关于NBA赛程安排的分析与评价

N B A 赛程分析与评价

一、问题重述

NBA是全世界篮球迷们最钟爱的赛事之一，姚易加盟以后更是让中国球迷宠爱有加。NBA共有30支球队，西部联盟、东部联盟各15支，大致按照地理位置，西部分西南、西北和太平洋3个区，东部分东南、中部和大西洋3个区，每区5支球队。对于2008~2009新赛季，常规赛阶段从2008年10月29日（北京时间）直到2009年4月16日，在这5个多月中共有1230场赛事，每支球队要进行82场比赛，附件1是30支球队2008~2009赛季常规赛的赛程表，附件2是分部、分区和排名情况（排名是2007~2008赛季常规赛的结果），见https://www.360docs.net/doc/b71207201.html,/nba/ 。

对于NBA这样庞大的赛事，编制一个完整的、对各球队尽可能公平的赛程是一件非常复杂的事情，赛程的安排对球队实力的发挥和战绩有一定的影响，从报刊上经常看到球员、教练和媒体对赛程的抱怨或评论。这个题目主要是要求用数学建模方法对已有的赛程进行定量的分析与评价：

问题一：为了分析赛程对某一支球队的利弊，你认为有哪些要考虑的因素，根据这些因素将赛程转换为便于进行数学处理的数字格式，并给出评价赛程利弊的数量指标。

问题二：按照1）的结果计算、分析赛程对姚明加盟的火箭队的利弊，并找出赛程对30支球队最有利和最不利的球队。

问题三：分析赛程可以发现，每支球队与同区的每一球队赛4场（主客各2场），与不同部的每一球队赛2场（主客各1场），与同部不同区的每一球队有赛4场和赛3场（2主1客或2客1主）两种情况，每支球队的主客场数量相同且同部3个区的球队间保持均衡。试根据赛程找出与同部不同区球队比赛中，选取赛3场的球队的方法。这种方法如何实现，对该方法给予评价，也可以给出你认为合适的方法。

二、问题分析

题目要求我们分析赛程安排对各支球队的利弊的各个因素，建立相关模型，从而计算分析此赛程安排对各支球队的利弊程度的综合指数，并利用相关条件建立较优的比赛分配方案。而在建立相关模型方程的时候要着重分析确定各个因素的对球队影响的权重，建立有效的方程进行客观计算评价。通过对赛程的观察分析，试图找出更优的比赛分配方案。

2.1 问题一的分析

作为篮球这一项对抗激烈的运动，实力是至关重要的，作为每一支球队，都希望对上的对手都比自己的实力弱，这样才会有更大的取胜把握，谁都不想对上比自己实力更强的球队，这样看来，对手实力会是一个很重要的影响因素，但是，从比赛赛程来看，每一支球队都要和不同部的球队比赛两场（一主一客），和同部同区的球队比赛四场（两主两客），而和同部不同区的其中六支球队比赛四场（两主两客），另外四支球队比赛三场（一主两客或一客两主），这是NBA赛程的基本规定，假如在这里我做小小的修改，即每只球队和不同部的球队赛两场（一主一客），和同部球队赛四场（两主两客），那么对于每一支球队来说影响赛季成绩的不是赛程安排的对手实力问题，而是自身球队实力问题，即赛程安排对每一支球队来说都是公平的。尽管假设中赛多了四场比赛，亦即现实赛程安排中每一支球队会与同部不同区的四支球队少赛一场，但我们可以通过较为合理的方式使这种差异所带来的影响缩到最小，从而对手实力不应成为赛程中对某一支球队利弊的影响因素。

我们知道篮球比赛是一种很耗体力的运动，比赛除了受比赛双方的实力影响之外，还会受到环境，球员心态，球员兴奋程度以及球员状态等的影响，所以对于每支球队来说，主场作战都是他们所期待的，而且越多越好，主场作战球员们能免去飞来飞去的劳累，能在熟悉的环境中训练，能在球迷的呐喊助威中比赛，身体情绪各方面都能发挥很好的状态，但赛程中规定每支球队每个赛季只有42个主场，那么对于每支球队来说，连续的主场就会成为一种优势，在比赛场次一定的条件下，越多的连续主场，就意味着越少的旅途飞行，所以赛程安排中的连续主场应成为赛程中对某一支球队利弊的影响因素。

