怀远县二中2018-2019学年高二上学期二次月考试数学

怀远县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________

一、选择题

1． 若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜0

2． 函数2

1()ln 2

f x x x ax =+

+存在与直线03=-y x 平行的切线，则实数a 的取值范围是（ ） A. ),0(+∞ B. )2,(-∞ C. ),2(+∞ D. ]1,(-∞

【命题意图】本题考查导数的几何意义、基本不等式等基础知识，意在考查转化与化归的思想和基本运算能力． 3． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则

216

3

n n S a ++的最小值为（ ）

A ．4

B ．3 C

．2 D ．

92

【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力． 4． 在△ABC 中，C=60°，

AB=

，AB

边上的高为，则AC+BC 等于（ ）

A

． B ．5 C ．3 D

．

5． 一个骰子由1~6六个数字组成，请你根据图中三种状态所显示的数字，推出“”处的数字是（ ） A ．6 B ．3 C ．1 D ．

2

6． 四面体ABCD 中,截面 PQMN 是正方形， 则在下列结论中，下列说法错误的是（ ）

A ．AC BD ⊥

B ．A

C B

D =

C.AC PQMN D ．异面直线PM 与BD 所成的角为

45 7． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）

A ．{}4,2

B ．{}1,3

C ．{}1,2,3,4

D ．以上情况都有可能 8． 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）

A ．64

B ．72

C ．80

D ．112

【命题意图】本题考查三视图与空间几何体的体积等基础知识，意在考查空间想象能力与运算求解能力. 9． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）

A ．5A ∈

B ．1.5A ?

C ．1A -?

D ．0A ∈ 10．某班级有6名同学去报名参加校学生会的4项社团活动，若甲、乙两位同学不参加同一社团，每个社团都有人参加，每人只参加一个社团，则不同的报名方案数为（ ） A ．4320 B ．2400 C ．2160 D ．1320

11．,AD BE 分别是ABC ?的中线，若1AD BE ==，且AD 与BE 的夹角为120，则AB AC ?=（ ） （A ）

13 （ B ） 49 （C ） 23 （D ） 89

12．下列说法正确的是（ ） A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2=1，则x ≠1”

B ．命题“?x 0∈R ，x

+x 0﹣1＜0”的否定是“?x ∈R ，x 2+x ﹣1＞0”

C ．命题“若x=y ，则sin x=sin y ”的逆否命题为假命题

D ．若“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题

二、填空题

13．把函数y=sin2x 的图象向左平移

个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵

坐标不变），所得函数图象的解析式为 ．

14．在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是 ．

15．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ．

16．已知点A （﹣1，1），B （1，2），C （﹣2，﹣1），D （3，4），求向量

在

方向上的投影．

17．已知数列{a n }满足a n+1=e+a n （n ∈N *，e=2.71828）且a 3=4e ，则a 2015= ．

18．设幂函数()f x kx α=的图象经过点()4,2，则k α+= ▲ ．

三、解答题

19．【徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】为了制作广告牌，需在如图所示的铁片上切割出一个直角梯形，已知铁片由两部分组成，半径为1的半圆O 及等腰直角三角形EFH ，其中FE FH ⊥，为裁剪出面积尽可能大的梯形铁片ABCD （不计损耗），将点,A B 放在弧EF 上，点,C D 放在斜边EH 上，且////AD BC HF ，设AOE θ∠=.

（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式；

（2）试确定θ的值，使得梯形铁片ABCD 的面积S 最大，并求出最大值.

20．已知函数f （x ）=|x ﹣10|+|x ﹣20|，且满足f （x ）＜10a+10（a ∈R ）的解集不是空集． （Ⅰ）求实数a 的取值集合A

（Ⅱ）若b ∈A ，a ≠b ，求证a a b b ＞a b b a

．

21．（本小题满分10分）

已知曲线C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ+=，将曲线1cos :sin x C y θ

θ

=??

=?，（α为参数），经过伸缩变

换32x x

y y

'=??

'=?后得到曲线2C ． （1）求曲线2C 的参数方程；

（2）若点M 的在曲线2C 上运动，试求出M 到曲线C 的距离的最小值．

22．已知二次函数f （x ）=x 2+bx+c ，其中常数b ，c ∈R ．

（Ⅰ）若任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0，f （2+x ）≤0，试求实数c 的取值范围；

（Ⅱ）若对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4，试求实数b 的取值范围．

23．已知函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣a|．

（I）若a=﹣1，解不等式f（x）≥3；

（II）如果?x∈R，f（x）≥2，求a的取值范围．

24．已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为D（2，

0），设点A（1，）．

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程；

（3）过原点O的直线交椭圆于B，C两点，求△ABC面积的最大值，并求此时直线BC的方程．

怀远县二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】B

【解析】解：∵函数y=a x

﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限， ∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0

