概率论A期末复习题
A.随机向量
选择题
1. 设(X,Y)分布律如下，则 E(XY)＝（）
D. 都不对
2. η
ξ，独立，其方差分别为6和3，则）＝
－
（η
ξ2
D（）
A. 9
B. 15
C. 21
D. 27
3. η
ξ，的方差η
ξD
D，均存在，下列等式不一定成立的是（）
A. η
ξ
η
ξD
D
D－
）＝
－
（
B.2
2E
E
D）〕
－
（
－〔
）
－
（
）＝
－
（η
ξ
η
ξ
η
ξ
C. ）
＋
（
－
＋
）＝
－
（η
ξ
η
ξ
η
ξ2COV
D
D
D
D. 2
E
E
E
D）〕
－
）－（
－
〔（
）＝
－
（η
η
ξ
ξ
η
ξ
4. 如果随机变量η
ξ
η
ξD
D，
的方差
，存在，且
η
ξ
ξη
η
ξE.
E
E
D
D）＝
（
，≠
≠则（）
A. η
ξ，一定独立B.η
ξ，一定不相关
C. η
ξ
η
ξD.
D
D）＝
，
（ D. η
ξ
η
ξD
D
D－
）＝
－
（
5. η
ξ，为两个随机变量，则（）是正确
A. η
ξ
η
ξE
E
E＋
）＝
＋
（ B. η
ξ
η
ξD
D
D＋
）＝
＋
（
C. η
ξ
ξηD.
D
D）＝
（ D. η
ξ
ξηE.
E
E）＝
（
A . ηξ，不独立 B. ηξ，独立 C. ηξ，不相关
D. ηξ，独立且相关.
7. 如 ηξ，不相关，则下列（ ）不成立。 A.0cov ）＝，（ηξ B. ηξηξD D D ＋）＝＋（ C . ηξξηD .D D ）＝（
D. ηξξηE .E E ）＝（
8. 如 EXY ＝EXEY 则（ ）正确
A. DXY ＝DXDY B . D(X+Y)＝DX+DY C. X,Y 独立 D. X,Y 不独立 9. 关系式0xy ＝ρ 表示X 与Y （ ） A. 相互独立 B . 不相关
C. 有1b ax y ｝＝＋＝｛ρ
D. 满足Dx.Dy y x,cov 2
＝）〕（〔
10. 随机向量（X,Y ）的分布函数为F(x,y)则其边缘分布＝（x)F X （ ） A. ）（＋－y x,F lim y ∞
B . ）＋＋y F(x,lim y ∞
C. F(x,0)
D. F （0,x ）
11. 由D （X+Y ）＝DX ＋DY 可以断定（ ） A . X 与Y 不相关 B ）（）（＝y F .x F F(x.y)Y X C. X,Y 相互独立
D.1xy ＝ρ
12. （X,Y ）的联合密度为 ???≥≥+其它，）＝（－（0
y 0x e y x,P y)x 这时（ ）
A. X+Y 服从指数分布 B . X,Y 相互独立 C. Y 是X 的函数
D. 1xy ＝ρ
13. 离散型二维随机向量（X ，Y ）的( )表示为）｝，）＝（，｛（＝i i ij y x Y X P p （i ，j ＝1，2，….）。
A . 联合概率分布 B. 联合分布函数 C. 概率密度
D. 边缘概率分布
14. 设随机向量（X ，Y ）的分布函数为F （x,y ），其边缘分布函数）（x F x 是（ ）。 A. ），（－y x F lim y ∞
→
B . ），（＋y x F lim y ∞
→
C. F （x ，0）
D. F （0，x ）
15. 关系式0xy ＝ρ表示x 与y （ ）。 A. 相互独立
B . 不相关
C. 有P{y ＝ax ＋b}＝1
C. 满足Y)D X D y x,cov 2
（）（＝）〕（〔?
