【创新设计】2015高考数学(理)(江西)二轮专题规范练4 立体几何]

规范练(四) 立体几何

1．如图，在四棱锥E －ABCD 中，EA ⊥平面ABCD ，AB ∥CD ，AD ＝BC ＝1

2AB ，∠ABC ＝π

3.

(1)求证：△BCE 为直角三角形；

(2)若AE ＝AB ，求CE 与平面ADE 所成角的正弦值． (1)证明 在△ABC 中，AB ＝2BC ，∠ABC ＝π

3，

由余弦定理得AC 2

＝AB 2

＋BC 2

－2AB ·BC ·cos π

3＝3BC 2，∴AC ＝3BC ，∴AC 2

＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC .

又∵EA ⊥平面ABCD ，∴EA ⊥BC ， 又∵AC ∩AE ＝A ，∴BC ⊥平面ACE ，

∴BC ⊥CE .∴△BCE 为直角三角形．

(2)解 由(1)知：AC ⊥BC ，AE ⊥平面ABCD ，

以点C 为坐标原点，CA →，CB →，AE →

的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，

建立空间直角坐标系C －xyz .

设BC ＝a ，则AE ＝AB ＝2a ，AC ＝3a ，

如图2，在等腰梯形ABCD 中，过点C 作CG ⊥AB 于G ，则GB ＝1

2a ，∴CD ＝AB －2GB ＝a ，

过点D 作DH ⊥BC 于H ，由(1)知，∠DCH ＝60°， ∴DH ＝3a 2，CH ＝a 2， ∴D ? ????32

a ，－a 2，0.

又C (0,0,0)，A (3a,0,0)， B (0，a,0)，E (3a,0,2a )， ∴AD →＝? ????－3a 2，－a 2，0， AE

→＝(0,0,2a )，

CE

→＝(3a,0,2a )， 设平面ADE 的一个法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)，则???

??

AD →·n ＝0，

AE →·

n ＝0，得

???

－3a 2x 0－a 2y 0＝0z 0＝0

令x 0＝3，则y 0＝－3，∴n ＝(3，－3,0)． 设CE 与平面ADE 所成角为θ，则

sin θ＝|cos 〈CE →

·n 〉|＝|CE →·n || CE →|·|n |＝3a 7a ·12＝2114.

∴直线CE 与平面ADE 所成角的正弦值为21

14.

2．平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，且∠BAD ＝45°，以BD 为折线，把△ABD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AC . (1)求证：AB ⊥DC ；

(2)求二面角B －AC －D 的大小．

(1)证明 在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos 45°＝1，∴BD ＝1，∴AB ⊥BD ，

又∵平面ABD ⊥平面BDC ，平面ABD ∩平面BDC ＝BD ， ∴AB ⊥平面BDC ，又DC ?平面BDC ， ∴AB ⊥DC .

(2)解 在四面体ABCD 中，以D 为原点，DB 为x 轴，DC 为y 轴，过D 垂直于平面BDC 的直线为z 轴，建立如图空间直角坐标系，则D (0,0,0)，B (1,0,0)，C (0,1,0)，A (1,0,1)

设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，而BA

→＝(0,0,1)，BC →＝(－1,1,0)，由

?????

n ·BA →＝0，n ·

BC →＝0，得???

z ＝0，－x ＋y ＝0， 取n ＝(1,1,0)，

再设平面DAC 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，而DA →＝(1,0,1)，DC →＝(0,1,0)， 由?????

m ·DA →＝0m ·

DC →＝0，得???

x ＋z ＝0y ＝0，取m ＝(1,0，－1)，

所以cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝12，

所以二面角B －AC －D 的大小是60°.

3.如图，在多面体ABCDEF 中，ABCD 为正方形，ED ⊥平面ABCD ，FB ∥ED ，且AD ＝DE ＝2BF ＝2.

(1)求证：AC ⊥EF ；

(2)求二面角C －EF －D 的大小；

(3)设G 为CD 上一动点，试确定G 的位置使得BG ∥平面CEF ，并证明你的结论．

(1)证明 连接BD ，∵FB ∥ED ，∴F ，B ，E ，D 共面，

∵ED ⊥平面ABCD ，AC ?平面ABCD ，∴ED ⊥AC ，又ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC ，而ED ∩DB ＝D ，∴AC ⊥平面DBFE ，而EF ?平面DBFE ，∴AC ⊥EF . (2)解 如图建立空间直角坐标系．

则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，F (2,2,1)，E (0,0,2)，由(1)知AC →为平面DBFE 的

法向量，即AC →

＝(－2,2,0)， 又CE

→＝(0，－2,2)，CF →＝(2,0,1) 设平面CEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则有?????

CE →·n ＝0，CF →·

n ＝0，即???

－2y ＋2z ＝0，2x ＋z ＝0，

取z ＝1，则x ＝－12，y ＝1，∴n ＝? ????－12，1，1

则cos 〈n ，AC →

〉＝n ·AC →|n ||AC

→|＝1＋232×22

＝22，

又平面CEF 与平面DBFE 的二面角为锐角，所以θ＝π

4.

(3)解 设G (0，y 0,0)，则BG →＝(－2，y 0－2,0)，由题意知BG →⊥n ，

∴BG →·n ＝0，即(－2，y 0－2,0)·

? ????－12，1，1＝0， 解得y 0＝1，∴G 点坐标为(0,1,0)， 即当G 为CD 的中点时，BG ∥平面CEF .

4．如图，正方形AA 1D 1D 与矩形ABCD 所在平面互相垂直，AB ＝2AD ＝2.

(1)若点E 为AB 的中点，求证： BD 1∥平面A 1DE ；

(2)在线段AB 上是否存在点E ，使二面角D 1－EC －D 的大小为π

6？若存在，求出AE 的长；若不存在，请说明理由．

解 (1)四边形ADD 1A 1为正方形，连接AD 1，A 1D ∩AD 1＝F ，则F 是AD 1的中点，又因为点E 为AB 的中点，连接EF ，则EF 为△ABD 1的中位线，所以EF ∥BD 1.

又因为BD 1?平面A 1DE ，EF ?平面A 1DE ， 所以BD 1∥平面A 1DE .

(2)根据题意得DD 1⊥平面ABCD ，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，D 1(0,0,1)，C (0,2,0)．

设满足条件的点E 存在， 令E (1，y 0,0)(0≤y 0≤2)，

EC →＝(－1,2－y 0,0)，D 1C →＝(0,2，－1)， 设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面D 1EC 的法向量，

则?????

n 1·EC →＝0，n 1·

D 1C →＝0，得???

－x 1＋(2－y 0)y 1＝0，2y 1－z 1＝0，令y 1＝1，则平面D 1EC 的法向量为

n 1＝(2－y 0,1,2)，由题知平面DEC 的一个法向量n 2＝(0,0,1)．

由二面角D1－EC－D的大小为π

6得

cos π

6＝

|n1·n2|

|n1|·|n2|＝

2

(2－y0)2＋1＋4

＝

3

2，

解得y0＝2－

3

3∈[0,2]，

所以当AE＝2－

3

3时，二面角D1－EC－D的大小为

π

6.