﹣b ﹣1＜0，

即a ＞1，b ＞0， 故选：B

2． 【答案】D 【解析】因为1

()f x x a x

'=++，直线的03=-y x 的斜率为3，由题意知方程13x a x ++=（0x >）有解，

因为1

2x x

+

?，所以1a ￡，故选D ． 3． 【答案】A

【

解

析

】

4． 【答案】D

【解析】解：由题意可知三角形的面积为S=

=

=AC ?BCsin60°，

∴AC ?BC=．由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2﹣2AC ?BCcos60°=（AC+BC ）2

﹣3AC ?BC ，

∴（AC+BC ）2

﹣3AC ?BC=3，

∴（AC+BC ）2

=11．

∴AC+BC=

故选：D

【点评】本题考查解三角形，三角形的面积与余弦定理的应用，整体法是解决问题的关键，属中档题．

5． 【答案】A 【解析】

试题分析：根据与相邻的数是1,4,3，而与相邻的数有1,2,5，所以1,3,5是相邻的数，故“？”表示的数是，故选A ．

考点：几何体的结构特征． 6． 【答案】B 【解析】

试题分析：因为截面PQMN 是正方形，所以//,//PQ MN QM PN ，则//PQ 平面,//ACD QM 平面BDA ，所以//,//PQ AC QM BD ,由PQ QM ⊥可得AC BD ⊥，所以A 正确；由于//PQ AC 可得//AC 截面

PQMN ，所以C 正确；因为PN PQ ⊥，所以AC BD ⊥，由//BD PN ，所以MPN ∠是异面直线PM 与BD

所成的角，且为0

45，所以D 正确；由上面可知//,//BD PN PQ AC ，所以,PN AN MN DN BD AD AC AD

==，而,AN DN PN MN ≠=，所以BD AC ≠，所以B 是错误的，故选B. 1

考点：空间直线与平面的位置关系的判定与证明.

【方法点晴】本题主要考查了空间中直线与平面的位置关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理和性质定理、正方形的性质、异面直线所成的角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，此类问题的解答中熟记点、线、面的位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键. 7． 【答案】A 【解析】

试题分析：()()()()((1))14,((2))14,((3))32,((4))34,f g f f g f f g f f g f ========故值域为

{}4,2.

考点：复合函数求值． 8． 【答案】C. 【

解

析

】

9． 【答案】A

【解析】

试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ?-?∴?-?，即B 、C 正确，又因为0N ∈且

05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1

考点：集合与元素的关系. 10．【答案】D

【解析】解：依题意，6名同学可分两组：第一组（1，1，1，3

），利用间接法，有

?=388，

第二组（1，1，2，2

），利用间接法，有（

﹣

）

?

=932

根据分类计数原理，可得388+932=1320种， 故选D ．

【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，考查分类讨论思想与转化思想，考查理解与运算能力，属于中档题．

11．【答案】C

【解析】由1(),21(2),2AD AB AC BE AB AC ?

=+????=-+??解得2233,4233AB AD BE AC AD BE

?=-????=+?? 22422

()()33333

AB AC AD BE AD BE ?=-?+=.

12．【答案】D

【解析】解：A ．命题“若x 2=1，则x=1”的否命题为“若x 2

≠1，则x ≠1”，因此不正确； B ．命题“?x 0∈R ，

x

+x 0﹣1＜0”的否定是“?x ∈R ，x 2+x ﹣1≥0”，因此不正确；

C ．命题“若x=y ，则sin x=sin y ”正确，其逆否命题为真命题，因此不正确；

D ．命题“p 或q ”为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题，正确． 故选：D ．

二、填空题

13．【答案】 y=cosx ．

【解析】解：把函数y=sin2x

的图象向左平移个单位长度，

得

，即y=cos2x 的图象，把y=cos2x

的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到y=cosx 的图象；

故答案为：y=cosx ．

14．【答案】

．

【解析】解：在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥，

8个三棱锥的体积为：=．

剩下的凸多面体的体积是1﹣=．

故答案为：．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，转化思想的应用，考查空间想象能力计算能力．15．【答案】a≤0或a≥3．

【解析】解：∵A={x|x≤1或x≥3}，B={x|a≤x≤a+1}，且A∩B=B，

∴B?A，

则有a+1≤1或a≥3，

解得：a≤0或a≥3，

故答案为：a≤0或a≥3．

16．【答案】

【解析】解：∵点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），

∴向量=（1+1，2﹣1）=（2，1），

=（3+2，4+1）=（5，5）；

∴向量在方向上的投影是

==．

17．【答案】2016．

【解析】解：由a n+1=e+a n，得a n+1﹣a n=e，

∴数列{a n}是以e为公差的等差数列，

则a1=a3﹣2e=4e﹣2e=2e，

∴a2015=a1+2014e=2e+2014e=2016e．

故答案为：2016e．

【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差数列的通项公式，是基础题．

18．【答案】3 2

【解析】

试题分析：由题意得11,422

k α

α==?=∴32k α+=

考点：幂函数定义

三、解答题

19．【答案】（1）()21sin cos S θθ=+，其中02

π

θ<<

.（2）6

π

θ=

时，max 2

S =

【解析】试题分析：（1）求梯形铁片ABCD 的面积S 关键是用θ表示上下底及高，先由图形得

AOE BOF θ∠=∠=，这样可得高2cos AB θ=，再根据等腰直角三角形性质得()1cos sin AD θθ=-+，

()1cos sin BC θθ=++最后根据梯形面积公式得()2

AD BC AB

S +?=

()21sin cos θθ=+，交代定义域

02

π

θ<<

．（2）利用导数求函数最值：先求导数()'f θ()()22sin 1sin 1θθ=--+，再求导函数零点6

π

θ=

，

列表分析函数单调性变化规律，确定函数最值

试题解析：（1）连接OB ，根据对称性可得AOE BOF θ∠=∠=且1OA OB ==， 所以1cos sin AD θθ=-+，1cos sin BC θθ=++，2cos AB θ=， 所以()2

