2012年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题答案

2012012

2年全国高中数学联赛河南省预赛高二试题参考答案1.解:32776637363

6=××+++C C C .

填:327.

2.解:设其中两段长分别为y x ,,则第三段长为y x ??3,将长为3cm 的线段任意截成三段,可以用点(y x ,)来表示,实验的全部结果所构成的区域为}330,30,30),{(

9

=?S ,设三段能够组成三角形为事件A,则事件A 所构成的区域为:

}

3,3,3,330,30,30),{(x y x y y y x x y x y x y x y x y x A >??+>??+??>+

9=

A S ,所以这三段能够组成三角形的概率41)(==?S S A P A .

填:

4

1

.3.解:2===MC MB MA ,所以M 在面ABC 上的射影O 为ABC 的外心,由

32,2,22===BC AC AB 知,222BC AC AB =+,即ABC ?是以A 直角顶点的直角三角形,所以O 是BC 的中点,MO 为所求,122=?=OC MC MO .

填:1.

4.解:原式可化为

o 10tan 322

tan

2

tan

1=?α

α,两边平方得o 10tan 3222

cos

2sin 2sin 2cos

=?+αα

αα，o 10tan 322sin 2+=α,o

o o o o o o o

o o o 50sin 40cos 80sin 40cos 10cos 40sin 210cos 10

sin 310cos 10cos 10tan 311sin ====+=+=α.填:o 50.

5.解:不妨设d c b a <<<,由图像可知,当40≤x 时,根据

)()(d f c f =可得12=+d c ,且54<

3532<

填:)35,32(.

6.解:设数列{}n a 的公比为q ()0>q ,8221234=??+a a a a 可化为8)2(2122122=+?+a a q a q a ,

8)1)(2(212=?+q a a ,1

822

12?=

+q a a ,且1>q ,令12?=q t ,则0,12

>+=t t q .782a a +=6

16

22q a q a +=t t q q q a a 3266

12)1(81

8)2(+=

?=+=)1

33(82t t t +++.设)(t f =)133(82

t t t +++,则=)(/

t f ))12()1((8)132(8132(82

22232t

t t t t t t t ?+=?+=?+.所以)(t f 在)21

,0(上是减函数,在),2

1(+∞是增函数.

54)2

1

()(min ==f t f .

填:54.

7.解:设长方体从同一顶点出发的三条棱长分别为c b a ,,,且c b a ≤≤,则从A 出发沿长方体的表面到达顶点1C 的最短距离为22)(c b a ++=6,于是36)(22=++c b a ,

因为322222222243222)(c b a c ab ab c ab b a c b a ≥++≥+++=++.所以3

222124≤c b a ,因此长方体的体积V =312≤abc ,当2

2,c ab b a ==即32,6,6===c b a 时,等号成立.

填:312.8.解:当1

2

2+<≤k k

x 时,[]k x =2log ,因为2048220122

10241110

=<<=,

所以[]1024log 2+[]1025log 2+…+[]2012log 2=9890)10232012(10=?×.

[]1log 2+[]2log 2+[]3log 2+…+[]1024log 2=32232221×+×+×+…+929×,

设S =32232221×+×+×+…+929×，则2S =432232221×+×+×+…+1029×,

32222++=?S +…+921029×?=81942282922101010?=?×?=×??,8194=S .

所以原式=8194+9890=18084.填:18084.

二.解:(1)取AB 的中点O ,连接,EO CO .

因为2AE EB AB ===∵，所以三角形AEB ∴△为等腰直角三角形,,1EO AB EO ∴⊥=.

又,60AB BC ABC =∠=?∵,所以三角形ACB ∴△是等边三角形

.CO ∴=,又2,

EC =222EC EO CO ∴=+,EO CO ∴⊥EO ABCD ∴⊥平面,又EO EAB ?平面,

∴平面EAB ⊥平面ABCD .…………………4分

(2)以AB 中点O 为坐标原点,以OC 所在直线为x 轴,以OB 所在直线为y 轴,OE 所在直线为z 轴,建立空间直角坐标系如图所示.

则(0,1,0),2,0),(0,0,1)A C D E ??，

)0,2,0(),1,0,3(),0,1,3(=?==,.………8分

设平面DCE 的法向量),,(z y x =.

????

?=?=?0

，即???==?0203y z x ,令1=x ,则3=z ,所以)3,0,1(=n .设平面EAC 的法向量=),,(c b a .