与连续主场相对的就是连续客场，连续客场会让球员跑来跑去，旅途的劳累削减了球员的体力，客场的气氛也不容易提起球员的情绪，连续的客场会造成积累效应，对每只球队来说都是不利的，所以赛程安排中的连续客场也应成为赛程中对某一支球队利弊的影响因素。

在赛程中，当一支球队打完一场比赛后，第二天如果要继续比赛的话，即背靠背比赛，球员就不能得到好好的休息，而且难以进行系统的相关训练，所以这样对球队是不利的，所以我们应该把背靠背比赛的次数作为衡量赛程中对某一支球队利弊的影响因素。

综上分析，考虑赛程安排对某一支球队利弊的影响因素应考虑以下几个方面：

1、每支球队在赛程中连续主场的情况；

2、每支球队在赛程中连续客场的情况；

3、每支球队在赛程中背靠背的情况

确定影响因素后，我们就可以根据2008~2009赛季安排表的情况进行统计和量化。

2.2 问题二的分析

在问题一的基础上，考虑到利弊指数对每支球队的影响下，以量化后得出的数据对三十支球队的相关情况进行计算并进行排名即可得出赛程安排对哪支球队最有利，对哪支球队最不利，同样地，在排名中可以看出赛程对姚明加盟的火箭队的利弊是哪种情况。

2.3 问题三的分析

由于每支球队与同部不同区的其中四支球队每赛季只比赛三场（即少赛一场），对于每一支球队来说，强队是越少对上越好，所以他们都希望赛三场的都是最强队，然而篮球比赛是一种观赏性运动，对碰球队实力越接近，对抗性越强越好看，才会吸引越多的观众，而且按照实力的接近程度来选择赛三场或四场的球队，有利于保持均衡和赛程的公平性，有效减少对手实力对不同球队的影响，所以赛程安排应从每支球队的对手实力这个方向去优化。

三、模型假设

1、不考虑赛季中球队的球员交易变动及伤病情况，即假设每支球队在整个赛季中实力保持

不变

2、忽略比赛中裁判等其他因素的影响，即假设赛程的公平性只与安排有关

3、假设每场比赛中每个球员的实力都得到最充分的发挥，即忽略球员失常的情况

4、不考虑赛季末球队的人员调整，即可用上一赛季的季末排名衡量每支球队的实力情况

四、符号说明

x i 第i支球队连续主场因素

y i 第i支球队连续客场因素

z i 第i支球队背靠背因素

X i x i规范化处理所得数据

Y i y i规范化处理所得数据

Z I z i规范化处理所得数据

α连续主场因素权重

β连续客场因素权重

γ背靠背因素权重

Q i 赛程对第i支球队的弊端指数

五、模型建立与求解

5.1 问题一

5.1.1 统计及量化处理

对附件一中每支球队连续主场比赛的次数进行统计如下：

球队连主2

次

连主3

次

连主4

次

连主5

次

连主6

次

连主7

次

连主8

次

凯尔特

人

8 3 1

活塞 6 4 1

湖人7 2 1 2

黄蜂 5 4 1 1

马刺 6 3 2

太阳10 4 1

火箭7 2 1 1

爵士10 2 1

魔术8 1 1 1

小牛 6 2 1 1

掘金 5 2 2 1

勇士7 1 1 1 1

骑士 6 2 2

奇才 5 4 1

猛龙9 2 1 1

开拓者 6 4 2 1

76人8 2 1

国王 3 4 4

老鹰7 1 1 1 步行者8 2 1

网8 1 2

公牛 6 1 1 2

山猫10 1 1 1

雄鹿 2 5 1 1

尼克斯10 3 1

快船 4 2 2 1

灰熊 4 2 2 1

森林狼9 1 2

超音速 4 6 1

热火8 5 1

为了量化统计情况，我们不妨把连续3次以上的主场向连续2次主场转化，连续2次主场的比赛的因素值记为1，即当n(n>=3)场连续主场转化为（n-1）次连续主场一次，其连续主场因素值为（n-1），把上表中各支球队连续主场统计情况进行量化处理得如下表：

