课时跟踪检测(四十二) 直线、平面垂直的判定与性质

课时跟踪检测(四十二)直线、平面垂直的判定与性质

(分Ⅰ、Ⅱ卷，共2页)

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．在空间中，给出下面四个命题：

①过一点有且只有一个平面与已知直线垂直；

②若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；

③垂直于同一条直线的两条直线互相平行；

④若两个平面相互垂直，则一个平面内的任意一条直线必定垂直于另一个平面内的无数条直线．

其中正确的命题是________(填序号)．

2．(2014·盐城一调)已知平面α，β，γ，直线l，m满足α⊥γ，γ∩α＝m，γ∩β＝l，l⊥m，那么：①m⊥β；②l⊥α；③β⊥γ；④α⊥β.由上述条件可推出的结论有________(填序号)．3．(2014·常州期末)给出下列四个命题：

(1)“直线a∥直线b”的必要不充分条件是“a平行于b所在的平面”；

(2)“直线l⊥平面α”的充要条件是“l垂直于平面α内的无数条直线”；

(3)“平面α∥平面β”是“α内有无数条直线平行于平面β”的充分不必要条件；

(4)“平面α⊥平面β”的充分条件是“有一条与α平行的直线l垂直于β”．

上述命题中，所有真命题的序号为________．

4.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB

＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1

⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

5.如图所示，在四棱锥P -ABCD中，P A⊥底面ABCD，且底面各边

都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥

平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

6．假设平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分别为B，D，

如果增加一个条件，就能推出BD⊥EF，现有下面四个条件：

①AC⊥α；②AC与α，β所成的角相等；③AC与BD在β内的射影在同一条直线上；

④AC∥EF.

其中能成为增加条件的是________．(把你认为正确的条件序号都填上)

7．(2014·南京学情调研)如图，已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝

AC，D为BC的中点．

(1)若平面ABC⊥平面BCC1B1，求证：AD⊥DC1；

(2)求证：A1B∥平面ADC1.

8．如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平

面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.

(1)求证：BD⊥AA1；

(2)若E为棱BC的中点，求证：AE∥平面DCC1D1.

第Ⅱ卷：提能增分卷

1．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知E，F，G分别为棱AB，AC，A1C1的中点，∠ACB＝90°，A1F⊥平面ABC，CH⊥BG，H为垂足．求证：

(1)A1E∥平面GBC；

(2)BG⊥平面ACH.

2．(2014·苏锡常镇一调)如图1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，CD为∠ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图2所示，将△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，连结AB，设点F是AB的中点．

(1)求证：DE⊥平面BCD；

(2)在图2中，若EF∥平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B-DEG 的体积．

3．(2014·苏州模拟)如图，边长为4的正方形ABCD 所在平面与

正三角形P AD 所在平面互相垂直，M ，Q 分别为PC ，AD 的中点．

(1)求四棱锥P -ABCD 的体积；

(2)求证：P A ∥平面MBD ；

(3)试问：在线段AB 上是否存在一点N ，使得平面PCN ⊥平面PQB ？若存在，试指出点N 的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由．

答 案

第Ⅰ卷：夯基保分卷

1．解析：易知①④正确；对于②，过两点的直线可能与平面相交；对于③，垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．

答案：①④

2．解析：由条件知α⊥γ，γ∩α＝m ，l ?γ，l ⊥m ，则根据面面垂直的性质定理有l ⊥α，即②成立；又l ?β，根据面面垂直的判定定理有α⊥β，即④成立．

答案：②④

3．解析：(1)是既不充分也不必要条件；(2)是充分不必要条件，即“直线l ⊥平面α”可得“l 垂直于平面α内的无数条直线”，反之不成立；(3)(4)正确．

答案：(3)(4)

4．解析：设B 1F ＝x ，因为AB 1⊥平面C 1DF ，DF ?平面C 1DF ，所以AB 1⊥DF .由已知

可以得A 1B 1＝2，设Rt △AA 1B 1斜边AB 1上的高为h ，则DE ＝12

h .又2×2＝h 22＋(2)2，所以h ＝233，DE ＝33

.在Rt △DB 1E 中，B 1E ＝????222－????332＝66

.由面积相等得66× x 2＋????222＝22x ，得x ＝12.

答案：12

5．解析：由定理可知，BD ⊥PC .

∴当DM ⊥PC (或BM ⊥PC )时，即有PC ⊥平面MBD .

而PC ?平面PCD ，

∴平面MBD ⊥平面PCD .

答案：DM ⊥PC (或BM ⊥PC 等)

6．解析：如果AB 与CD 在一个平面内，可以推出EF 垂直于该平面，又BD 在该平面内，所以BD ⊥EF .故要证BD ⊥EF ，只需AB ，CD 在一个平面内即可，只有①③能保证这一条件．

答案：①③

7．证明：(1)因为AB ＝AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC .

因为平面ABC ⊥平面BCC 1B 1，平面ABC ∩平面BCC 1B 1＝BC ，AD ?平面ABC ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.

因为DC 1?平面BCC 1B 1，所以AD ⊥DC 1.

(2)法一：连结A 1C ，交AC 1于点O ，连结OD ，则O 为A 1C 的中点．

因为D 为BC 的中点，所以OD ∥A 1B .

