双曲线拓展知识常用结论(应该掌握)

双曲线常用结论

一、双曲线的第一定义:

平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．（口诀：看到左焦点，想到右焦点）

二、双曲线的第二定义:

1、一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个),1(+∞内常数e ，那么这个点的轨迹叫做双曲线 其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e 就是离心率（点与线成对出现，左对左，右对右） 对于12222=-b y a x ，左准线c

a x l 2

1:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=-b x a y ，下准线c

a y l 2

1:-=；上准线c y l 22:= 2、焦半径

圆锥曲线上任意一点M 与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。

双曲线的焦半径公式：

焦点在x 轴（左焦半径）01ex a r +=,（右焦半径）02ex a r -=,其中e 是离心率 焦点在y 轴 1020,MF a ey MF a ey =+=-

其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点 焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减，上减下加()c a PF c a PF -≥-≥21,双曲线上的点到焦点距离的最小值。

二、双曲线的第三定义:

在双曲线()22

22C 10x y a b a b +=：中，A 、B 是关于原点对称的两点，

P 是双曲线上异于A 、B 的一点，若

PA PB k k 、存在，则有：2

2

2=1=PA PB b k k e a ?- 三、双曲线的焦点三角形: 1、通径：

圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x 轴

为例， 弦AB 。坐标：???? ??-a b c A 2,，???

? ??a b c B 2,弦AB 长度： a b AB 22=

2、焦点三角形解题主要关系式：

3、涉及焦点三角形面积时，可设|PF 1|=

m ，|PF 2|=n ，主要用结果：①定义m-n=2a ； ②|F 1F 2|=2c ；③余弦定理。 运用|PF 1|2＋|PF 2|2＝(|PF 1|＋

|PF 2|)2

－2|PF 1|·|PF 2|及余弦定理求出|PF 1|·|PF 2|，而无需单独求解． 3、若P 是双曲线：22221x y a b -=上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2tan /2θ

b S =? .

四、双曲线的中点弦问题：

(1)双曲线中点弦的斜率公式：

设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB （AB 不平行y 轴）的中点，则有： 2

2AB OM b k k a ?=

(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

在双曲线122

22=+b

y a x 中，以00(,)M x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0

202y a x b ；由（1）得22AB OM b k k a ?= 0022221y x a b k a b k OM AB ?=?=

口诀：中点弦用“点差”，不要忘记“Δ”。

五、双曲线22

221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与双曲线2222x y a b

λ-=（a ＞0,b ＞0）渐近线相同。 六、焦点⊿PF 1F 2的内切圆心横坐标为±a （x=a 或者x=-a ）即与实轴的切点一定是实轴端点。

七、焦点到渐近线的距离等于b 。

八、弦长公式

直线与圆锥曲线相交所得的弦长

（1）

?F 1

?F 2

P

直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长

1212||AB x y y =-==-

注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算.

当直线斜率不存在是,则12AB y y =-.