结构动力弹塑性分析方法

结构动力弹塑性分析方法

1.动力理论

动力理论是直接通过动力方程求解地震反应。由于地震波为复杂的随机振动，对于多自由度体系振动不可能直接得出解析解，只可采用逐步积分法.通过直接动力分析可得到结构响应随时间的变化关系，因而该方法又称为时程分析法。时程分析法能更真实地反映结构地震响应随时间变化的全过程，并可以得到强震下结构的弹塑性变形，因此己成为抗震分析的一种重要方法。

多自由度体系地震反应方程为：

[][][][])}({)}({)}({)}({t x

M t x K t x C t x M g -=++ (1.1) 在弹塑性反应中刚度矩阵与阻尼矩阵亦随时间变化，因此不可能求出解析解，只能采取数值分析方法求解。把整个地震反应的过程分为短而相等的时间增量缸，并假定在每一个时间区间上体系的各物理参数均为常数，它们均按区间起点的值来确定，这样就可以把非线性体系的分析近似按照一系列连续变化的线性体系来分析。方程(1．2)适用于结构的任何时刻，则对于结构t t ?+时刻的地震反应方程可以表示为：

[][][][])}({)}({)}({)}({t t x

M t t x K t t x C t t x M g ?+-=?++?++?+ (1.2) 令:)}({)}({}{t x

t t x x -?+=? (1.3) )}({)}({}{t x t t x x

-?+=? (1.4) )}({)}({}{t x t t x x -?+=? (1.5)

)}({)}({}{t x t t x x g g g

-?+=? (1.6) 择将式(1.3)与式(1.2)相减得到结构的增量平衡方程：

[][][][]}{}{}{}{g x

M x K x C x M ?-=?+?+? (1.7) 2.方法介绍

时程分析法的基本过程是将地震波按时段进行数值化后，输入结构

体系的微分方程中，采用逐步积分法对结构进行弹性或弹塑性地震反应分析，得 到结构在整个时域中的振动状态全过程，并描述各个时刻结构构件的内力和变形。 在弹塑性时程分析中，还给出各构件出现塑性铰的先后顺序。因此，时程分析法 能从强度和变形两方面对结构在地震下的反应进行比较全面的描述。通过多年的 发展，时程分析法在结构分析模型，单元计算模型，材料本构关系，阻尼模型及 数值计算方法等方面取得了很大的进展。

3.结构分析模型

3.1层间模型

使用范围：由于该模型假定梁的刚度为无限大，因而用它计算强柱弱梁型的结构过于粗糙，而只能适合强梁弱柱型的有规律的结构。

优点：剪切模型是层间模型中较简单的一种，是将每层各部分的质量集中在一起，假定楼板平面内刚度无限大，从而使结构的自由度数量大为减少，计算时的工作量也较小。应用这种计算模型的关键是弹塑性层间模型的刚度确定。

缺点：显然对于弯曲成分较大的高层和超高层结构，这种模型并不适合。层间模型的另外一种是弯剪模型，它的提出土要是针对剪力墙结构体系而言的。用层间模型进行弹塑性反应分析，计算效率较高，但不可避免地有模型总体过于粗糙的缺点。

3.2平面杆系模型

适用范围：各榀联系不紧密的标准框架

优点：该计算模型是由可带刚域的杆件组成的平面框架结构，它克服了层问剪切模型的诸多弊端，杆件可同时考虑轴向、弯曲和剪切变形，杆件恢复力特征曲线有弯曲屈服型和压弯屈服型。采用该分析模型可求得各杆件在地震作用下的内力及变形全过程，判断每根杆件的开裂与屈服与否，及各杆件屈服的先后顺序，从而了解整个结构的破坏形态。

缺点：由于该分析模型无法考虑各平面杆系问的空间协同作用，对于复杂结构及扭转明显的结构，该分析模型不能适用。

3.3空间协同模型

使用范围：在工程实践中应用较广。

优点：空间协同模型是在平面杆系模型的基础上，通过设置楼面刚性及分块刚性的

方式，考虑各榀抗侧力结构之间的空间协同作用，该分析模型计算精度较好，能

满足工程使用要求，同时比空间三维模型，计算工作量大为减少。

3.4空间三维模型

适用范围：在科学研究及工程中应用较多。

优点：空间三维分析模型，对每个杆件均同时考虑轴向、弯曲和剪切变形，每个节点具六个自由度，可以全面的考虑各杆件逐个进入弹塑性阶段的过程及其对整个结构的影响，计算精度最高，

