湖北省部分重点中学2017届高三上学期第二次联考数学试卷(理科) Word版含解析

2016-2017学年湖北省部分重点中学高三（上）第二次联考数学

试卷（理科）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1．已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（?R A）∩B=（）A．（0，3]B．[﹣1，0）C．[﹣1，3]D．（3，4）

2．复数z满足z（3i﹣4）=25（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．4+3i B．4﹣3i C．﹣4+3i D．﹣4﹣3i

3．在等差数列{a n}中，a3+a6+a9=54，设数列{a n}的前n项和为S n，则S11=（）A．18 B．99 C．198 D．297

4．已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为（）

A

．B．C．D．2

5．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）

A． +B． +3 C． +D． +3

6．已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）

A．B．C．D．

7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A﹣BCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）

A．2 B．C．D．﹣2

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

A．36πB．8πC．πD．π

10．若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）

A．B．C．1 D．2

12．已知S=（x﹣a）2+（lnx﹣a）2（a∈R），则S的最小值为（）

A

．B．C．D．2

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量满足，与的夹角为，则=．14．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，菀草第一天长高1尺．以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知

条件，可求得第天，蒲草和菀草高度相同．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）

15．已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，

则的最小值为．

16．在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD，则的最大值为．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n

）=2n（n+1）（n∈

+1

N*）．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和S n．

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若

（1）求角A；

（2）若4（b+c）=3bc，，求△ABC的面积S．

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；

（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，请说明理由．

20．已知椭圆过点，且焦距为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过点P（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．

21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣1，对?x∈R，f（x）≥0恒成立．

（1）求a的取值集合；

（2）求证：1+．

请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]

22．在直角坐标系xoy中，圆C的参数方程为（φ为参数），以O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．

（1）求圆C的极坐标方程；

（2）若直线（t为参数）与圆C交于A，B两点，且，求m的值．

[选修4-5：不等式选讲]

23．已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|．

（1）若a=﹣1，解不等式f（x）≥2；

（2）若存在实数x，使得成立，试求a的取值范围．

2016-2017学年湖北省部分重点中学高三（上）第二次联

考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.

1．已知集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}，集合B={x|0＜x＜4}，则（?R A）∩B=（）A．（0，3]B．[﹣1，0）C．[﹣1，3]D．（3，4）

【考点】交、并、补集的混合运算．

【分析】化简集合A，根据补集与交集的定义进行计算即可．

【解答】解：集合A=x|x2﹣2x﹣3＞0}={x|x＜﹣1或x＞3}，

集合B={x|0＜x＜4}，

∴?R A={x|﹣1≤x≤3}，

∴（?R A）∩B={x|0＜x≤3}=（0，3]．

故选：A．

2．复数z满足z（3i﹣4）=25（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A．4+3i B．4﹣3i C．﹣4+3i D．﹣4﹣3i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．

【解答】解：z（3i﹣4）=25，∴z（3i﹣4）（﹣3i﹣4）=25（﹣3i﹣4），

∴z=﹣4﹣3i

则z的共轭复数=﹣4+3i．

故选：C．

3．在等差数列{a n}中，a3+a6+a9=54，设数列{a n}的前n项和为S n，则S11=（）A．18 B．99 C．198 D．297

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】根据题意，由等差数列的性质求出a1+a11=a3+a9=2a6，将其代入等差数列前n项和公式即可得出答案

【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，a3+a6+a9=27，

所以a1+a11=a3+a9=2a6=18，

则S11===99；

故选：B．

4．已知双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，若双曲线C的一条渐近线与直线平行，则双曲线C的离心率为（）

A

．B．C．D．2

【考点】双曲线的简单性质．

【分析】设双曲线方程为=1，（a＞0，b＞0），由双曲线C的一条渐近线

与直线平行，得到=，由此能求出双曲线C的离心率．

【解答】解：∵双曲线C的中心在原点，焦点在y轴上，

∴设双曲线方程为=1，（a＞0，b＞0），

∵双曲线C的一条渐近线与直线平行，

∴=，即a=b，

c==2b，

∴双曲线C的离心率e===．

故选：A．

5．设f（x）=，则f（x）dx的值为（）

A． +B． +3 C． +D． +3

【考点】定积分．

【分析】根据定积分性质可得f（x）dx=+，然后根据定积分可得．

【解答】解：根据定积分性质可得f（x）dx=+，

根据定积分的几何意义，是以原点为圆心，以1为半径圆面积

的，

=，

∴f（x）dx=+（），

=+，

故答案选：A．

6．已知的最大值为A，若存在实数x1，x2使得对任意实数x总有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则A|x1﹣x2|的最小值为（）

