2017年高考数学(文、理)模拟仿真测试3

2017年高考数学模拟仿真测试3

时间120分钟，满分150分。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(2015·石家庄市二模)已知集合U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1

x ，x >2}，则?U P ＝( )

A ．????0，1

2 B ．(0，＋∞)

C ．????12，＋∞

D ．(－∞，0]∪????12，＋∞

[答案] C

[解析] U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}，P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0

∴?U P ＝{y |y ≥1

2

}，故选C ．

2．(2015·上饶市三模)若{a n }为等差数列，S n 是其前n 项的和，且S 11＝22

3π，{b n } 为等

比数列，b 5·b 7＝π2

4

，则tan(a 6＋b 6)＝( )

A ． 3

B ．±3

C ．－

33

D ．±33

[答案] C

[解析] 由条件S 11＝11× a 1＋a 11 2＝11a 6＝11π

3，

∴a 6＝π

3

.

∵{b n }为等比数列， ∴b 2

6＝b 5·b 7＝π24

，∴b 6＝±π2

，

∴tan(a 6＋b 6)＝tan(π3±π2)

＝－

3

3

，故选C ． 3．(2015·哈尔滨质检)已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM →＝λOB →＋(1－λ)OA →

，实数λ∈(1,2)，则( )

A ．点M 在线段A

B 上 B ．点B 在线段AM 上

C ．点A 在线段BM 上

D ．O ，A ，M ，B 一定共线

[答案] B

[解析] 依题意得OM →－OA →＝λ(OB →－OA →)，即AM →＝λAB →

. 又λ∈(1,2)，因此点B 在线段AM 上，故选B ．

[易错分析] 主要错因是不能灵活应用向量的线性运算和向量共线定理对条件进行等价变形，从而无法确定点M ，A ，B 的位置关系．

4．(文)(2015·河南八市质量监测)已知双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则双曲

线的渐近线方程为( )

A ．y ＝±2x

B ．y ＝±3

3x

C ．y ＝±2

2x

D ．y ＝±3x

[答案] D

[解析] 由于e 2

＝c 2a 2＝a 2＋b 2

a 2＝4，所以

b 2

a

2＝3，所以双曲线的渐近线方程为：y ＝±3x .

(理)(2015·洛阳市期末)在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a 的取值范围为( )

A ．(－∞，－2)

B ．(－∞，－1)

C ．(1，＋∞)

D ．(2，＋∞)

[答案] A

[解析] 曲线C ：(x ＋a )2

＋(y －2a )2

＝4，由已知得：?

????

－a >2－2a >2，解得a <－2，选A ．

5．(文)(2015·太原市二模)执行下图所示的程序框图，若p ＝11

12

，则输出的n ＝( )

A ．4

B ．5

C ．6

D ．3

[答案] D

[解析] 程序运行过程为：开始→p ＝1112→n ＝1，S ＝0→S

S ＝0＋12×1＝12

，

n ＝1＋1＝2→S

再次执行循环体

S ＝12＋12×2＝32

，n ＝2＋1＝3→S

(理)(2015·太原市一模)执行如图所示的程序框图，则输出的a ＝( )

A ．20

B ．14

C ．10

D ．7

[答案] C

[解析] 由程序框图得：i ＝1，a ＝

102＝5；i ＝2，a ＝3×5－1＝14；i ＝3，a ＝142

＝7；i ＝4，a ＝3×7－1＝20；i ＝5，a ＝202＝10；i ＝6，a ＝10

2＝5；…，a 的值以周期为5循环出现，

故i ＝2015时，a ＝10；i ＝2016时，结束循环，输出a ＝10.

6．(2015·南昌市二模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A ．2

B ．8

3

C ．4

D ．209

[答案] B

[解析] 由三视图知，该几何体是如图所示的四棱锥A 1－ABFE ，其中E 、F 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱D 1D 和C 1C 的中点，故其体积V ＝13×25×45＝8

3

.