缺点：该模型显著的缺陷就是结构分析的自由度很多，计算相当耗时，但随着计算机技术的提高及计算方法的发展，该分析模型正越来越受到科学研究者重视。

4.单元模型

构件单元模型的建立主要有两个发展方向：一种是通过理论分析和试验研究，对计算或试验得到的构件力-位移关系曲线，为便于计算进行骨架曲线及滞回曲线的数学模型化。对于框架梁柱单元，常用的有简化刚度法的双分量模型(如图4.1)，它是由clough等人于1965年最先提出，该单元用两根平行杆模拟构件，一根表示屈服特性的弹塑性杆，一根表示硬化特性的完全弹性杆，非弹性变形集中在杆端的集中塑性铰处；实际刚度法的分段变刚度模型(如图4.2)，这种模型能更合理地模拟钢筋混凝土构件的非线性状态。对墙单元，研究人员根据分析对象不同，提出了微观模型及宏观模型，微观模型由于太精细，通常只用于小型结构的研究工作。宏观模型建立在试验研究和一些理论假设的基础上，存在一定局限性，但模型简单，力学概念直观，在宏观上能较好反应剪力墙构件的非线性性能，应用较为广泛。目前国内外研究和应用较多的有以下这些模型：等效梁模型、等效支撑模型、二维墙板单元模型、三垂直杆型元模型(如图4.3)、多垂直杆元模型(如图4.4)、空间薄壁杆件模型和三维壳元模型，其中空间薄壁杆件模型和三维壳元模型目前仅限于弹性分析。以上不同单元计算模型，针对不同结构，均取得了较好的结果。但在对构件的力-位移关系曲线进行人为模型化的过程中，也隐含了模型化过程中的误差。

图4.1 双分量杆单元模型

图4.2 三分段变刚度杆单元模型

图4.3 墙构件的三垂直杆元模型

图4.4 墙构件的多垂直杆元模型

另一种方法是直接采用材料的本构关系和截面的几何性质，建立单元的计算模型，如Kang．Ning Li及shunsuke Otani等提出的Fiber模型。Fiber模型的基本原理是：通过把构件纵向分为多个微段，在每个微段的中点，把横断面双向划分为平面网格，每一网格的中心为数值积分点，微段纵向即定义为Fiber(纤维)；直接利用材料本构关系，通过计算每个纤维的内力，并在断面内进行数值积分，即可求解每个微段的内力变化过程。很显然，只要纤维分得足够细，材料本构关系正确，计算精度就可满足相应的要求。这种分析方法的优点是避免了单元模型化过程中引入的误差，计算精度较高，缺陷是计算工作作量较大。但随着计算机技术的不断发展及计算效率的提高，Fiber模型正日益被推广使用。

5.材料本构关系的选取

钢筋及混凝土材料的本构关系是结构非线性分析的基础，也是难点所在。国内外在这方面做的研究较早，也非常深入。如Park 等对混凝土材料在单轴及多轴受力状态下的应力应变关系进行了较广泛的研究，并取得了一定的成果。但由于材料在二维及二维受力情况下的复杂性，难以为一般工程师所掌握和应用，人们对实际结构进行分析时多采用的还是单轴受力状态下的应力应变骨架曲线及滞回曲线。

6.地震波的选取

地震波选择的原则应使输入的地震波特性和建筑场地的条件相符合。主要参数有：地震烈度、地震强度参数、场地土类别、卓越周期和反应谱等。选择地震波时应选其主要周期与建筑场地卓越周期相接近的地震波，此外还要满足地震的三要素要求：即频谱特性(可用地震影响系数曲线表征，依据所处的建筑场地类别和设计地震分组确定)、幅值(一般按规范所列地震加速度最大值采用)和地震加速度时程曲线持续时间(一般为结构基本周期的5～10倍)，这三者均要符合规定。有关研究结果表明，由于输入地震波不同，所得出的地震反应相差甚远，有的计算出的弹塑性位移和内力相差几倍、甚至几十倍。因此，考虑未来振动的随机性及不同地震波计算结果的差异性，合理选择地震波来进行直接动力分析是保证计算结果可靠性的重要问题。在抗震分析中以地震动过程中加速度最大值(峰值)的大小作为强度标准。现有的实际强震记录，其峰值加速度多半与要设计结构物所在场地的基本烈度不相对应，因而不能直接使用，需要按照结构物的设防烈度对波的强度进行调整。对选用的地震记录加速度峰值按适当的比例放大或缩小，使峰值加速度相当于设防烈度相应的多遇地震与罕遇地震时的加速度峰值。在强震发生时，一般地面运动的卓越周期将与场地土的自振周期接近。因而在选用地震波时，应使所选用的实际地震波的功率谱的卓越周期乃至谱形状尽量与场地土的谱特征一致。当所选用的地震波的卓越周期和震中距与建筑场地相差不大时，就保证了合理的抗震设计。

