四川省绵阳市2013届高三第二次诊断性考试数学(文)试题(纯word版)

四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题

文科数学（第一卷）

一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分

1、集合{1,2}P =，{|}Q x x 2=<，则集合P Q 为 （ ） （A ）{1,2} （B ）{1} （C ）{2} （D ）{0,1}

2、复数

212i i

-+的虚部是（ ）

（A ）0 （B ）5i （C ）1 （D ）i

3

、已知sin cos θθ+=，则7cos(2)2

πθ-

的值为（ ）

（A ）

49

（B ）

29

（C ）29

- （D ）49

-

4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为

（ ）

（A ）8 （B ）18 （C ）26 （D ）80

5、设a 、b 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( ) （A ）若a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α （B ）若a ∥α，α⊥β，则a ⊥β （C ）若a ⊥β，α⊥β，则 a ∥α （D ）若a ⊥b ，a ⊥α，b ⊥β，则α⊥β

6、函数()sin()f x A x ω?=+的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ） （A ）()2sin(

)3

3

f x x π

π

=-

（B ）()2sin(

1)6

f x x π

=-

（C ）()2sin()3

f x x π

=- （D ）()2sin(

)6

6

f x x π

π

=-

2

(A) )2,(--∞ (B) ),2[+∞- (C) ]2,2[- (D) ),0[+∞

8、定义运算()()a a b a b b a b ?≤?=?>?

，则函数1

()(0)f x x x x =?>的图象大致为（ ）

9、已知O 为平面上的定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三点，若(2)OB OC OA +-?

()0

OB OC -=

，则?ABC 是（

） （A ）以AB 为底边的等腰三角形 （B ）以BC 为底边的等腰三角形 （C ）以AB 为斜边的直角三角形

（D ）以BC 为斜边的直角三角形

10、已知关于x 的方程220x bx c -++=，若{}0123b,c ∈，

，，，记“该方程有实数根1x ，2x 且满足1212x x -≤≤≤”为事件A ，则事件A 发生的概率为( )

（A ）14

（B ）

34

（C ）

78

（D ）

1516

二、填空题：每小题5分，共25分

11、已知数列{}n a 的前n 项和332n

n S =-?，则n a = ．

12、某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这 三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7， 那么从高三学生中抽取的人数应为 ．

13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果

主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视

图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．

14、设向量a 与b 的夹角为θ，)1,2(=a ，

)54(2，=+b a ，则

θcos 等于 ．

主视图

侧视图

15、设m 是一个正整数，对两个正整数a 、b ，若(,0)a b km k Z k -=∈≠，我们称a 、b 模m 同余，用符号(Mod )a b m =表示； 在6(Mod )b m =中，当b N m

∈，且1m >时，b 的所有可取值

为 ．

石室中学高2013级“一诊模拟”考试（一）试题

文科数学（第二卷）

11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题：总分75分

16、（本题满分12分）已知ABC ?的面积S

满足36S AB BC ≤≤?=

且，AB BC 与的

夹角为θ．

（Ⅰ）求θ的取值范围；

（Ⅱ）求函数θθθθθ22cos 3cos sin 2sin )(++=f 的最大值．

17、（本题满分12分）三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，90ACB ∠=?，2AC CB ==． （Ⅰ）求证：平面PAB ⊥平面ABC ；

（Ⅱ）当60PCB ∠=?时，求三棱锥A PCB -的体积．

B

18、（本题满分12分）

设函数()x f y =满足：对任意的实数,R x ∈有().3sin 2cos 2cos sin 2-++-=x x x x f （Ⅰ）求()x f 的解析式； （Ⅱ）若方程()2

12-=x a x f 有解，求实数a 的取值范围.

19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为()R x 万元，且22110.8,01030

()1081000,103x x R x x x

x ?

-<≤??=??->??.

（Ｉ）写出年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式；

（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

20、（本题满分13分）

设数列{}n a 为单调递增的等差数列，11a =，且1263,,a a a 依次成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ；

（Ⅱ）若2n

a n n

b a =?，求数列{}n b 的前n 项和n S ；

（Ⅲ）若()

