) 不管采用怎样的方法都不可能写成两个量子比特的直积，此时的叠加态就称为量子纠缠状态。

2.1.3态叠加原理

在经典物理当中，波动的一个非常明显的特点就是满足线性叠加的原理。如果用1?表示一个波动过程，用2?表示另一个波动过程，那么

21a ???b += (2.1.6)

也必然为一个波动过程，其中a 和b 分别为两个常数。然而在量子力学当中，若1?为Hilbert 空间中的一个矢量，2?为空间中的另外一个矢量，据Hilbert 空间性质式[23]能够得出：

2211???c c += (2.1.7)

也仍然为Hilbert 空间中的一个矢量，其中1c ，2c 分别为两个复常数。因此，如果量子力学系统可能处在1?和2?所描述的态中，上式中的线性叠加态?也依然是系统的一个可能

态，这便是量子力学中的态叠加原理。一个量子位即为一个双态系统，或者称其为一个二维Hilbert 空间。记它的两个相互独立的态分别为0和1。于是根据叠加原理，这个量子位可以处在叠加态

10a b +=? (2.1.8)

中，这里a 和b 是满足12

2=+b a 的复数。 2.1.4 贝尔不等式的违背

为了证明我们所做的鬼成像研究是基于量子纠缠的，并证明我们的实验平台具有量子效应，下面对贝尔不等式进行简单介绍，在第三章中通过实验结果给出贝尔不等式的违背证明。

Bohm 试图给出量子纠缠现象在理论上的解释，他第一个提出了隐参数理论[24,25]，然而他的这种隐参数理论能否充分解释量子力学的结果呢？1965年，Bell [26]从定域实在论和隐变量理论出发，推导出了自然界两个分离的部分的互相关联程度必须要满足一个不等式，也就是—贝尔不等式。Bell 同时指出，基于定域实在论和隐变量理论的任何理论都必须满足这个不等式，但是量子力学却预言这个不等式可以被违背。因此，下面我们就说明量子力学的结论和Bell 不等式的结论是不相容的。

Bell 不等式不是量子力学的结论，为了得出Bell 不等式，可以通过一个假想的实验进行验证，下图所示即为系统模型图：

图2-1 贝尔不等式的假想实验图

假设Charlie 制备了两个粒子，制备完成后分别发给Alice 和Bob 各一个粒子。Alice

收到粒子后就对其进行测量。试想她有两台不同的测量设备，故可以从两种不同的测量中选择一种进行，分别用PQ 和PR 标记。Alice 事先并不知道她要采用何种方法，测量的时候随机的选择一种方法。假如Alice 的粒子对测量PQ 具有值Q ，为了简便，假定测量有两个不同的结果(Q=+1和?1)，因此，Q 是Alice 的粒子通过测量得到的客观性质，类似的，

R 是PR 得到的值。

同样，设Bob 可以具有两种测量PS 和PT ，它们的测量值分别是S 和T ，取值也为+1和?1。要求Bob 和Alice 绝对准确地在同一时间进行测量。那么，Alice 的结果就不能干扰Bob 的测量结果，反过来也是一样。对QT RT RS QS -++进行简单的计算可以得到：

()()T Q R S R Q QT RT RS QS -++=-++ (2.1.9)

因为1,±=Q R ，所以()0=+S R Q ，或者()0=-T Q R 。从上式可以看出，对每种情况来说

2±=-++QT RT RS QS 。

如果假设测量前系统处于Q=q ，R=r ，S=s ，T=t 的概率是p(q,r,s,t)，这些概率将依赖于Charlie 是如何制备量子态以及实验噪声。令()?E 表示均值，则：

2

2

),,,()

)(,,,()

(=?≤-++=-++∑∑qrst qrst

t s r q p qt rt rs qs t s r q p QT RT RS QS E (2.1.10)

而上式又可表示为：

)

()()()(),,,(),,,(),,,(),,,()

(QT E RT E RS E QS E qt t s r q p rt t s r q p rs t s r q p qs t s r q p QT RT RS QS E qrst

qrst qrst qrst -++=++=-++∑∑∑∑ (2.1.11)

比较上面两个式子(2.1.10)和(2.1.11)，我们便可以得到贝尔不等式：

2)()()()(≤-++QT E RT E RS E QS E (2.1.12)

此式又被称为CHSH 不等式，是四个发现者的首字缩写，它是诸多贝尔不等式中的一个。

如果从量子力学的角度考查贝尔不等式，这时Charlie 制备的双量子比特可以用下面的公式表示，即：

()100121-=? (2.1.13)

Bob 和Alice 的测量算子假定分别为下式：

2

,221X Z S Z Q --== (2.1.14) 2 ,221X Z T X R -=

= (2.1.15) 通过简单计算，可得出以上观察算子的平均值是

21 =

==RT RS QS (2.1.16) 21

-=QT (2.1.17)

于是

22=-++QT RT RS QS (2.1.18)

