4晶体对称性-要点

晶格的周期性

§ 1.1 晶格的周期性 1. 晶格周期性的描述——原胞和基矢 晶格的共同特点是具有周期性，可以用原胞和基矢来描述。 + 原胞：一个晶格中最小重复单元（体积最小）如图1.1所示。 + 基矢：原胞的边矢量，三维格子的重复单元是平行六面体， ,, a b c是重复单元的边长矢量 + 单胞（结晶学元胞）：为了反映晶格的对称性，常取最小重复单元的几倍作为重复单元。 单胞的边在晶轴方向，边长等于该方向上的一个周期，代表单胞三个边的矢量称为单胞的基矢。 + 基矢： ,, a b c表示单胞的基矢。在一些情况下，单胞就是原胞，而在一些情况下，单胞不是原 胞。 例如面心立方晶格，如图1.2所示。 原胞基矢： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a j k a a k i a a i j =+ =+ =+ 原胞的体积 3 0123 1 () 4 v a a a a =??= 单胞基矢： ,, a ai b aj c ak ===，单胞的体积,, a ai b aj c ak === 图 1.1 图1.2 图1.3 图1.4 2. 简单晶格 简单晶格中，某一个原胞只包含一个原子，所有的原子在几何位置和化学性质上是完全等价的。碱

金属具有体心立方晶格结构；Au 、Ag 和Cu 具有面心立方晶格结构，它们均为简单晶格。 简单立方晶格 如图1.3所示, 原胞为简单立方晶格的立方单元，基矢123,,a ai a aj a ak === 原胞体积：30123()v a a a a =??=——原胞中只包含一个原子 面心立方晶格 如图1.3所示，八个顶角上各有一个原子，六个面的中心有6个原子故称面心立方。 由立方体的顶点到三个近邻的面心引三个基矢123,,a a a 基矢123(/2)() (/2)() (/2)()a a j k a a k i a a i j =+=+=+原胞体积 301231()4v a a a a =??=原胞中只包含一个原子 体心立方晶格 体心立方：除顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，故称体心。就整个空间的晶格来看，完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。这样心就变成角，角也就变成心。如图1.4所示。 由立方体的中心到三个顶点引三个基矢123,,a a a 基矢123(/2)() (/2)() (/2)()a a i j k a a i j k a a i j k =-++=-+=-+, 301231()2v a a a a =??=原胞中只包含一个原子 3. 复式晶格 复式格子包含两种或两种以上的等价原子。 一种是不同原子或离子构成的晶体，如：NaCl 、CsCl 、ZnS 等； 一种是相同原子但几何位置不等价的原子构成的晶体，如：具有金刚石结构的C 、Si 、Ge 以及具有六角密排结构的Be 、Mg 、Zn 等； 复式格子的特点：不同等价原子各自构成相同的简单晶格（子晶格），复式格子由它们的子晶格相套而成。 + NaCl 由Na +和Cl －结合而成（如图1.5所示。），是一种典型的离子晶体，Na +构成一个面心立方 晶格；Cl －也构成相同的一个面心立方晶格。两个面心立方子晶格各自的原胞具有相同的基矢，由它们相套形成NaCl 复式晶格。 CsCl 结构是由两个简立方的子晶格彼此沿立方体空间对角线位移1／2 的长度套构而成。如图1.5所示

晶体结构的对称性

晶体的对称性 1. 晶体的宏观和微观对称性 晶体的对称性最直观地表现在其几何外形上，由于晶体外形为有限的几何图形，故晶体外形上所体现的对称性与分子一样为点对称性，称为宏观对称性。有四种类型的对称操作和对称元素 旋转旋转轴 反映反映面(镜面) 反演对称中心 旋转反演反轴 由于晶体内部结构为点阵结构，点阵结构是一种无限的几何对称图形。故晶体结构具有这种基本的空间对称性(通过平移对称操作能使点阵结构复原)，常称为晶体的微观对称性。有三种类型的对称操作和对称元素 平移点阵 螺旋螺旋轴 滑移滑移面 2. 晶体和晶体结构对称性的有关定理 晶体和晶体结构的对称元素及相应的对称操作有上述七种。晶体中点阵与对称元素的制约关系为： 对称面和对称轴的取向定理 在晶体结构的空间点阵图形中，对称轴必与一组直线点阵平 行，并与一组平面点阵垂直；对称面则必与一组直线点阵垂 直，并与一组平面点阵平行。(对称轴包括旋转轴、反轴和螺 旋轴；对称面包括反映面、滑移面)

