3-4角动量 角动量守恒定律

3-4 角动量 角动量守恒定律

一 质点的角动量定理和角动量守恒定律

1 质点的角动量 v m r p r L ?=?=

质点以角速度ω作半径为R 的圆运动，相对圆心的角动量

ωωJ mr L ==2

质点定轴转动的角动量 ω J L =

2 质点的角动量定理 p t r t p r p r t t L ?+?=?=d d d d )(d d d d 0,d d =?=p t r

v v F r t

p r t L

?=?=d d d d t

L M d d =

12d 2

1

L L t M t t -=?

冲量矩t M t t d 21

?

3 质点的角动量守恒定律 恒矢量==L M

,0

例1 (P116)一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内。一质量为 m 的小球穿在圆环上， 并可在圆环上滑动。小球开始时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上)，然后从 A 点开始下滑。设小球与圆环间的摩擦略去不计。求小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度。 解：

dt dJ dt dL mgR M ωθ===cos ，dt d θω=，ω

θ

d dt =

θθωωd mgR d J cos =

??

=θ

ω

θθωω0

cos d mgR d J

B

θθωsin 2

sin 2

g R

mgR J ==

例2(P117) 一质量kg 1020.14?=m 的登月飞船，在离月球表面高度 km 100=h 处绕月球作圆周运动。飞船采用如下登月方式： 当飞船位于点 A 时，它向外侧短时间喷气，使飞船与月球相切地到达点 B ，且OA 与 OB 垂直。飞船所喷气体相对飞船的速度为14s m 1000.1-??=u 。已知月球半径 km 1700=R ； 在飞船登月过程中，月球的重力加速度视为常量2s m 62.1-?=g 。试问登月飞船在登月过程中所需消耗燃料的质量m ?是多少? 解：

h

R m h R m

m G +=+202

M )(v 2M

R

m G

g =

12

120s m 1612)(-?=+=h

R g R v

21)(22

0v v v ?+=A

R m h R m B v v '=+')(0

1s m 1709)(-?=+=R h R 0B v v

R

m m G h R m m G M M '-'=+'-'2

B 2A v m v m 2121 1s m 1615-?=A v

121s m 100)(-?=-=?202A v v v

v ?=?m u m )(

kg 120=?=?u m m v

二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律

1 刚体定轴转动的角动量定理

ω∑∑==i

i i i i i

i r m r m L )(2v

ωJ L =

t

J t L M d )(d d d ω==

122

1

d ωωJ J t M t t -=?

非刚体定轴转动的角动量定理

112221

d ωωJ J t M t t -=?

2 刚体定轴转动的角动量守恒定律

0=M ，常量==ωJ L

注意：

(1) 0=M ，若 J 不变，ω 不变；若 J 变，ω 也变，但 ωJ 不变； (2) 内力矩不改变系统的角动量；

(3) 在冲击等问题中ex in M M >>，常量≈L ；

(4) 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律。

例3(P121) 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕过其中心 O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动。当细杆静止于水平位置时， 有一只小虫以速率 0v 垂直落在距点O 为 l /4 处, 并背离点O 向细杆的端点A 爬行。设小虫与细杆的质量均为m 。问：欲使细杆以恒定的角速度转动，小虫应以多大速率向细杆端点爬行? 解：

ω??

????+=220

)4(1214l m ml l m v

l

712v =

ω t

J t J t L M d d d )(d d d ωω===

t

r

mr mr ml t mgr d d 2)121(d d cos 22ωωθ=+=

t ωθ=

)712cos(247cos 2d d 00t l

t g

t r v v lg ==ωω

例4(P122) 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下落到跷板的一端A ，并把跷板另一端的演员N 弹了起来。设跷板是匀质的，长度为l ，质量为'm ，跷板可绕中部支撑点C 在竖直平面内转动，演员的质量均为m 。假定演员M 落在跷板上，与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞。问演员N 可弹起多高? 解：

21M )2(gh =v

ω2l u =

ωωω22M 2

1

121222ml l m l mu J l m +'=+=v

l m m gh m ml l m l m )6()2(62122122M +'=

+'=v ω h m

m m g l g u h 2

222)63(82+'==='ω

例5一水平刚性光滑轻杆，杆长l =20cm ，其上对称地穿有两个小球。开始时，两小球距杆中心O 的距离均为d =5cm ，二者用细线拉紧。先让细杆绕过O 点的竖直轴以角速度0ω 匀速转动，再烧断细线，问当两球都滑至杆端时，杆的角速度是多少？ 解：

ωω202)2/(22l m md =

000224

1400/25*4/4ωωωω===l d

例6 一匀质转台质量为M ，半径为R ，可绕竖直的中心轴转动，初角速度为ω0，一人立在台中心，质量为m 。若他以恒定的速度u 相对转台沿半径方向走向边缘，如图所示.试计算人到达转台边缘时，(1)转台的角速度；(2)转台转过的圈数。 解： ωω))(2

1

(212202ut m MR MR += 0222)(2ωωut m MR MR +=

边缘

u R t =，002

222)

(2ωωωm M M ut m MR MR +=+= M

m m M u

R u

R

R u M m m M u R dt t

MR mu dt u R

u R 2arctan 22arctan 2211000

2

2

200

ωωω

ωθ=

=+==??

M

m

m M u R N 2arctan

220πω=

三 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞

碰撞 C p F

F i

i

=<<∑in ex 或in ex M M <<，常量==ωJ L

完全弹性碰撞

C E E E =+=2k 1k k

非弹性碰撞（有能量损失）

由于非保守力的作用 ，两物体碰撞后，使机械能转换为热能、声能，化学能等其他形式的能量。

完全非弹性碰撞（粘在一起）

两物体碰撞后,以同一速度运动，损失动能最多

例 7 设有两个质量分别为1m 和2m ，速度分别为10v 和20v

的弹性小球作对心碰

撞 ，两球的速度方向相同。若碰撞是完全弹性的，求碰撞后的速度1v 和2v

。 解：

2211202101v v v v m m m m +=+

222211*********

1212121v v v v m m m m +=+ )()(20221101v v v v -=-m m

)()(220222212101v v v -v -=m m ，))(())((20220221101101v v v v v v v -v +-=+m m

))(())((20220221102022v v v v v v v v +-=+-m m 202110v v v v +=+

,2)(2120210211m m m m m ++-=

v v v 2

110

12012

22)(m m m m m ++-=v v v 例 8 如图，已知：a l m M ,,,,子弹射入并嵌在棒内，求子弹的初速。

解：

ω)3

1

(22ma Ml mva +=

)30cos 1(2

)30cos 1()31(2100222-+-=+l

Mg mga ma Ml ω )3)(2)(32(6

122ma Ml Ml g

ma v ++-=

作业: P111 3-14（角动量）,3-18(角动量,动能定理), 3-20（碰撞）