A．B．C．D．

【考点】三角函数的化简求值；正弦函数的图象．

【分析】根据题意，利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和最值，即可求出A|x1﹣x2|的最小值．

【解答】解：

=sin2017xcos+cos2017xsin+cos2017xcos+sin2017xsin

=sin2017x+cos2017x+cos2017x+sin2017x

=sin2017x+cos2017x

=2sin．

或

=

=2sin．

∴f（x）的最大值为A=2；

由题意得，|x1﹣x2|的最小值为=，

∴A|x1﹣x2|的最小值为．

故选：B．

7．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体A﹣BCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（）

A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC

【考点】平面与平面垂直的判定．

【分析】由题意推出CD⊥AB，AD⊥AB，从而得到AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，可得平面ABC⊥平面ADC．

【解答】解：∵在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°∴BD⊥CD

又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD=BD

故CD⊥平面ABD，则CD⊥AB，又AD⊥AB

∴AB⊥平面ADC，

又AB?平面ABC，

∴平面ABC⊥平面ADC．

故选D．

8．若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足，则的值为（）

A．2 B．C．D．﹣2

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】利用向量的坐标运算和数乘运算、数量积运算即可得出．

【解答】解：如图所示，

A（，0），B（0，），C（﹣，0），

∴=（，），=（3，0），

∴=（，）+（3，0）=（2，），

∴=+=（，），

∴=﹣=（﹣1，），=﹣=（﹣，），

∴=﹣1×（﹣）+×=2，

故选：A．

9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）

A．36πB．8πC．πD．π

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】根据几何体的三视图得出该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，

根据直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，由外接球的结构特征，求出它的半径与表面积．

【解答】解：根据几何体的三视图，得；

该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2的直三棱锥；

如图所示；

则该直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，

设几何体外接球的半径为R，

∵底面是等腰直角三角形，∴底面外接圆的半径为1，

∴R2=1+1=2，

∴外接球的表面积是4πR2=8π．

故选：B．

10．若实数x，y满足不等式，且x+y的最大值为9，则实数m=（）

A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2

【考点】简单线性规划．

【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=x+y，再利用z的几何意义求最值，只需求出直线x+y=9过可行域内的点A时，从而得到m值即可．

【解答】解：先根据约束条件画出可行域，

设z=x+y，

将最大值转化为y轴上的截距，

当直线z=x+y经过直线x+y=9与直线2x﹣y﹣3=0的交点A（4，5）时，z最大，将m等价为斜率的倒数，

数形结合，将点A的坐标代入x﹣my+1=0得

m=1，

故选C．

11．已知抛物线x2=4y上有一条长为6的动弦AB，则AB中点到x轴的最短距离为（）

A．B．C．1 D．2

【考点】抛物线的简单性质．

【分析】设A（x1，y1）B（x2，y2），根据抛物线方程可求得准线方程，所求的距

离为S==根据抛物线的定义可知S=根据两边之

和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号求得S的最小值．

【解答】解：设A（x1，y1）B（x2，y2）

抛物线准线y=﹣1，

根据梯形的中位线定理，得所求的距离为：

S==

由抛物线定义

=﹣1（两边之和大于第三边且A，B，F三点共线时取等号）

≥﹣1=2

故选D．

12．已知S=（x﹣a）2+（lnx﹣a）2（a∈R），则S的最小值为（）

A

．B．C．D．2

【考点】函数的最值及其几何意义．

【分析】由题意可得S的几何意义为两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，求得与直线y=x平行且与曲线y=lnx相切的切点的坐标，运用点到直线的距离公式计算即可得到所求最小值．

【解答】解：S=（x﹣a）2+（lnx﹣a）2（a∈R）的几何意义为：

两点（x．lnx），（a，a）的距离的平方，

由y=lnx的导数为y′=，

点（a，a）在直线y=x上，

令=1，可得x=1，

即有与直线y=x平行的直线且与曲线y=lnx相切的切点为（1，0），

由点到直线的距离可得d==，

即有S的最小值为（）2=，

故选：B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13．已知向量满足，与的夹角为，则=2．【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【分析】由条件进行数量积的运算便可求出的值，从而得出的值．