2

2

2322

n

n

n

a n a a c =+?+，求数列{}n c 的前n 项和n T ．

21．（本小题满分14分）已知函数x x x x f 323

1)(2

3

+-=

（R x ∈）的图象为曲线C ．

（Ⅰ）求曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围；

（Ⅱ）若曲线C 上存在两点处的切线互相垂直，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围；

（Ⅲ）试问：是否存在一条直线与曲线C 同时切于两个不同点？如果存在，求出符合条件的所有直线方程；若不存在，说明理由．

四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题

文科数学参考答案

一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、D 9、B 10、C 二、填空题：11、1

32n --?（*

n N ∈） 12、10 13

、

45

15、2,3,4

三、解答题：

16、解：（I ）由题意知.6cos ||||==?θBC AB BC AB …………1分

11||||sin()||||sin 2211

||||cos tan 6tan 3tan .422

333tan 1tan [0,],[

,

].643S AB BC AB BC AB BC S πθθ

θθθθθθππ

θπθ=-===?=≤≤≤≤∴≤≤

∈∴∈

分即又分

（II ）θθθθθθθ2

2

2

cos 22sin 1cos 3cos sin 2sin )(++=++=f π

θθθ …………9分

311[

,

],2[

,].434

42

32,,(), 3.124

4

4

f ππ

π

ππθθπ

ππ

θθθ∈∴+∈∴+

==

当即时最大最大值为分

17、证明：（Ⅰ）作PO ⊥平面ABC 于点O ，∵PA PB PC ==，

∴OA OB OC ==，即O 为ABC ?的外心 又∵ABC ?中，90ACB ∠=? 故O 为AB 边的中点 所以PO ?平面PAB

即证：平面PAB ⊥平面ABC ． ．．．．．．．6分 （Ⅱ）∵PA PB PC ==，60PCB ∠=?，∴PCB ?为正三角形 ∵2AC CB == ， ∴2PA PB PC ===

∴OA

=PO =

∴三棱锥A PCB -的体积13

A PC

B P ACB AB

C V V S PO --?==

?

11113

2

3

2

AC BC PO =???=??=

．………….12分

18、解：⑴()3sin 2sin 3sin 2sin 11sin 2sin 222-+=-+-+-=x x x x x x f

所以()().11322≤≤--+=x x x x f …………………5分

⑵①当2

1=

x 时，.021≠???

??f 不成立.

②当2

11<

≤-x 时，,02

1<-x 令,2

1x t -=则,2

1t x -=.2

30≤

,3473

2122122

--=-??

? ??-+??? ??-=t

t t t t a

因为函数()347

--

=t t t h 在??? ??23,0上单增，所以.3438232-≤?-=??

?

??≤a h a ③当12

1≤

1>-

x 令,21-

=x t 则,2

1t x +=

.210≤

,373

2122122

+-=-??

?

??++??? ??+=t t t a

因为函数()347

+-

=t t t h 在??? ??21,0上单增，所以.00212≤?=??

?

??≤a h a 综上，实数a 的取值范围是(].0,∞- ……………………12分

19、解：（Ｉ）当010x <≤时，3

()(10 2.7)8.11030

x

W xR x x x =-+=--；

当10x >时，1000()(10 2.7)98 2.73W xR x x x x

=-+=-

-．

∴ 年利润W （万元）关于年产量x （千件）的函数关系式为

3

8.110,010,30

100098 2.7,10.3x x x W x x x ?--<≤??=??-->??

…………………6分

（Ⅱ）当010x <≤时，由2

8.100910

x

W x '=-

>?<<，

即年利润W 在(0,9)上单增，在(9,10)上单减

∴ 当9x =时，W 取得最大值，且max 38.6W =（万元）． 当10x >

时，100098(

2.7)98383W x x

=-+≤-=，仅当1009

x =

时取“=”

综上可知，当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为38.6

万元． …………………12分 20、解：(Ⅰ)

()..121251.2363

66123

66

12n a d d d d

d a a a a a a a a n =∴=?+=+?==

--==…….4分

（Ⅱ）∵2

2n

a n

n n b a n =?=?

∴2

3

1222322n

n S n =?+?+?++? 2

3

1

21222(1)22

n

n n S n n +=

?+?++-?+?

相减，得2

3

1

22222

n

n n S n +-=++++-?

2(12)12

n

-=-1

2n n +-?1

1

222

n n n ++=--?

∴1(1)22n n S n +=-?+． …………………….13分

（Ⅲ）

()

()()

()()

1

2

1

1

2

2

2

11

.

2

1

21

2

12221212

322

n

n

n n n n

n

n

n

n n

n

c ---=

=

=

=

-

+++++++?+则

0112111111111.212121212121221

n n n n

T -?????

?=-+-++-=- ? ? ?+++++++?????? ………13分 21、解：（Ⅰ）34)(2+-='x x x f ，则11)2()(2-≥--='x x f ，

即曲线C 上任意一点处的切线的斜率的取值范围是[)+∞-,1；------------3分 （Ⅱ）由（1）可知，?????-≥--≥111k

k ---------------------------------------------------------5分

解得01<≤-k 或1≥k ，由03412<+-≤-x x 或1342≥+-x x 得：(][

)

+∞+-∞-∈,22)3,1(22, x ；-------------------------------7分

（Ⅲ）设存在过点A ),(11y x 的切线曲线C 同时切于两点，另一切点为B ),(22y x ，

21x x ≠，

则切线方程是：))(34()323

1

(112

112

13

1x x x x x x x y -+-=+--，

化简得：)23

2()34(2

13112

1x x x x x y +-

++-=，

而过B ),(22y x 的切线方程是)23

2()34(2

23222

2x x x x x y +-++-=，

由于两切线是同一直线，

则有：343422

212

1+-=+-x x x x ，得421=+x x ，----------------------11分 又由2

2322

13

123

223

2x x x x +-

=+-，

即0))((2))((3221212

2212

121=+-+++--x x x x x x x x x x

04)(312

2212

1=+++-

x x x x ，即012)(2

2211=-++x x x x

即0124)4(2

22=-+?-x x ，04422

2=+-x x

得22=x ，但当22=x 时，由421=+x x 得21=x ，这与21x x ≠矛盾。 所以不存在一条直线与曲线C 同时切于两点. --------------------------------14分