7．(文)(2015·昆明市质检)已知α为第二象限角，sin α＝25

5，则tan ????α＋π4＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．－1

3

D ．1

[答案] C

[解析] 由已知得：cos α＝－

5

5

，∴tan α＝－2， tan ????α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－2＋11－ －2 ＝－13

. (理)(2015·东北三校二模)函数f (x )＝sin x ＋sin ????2π3－x 图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π2

B ．x ＝π

C ．x ＝π

6

D ．x ＝π

3

[答案] D

[解析] f (x )＝sin x ＋sin 2π3cos x －cos 2π3sin x ＝32sin x ＋32cos x ＝3sin ????x ＋π6，当x ＝π3时，f (x )＝3sin π

2

＝3，故选D ．

8．(文)(2014·唐山一模)下面的茎叶图表示柜台记录的一天销售额情况(单位：元)，则销售额中的中位数是( )

A ．30.5 C ．31 D ．32

[答案] C

[解析] 由茎叶图和中位数的定义知选C ． (理)

如图，一环形花坛分成A 、B 、C 、D 四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )

A ．96

B ．84

C ．60

D ．48

[答案] B

[分析] 可按花坛种花种数进行分类，最多用4种，最少用2种．

[解析] 当花坛中的花各不相同时，有A 4

4种不同的种法；若在花坛中种植三种花，此时一种方法是A 与C 种的花相同有C 14种，B 、D 各不相同有A 2

3种，另一种方法是B 、D 相同，A 、C 各不相同，共有C 14A 23种，因此种植三种花时有2C 14A 23种；若在花坛中种植两种花，则只能A 、C 相同B 、D 相同，共有C 14C 13种．所以共有A 44＋2C 14A 23＋C 14C 13＝24＋48＋12＝84(种)

不同种法．

9．(2015·商丘市二模)下列命题中，真命题是( ) A ．a －b ＝0的充要条件是a

b ＝1

B ．?x ∈R ，e x >x e

C ．?x 0∈R ，|x 0|≤0

D ．若p ∧q 为假，则p ∨q 为假

[答案] C

[解析] 当a ＝b ＝0时，A 不正确；x ＝e 时，B 不正确；p 、q 一真一假时，D 不正确；当x 0＝0时知C 正确，故选C ．

10．(文)(2015·广东综合测试二)二次函数y ＝f (x )的图象如图1所示，则其导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )

[答案] A

[解析] 函数f (x )的图象自左向右看，在y 轴左侧，依次是增、减、增；在(0，＋∞)上是减函数．因此，f ′(x )的值在y 轴左侧，依次是正、负、正，在(0，＋∞)上的取值恒非正，结合各选项知，选A ．

[易错分析] 不理解原函数与导函数的关系，不能将原函数的单调性、极值等函数性质

反映到导函数的性质上是主要错因，需要有针对性加强训练．

(理)(2015·商丘市二模)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2

[答案] B

[解析] 设切点为(x 0，y 0)，则y ′＝1x ＋a ，∴1x 0＋a ＝1，x 0＝1－a ，代入y ＝ln(x ＋a )得：

y 0＝0，代入y ＝x ＋1得，a ＝2.

11．(文)(2015·天津十二区县联考)已知函数f (x )＝?????

log 2

x ，x >0，log 12 －x ，x <0，若af (－a )>0，

则实数a 的取值范围是( )

A ．(－1,0)∪(0,1)

B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

C ．(－1,0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(0,1) [答案] A

[解析] 据函数解析式得af (－a )>0??

????

a >0，a log 1

2a >0或?????

a <0，

a log 2 －a >0，分别解出取并集即得不等式解集为(－1，0)∪(0,1)，故选A ．

[易错分析] 不能对a 正确分类，或者解与对数函数有关的不等式时，忽略对数函数的定义域，这些都是本题的易错点，要多加训练．

(理)若二项式(3

tan 2x ＋1tan 2x )n 的展开式的第四项是209，而第三项的二项式系数是15，则

x 的取值为( )

A ．k π

3(k ∈Z )

B ．k π－π

3(k ∈Z )

C ．k π＋π

3(k ∈Z )

D ．k π±π

3

(k ∈Z )

[答案] D

[解析] 二项式(3tan 2x ＋1tan 2x )n 的展开式的通项是T r ＋1＝C r n

·(3tan 2x )n －r

(1tan 2x )r ＝C r n ·(tan 2x )n 3－4

3

r . 依题意有?????