【解答】解：根据条件，

=

=

=4；

∴．

故答案为：2．

14．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺．蒲生日自半．莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是“今有蒲草第一天长高3尺，菀草第一天长高1尺．以后蒲草每天长高前一天的一半，而菀草每天长高前一天的2倍，问多少天蒲草和菀草高度相同？”根据上述已知条件，可求得第 2.6 天，蒲草和菀草高度相同．（已知lg2=0.3010，lg3=0.4771，结果精确到0.1）

【考点】等比数列的前n 项和．

【分析】由题意可利用等比数列的求和公式可得： =

，化为：

2n +=7，解出即可得出．

【解答】解：由题意可得： =

，化为：2n +

=7，

解得2n =6，2n =1（舍去）． ∴n=

=1+

≈2.6．

∴估计2.6日蒲、莞长度相等， 故答案为：2.6．

15．已知函数，若正实数a ，b 满足f （4a ）+f （b ﹣9）=0，

则

的最小值为 1 ．

【考点】函数奇偶性的性质；基本不等式．

【分析】根据题意，由f （x ）的解析式分析f （x ）与f （﹣x ）的关系，可得函数

f （x ）为奇函数，又由f （4a ）+f （b ﹣9）=0，分析可得4a +b=9，对于，将

其变形可得

=（4a +b ）（

）=（5++

），由基本不等式的性质分析

可得的最小值，即可得答案．

【解答】解：根据题意，对于函数，

则有=﹣=﹣f（x），

则函数f（x）为奇函数，

y=x+sinx的导数为y′=1+cosx≥0，函数y单调递增，又=1﹣在R上递增，

则f（x）在R上递增，

若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣9）=0，必有4a+b=9，

则=（4a+b）（）=（5++）≥（5+4）=1；

即的最小值为1；

故答案为：1．

16．在直径AB=4的圆上有长度为2的动弦CD，则的最大值为2．【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】建立适当的平面直角坐标系，设角度为参数，利用坐标表示与参数方程建立?的解析式，利用三角函数求出它的最值．

【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系，

设∠BOC=x，则∠BOD=x+；

∴C（2cosx，2sinx），D（2cos（x+），2sin（x+）），

且A（﹣2，0），B（2，0）；

∴=（2cosx+2，2sinx），

=（2cos（x+）﹣2，2sin（x+））；

∴?=（2cosx+2）×（2cos（x+）﹣2）

+2sinx×2sin（x+）

=4cosxcos（x+）﹣4cosx+4cos（x+）

﹣4+4sinxsin（x+）

=4cos﹣4cosx+4cos（x+）﹣4

=﹣4cos（x﹣）﹣2；

当cos（x﹣）=﹣1时，?取得最大值2．

故答案为：2．

三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.

17．已知等差数列{a n}满足（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n

）=2n（n+1）（n∈

+1

N*）．

（1）求数列{a n}的通项公式；

（2）求数列{}的前n项和S n．

【考点】数列的求和；数列递推式．

【分析】（1）根据数列的递推公式求出公差d，即可求出数列{a n}的通项公式，（2）根据错位相减法即可求出前n项和．

）=2n（n+1），①

【解答】解：∵（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n+a n

+1

+a n）=2n（n﹣1），②

∴（a1+a2）+（a2+a3）+…+（a n

﹣1

=4n，③，

由①﹣②可得，a n+a n

+1

=4（n﹣1），④，

令n=n﹣1，可得a n+a n

﹣1

由③﹣④可得2d=4，

∴d=2，

∵a1+a2=4，

∴a1=1，

∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，

（2）=（2n﹣1）?（）n﹣1，

∴S n=1?（）0+3?（）1+5?（）2+…+（2n﹣1）?（）n﹣1，

∴S n=1?（）1+3?（）2+5?（）3+…+（2n﹣3）?（）n+（2n﹣1）?（）n，

∴S n=1+2?（）1+2?（）2+2?（）3+…+2?（）n﹣1﹣（2n﹣1）?（）

n=1+2﹣（2n﹣1）?（）n=3﹣（2n+3）?（）n，

∴S n=6﹣（2n+3）?（）n﹣1．

18．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若

（1）求角A；

（2）若4（b+c）=3bc，，求△ABC的面积S．

【考点】正弦定理．

【分析】（1）由正弦定理化简已知可得：，结合三角形内

角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得，结合A为内角，即可求A的值．

（2）由余弦定理及已知可解得：b+c=6，从而可求bc=8，根据三角形面积公式即可得解．

【解答】（本题满分为12分）

解：（1）由正弦定理得：…

又∵sinB=sin（A+C）

∴

即…

又∵sinC≠0

∴

又∵A是内角

∴A=60°…

（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc…

∴（b+c）2﹣4（b+c）=12得：b+c=6

∴bc=8…

∴S=…

19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面A1BC⊥侧面ABB1A1，且AA1=AB=2．（1）求证：AB⊥BC；