对附件一中每支球队连续主场比赛的次数进行统计如下：

球队连客2

次

连客3

次

连客4

次

连客5

次

连客6

次

连客7

次

连客8

次

凯尔特

人

9 1 1 1

活塞 3 2 2 1

湖人 5 2 1 1 1

黄蜂 3 5 2

马刺 4 4 1 太阳 3 2 3 1

火箭 5 2 1 2

爵士 4 2 3

魔术7 2 1 1

小牛 4 5 2

掘金 6 2 1 1 勇士 4 2 2

骑士 5 1 3

奇才 6 1 3

猛龙 4 5 1

开拓者 2 2 2 3

76人 4 1 1 1 1

国王 5 1 5

老鹰 5 3 2 1

步行者 4 2 1 1

网 4 2 1

公牛 2 1 1 2

山猫 3 1 2 2

雄鹿7 3 2

尼克斯 5 2 1 2

快船 1 2 2 1 1

灰熊7 1 3

森林狼8 5

超音速8 4 1

热火 5 1 1 1 1

为了量化统计情况，我们不妨把连续3次以上的客场向连续2次客场转化，连续2次客

场的比赛的因素值记为1，即当n(n>=3)场连续客场转化为（n-1）次连续客场一次，其连续

客场因素值为（n-1），把上表中各支球队连续客场统计情况进行量化处理得如下表：

对附件一中每支球队背靠背比赛次数进行统计并设定每次背靠背比赛的弊端值为相常数

1，则得到每支球队背靠背比赛的因素值z i如下：

球队背靠背因素zi 球队背靠背因素zi

凯尔特人16 开拓者16 活塞16 76人21 湖人19 国王22 黄蜂18 老鹰22 马刺18 步行者21 太阳19 网22 火箭19 公牛22 爵士20 山猫20 魔术17 雄鹿22 小牛16 尼克斯18 掘金20 快船21 勇士15 灰熊22 骑士19 森林狼22 奇才18 超音速18 猛龙17 热火19

5.1.2 规范化处理

为了使每支球队的连续主场因素x i、连续客场因素y i和背靠背因素z i在同一层次做比较，我们可用极差规范化方法作相应的规范化处理，极差规范化公式如下：

1）连续主场因素规范化

X i=(x i-min x i)/(max x i-min x i), i=1,2,……，30

2）连续客场因素规范化

Y i=(y i-min y i)/(max y i-min y i), i=1,2,……，30

3)背靠背因素规范化

Z i=(z i-min z i)/(max z i-min z i), i=1,2,……，30

把连续主场因素x i、连续客场因素y i和背靠背因素z i分别代入上述公式得到规范化的连续主场因素X i、连续客场因素Y i和背靠背因素Z i结果如下：

5.1.3 各因素所占权重的确定

通过数据的分析和实际情况的了解，我们可以得到每两个因素对利弊指数影响程度的情况如以下对比矩阵： A=???????

?

???????

?12

22111

2111 求得对比矩阵A 的最大特征根为λ=3，对应的特征向量归一后为

w=???

?

??????5.025.025.0，即α=0.25，β=0.25，γ=0.5 所以Q i =-0.25X i +0.25Y i +0.5Z i

把规范化的连续主场因素X i 、连续客场因素Y i 和背靠背因素Z i 代入上述公式求得弊端指数，排序后如下：

球队 弊端指数 勇士 0.005555556 开拓者 0.071428571 活塞 0.090873016 小牛 0.11031746 凯尔特人 0.113095238 猛龙 0.128968254 魔术 0.187301587 黄蜂 0.200396825 超音速 0.228174603 奇才 0.233730159 尼克斯 0.253174603 马刺 0.255952381 热火 0.269047619 太阳 0.294047619 火箭 0.296825397 骑士 0.307936508 湖人 0.316269841 掘金 0.34047619 山猫 0.343253968 爵士 0.368253968 76人 0.445238095 步行者 0.453571429 快船 0.461904762 网 0.472222222 国王 0.477777778 老鹰 0.477777778 雄鹿 0.486111111 公牛 0.513888889 灰熊 0.516666667 森林狼