16. 离散型二维随机向量（X,Y ）的（ ）表示为），）＝（，｛（＝j i ij y x Y X P P
）＝（ 1,2,j i,
A . 联合概率分布 B. 联合分布函数 C. 概率密度 D.边缘概率分布
17. （X,Y ）的联合概率密度???<<≥≥+0y 0x 00
y 0x e y x,p y x 或，，，）＝（）－（ 这时（ ）。
A. X+Y 服从指数分布 B . X 与Y 相互独立
C. Y 是X 的函数
D. X 与Y 的相关系数1＝
ρ 18. 由D(X+Y)=D(X)+D(Y)即可断定
A. X 与Y 不相关
B. (X,Y)的联合函数)()(),(y F x F y x F y x ?=
C. X 与Y 相互独立
D. 相关系数1=xy ρ
19. 甲，乙两射手各对靶进行射击，得分越高成绩越好，用X,Y 分别表示甲，乙所得分数，
A. 甲成绩于乙 B . 甲成绩劣于乙 C. 甲，乙两人成绩相等 D. 无法判断 20. 设随机变量X 和 Y 独立同分布，记U=X-Y,V=X+Y,则随机变量U 与V 必然：（ ）
A. 不独立
B. 独立
C. 相关系数不为零 D . 相关系数为零 21. 对于任意两个随机变量X 和Y,若E(XY)=EX ·EY,则（ ） A.D(XY)=DX ·DY B .D(X+Y)=DX+DY C. X 和Y 独立
D.X 和Y 互不相容 22. 设随机变量ηξ,有正的方差，若ηξ,的相关系数为0，那么有（ ） A. ηξ, 独立
B . ηξξηE E E =)( C. ηξ, 不相容
D.以上结论都不对
23. 关于两随机变量的独立性与相关系数的关系，下列说法正确的是（ ）
A . X,Y 独立，则X 与Y 的相关系数为0 B.若X,Y 的相关系数为0，则X,Y 独立 C. X,Y 独立与X,Y 的相关系数为0等价 D.以上结论都不对
A. X=Y
B. P{X<>Y}=0 C . P{X=Y}=0.5 D. 都不对 25. 对于任意两个随机变量X 和Y,若E(XY)=EX ·EY,则（ ） A.D(XY)=DX ·DY B .D(X+Y)=DX+DY
C. X 和Y 独立
D. X 和Y 互不相容 26. 设（X,Y ）的联合分布密度为.)
1)(1(),(22y x c
y x p ++= 则系数c 等于
（ ） A. 2π B .
2
1π C. 1/2 D. 1
计算题
1. 设二维随机变量（X,Y ）的密度函数为 f(x,y)=??
???≤≤≤≤+其它02
0,103
1
2y x xy x (1)求X,Y 边缘密度函数，并判断X,Y 是否独立？ （2）求 {1≥+y x P }
1-1 ?????≤≤+=其它
103
22)(2x x
x x p X ?????≤≤+=其它
206
1
31)(y y
y p Y
不独立∴≠)
2
1
,21()21()21(p p p Y X {72/65}1=≥+y x P
2. 求在区域 B 上服从均匀分布的随机变量(ηξ,）的分布密度和分布函数，其中B 为 X 轴，Y 轴及直线 y=2x+1 所围的三角形区域
2-1 ??
?∈=其它
),(4
)(B
y x y p Y
?
?
???
?
???
??
>>≤<>-+>≤<-++≤<≤<-
+-≤-≤=1
01100)21(21202
1)21
(2120021
)
122(202
1
0),(y x y x y
y x y x x y x y x y x y y or x y x F 且且且且 3. 设（ηξ,）联合密度函数为 P(x,y)=
y
x 221
1,∞<≤x x y x <<1 判断ηξ,是否独立 3-1 不独立Y X y p x p y x p Y X ,)
()(),(∴≠
4. 设二维随机变量（x,y ） 具有下列密度函数，判断X,Y 是否独立？
（1）F(x,y)=???≤≤≤其它0108y x xy (2) F(x,y)=?????≤+其它
1122y x π
4-1 不独立 不独立
5. 设
5-1