?对称轴的轴次定理 在晶体结构中存在的对称轴，其轴次只能为1、2、3、4、6 这五种。 3. 7个晶系和32个晶体点群 ?根据晶体的对称性，可将晶体分为7个晶系，每个晶系有它自己的特征对称元素。 晶体特征对称元素 立方晶 系 四个按立方体的对角线取向的3重轴 六方晶 系 唯一的6重轴 四方晶 系 唯一的4重轴 三方晶 系 唯一的3重轴 正交晶系三个互相垂直的2重轴或二个互相垂直的对称 面 单斜晶 系 一个2重轴或对称面 三斜晶 系 无 ?由于晶体的对称性定理，限制了对称轴的轴次只能为1、2、 3、4、6；又由于反轴中只有4重反轴是独立的对称元素，所 以在晶体的宏观对称性中，只能找到8个独立的对称元素： 1、2、3、4、6、m、i、。 ?与分子所含的对称元素相比，晶体中所含的对称元素有限，这八个对称元素按一定的组合规则组合后只能产生32个对称类型(对称元素系)，每个对称类型所具有的对称元素所对应的对称操作构成一个群。由于晶体的宏观外形为有限图形，故各种对称元素至少要相交于一点，故称为32个晶体点群。 ?对于晶体点群，除了用和分子点群一样的符号(Sch?nflies)表示外，还用晶体点群的国际上通用的符号——国际符号表示。国

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 31 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→，

如果这导致 ）r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换： ???? ? ???????? ??=????? ??z y x a a a a a a a a a z y x 3332 31232221131211，，， 其中，M 为正交矩阵，???? ? ??=3332 312322 211312 11a a a a a a a a a M 对称中心和反演（i ） 取晶体中心为原点，将晶体中任一点()z ，y ，x 变成()z -，y -， x - ???? ? ??=1-0001-0001-M 对称面和反映（m ） 以0z =作为镜面，将晶体中的任何一点()z ，y ，x 变成()z -y x ， ， ???? ? ??=1-00010001M n 次旋转对称轴（n 或者n C ）和n 次旋转反演轴（n ） n 次旋转对称轴（n 或者n C ） 若晶体绕某一固定轴旋转角度/n π2=α以后能自身重合，则称该轴为n 次旋转对称轴。

晶体的宏观对称性

晶体的宏观对称性 物理科学学院 季淑英 2014020231 摘 要: 晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，通过对晶体三类宏观对称操作的介绍，找出了晶体的8种基本宏观对称操作。 关键词：对称中心； 反映面； 旋转轴 一 什么是晶体 人们最早认识晶体是从石英开始的，只知道它天然的具有规则的几何多面体，真正揭开晶体内部结构是在1914年，人类首次测定了Nacl 的晶体结构。此后，人们积累大量测定资料开始认识到：无论晶体的外形是否规则，它们内部的原子有规则地在三维空间呈周期性重复排列。 所以，晶体是内部原子或离子在三维空间呈周期性重复排列的固体，或着说晶体是具有格子结构的固体。而晶体的规则几何外形，只是晶体内部格子构造的外在部表现。 二 晶体的宏观对称 对称性是晶体的基本性质之一，一切晶体都是对称的；但不同的晶体的对称性往往又是互有差异的。 1 对称操作 对一种晶体而言,其内部结构的质点表现出某种对称性的规律排列,当在进行某种操作（线性变换）后能使自身复原,这种对称性是晶体的一个客观存在的基本性质,是晶体内部结构的规律在几何形状上的表现,晶体的许多宏观性质都与其结构上的对称性有密切关系。 对称操作：维持整个物体不变而进行的操作称作对称操作，物体在某一正交变换下保持不变，即：操作前后物体任意两点间的距离保持不变的操作。一个物体的对称操作越多，其对称性越高。例如密度ρ作为位矢r 的函数，即）r （ρ。我们可以定义一个引起坐标变换的操作g 满足 ’r gr r =→， 如果这导致 ） r （）gr （）’r （ρρρ== 那么g 是）r （ρ的一个对称操作。 2 对称元素 对称操作过程中保持不变的几何要素：对称点，反演中心（i ）；对称线，旋转轴（n 或者n C ）和旋转反演轴（n ）；对称面，反映面（m ）等。 以上，考察在一定几何变换之下物体的不变性，使用的几何变换（旋转和反射）都是正交变换——保持两点距离不变的变换：