7.阻尼模型

阻尼是用以描述结构在振动过程中某种能量的耗散方式，是结构的动力特性，是影响结构动力反应的重要因素之一。完全无阻尼的结构在现实中是不存在的。结构振动时，由于结构材料的内摩擦、材料的滞回效应等机制导致能量消耗，使结构振动幅值逐渐减少，最后直至完全静止。结构的耗能机制非常复杂，一般认为与裂缝或其他材料缺陷的摩擦一滑移机制有关。因此，可能反映这种耗能机制的方法应该是直接在材料层次上考虑，即本构关系能够直接描述诸如塑性变形耗能以及重复荷载作用下的滞回效应。然而，即使是在荷载水平较低而混凝土材料及钢筋材料仍处于弹性状态时，结构在动力荷载作用下的反应也会逐渐衰减，单纯依靠材料本构模型显然无法考虑这一点。因此，仍然需要用显式表达的阻尼力来统一考虑耗能机制。在弹性动力分析当中，粘滞阻尼是结构耗能的唯一因素，因此粘滞阻尼系数的确定很重要。但是结构在非线性工作阶段的耗能主要是构件的非线性力．变形滞回特性引起的，粘滞耗能占总能量很少的一部分，近似选用粘滞阻尼将不会显著影响分析结构的准确性。黄宗明等研究表明：在结构弹塑性分析当中，当采用的滞回恢复力模型符合实际情况时，阻尼比可以取为弹性动力分析一样的常数值。

目前结构弹性动力分析中常用的阻尼有模态阻尼和瑞利阻尼。

7.1模态阻尼

模态阻尼矩阵可以表示如下：

[]∑===N n n n T n T n n n g M M M T C 1

}]{[}{})]{})([]{([4φφφφξπ

(7.1) 式中：N 为振型数；

g T 为模态周期；

n ξ为模态阻尼率；

[M]为质量矩阵；

}{n φ为振型

7.2瑞利阻尼

瑞利阻尼矩阵可以表示如下：

][][][10K a M a C +=

（7.2） ))((42

22122110T T T T a --=ξξπ （7.3）

)(/)(22212211211T T T T T T a --=πξξ （7.4） 式中： 1T ﹑2T 为结构两个主振型的第一、第二自振周期；

[M]为质量矩阵；

[K]为动力刚度矩阵；

1ξ﹑2ξ为对应于第一、第二自振周期的阻尼比

采用瑞利阻尼的主要缺点是，对于没有规定阻尼的振型，等效阻尼随频率增大而增加，于是结构高阶振型具有高阻尼，实际上就把他们从结构响应中消除了，因此要适当选择主振型才能正确反映结构的阻尼特性。求振动方向主振型的方法：对于平面两维结构，其振动方向主振型就是第一、第二振型；对于空间三维结构，宜选用不考虑楼层扭转的振型分解程序。得到的振动方向第一、第二振型就是振动的主振型；对于空间三维结构，如果采用了以质心为参考坐标中心，考虑扭转耦联的振型分解程序，则其振动方向应根据振型曲线分析而定。

8.数值计算方法

目前用于非线性动力分析的数值计算方法可分为两类：一类是等效线性化方法，另一类是逐步积分法，(即时程积方法)，常用的直接积分法有中心差分法、Wilson ．p 法、Newmark ．p 法和Houbolt 法；也有把二阶方程降为一阶方程进行求解的，如Runge-Kutta 法、改进的欧拉法(预估校正法)和应当斯一莫尔顿多步法等。这些时程积分法在算法收敛性、计算精度和稳定性等方面各有其优缺点，人们用得较多地为Newmark ．卢法和wilson 加法。近年来，人们把现代控制理论中的状态空间论应用到高层建筑结构动力响应分析中，提出用状态空间选代法分析高层建筑动力响应。引入位移和速度为状态变量，导出状态方程，建立状态空间迭代计算格式。计算结果表明，具有较高的精度，特别对多自由度体系的多输入、多输出问题的动力响应解法，效率较高。