6. (X,Y)服从 D={(X,Y):0 8. 设 (X,Y)联合分布为下列，问X,Y 是否独立 求 a, b, c 求：（1） P{1/2 /121==p p 10. 设(X,Y)在曲线x y x y ==,2所围的区域G 中服从均匀分布。求联合密度 f(x,y)和边密度)(),(y f x f Y X 10-1 ?? ?≤≤≤≤=其它 ,106),(2x y x x y x f ?? ?≤≤-=其它0 1 0) (6)(2x x x x f X ?? ?≤≤-=其它 10)(6)(y y y y f Y 11. 设二维随机变量之密度函数为 P(x,y)=? ? ?>>+-其它 00 ,0) 43(y x ce y x 求：（1） 常数c (2) 边缘密度 P X (x), P Y (y) (3)讨论X,Y 之独立性 11-1 c=12 ?? ?>=-其它0 3)(3x e x p x X ???>=-其它 4)(4y e y p y Y 独立 12. X,Y 相互独立，且X ～N(1,2),Y ～N(0,1), 求：Z=2X-Y+3的概率密度函数 12-1 )9,5(~N Z 13. 设（X,Y ）之概率密度 F(x,y)＝?? ?<<其它 －0y x 0e y 求：） （1y x ≤+p 13-1 2 11 21---+=e e p 14. 设随机变量ηξ，相互独立同分布。ξ的分布律为 P （3 1 k ）＝＝ξ （k ＝ 1,2,3）又 X ＝max （），ηξ Y ＝min （），ηξ求：（1）(X,Y )分布律 （2）EX 15. 平面区域D 为： y ＝ x 与 y=0,x ＝1，x ＝e 2所围。二维随机变量 （X,Y ）在D 上均匀分布。 求： X 的边缘密度函数在x=2处的值 15-1 1/4 16. 设（x,y ）分布律由下表：如X,Y 独立。 求βα， 16-1 9 9 == βα 177. 设（X,Y ）联合密度函数为 P(x,y ）＝???<<<<其它01 0,10cxy y x 试求：（1）常数C （2）边际密度函数)() (y p x p Y X 17-1 c=4 ?? ?<<=?? ?<<=其它 其它 1 02)(0 102)(y y y p x x x p Y X 独立 18. 设（X,Y ）联合密度函数为 P （x,y ）＝?? ? ??<<<<++其它 01 0,10) 1)(1(y x y x c （c>0） 求： （1）常数C （2）边缘密度函数 （3）判断X,Y 是否独立 18-1 ?? ? ?? <<+=?? ??? <<+==其它 其它 010) 1(2ln 1)(010) 1(2ln 1)(2ln 12y y y p x x x p c Y X 独立 19. 二维随机向量（x,y ）的分布函数为 F （x,y ）＝? ??≥≥----其它00 ,0)1)(1(y x e e y x 求：（1）联合密度函数P （x,y ） （2）判断x,y 是否独立？ 19-1 ?? ?≥≥=+-其它 ,0),() (y x e y x p y x 独立 20. 设二维随机向量（X,Y ）的密度函数为 P(x,y)=?? ???≤≤≤≤+其它02 0,103 1 x 2y x xy 求：（1）X,Y 边缘密度函数 （2）判断x,y 之独立性 （3）计算 P{x+y 1≥} 20-1 ?????≤≤+=?? ???≤≤+=其它 其它 206 1 31)(0103 22)(2y y y p x x x x p Y X 不独立 p=65/72 若X 与Y 相互独立，求a,b,c 的值。 21-1 1/18 2/9 1/6 22. 若),(ηξ的联合密度为???<<<<=其他。, 0; 1,10,),(2y o x y Ax y x p 求：（1）常数 A; (2)ηξ,的边缘密度； （3）ηξ,是否独立。 22-1 独立其它 其它 ?? ?<<=?? ?<<==0 102)(0 103)(62 y y y p x x x p A ηξ 23. 设（X,Y ）的联合分布密度为???≥≥=+-其它。,0, 0,0,),()(y x Ce y x p y x 试求：（1）常数C ； （2）P(0 23-1 c=1 2)1 1(e p -= 证明题 1. 设二维随机变量（X,Y ）有下列密度函数： ???≤≤≤=其他。,01 0,8),(y x xy y x f 求证：X 与Y 不独立 2. 设二维随机变量（X,Y ）有下列密度函数： ?????≤+=其他。, 01 ,1 ),(22y x y x f π 求证：X 与Y 不独立 B. 数字特征 选择题 1. 随机变量x 之密度函数 P(x)，分布函数F(x) ，期望E(x)=0。则以下正确的 （ ） A. p(x)为偶函数 B. F(0)=1/2 C. F(x)为偶函数 D . 以上都不对 2. X 的分布函数为 ? ??>≤=1x 01x x -1a F(x)2）（ 则下面正确的是 （ ） A. a ＝1，Ex ＝0 B.a ＝3/4， Ex ＝1 C.a ＝1，Ex=1 D . a ＝3/4，Ex=0 3. 袋中有6个红球，4个白球,任意掷一球，记住颜色后再放入袋中，共掷4次，设x 为红球出现次数。 则 E(x)=（ ） A. 16/10 B. 4/10 C . 