（2）若直线AC与平面A1BC所成的角为，请问在线段A1C上是否存在点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，请说明理由．

【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．

【分析】（1）连接AB1交AB1于点D，则可通过证明BC⊥平面ABB1A1得出得出BC⊥AB；

（2）以B为原点建立坐标系，设=λ，求出平面ABE的法向量，令|cos

＜，＞|=，根据解的情况判断E点是否存在．

【解答】（1）证明：连接AB1交AB1于点D，

∵AA1=AB，∴AD⊥A1B

又平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B，

∴AD⊥平面A1BC，又BC?平面A1BC，

∴AD⊥BC．

∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴AA1⊥底面ABC，

∴AA1⊥BC．

又AA1∩AD=A，AA1?平面A1ABB1，AD?平面A1ABB1，

∴BC⊥平面A1ABB1，又AB?侧面A1ABB1，

∴AB⊥BC．

（2）由（1）得AD⊥平面A1BC，

∴∠ACD直线AD与平面AA1=AB所成的角，

即，又AD==，∴，BC==2．

假设在线段A1C上是否存在一点E，使得二面角A﹣BE﹣C的大小为

以点B为原点，以BC、BA，AA1所在直线为坐标轴轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，如图所示，

则A（0，2，0），B（0，0，0），A1（0，2，2），C（2，0，0），B1（0，0，2）．∴=（0，﹣2，0），=（2，﹣2，﹣2），=（0，﹣2，2），=（0，0，2）．

假设A1C上存在点E使得二面角A﹣BE﹣C的大小为，且=λ=（2λ，﹣2λ，﹣2λ），

∴=+=（2λ，﹣2λ，2﹣2λ），

设平面EAB的法向量为，则，，

∴，令x=1得=（1，0，），

由（1）知AB1⊥平面A1BC，∴=（0，﹣2，2）为平面CEB的一个法向量．

∴cos＜，＞==，

∴||=|cos|=，解得

∴点E为线段A1C中点时，二面角A﹣BE﹣C的大小为．

20．已知椭圆过点，且焦距为2．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设过点P（﹣2，0）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，点，如果|GA|=|GB|，求直线l的方程．

【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．

【分析】（1）由椭圆的性质，将点代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

（2）将直线代入椭圆方程，由△＞0，求得k的取值范围，由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，根据直线的斜率公式，即可求得k的值．

【解答】解：（1）由2c=2，c=1，由a2=b2+c2=b2+1，

则，解得：b2=1，a2=2，

∴椭圆的标准方程为：；

（2）由题意可知设直线l的斜率为k，直线l的方程为y=k（x+2），

，整理得：（1+2k2）x2+8k2x+8k2﹣2=0，

设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），AB的中点M（x0，y0），

则x1+x2=﹣，x1x2=，

则y1+y2=k（x1+2）+k（x2+2）=，

△=（8k2）2﹣4（1+2k2）（8k2﹣2）＞0，解得：﹣＜k＜，

则x0=﹣，y0=，

由|GA|=|GB|，则GM⊥AB，

则k GM===﹣，（k≠0），

解得：k=或k=（舍），

当k=0时，显然满足题意；

∴直线l的方程为：y=（x+2）或y=0．

21．设函数f（x）=e x﹣ax﹣1，对?x∈R，f（x）≥0恒成立．

（1）求a的取值集合；

（2）求证：1+．

【考点】函数恒成立问题；函数的最值及其几何意义．

【分析】（1）通过对函数f（x）求导，讨论f（x）的单调性可得函数f（x）的最小值；根据条件可得g（a）=a﹣alna﹣1≥0，讨论g（a）的单调性即得结论；

（2）由（1）得e x≥x+1，即ln（x+1）≤x，通过令x=（k∈N*），即＞ln

=ln（1+k）﹣lnk，（k=1，2，…，n），然后累加即可得证．

【解答】解：（1）函数f（x）的导数为f′（x）=e x﹣a，