由式子(2.1.18)可知，此计算结果与式子(2.1.12)贝尔不等式计算结果不一致。光的精巧实验已经在量子力学预言和直观推理的贝尔不等式之间作出判断，它支持了量子力学的预言。最著名的就是1982年Aspect 的实验[27]，其利用光的偏振态，在实验上验证违背Bell 不等式[28,29]。实验中用激光器将钙原子束激发（双光子激发）到某个S 态作为光源，这个态再通过双光子级联辐射衰变到基态，同时发射出一对光子沿不同路径传播。通过测量两光子偏振态证实了其相关程度，的确超出了Bell 不等式所容许的范围，于是证实了量子非局域纠缠确实存在。

2.2 轨道角动量（OAM ）

在仿真和实验过程中，所用光束均为拉盖尔-高斯（Laguerre-Gauss, 简称为LG ）模式的激光，LG 模式的激光具有轨道角动量，下面进行简单介绍。

2.2.1 OAM 基本概念

最近一些年的研究表明，光束具有两种不同的角动量，第一种是由于光束的偏振性产生的自旋角动量，第二种是因为具有的螺旋形相位结构而产生的轨道角动量[30,31]，Beth 在1936年使圆偏振光通过一个用石英光纤悬挂的半波带板，首先观测到了由光束的圆偏振特性而引起的角动量，并且通过精确测试光纤的扭矩证明此角动量与量子自旋有关。通过近些年研究又发现，当光束具有与角相相关的相位分布（如扭转相位或螺旋相位）时，这种光束便具有与角相分布有关的角动量，其被称为轨道角动量。Allen 和他的同事在1992年发现[32,33]，具有方位角相位为exp(ilθ)的光束在其传播方向上每个光子都具有离散的轨道角动量值l ?，其中 l 含义为方位模式指数，通常为整数。并且和极化量子态不一样的是，一个光子可以含有任意多个的量子态。此后，Mair 等人在自发参量下转换产生的光子对中，观察到OAM 纠缠，揭示了OAM 的量子本质[34]；Leach 等人通过光束旋转器，设计了不同OAM

值的量子态分类装置[35]。轨道角动量量子态的制备非常简单，在LG 模式表示下，光束的相位项exp(ilθ)描述了轴方向的单一相位值l ，也就是相位是l 的OAM 量子态[36]。

2.2.2 轨道角动量的产生

OAM 的产生一般有下面3种方法：

（1）从激光谐振腔中直接产生。该方法需要在实验中谐振腔具有严格的轴对称性，所以较难获得稳定的激光输出。

（2）利用柱面镜构成的非轴对称光学系统使厄密-高斯光束转换为对称的光束[37]。这种方法简单方便，转换效率也相对较高。

（3）采用螺旋波带板或者全息光学转换板将高斯光束转换为拉盖尔-高斯光束[38]。此种方法中光束在经过光学元件转换后损耗比较大。

在我们的实验和理论仿真中使用的光束是拉盖尔-高斯模式的，而所有LG 模式的光都具有固有的轨道角动量。

2.3 LG 模式激光的产生

LG 模式的激光束最显著的特征就是携带有螺旋相位，这表明LG 模式的光具有轨道角动量。它的数学描述为：

??????++-??????+???

????-????????????+=R R l p l R LG lp z z l p i il z z z ikr z w r z w r L z w r z z C z r u arctan )12(exp )exp()(2exp )(exp )(2)(21),,(222222222αα (2.3.1)

Z R 是光束的Rayleigh 的长度，w(z)为光束半径，L p l (x)是缔合拉盖尔多项式，C 为归一化常数，下标l 和p 分别表示模式的特征量子数。相位因子exp(il α)的存在说明这种模式的光束具有螺旋波前，并且为一种涡旋结构的光束。当束腰z=0时，归一化的LG 模式的光在柱面坐标系里表示为：

)exp(2exp 1!||!221),(2

02202||||002/1,φπφil w r w r L w r w p l p r LG l p l p l ???

? ??-???? ??????? ?????? ??+= (2.3.2) 目前，实验室中轨道角动量纠缠光子对源是由非共线相位（Non-collinear ） 匹配BBO 晶体的Ⅰ类自发参量下转换过程产生，如下图所示。一个入射光子以很小的概率按动量守恒方式衰变为两个轨道角动量互为相反数的光子，它们分别位于一个圆环区的直径两端。

一般情况下，自发参量下转换的效率很低，通常情况下不能通过探片观测到，一般只能用单光子探测器或者灵敏的CCD 来探测。

710 nm

图2-2 纠缠光子对产生的示意图 当泵浦光是轨道角动量为0的高斯光束时，由自发参量下转换得到的双光子态可以表示为[39]：

s s l l l l c -=

ψ∑∞=-∞=l (2.3.3)

其中，s 和i 分布表示信号光路和闲置光路，|c l |2为产生±l 光子对的概率，|l >表示l 的OAM 本征模式，与方位角相位exp(il θ)相对应。

由BBO 晶体射出的光子满足动量和能量守恒：

,s p i ωωω=+ p i s k k k =+ (2.3.4)

其中j ω和j k （j=s ,i, p ）分别是信号光和闲置光以及泵浦光的频率和波矢，由上述关系可以看出，同对光子传播的角度之间关系是确定的，即它们之间存在纠缠关系。