24/10 D. 10 264? 4. X ～8（n.p ）， 则有（ ） A. E(2x-1)=2np B. D(2x-1)=4np(1-p)+1 C. E(2x+1)=4np+1 D . D(2x-1)=4np(1-p) 5. ξ～0,1]〔 ， 12＋＝ξη 则 （ ） A. 0,1]〔也服从 η B. 11} p{0＝≤≤η C. 1,3]〔～ η D . 01} p{0＝≤≤η 6. ξ的概率密度为）（x ?而 ） （＝（2x 11 x)+π? 则 ξη2＝的概率密度（ ） A. ） （2 4x 11 +π B . 都不对 C. ） （2 x 12 +π D. antgx 1 π 7. ）（～9 1 E X （指数分布），则 p ｛3 A. F （1）－F （3/9） B. ）－（e 1e 1913 C . e 1 e 1 3－ ` D. dx e 93 3 x ?－ 8. X ～N （0,1），其密度函数为x)（?。则＝（（0)? ） A. 0 B . π 21 C. 1 D. 1/2 9. X 为连续型随机变量，p(x)为概率密度函数，F(x)为分布函数。则（ ） A. P(x)=F(x) B. 1p(x)≤ C. p ｛X ＝x ｝＝p(x) D .0p(x)≥ 10. 正态分布随机变量X 之密度函数为 8 1x 2 e 221p(x)）＋（－ ＝ π ，则 E （22x －1） ＝（ ） A. 1 B. 6 C. 4 D . 9 11. X ～B （n,p ）， EX ＝2.4，DX ＝1.44，则n,p 的值分别为（ ） A. 4， 0.6 B . 6, 0.4 C. 8, 0.3 D. 24, 0.1 12. 已知随机变量ξ的数学期望ξE 存在，且b E a E 2＝，＝ξξ，C 为一常数，则 ）（ξC D 等于（ ） A. ）－（2b a c B. ）－（2a b c C . ）－（22a b c D. ）－（22 b a c 13. 如随机变量ξ服从（ ）上的均匀分布，则 3 4 D 3 E ＝，＝ξξ A. 〔0,6〕 B . 〔1, 5〕 C. 〔2, 4〕 D. 〔－3, 3〕 14. 若随机变量ξ服从指数分布，且ξξ，则＝0.25D 的密度函数P （x ）为（ ） A . ?? ?≤>0 x 0 x 2e 2x － B. ??? ??≤>0x 0 0x e 212x － C. ?? ?≤>0 x 0 x 4e 2x － D. ?????≤>0 x 0 0x e 4 1x 4 1－ 15. 设X 为表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中概率为0.4，则） 2E(x 等于（ ） A. 20.4 B. 2.4 C . 18.4 D. 都不是 16. ），（～2N σμξ，且1D 3E ＝，＝ξξ，则 {11P ≤≤ξ－｝＝（ ） A. 112）－（ Φ B . 2)4（）－（ΦΦ C. ）（－）－（－24ΦΦ D. ）（）－（42ΦΦ 17. 如随机变量），（）～＝（），则（～2N 0,1N σμηξ A. σ μ ξ－ B. μσξ－ C . μσξ＋ D.）＋（μξσ 18. 设随机变量 ）＝（），则（～ξξ2 1 D 2,2N 2（ ） A . 1 B. 2 C.1/2 D. 4 19. 已知离散型随机变量ξ的可能取值为1X 0X 1X 321＝，＝，＝－，且 0.89D 0.1E ＝＝ξξ。则对立于321,,X X X 的概率为为（ ） A . 0.4，0.1，0.5 B. 0.1，0.4，0.5 C. 0.5， 0.1，0.4 D. 0.4,0.5,0.1 20. 若随机变量ξξE 的期望有在，则）〕（〔ξE E E 等于（ ） A. ξ3E B. 0 C . E ξ D. 3 E ） （ξ 21. 221 N ξσμξ），，（～服从期望值为1－λ的指数分布，则不正确的是（ ） A. 121E －＋）＝＋（λμξξ B . 2221D －＋）＝＋（λσξξ C. 22222212E －＋＋）＝＋（λμσξξ D. 22222212E E －＝，＋＝λξσμξ 22. 设随机变量X 有 )0,0 DX EX 2>>σμσμ（＝，＝，C 为任意常数则下列中（ ）成立 A. 222C EX C -X E －＝）（ B. 22X E C -X E ） －（＝）（μ C. 22)(C X E μ- 2-X E C -X E ） （）（μ≥ 23. 设X,Y 不相关，且其方差分别为4和1，则4X-2Y 的方差为（ ） A. 14 B. 18 C. 60 D . 