????

?=?=?00,即???=?=+030

3c a b a ,令1=a ,则3,3=?=c b ，m =)3,3,1(? (12)

分7

7

2,cos =

=

??n m .所以二面角A EC D ??

的余弦值为

7

.………………………16分

三.解:(1)令)(x h =22)1ln(+?+x x x ,2

2/

)2)(1()(x x x x h ++=,…………………5分

当0>x 时,0)(/>x h ,所以)(x h 在()+∞,0是增函数,0)0()(=>h x h ,02

2)1ln(>+?+x x

x ,即22)1ln(+>

+x x x ,因为0>x ,所以22)1ln(+>+x x x .因此2

2

)(+>x x f .………………………10分(2)解法一:x kx

x f ++<11)(可化为0)1ln()1(2

kx x x x .

令2

)1ln()1()(kx x x x x g ??++=，则kx x x g 2)1ln()(/

?+=，k x

x g 211

)(//?+=.当0>x 时,111

0<+<

x

,令12≥k ,则0)(//

所以当21

≥k 时,对于0>x ,有0)1ln()1(2

kx x x x .

当01<

111

>+x

,令12≤k ,则0)(//>x g ,)(/x g 在)0,1(?是增函数,0)0()(//=g x g .

所以当21≤k 时,对于01<

kx x x x .

因此,当21=

k 时,在1?>x 且0≠x 时,有x

kx x f ++<11)(成立.………………20分解法二:x kx

x f ++<11)(可化为01)1(ln(12<++?+x

x kx x x .

令=)(x g x x kx x ++?+1)1ln(2,则2

/)1()

12()(x k kx x x g +?+?=

当???≥?≥0

120k k ,即21

≥k 时,在),0(+∞上有0)(/

0)0()(=

kx

x f ++<

11)(.………………………15分当??

?≤?≤?+?0

12012k k k ,即21≤k 时,在)0,1(?上有0)(/

0)0()(=>g x g ,所以x

kx

x f ++<

11)(.因此,当21=

k 时,在1?>x 且0≠x 时,有x

kx x f ++<11)(成立.……………20分

四.解:(1))21)(2()21()2(222121

11

2

1

11++?++=++++=+++=

+=

++n n

n n n n n n x x x x x x x a =

n n a x 2

12121121

212

12

11+?++=

++?++.…………………5分

)221(2121221

1?

+?=?

+n n a a ,又4

4

232

21

2

112211?=?

+=?

a .所以数列?

?

??

???

221n a 是以44

23?为首项,2

121+?为公比的等比数列,根据等比数列的通项公式得:

1

)2121(44232

21?+??=

?

n n a ,即1

)2

121(44232

21?+??+

=

n n a .…………………………………10分(2)因为

1211)12(2

211?<+?=??=++n n n n n x x x b b ,所以n n b )12(?<,……………………………………………………15分所以++=21b b S n …n

b +(

)(

)

+?+

?<

2

1212…(

)

n

1

2?+

=

(

)

2

222121212212=??<

??????????n .……………………………20分

五.解:设点),(n m P ,),(11y x A ,),(22y x B ,则切线PA :

1411=+y y x x ,PB :14

22=+y y x

x ,因为切线PB PA ,都过点P ,所以有1411=+n y m x 和14

22=+n y m

x 同时成立,于是直线AB 的方程:

14

=+ny mx

..………………………………………………………5分联立直线AB 和椭圆组成的方程组

?????=+=+14

1422

ny x m

y x ,消去y 得：0)1616(8)4(2222=?+?+n mx x m n 所以222148m n m

x x +=+,2

222141616m

n n x x +?=,)44(64)1616)(4(4642222222?+=?+?=?n m n n m n m .

又根据

14

=+ny mx

得:)4(444442222121m n m n mx n mx y y +?=???=,2

2

2

2121484)(2)(m n n x x m n y y +=+?=+.………10分于是2

21212

21212211)()(),(),(n

n y y y y m m x x x x n y m x n y m x ++?+++?=?????=?=6432022222

?+++?n m m

n m .………………………15分因为1622=+n m ,所以2216n m ?=,代入上式得:

?=11163442

+?

n ,又因为1602≤≤n ，所以16,02

2==m n ，即点)0,4(±P 时,?有最小值4

33,当0,162

2==m n ,即点)4,0(±P 时,?有最大值16

165.………………………20分