AD BC AB

S +?=

()21sin cos θθ=+，其中02

π

θ<<

．

考点：利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x ）＞0或f′（x ）＜0求单调区间；第二步：解f′（x ）＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小． 20．【答案】

【解析】解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，

根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，

所以，10＜10a+10，解得a＞0，

所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；

（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，

∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0

且＞1，

则＞1

恒成立，即＞1，

所以，a a﹣b＞b a﹣b，

将该不等式两边同时乘以a b b b得，

a a

b b＞a b b a，即证．

【点评】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用和不等式的证明，涉及指数函数的性质，属于中档题．

21．【答案】（1）

3cos

2sin

x

y

θ

θ

=

?

?

=

?

（为参数）；（2

【解析】

试题解析：

（1）将曲线

1

cos :

sin x

C

y

α

α=

?

?

=

?

（α为参数），化为

221

x y

+=，由伸缩变换

3

2

x x

y y

'=

?

?'

=

?

化为

1

3

1

2

x x

y y

?'

=

??

?

?'

=

??

，

代入圆的方程

2

11

1

32

x y

????

''

+=

? ?

????

，得到

()()

22

2

:1

94

x y

C

''

+=，

可得参数方程为

3cos

2sin

x

y

α

α

=

?

?

=

?

；

考点：坐标系与参数方程．

22．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为x∈[﹣1，1]，则2+x∈[1，3]，

由已知，有对任意的x∈[﹣1，1]，f（x）≥0恒成立，

任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，

故f（1）=0，即1为函数函数f（x）的一个零点．

由韦达定理，可得函数f（x）的另一个零点，

又由任意的x∈[1，3]，f（x）≤0恒成立，

∴[1，3]?[1，c]，

即c≥3

（Ⅱ）函数f（x）=x2+bx+c对任意的x1，x2∈[﹣1，1]，有|f（x1）﹣f（x2）|≤4恒成立，即f（x）max﹣f（x）min≤4，

记f（x）max﹣f（x）min=M，则M≤4．

当||＞1，即|b|＞2时，M=|f（1）﹣f（﹣1）|=|2b|＞4，与M≤4矛盾；

当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f（1），f（﹣1）}﹣f（）=

﹣f（）=（1+）2≤4，

解得：|b|≤2，

即﹣2≤b≤2，

综上，b的取值范围为﹣2≤b≤2．

【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=|x+1|+|x﹣1|，

由f（x）≥3即|x+1|+|x﹣1|≥3

当x≤﹣1时，不等式可化为﹣x﹣1+1﹣x≥3，解得x≤﹣；

当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+1﹣x≥3，不可能成立，即x∈?；

当x≥1时，不等式化为x+1+x﹣1≥3，解得x≥．

综上所述，f（x）≥3的解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）；

（Ⅱ）由于|x﹣1|+|x﹣a|≥|（x﹣1）﹣（x﹣a）|=|a﹣1|，

则f（x）的最小值为|a﹣1|．

要使?x∈R，f（x）≥2成立，

则|a﹣1|≥2，解得a≥3或a≤﹣1，

即a的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题转化为求函数的最值，运用分类讨论和绝对值不等式的性质，是解题的关键．

24．【答案】

【解析】解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为，c为半焦距．

∵右顶点为D（2，0），左焦点为，

∴a=2，，．

∴该椭圆的标准方程为．

（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点M（x，y）．

由中点坐标公式可得，解得．（*）

∵点P是椭圆上的动点，∴．

把（*）代入上式可得，可化为．

即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆．

（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，﹣1），C（0，1）．

∴|BC|=2，点A到y轴的距离为1，∴=1；

②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x1，y1），C（﹣x1，﹣y1）（x1＜0）．

联立，化为（1+4k2）x2=4．解得，

∴．

∴|BC|==2=．

又点A到直线BC的距离d=．

∴==，

∴==，

令f（k）=，则．

令f′（k）=0，解得．列表如下：

又由表格可知：当k=时，函数f（x）取得极小值，即取得最大值2，即．

而当x→+∞时，f（x）→0，→1．

综上可得：当k=时，△ABC的面积取得最大值，即．

【点评】熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、中点坐标公式及“代点法”、分类讨论的思想方法、直线与椭圆相交问题转化为直线的方程与椭圆的方程联立解方程组、两点间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、利用导数研究函数的单调性及其极值．