C 2

n ＝15C 3n · tan 2x n 3－43×3＝209，解得n ＝6，tan x ＝±3，x ＝k π±π

3，其中k ∈Z ，选D ．

12．(文)(2015·北京东城区训练)若实数x ，y 满足不等式组????

?

x ＋3y －3≤0，x －y ＋1≥0，

y ≥－1，则z ＝2|x |

＋y 的取值范围是( )

A ．[－1,3]

B ．[1,11]

C ．[1,3]

D ．[－1,11]

[答案] D

[解析] 在平面直角坐标系内画出题中的不等式组表示的平面区域，可知该平面区域是以点(－2，－1)，(0,1)，(0，－1)为顶点的三角形区域D 和以(6，－1)，(0,1)，(0，－1)为顶点的三角形区域E 组成，由图易知当x ≤0时，当射线z ＝－2x ＋y (x ≤0)经过三角形区域D 内的点(0，－1)时，z 取得最小值z min ＝－2×0－1＝－1；当射线z ＝－2x ＋y (x ≤0)经过三角形区域D 内的点(－2，－1)时，z 取得最大值z max ＝－2×(－2)－1＝3；当x >0时，当射线z ＝2x ＋y (x >0)经过三角形区域E 内的点(0，－1)时，z 取得最小值z min ＝2×0－1＝－1；当射线z ＝2x ＋y (x >0)经过三角形区域E 内的点(6，－1)时，z 取得最大值z max ＝2×6－1＝11.综上所述，z ＝2|x |＋y 的取值范围为[－1,11]，故选D ．

(理)(2014·河北名校名师俱乐部模拟)设x 、y 均为正数，且方程(x 2＋xy ＋y 2)·a ＝x 2－xy ＋y 2成立，则实数a 的取值范围是( )

A ．[1

3，1)

B ．[1

2，1)

C ．[13，32)

D ．(1

2

，2]

[答案] A

[解析] (x 2

＋xy ＋y 2

)·a ＝x 2

－xy ＋y 2

?(x 2y 2＋x y ＋1)·a ＝x 2y 2－x

y

＋1.

令x

y ＝t (t >0)，方程可化为(a －1)t 2＋(a ＋1)t ＋a －1＝0，有正根， 当a ＝1时，显然不成立，

当a ≠1时，因为方程(a －1)t 2＋(a ＋1)t ＋a －1＝0只能有两正根， 所以△＝(a ＋1)2－4(a －1)2≥0，且－a ＋1a －1

>0，解之得1

3≤a <1.

二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，将正确答案填在题中横线上)

13．古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n n ＋1 2＝12n 2＋1

2n ，，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部

分k 边形数中第n 个数的表达式：

三角形数 N (n,3)＝12n 2＋1

2

n ，

正方形数 N (n,4)＝n 2， 五边形数 N (n,5)＝32n 2－1

2n ，

六边形数 N (n,6)＝2n 2－n ， ………………………………………

可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝________. [答案] 1000

[解析] 观察给出的k 边形数的特点，找出其规律： N (n,3)＝12n 2＋12n ＝3－22n 2＋4－3

2n ；

N (n,4)＝n 2＝4－22n 2＋4－4

4n ；

N (n,5)＝32n 2－12n ＝5－22n 2＋4－5

2n ；

N (n,6)＝2n 2－n ＝6－22n 2＋4－6

2n ；

…………

由此猜想，N (n ，k )＝k －22n 2＋4－k

2n ，

从而N (10,24)＝24－22×102＋4－24

2

×10＝1000.

14．(文)(2015·深圳市二调)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝15，S 9＝153，则S 6＝________.

[答案] 66

[解析] 因为数列{a n }为等差数列，所以S 9－S 6，S 6－S 3，S 3也成等差数列，所以2(S 6

－S 3)＝S 9－S 6＋S 3，

即2(S 6－15)＝153－S 6＋15，解得S 6＝66.

(理)(2015·浙江理，13)如图，在三棱锥A －BCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别为AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________．

[答案] 7

8

[解析]

如图，连接DN ，取线段DN 中点P ，连接PM ，PC ，则可知∠PMC 即为异面直线AN ，CM 所成角(或其补角)易得PM ＝1

2

AN ＝2，

PC ＝PN 2＋CN 2＝2＋1＝3，CM ＝AC 2－AM 2＝22，

∴cos ∠PMC ＝8＋2－32×22×2＝78

，即异面直线AN ，CM 所成角的余弦值为7

8.