0.544444444

5.1.4 结果分析

根据上面表格得出的数据可见，赛程对每支球队的利弊是不同的，这里主要是看对自

己的不利指数，亦即弊端指数，指数越大，对球队越不利。

5.2 问题二

由问题一已求得赛程对每支球队的弊端指数，其中勇士的弊端指数最小，森林狼的弊端指数最大，即2008~2009年度NBA常规赛赛程对勇士队最有利，对森林狼队最不利，赛程对姚明加盟的火箭队的弊端指数是0.296825397，排在第15位，接近于平均水平，即属于中等水平，利弊各半。

5.1 问题三

5.3.1 NBA赛程安排规律

通过对NBA最近五年的赛程安排的观察与分析我们不难发现：与某支球队赛三场的球队平均属于同部的另外两区，即每支球队都与同部的另外两个区中每个区的其中两支球队赛三场，这是赛程安排的基本规定，然后选取哪些球队，哪些球队一主两客，哪些球队一客两主是由电脑根据球队间主客场数的均衡随机生成。

5.3.2 赛程生成方法的评价

这种由电脑随机抽签生成赛程对手的方法随机性太大，往往使某些实力很强的球队对上实力很弱的球队的比赛增多，这样显然对双方都不公平，而且实力相差太大的球队比赛会使球员提不起比赛的热情，从而削弱比赛的观赏性，与注重观赏性的篮球比赛相悖。

5.3.3 可优化赛程安排的理论方法

从上面方法的缺点出发，我们可以从球队间的实力差距来寻找哪些球队比赛三场，哪些球队比赛四场，理论上是球队实力相差大的尽量赛三场，球队实力相差较小的尽量赛四场，而如何确定球队实力，我们可以从上一赛季的季末排名来指定数值进行量化，然而这样直接进行比较显然不够科学，因为不同部之间的球队只赛两场，而同部之间的要赛三场或四场，我们可以通过平均对手实力来衡量每支球队的实力，即通过对手的实力来量化自己的实力，这样比较之下较为科学，对手平均实力越强。即自己实力越弱，从而寻找球队间实力差距转换为每支球队的对手平均实力的差距，找出球队间的对手实力差距之后，我们就可以在赛程安排的基本规定下，采用0-1变量法寻找符合条件的球队。

当寻找到比赛三场的球队后，我们就该安排对哪些球队一主两客，哪些一客两主了，在上面的优化性安排下，这些球队的主客场情况对每支球队的利弊的影响已经不大，在这里可以不严格忽略，所采用的分配方法为：选出对战三场的两支球队A和B，随机分配A一主两客，那么B就是一客两主，然后找出和B赛三场的某支球队C，分配C与B的比赛一主两客，然后找出和C赛三场的某支球队D分配一客两主，以此类推，最后就能全部分配完毕，保证了主客场的均衡，亦赋予了赛程的一定随机性。

六、模型的评价

6.1.1 模型的优点

通过对赛程中部分因素的量化，并赋予相关的权重，使问题变得简单明了和清晰化，而且模型的横向和纵向的通用性很强，即对相同赛季中每支球队适用，也可以对其他赛季赛程进行同理分析。

6.1.2 模型的缺点

为了简化模型，作了较多的简化假设，忽略了部分因素的影响，虽然影响不大，但同样导致一定的偏差，模型中各个因素的权重的赋予没有严格求证，使模型的精确度降低。

参考资料：

姜启源、谢金星、叶俊编，数学模型（第三版），高等教育出版社、2003年，北京

新浪网站https://www.360docs.net/doc/b71207201.html,/nba/