1第一章 晶体的结构及其对称性

第一章 晶体的结构及其对称性 复习思考题 1、凝聚态物质包括哪些？ 2、固体可分为哪些类型？ 3、简要说明固体物质的结构特点。 4、什么是晶格？什么是晶体结构？ 5、常见的晶体结构有哪些？ 6、什么是配位数？简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构中原子的配位数分别是多少？ 7、试画出简单立方结构、体心立方结构、面心立方结构、六角密堆结构、金刚石结构等晶体结构图。 8、举例说明什么是简单晶格？什么是复式晶格？ 9、什么是基元？简单晶格和复式晶格的基元各有什么特点？ 10、什么是结点？什么是点阵？点阵与晶体结构的逻辑关系是什么？ 11、什么是点阵的基矢？什么是破缺的平移对称性？ 12、对于一个点阵通常可以定义哪三种元胞？ 13、按通常约定，画图表示sc 、bcc 和fcc 点阵的基矢和元胞的选择方式。 14、按通常约定，写出sc 、bcc 和fcc 点阵的基矢和元胞体积。 15、什么是单胞？什么是晶轴？什么是晶格常数？ 16、sc 、bcc 和fcc 点阵的单胞和初基元胞有什么关系？ 17、简要说明维格纳-塞茨（W-S ）元胞的构造过程。 18、三维bcc 和fcc 点阵的维格纳-塞茨（W-S ）元胞分别是什么形状？ 19、什么是晶列？什么是晶向指数？ 20、在sc 点阵中表示出[100]、[110]和[111]等晶向。 21、什么是晶面？ 22、试证明用方向余弦和截距标志晶向是等价的。 23、试证明有理指数定律。 24、试证明晶面指数h 1、h 2、h 3必为互质的整数。 25、试在sc 点阵中标出（100）、（110）和（111）三个晶面族。 26、晶面指数和密勒指数有什么不同？ 27、什么是正空间？什么是倒空间？ 28、什么是正点阵？什么是倒点阵？ 29、试推导正点阵的傅里叶变换)(k ρ的具体形式。 30、由正点阵的基矢1a 、2a 、3a 定义的动量空间基矢是什么？ 31、试证明倒点阵的元胞体积反比于正点阵的元胞体积。 32、试证明正点阵的一族晶面(h 1h 2h 3)垂直于倒格矢332211b h b h b h K h ++=，且晶面间距h h h h K d π2321=

晶体结构分析中的无序 绝对结构和

晶体结构分析中的无序、绝对结构和孪晶 一、晶体结构分析中的无序 1、有序：分子结构在晶体中的排列符合所属空间群的对称性和晶体结构的周期性（完美晶体）。 A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A A B B A B B A A 2、无序：分子结构或结构的一部分在晶体中的排列不符合所属空间群的对称性或晶体结构的周期性（缺陷晶体，严重时即为非晶）。 3、结构解析中的无序（局部无序）：分子结构的大部分有序，而小部分呈现统计 性无序。 4、无序的种类 （1）占有率无序 A 、 同一套等效位置统计性地被不同的原子占据，总占有率为1。矿物晶体中离子的掺杂现象就属于这种情况。 A B C D A B C D A B C D A'B C D A B C D A'B C D A'B C D A'B C D B C D A' B 、晶体中的一套等效位置被统计性地部分占据，总占有率小于1。结构中非配位水分子经常出现这种情况。

A B C D A B C D A B C D B C D A B C D B C D B C D B C D B C D C 、由于晶体中任何一个位置及其周围一定范围（位阻范围）内只能同时容纳一个原子，因此若两个或两个以上的原子位于这样的范围内，则其总占有率应小于或等于其中任何一个原子的理论最高占有率，即这些原子不能同时出现在同一位置的位阻范围内。处理结构中非配位水分子时，要特别注意这一点。 不同位置的理论最高占有率： 一般位置：1 特殊位置（位于对称元素上的位置），其理论最高占有率小于1。 a 、2次轴上的位置：0.5 b 、3次轴上的位置：0.33333 c 、4次轴上的位置：0.25 d 、6次轴上的位置：0.166667 e 、对称面上的位置：0.5 ……………………. ……………………. ** 特别要注意：一旦指认原子后，WinGX 程序会自动给出该特殊位置的最高理论占有率。 例1、两个处于普通位置（理论最高占有率为1）的氧原子间的距离为例： 埃) 两个氧原子任何情况下不能同时存在的区域： 0.0—1.4?：两个原子距离比形成共价键时还短，因此不能同时存在。