15．(文)(2015·北京西城二模)已知正数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ，ab ＋c ＝abc ，则c 的取值范围是________．

[答案] (1，4

3

]

[解析] a ＋b ＝ab ≥2ab ，即ab ≥4，ab ＋c ＝abc ， 即ab (c －1)＝c ，ab ＝c

c －1，因此?????

c >0，c

c －1

≥4，

解得1

3

]．

[易错分析] 不能利用基本不等式求出ab 的范围，或者不能对ab 的范围进行转移，得到关于c 的不等式，导致无法求解．

(理)(2015·武汉市调研)已知圆O 的半径为1，点A ，B ，C 是圆O 上的动点，满足∠AOB 等于120°，OC →＝mOA →＋nOB →

(m ，n ∈R )，则m 4＋n 4的取值范围为________．

[答案] [2

9

，2]

[解析] 解法1：由题意可得OA →·OB →＝－12.将OC →＝mOA →＋nOB →

两边平方得1＝m 2＋n 2－

mn ，得1＋mn ＝m 2＋n 2≥2|mn |，－mn －1≤2mn ≤mn ＋1，－1

3≤mn ≤1，m 4＋n 4＝(m 2＋n 2)2－2(mn )2

＝(mn ＋1)2－2(mn )2＝－(mn )2＋2mn ＋1，又因为函数f (x )＝－x 2＋2x ＋1在[－1

3，1]上单调递

增，所以当mn ＝－13时，m 4＋n 4取得最小值2

9，当mn ＝1时，m 4＋n 4取得最大值2，故m 4

＋n 4的取值范围是[2

9

，2]．

解法2：由条件知OA →·OB →＝12

，∵OC →＝mOA →＋nOB →

，

∴|OC →|2＝m 2|OA →|2＋n 2|OB →|2＋2mn ·OA →·OB →， ∴1＝m 2＋n 2－mn ， ∴(m ＋n )2－3mn ＝1，

设m ＋n ＝x ，mn ＝y ，则x 2－3y ＝1， ∵x 2≥0，∴y ≥－13，

∴m 4＋n 4＝(m 2＋n 2)2－2m 2n 2 ＝[(m ＋n )2－2mn ]2－2(mn )2 ＝(x 2－2y )2－2y 2 ＝(3y ＋1－2y )2－2y 2

＝－y 2＋2y ＋1＝－(y －1)2＋2， ∵y ≥－13，∴2

9

≤m 4＋n 4≤2.

16．(文)(2015·湖北七市联考)若i 为虚数单位，图中网格纸的小正方形的边长是1，复平面内点Z 表示复数z ，则复数z

1－2i

的共轭复数是________．

[答案] －i [解析]

z 1－2i ＝2＋i 1－2i ＝ 2＋i 1＋2i 1－2i 1＋2i

＝i ，其共轭复数为－i. [易错分析] 本题有两个易错点：一是不理解复数的几何意义造成解题错误；二是运算错误．纠错方法应加强对复数运算的训练．

(理)(2015·太原二模)“求方程(35)x ＋(45)x ＝1的解”有如下解题思路：设f (x )＝(35)x ＋(4

5)x ，则

f (x )在R 上单调递减，且f (2)＝1，所以原方程有唯一解x ＝2.类比上述解题思路，不等式x 6－(x ＋2)>(x ＋2)3－x 2的解集是________．

[答案] (－∞，－1)∪(2，＋∞)

[解析] 原不等式等价于x 6＋x 2>(x ＋2)3＋(x ＋2)，令f (x )＝x 3＋x ，易知函数在R 上为单调递增函数，故原不等式等价于f (x 2)>f (x ＋2)，即x 2>x ＋2，解得x >2或x <－1，故原不等式的解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．

三、解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(本题满分12分)(文)(2015·江西质量监测)南昌市一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到如下的2×2列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部120人中随机抽取1人为优秀的概率为13

.