因为OD ?平面ADC 1，A 1B ?平面ADC 1，

所以A 1B ∥平面ADC 1.

法二：取B 1C 1的中点D 1，连结A 1D 1，D 1D ，D 1B ，

则D 1C 1綊BD .

所以四边形BDC 1D 1是平行四边形．所以D 1B ∥C 1D .

因为C 1D ?平面ADC 1，D 1B ?平面ADC 1，

所以D 1B ∥平面ADC 1.

同理可证A 1D 1∥平面ADC 1.

因为A 1D 1?平面A 1BD 1，D 1B ?平面A 1BD 1，

A 1D 1∩D 1

B ＝D 1，

所以平面A 1BD 1∥平面ADC 1.

因为A 1B ?平面A 1BD 1，

所以A 1B ∥平面ADC 1.

8．证明：(1)在四边形ABCD 中，因为BA ＝BC ，DA ＝DC ，所以BD ⊥AC .

又因为平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ，BD ?平面ABCD ，所以BD ⊥平面AA 1C 1C .

又因为AA 1?平面AA 1C 1C ，

所以BD ⊥AA 1.

(2)在△ABC 中，AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC .

在四边形ABCD 中，AB ＝BC ＝CA ＝3，DA ＝DC ＝1，所以∠ACB ＝60°，∠ACD ＝30°，所以DC ⊥BC ，所以AE ∥DC .

因为DC ?平面DCC 1D 1，

AE ?平面DCC 1D 1，

所以AE ∥平面DCC 1D 1.

第Ⅱ卷：提能增分卷

1．证明：(1)取BC 的中点M ，连结EM ，GM .

因为EM ＝12AC ，EM ∥AC ，且A 1G ＝12

AC ，A 1G ∥AC ，所以A 1G ∥EM ，A 1G ＝EM .

所以四边形A 1GME 是平行四边形，所以A 1E ∥GM .

又A 1E ?平面GBC ，GM ?平面GBC ，

所以A 1E ∥平面GBC .

(2)在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，G ，F 分别为A 1C 1，AC 的中点，所以A 1G ＝FC 且A 1G ∥FC ，所以四边形A 1FCG 为平行四边形，所以A 1F ∥CG .因为A 1F ⊥平面ABC ，所以CG ⊥平面ABC .

因为AC ?平面ABC ，所以CG ⊥AC .

因为CB ⊥AC ，CG ，CB ?平面CBG ，CG ∩CB ＝C .

所以AC ⊥平面BCG .

又因为BG ?平面BCG ，所以AC ⊥BG .

因为CH ⊥BG ，且AC ∩CH ＝C ，AC ，CH ?平面ACH ，故BG ⊥平面ACH .

2．解：(1)证明：在题图1中，

因为AC ＝6，BC ＝3，∠ABC ＝90°，

所以∠ACB ＝60°.

因为CD 为∠ACB 的平分线，所以∠BCD ＝∠ACD ＝30°，所以CD ＝2 3.

又因为CE ＝4，∠DCE ＝30°，所以DE ＝2.

则CD 2＋DE 2＝CE 2，所以∠CDE ＝90°，即DE ⊥CD .

在题图2中，

因为平面BCD ⊥平面ACD ，平面BCD ∩平面ACD ＝CD ，DE ?平面ACD ，所以DE ⊥平面BCD .

(2)在题图2中，因为EF ∥平面BDG ，EF ?平面ABC ，平面

ABC ∩平面BDG ＝BG ，

所以EF ∥BG .

因为点E 在线段AC 上，CE ＝4，点F 是AB 的中点，

所以AE ＝EG ＝CG ＝2.

过点B 作BH ⊥CD 交于点H .

因为平面BCD ⊥平面ACD ，BH ?平面BCD ，所以BH ⊥平面ACD .

由条件得BH ＝32

. 又S △DEG

＝13S △ACD ＝13×12

AC ·CD ·sin 30°＝3， 所以三棱锥B -DEG 的体积为

V ＝13S △DEG ·BH ＝13×3×32＝32

. 3．解：(1)因为Q 为AD 的中点，△P AD 为正三角形，

所以PQ ⊥AD .

因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PQ ?平面P AD ，所以PQ ⊥平面ABCD .

因为AD ＝4，所以PQ ＝2 3.

所以四棱锥P -ABCD 的体积

V ＝13S ABCD ·PQ ＝13×42×23＝3233

.

(2)证明：连结AC 交BD 于点O ，连结MO .

由四边形ABCD 为正方形知点O 为AC 的中点，

又因为M 为PC 的中点，

所以MO ∥P A .

因为MO ?平面MBD ，P A ?平面MBD ，

所以P A ∥平面MBD .

(3)存在点N ，当N 为AB 中点时，平面PCN ⊥平面PQB .

证明如下：因为四边形ABCD 是正方形，Q 为AD 的中点，

所以BQ ⊥NC .

由(1)知，PQ ⊥平面ABCD ，NC ?平面ABCD ，所以PQ ⊥NC .又BQ ∩PQ ＝Q ， 所以NC ⊥平面PQB .

因为NC ?平面PCN ，

所以平面PCN ⊥平面PQB .