2.4 符合计数

当一束光（泵浦光pump ）照射到非线性晶体上，非线性晶体通常会以一定的概率将一个光子转化为两个光子，这两个光子必须要遵守能量守恒定理与动量守恒定律，即当泵浦光的动量为已知的条件下，通过测量获得信号光或者闲置光的动量之后，另外一支光的动量也就随之被唯一的确定下来。

开始，我们来确定由自发参量下转换过程(SPDC)所产生的纠缠光的状态[40,41]。在鬼成

像系统中，用归一化横向模式波函数)(x p Φ、)(x s Φ、)(x i Φ分别表示泵浦光、信号光和闲

置光，其中x 表示垂直于光传播方向平面上的一个二维向量。

泵浦光、信号光以及闲置光的波函数)(x p Φ、)(x s Φ、)(x i Φ的傅里叶变换如下：

??

? ?????? ??Φ=??? ??Φ→→→→→?p p p p p x k i x x d k exp 21p π (2.4.1) ??

? ?????? ??Φ=??? ??Φ→→→→→?s s s s s x k i x x d k exp 21s π (2.4.2) ??

? ?????? ??Φ=??? ??Φ→→→→→?i i i i i x k i x x d k exp 21i π (2.4.3) 在薛定谔绘景中(Schr?dinger picture)，信号光子和闲置光子的状态可以通过算符()s a k +∧、

()i a k +∧作用于0态得到，其中s k 、i k 分别代表信号光以及闲置光的波矢量，同样地，p k 代表泵浦光的波矢量。那么信号光与闲置光的算符的傅里叶变换可以表示为：

??? ???-??? ??=??? ??→→→+∧→→+

∧?s s s s s s x k i x a x d k a exp 21π (2.4.4) ??? ???-??? ??=??? ??→→→+∧→→+

∧?i i i i i i x k i x a x d k a exp 21π (2.4.5) 信号光与闲置光的双光子波函数可以表示为：

()02??? ??--??? ??-????? ????? ????? ??Φ=ψ→→→→→→+∧→+∧→→

→→???i s p i s s s i i p p i s p k k k k k k a k a k k d k d k d δ (2.4.6) 通过傅里叶变换，可将双光子波函数表示成为：

02??? ????? ????? ??-?????? ??+Φ=ψ→+∧→+∧→→→→→

→??i i s s i s i s p i s x a x a x x x x x d x d (2.4.7) 这是自发参量下转换所产生的归一化的双光子态的波函数，它包含了所有关于信号光、闲置光以及它们之间符合测量的信息。符合计数正比于检测到一个光子（信号光或者闲置光）处在我们想要的模式状态上的概率。

0s ??

? ????? ??Φ=ψ→+∧→→?s s s s s x a x x d (2.4.8)

0i ??? ????? ??Φ=ψ→+∧→→?i i i i i x a x x d (2.4.9)

检测到信号光子处于模式Φs ，同时闲置光子处在模式Φi 的符合概率为：

2**2)()2()()( ,),(??-?ΦΦΦ=ψ

ψψ=ΦΦ+i s i s p i i s s i s s i i s x x x x x x x d x d P (2.4.10) 经过归一化，可以得到符合度概率为：

???ΦΦΦΦΦΦΦ=ΦΦΦΦ=ΦΦ2*2***)

()()()()()()( )

()(),(),(x x x d x x x d x x x x d P P P P p s p i p i s i s i s N i s (2.4.11) LG 模式在极坐标下可以表示为：

?πκil w r l p l l p e e w

r L w r w p l p r --+=Φ22/22

,)2()2(1)!(!2),( (2.4.12) 将LG 模式带入归一化符合概率，得：

i s si p i s N i s R R R l l l P 22]

)[(sinc ),(π-+=ΦΦ (2.4.13) 其中

)()()(2)2/1(02/)(2rW L r L r L e drr R p p i s s s p i s l p l p l p W r l l l si +-∞++?= (2.4.14)

222)1(0)]([)]([!

)!

(2rW L r L e drr p l p R p p s s p i l p l p W r l l s s s s +-∞+?+= (2.4.15) 222)1(0)]([)]([!)!

(2rW L r L e drr p l p R p

p i i p s l p l p W r l l i i i i +-∞

+?+= (2.4.16) 从以上公式可以得到，当i s p l l l --为零时，sinc 函数此时为最大值，当i s p l l l --取不为零的其他任意数值的时候，sinc 的函数值即为零。因此，当测得的两个光子是纠缠光子对时符合度最高，如果不是纠缠态时，符合度为零。

2.5 实验台简介

为了证明我们的理论研究和仿真结果的正确性，我们通过量子实验室的平台进行验证。在这里先简要介绍一下实验室的相关装置。

本实验室中主要器件有：光学平台（用来搭建所有的器件）、氦氖激光源（用于水平校正，使所有光学器件处于同一高度上面）、第一类非线性晶体—BBO 晶体（当泵浦光打在这上面的时候可以产生纠缠光子对）、半连续氩离子激光源（输出波长为355纳米的高斯光，作为照射在第一类非线性BBO 晶体上的泵浦光，经过BBO 晶体之后可以变为两束