(1)(2)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的11名学生从2到12进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率．

[解析] (1)甲、乙两班优秀的人数和为120×1

3＝30，

∴乙班优秀人数为40－11＝29，

∴乙班总人数为29＋30＝59，甲班总人数为120－59＝61，故乙班非优秀人数为50，得到列联表如下：

(2)设“抽到9或10号{x ，y }． 所有的基本事件有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)共36个．

事件A 包含的基本事件有：(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)，(5,5)，(4,6)，(6,4)共7个． 所以P (A )＝736，即抽到9号到10号的概率为736

.

(理)某市统计局就本地居民的月收入调查了10000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在[1000,1500)之间(单位：元)．

(1)估计居民月收入在[1500,2000)的概率； (2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数；

(3)若将频率视为概率，从本地随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月收入在[2500,3500)的居民数X 的分布列和数学期望．

[解析] (1)依题意及频率分布直方图知，居民月收入在[1500,2000)的概率约为0.0004×500＝0.2.

(2)频率分布直方图知，中位数在[2000,2500)，设中位数为x ，则0.0002×500＋0.0004×500＋0.0005×(x －2000)＝0.5，解得x ＝2400.

(3)居民月收入在[2500,3500)的概率为(0.0005＋0.0003)×500＝0.4. 由题意知，X ～B (3,0.4)，

因此P (X ＝0)＝C 03×0.63＝0.216，P (X ＝1)＝C 1

3×0.62×0.4＝0.432，P (X ＝2)＝C 23×

0.6×0.42＝0.288，P (X ＝3)＝C 33×

0.43＝0.064， 故随机变量X 的分布列为

X 的数学期望为E

18．(本题满分12分)(文)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝3a n a n ＋1

，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n

正整数m .

[解析] (1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ，则f ′(x )＝2ax ＋b ，由于f ′(x )＝6x －2，所以a ＝3，b ＝－2，

所以f (x )＝3x 2－2x .

又点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上，所以S n ＝3n 2－2n .

当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n －5；当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，也适合a n ＝6n －5.所以a n ＝6n －5(n ∈N *)．

(2)由(1)得b n ＝3a n a n ＋1＝3

6n －5 6n ＋1

＝12(16n －5－1

6n ＋1

)． 故T n ＝∑i ＝1

n

b i ＝12[(1－17)＋(17－113)＋…＋(16n －5－16n ＋1)]＝12(1－1

6n ＋1)．

随着n 的增加，T n 逐渐增大直至趋近12，故T n

20即可，

即只要m ≥10.故使得T n

20

对所有n ∈N *都成立的最小正整数为10.

(理)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋

1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3

成等差数列．

(1)求a 1的值；

(2)求数列{a n }的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <3

2

.

[解析] (1)2S n ＝a n ＋1－2n ＋

1＋1，n ∈N *，又a 1，a 2＋5，a 3成等差数列，

∴????

? 2a 1＝a 2－32a 1＋2a 2＝a 3－72a 2＋10＝a 1＋a 3

?????

?

a 1＝1a 2＝5a 3＝19

，∴a 1＝1.

(2)∵2S n ＝a n ＋1－2n ＋

1＋1，∴2S n －1＝a n －2n ＋1， 两式相减得，a n ＋1＝3a n ＋2n ∴a n ＋1－3a n ＝2n ，∴a n ＋12n ＋1－32·a n 2n ＝1

2

令a n 2n ＝b n ，∴b n ＋1－32b n ＝1

2

. 变形b n ＋1＋1＝3

2(b n ＋1)，∴{b n ＋1}为等比数列．

∴b n ＋1＝(b 1＋1)·(32)n －1＝(3

2)n .

∴b n ＝a n 2n ＝(3

2

)n －1，∴a n ＝3n －2n

(3)∵3n －3n －1＝(3－1)·3n －1＝2·3n －1>2·2n －1＝2n ，∴3n －2n >3n －

1，∴1a n <13n －1

∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n <1＋13＋132＋…＋13n －1 ＝1－ 13 n

1－13<11－13

＝3

2.

19．(本题满分12分)(文) (2015·江西省质量监测)如图，三棱锥P－ABC中，PB⊥平面ABC，∠BCA＝90°，PB＝BC＝CA＝4，E为PC的中点，M为AB的中点，点F在P A上，且AF＝2FP.

(1)求证：平面BEF⊥平面P AC；

(2)求三棱锥M－BEF的体积．

[解析](1)PB⊥平面ABC?PB⊥AC，

又∵BC⊥AC?AC⊥平面PBC?AC⊥BE，

又∵PB＝BC，E为中点?BE⊥PC?BE⊥平面P AC?平面BEF⊥平面P AC．

(2)在三角形P AC中，PC＝PB2＋BC2＝42，CA＝4，

P A＝PB2＋AB2＝PB2＋AC2＋BC2＝43，

∴PC2＋AC2＝P A2，∴∠PCA＝90°

∵S△AEF＝S△APC－S△ACE－S△PEF＝82 3

又∵BE＝22是三棱锥B－AEF的高

∴V M－BEF＝1

2V A－BEF＝

1

2V B－AEF＝

1

2×

1

3S△AEF·BE

＝1

2×

1

3×

82

3×22＝

16

9.

(理)(2015·济南模拟)直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，AA1＝8，点D在线段AB上．

(1)当AC 1∥平面B 1CD 时，确定D 点的位置并证明； (2)当

BD AB ＝1

3

时，求二面角B －CD －B 1的余弦值． [解析] (1)证明：当D 是AB 的中点时，AC 1∥平面B 1CD ． 连接BC 1，交B 1C 于点E ，连接DE . 因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，

所以侧面BB 1C 1C 为矩形，DE 为△ABC 1的中位线， 所以DE ∥AC 1.

因为DE ?平面B 1CD ，AC 1?平面B 1CD ， 所以AC 1∥平面B 1CD ．

(2)由AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6得AC ⊥BC ．

以C 为原点建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz ，

则B (6,0,0)，A (0,8,0)，A 1(0,8,8)，B 1(6,0,8)． 设D (a ，b,0)(a >0，b >0)，

因为点D 在线段AB 上，且BD AB ＝13，即BD →＝13BA →

.

所以a ＝4，b ＝8

3

.

所以B 1C →＝(－6,0，－8)，CD →

＝(4，83，0)．

平面BCD 的一个法向量为n 1＝(0,0,1)， 设平面B 1CD 的法向量为n 2＝(x ，y,1)， 由B 1C →·n 2＝0，CD →

·n 2＝0得?????

－6x －8＝0，4x ＋8

3y ＝0，

所以x ＝－43，y ＝2，n 2＝(－4

3

，2,1)．

设二面角B －CD －B 1的大小为θ，cos θ＝|n 1·n 2

|n 1||n 2||

＝361

61

，

所以二面角B －CD －B 1的余弦值为361

61.

20．(本题满分12分)(文)(2014·河北名校名师俱乐部模拟)已知圆C 的圆心为C (m,0)，m <3，半径为5，圆C 与椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)有一个公共点A (3,1)，F 1、F 2分别是椭

圆的左、右焦点．

(1)求圆C 的标准方程；

(2)若点P 的坐标为(4,4)，试探究斜率为k 的直线PF 1与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线PF 1的方程，若不能，请说明理由．

[解析] (1)由已知可设圆C 的方程为(x －m )2＋y 2＝5(m ＜3)， 将点A 的坐标代入圆C 的方程，得(3－m )2＋1＝5， 即(3－m )2＝4，解得m ＝1或m ＝5， ∵m ＜3，∴m ＝1.

∴圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝5. (2)直线PF 1能与圆C 相切．

依题意设直线PF 1的方程为y ＝k (x －4)＋4， 即kx －y －4k ＋4＝0，

若直线PF 1与圆C 相切，则|k －0－4k ＋4|

k 2＋1＝5，

∴4k 2－24k ＋11＝0，解得k ＝112或k ＝1

2

，

当k ＝112时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为36

11，不合题意，舍去，

当k ＝1

2时，直线PF 1与x 轴的交点横坐标为－4，

∴c ＝4，F 1(－4,0)，F 2(4,0)，

∴由椭圆的定义得：2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝52＋2＝62，∴a ＝32，即a 2＝18，∴b 2＝a 2－c 2＝2，

直线PF 1能与圆C 相切，直线PF 1的方程为x －2y ＋4＝0，椭圆E 的方程为x 218＋y 2

2＝1.

(理)(2014·广州市综合测试)已知定点F (0,1)和直线l ：y ＝－1，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .

(1)求曲线E 的方程；

(2)若点A 的坐标为(2,1)，直线l 1：y ＝kx ＋1(k ∈R ，且k ≠0)与曲线E 相交于B 、C 两点，直线AB 、AC 分别交直线l 于点S 、T .试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点？若是，求这两个定点的坐标；若不是，请说明理由．

[解析] (1)解法一：由题意，点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，故点M 的轨迹是以点F 为焦点，l 为准线的抛物线．

∴曲线E 的方程为x 2＝4y .

解法二：设点M 的坐标为(x ，y )，依题意，得|MF |＝|y ＋1|， 则x 2＋ y －1 2＝|y ＋1|， 化简得x 2＝4y .

∴曲线E 的方程为x 2＝4y .

(2)解法一：设点B 、C 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，

依题意得x 21＝4y 1，x 2

2＝4y 2.

由?????

y ＝kx ＋1，x 2＝4y ，

消去y 得x 2－4kx －4＝0， 解得x 1,2＝4k ±4k 2＋12＝2k ±2k 2＋1.

∴x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4.

直线AB 的斜率k AB ＝y 1－1x 1－2＝x 21

4－1

x 1－2＝x 1＋2

4，

故直线AB 的方程为y －1＝x 1＋2

4(x －2)．

令y ＝－1，得x ＝2－8

x 1＋2，

∴点S 的坐标为(2－8

x 1＋2，－1)．

同理可得点T 的坐标为(2－

8

x 2＋2

，－1)． ∴|ST |＝|2－8x 1＋2－(2－8

x 2＋2

)|

＝|8 x 1－x 2 x 1＋2 x 2＋2 |＝|8 x 1－x 2

x 1x 2＋2 x 1＋x 2 ＋4| ＝|8 x 1－x 2 8k |＝|x 1－x 2k

|.

∴|ST |2

＝ x 1－x 2 2k 2＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 2

k 2

＝16 k 2＋1

k 2

.

设线段ST 的中点坐标为(x 0，－1)， 则x 0＝12(2－8x 1＋2＋2－8

x 2－2

)

＝2－4 x 1＋x 2＋4

x 1＋2 x 2＋2

＝2－

4 4k ＋4 x 1x 2＋2 x 1＋x 2 ＋4

＝2－4 4k ＋4 8k ＝－2

k .

∴以线段ST 为直径的圆的方程为 (x ＋2k )2＋(y ＋1)2

＝4 k 2＋1 k 2

.

展开得x 2

＋4k x ＋(y ＋1)2＝4 k 2＋1 k 2－4k

2＝4.

令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.

∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)． 解法二：由(1)得抛物线E 的方程为x 2＝4y .

设直线AB 的方程为y －1＝k 1(x －2)，点B 的坐标为(x 1，y 1)，

由????? y －1＝k 1 x －2 ，

y ＝－1解得??

?

??

x ＝2－2

k 1，y ＝－1.

∴点S 的坐标为(2－2

k 1

，－1)．

由?

????

y －1＝k 1 x －2 ，x 2＝4y 消去y 得x 2－4k 1x ＋8k 1－4＝0， 即(x －2)(x －4k 1＋2)＝0，解得x ＝2或x ＝4k 1－2. ∴x 1＝4k 1－2，y 1＝14x 21＝4k 21－4k 1＋1. ∴点B 的坐标为(4k 1－2,4k 21－4k 1＋1)． 同理，设直线AC 的方程为y －1＝k 2(x －2)， 则点T 的坐标为(2－2

k 2，－1)，

点C 的坐标为(4k 2－2,4k 22－4k 2＋1)． ∵点B ，C 在直线l 1：y ＝kx ＋1上， ∴k ＝ 4k 22－4k 2＋1 － 4k 21－4k 1＋1 4k 2－2 － 4k 1－2

＝ k 22－k 2

1 － k 2－k 1 k 2－k 1

＝k 1＋k 2－1.

∴k 1＋k 2＝k ＋1.

又4k 21－4k 1＋1＝k (4k 1－2)＋1，

得4k 21－4k 1＝4kk 1－2k ＝4(k 1＋k 2－1)k 1－2k ， 化简得k 1k 2＝k 2

.

设点P (x ，y )是以线段ST 为直径的圆上任意一点， 则SP →·TP →＝0，

得(x －2＋2k 1)(x －2＋2

k 2)＋(y ＋1)(y ＋1)＝0，

整理得x 2＋4

k

x －4＋(y ＋1)2＝0.

令x ＝0，得(y ＋1)2＝4，解得y ＝1或y ＝－3.

∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点(0,1)，(0，－3)．

21．(本题满分12分)(文)(2015·洛阳市期末)设函数f (x )＝a

x ＋x ln x ，g (x )＝x 3－x 2－3.

(1)讨论函数h (x )＝f x

x

的单调性；

(2)如果对任意的s ，t ∈????

12，2，都有f (s )≥g (t )成立，求实数a 的取值范围．

[解析] (1)∵h (x )＝a x 2＋ln x ，∴h ′(x )＝－2a x 3＋1x ＝x 2

－2a

x

3，

①当a ≤0时，h ′(x )>0，函数h (x )在(0，＋∞)上单调递增；

②当a >0时，令h ′(x )>0，得x >2a ，即函数h (x )的单调递增区间为(2a ，＋∞)； 令h ′(x )<0，得0

3， 因为g ????12＝－258，g ????23＝－85

27

，g (2)＝1， 所以g (x )max ＝1，???

?其中x ∈????12，2 故对任意的s ，t ∈????12，2，都有f (s )≥g (t )成立，

等价于当x ∈????12，2时，f (x )＝a

x ＋x ln x ≥1恒成立，等价于a ≥x －x 2ln x 恒成立， 记H (x )＝x －x 2ln x ，所以a ≥H (x )max ，H ′(x )＝1－2x ln x －x ，H ′(1)＝0. 令m (x )＝1－2x ln x －x ，所以m ′(x )＝－3－2ln x ， 由于x ∈????

12，2，m ′(x )＝－3－2ln x <0， 所以m (x )＝1－2x ln x －x 在????12，2上递减， 当x ∈????12，1时，H ′(x )>0，x ∈(1,2]时，H ′(x )<0，

即函数H (x )＝x －x 2ln x 在区间????12，1上递增，在区间(1,2]上递减，

所以H(x)max＝H(1)＝1，从而a≥1.

(理)(2015·长沙市模拟)已知函数f(x)＝e x，g(x)＝x－m，m∈R.

(1)若曲线y＝f(x)与直线y＝g(x)相切，求实数m的值；

(2)记h(x)＝f(x)·g(x)，求h(x)在[0,1]上的最大值；

(3)当m＝0时，试比较e f(x－2)与g(x)的大小．

[解析](1)设曲线f(x)＝e x与g(x)＝x－m相切于点P(x0，y0)，

由f′(x)＝e x得e x0＝1，解得x0＝0，

可求得点P的坐标为(0,1)，代入g(x)＝x－m，

解得m＝－1.

(2)因为h(x)＝(x－m)e x，

所以h′(x)＝e x＋(x－m)e x＝[x－(m－1)]e x，x∈[0,1]．

①当m－1≤0，即m≤1时，h′(x)≥0，在[0,1]上恒成立，

此时h(x)在[0,1]上单调递增，

所以h(x)max＝h(1)＝(1－m)e；

②当00，h(x)单调递增，

h(0)＝－m，h(1)＝(1－m)e.

(ⅰ)当－m≥(1－m)e，即

e

e－1

≤m<2时，h(x)max＝h(0)＝－m；

(ⅱ)当－m<(1－m)e，即1

e－1

时，

h(x)max＝h(1)＝(1－m)e；

③当m－1≥1，即m≥2时，h′(x)≤0，此时h(x)在[0,1]上单调递减，所以h(x)max＝h(0)＝－m.

综上所述，当m

e－1

时，h(x)max＝(1－m)e；

当m≥e

e－1

时，h(x)max＝－m.

(3)当m＝0时，e f(x－2)＝ee x－2，g(x)＝x，

①当x≤0时，显然e f(x－2)>g(x)；

②当x>0时，ln e f(x－2)＝ln e e x－2＝e x－2，ln g(x)＝ln x，

记函数φ(x)＝e x－2－ln x＝1

e2×e

x－ln x，

则φ′(x)＝1

e2×e

x－1

x＝e

x－2－1

x，可知φ′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

又由φ′(1)<0，φ′(2)>0知，