68 24. DX ＝4， DY ＝1， 0.6xy ＝ρ 则 D （3x －2y ）为（ ） A. 40 B. 34 C . 25.6 D. 17.6 26. 瓶中有6个红球，4个白球，从中任取一球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X 为取得红球的次数，则X 的期望E （X ）＝（ ）。 A. 16/10 B. 4/10 C . 24/10 D. 10 6 42? 27. 设随机变量ξ服从二项分布，即），，（～p n B ξ且，＝3E ξp ＝1/7，则n ＝（ ）。 A. 7 B. 14 C . 21 D. 49 28. 设连续型随机变量X 的密度为p （x ），则当（ ）时，?∞∞ ?＋－）（dx x p x 称其为随机变量X 的数学期望。 A. ?∞ ∞＋－（x)dx xp 收敛 B. p （x ）为有界函数 C. 0x xp lim x ）＝（∞ → D . ?∞ ∞＋－）（dx x xp 绝对函数 29. 设随机变量X 服从二项分布B(n,p)，则）＝（ EX DX 。 A. n B . 1－p C. p D. p 11－ 30. 设随机变量ξ服从参数为）（0>λλ的泊松分布时，）＝（ E /D 2ξξ。 A. 1 B. λ 1 C . λ D. 2λ 31. 设X 服从（ ）分布，则2EX DX ）＝（。 A. 正态 B . 指数 C. 二项 D. 泊松 32. 设）（～p n,B ξ，且2D 4E ＝，＝ξξ，则n ＝（ ） A. 7 B . 8 C. 9 D. 10 33. 已知EX ＝－1，DX ＝3，则））〕＝（－（〔 2X 3E 2。 A. 9 B . 6 C. 30 D. 36 34. X 为正态分布，概率密度为8 1x 2 e 221x p ）＋（－ ）＝ （π ，则））＝（－（ 12X E 2。 A. 112EX 2＝ － B. 6EX DX 22 ｝＝）＋（｛ C. 44EX 2＝ D . 2｛DX ＋1｝－1＝9 35. X 的概率分布为）＝（！ ）＝ ＝（ 0,1,2,k k e 2k k X P 2则D （2X ）＝（ ）。 A. 1 B. 2 C. 4 D . 8 36. 设X ～N （1,4），则Y ＝（X ＋2）/5的方差DY ＝（ ）。 A. 16/25 B . 4/25 C. 8/25 D. 2/25 计算题 1. 随机变量 X 服从柯西分布，密度函数为 P(x)=) 1(1 2 x +π (-∞∞,) 求 EX 1-1 EX 不存在 2. X 具有密度函数 P(x)=?? ? ??≤<-≤≤其它 02121 0x x x x 求 EX, DX 2-1 EX=1 DX=1/6 3. 随机变量X 的概率密度为 P(x)=?? ?<<其它 01 0x Ax α , 其中 a>0 又已知 EX=0.75 求 A ,a 3-1 32 ==A α 4. 已知随机变量X 的概率密度为 P(x)=???<<++其它01 02x c bx ax 已知 EX=0.5 DX=0.15 求 a, b, c 4-1 a=12 b=-12 c=3 5. 设随机变量ηξ,的概率密度分别为： ?? ?<≥=-00 2)(2x x e x p x ξ ???<≥=-0 4)(4y y e y p y η ηξ, 相互独立， 计算 E(2),3ηξ- D ()2ηξ- 5-1 E=1/4 D=25/16 6. 将n 个球放入 M 个盒子中，设每个球落入各个盒子是等可能的， 求有球的盒子数 X 之均值。 6-1 ])1 1(1[)(n M M X E --= 7. 随机变量321,,X X X 相互独立。且 ],6,0[~1U X ),2,0(~22N X )3(~3P X , 如32112X X X Y +-= 求:DY 7-1 DY=46 8. 设随机变量),2(~2σN X ,且 P (2 < x < 4 )=0.3, 求：P( x< 0 ) 8-1 p=0.2 9. 设 X 表示10次独立重复射击命中次数，每次命中率为0.4。 求EX 2 9-1 18.4 10. 设篮球队A 与B 进行比赛，若有一队胜4场则比赛结束，假定A,B 两队的胜率均为1/2， 求需要进行比赛之场数 X 的数学期望 10-1 5.8125 11. 设 x 的概率密度函数为 P(x)=?? ? ??≤<-≤≤-+其它 01010 11x x x x 求DX 11-1 DX=1/6 12. 设ξ的分布律如下 求： E (-)1+ξ, D(-)1+ξ 12-1 72 97)1(3 2)1(= +-= +-ξξD E 13. 设随机变量ξ之密度函数为 P (x) = ???? ? ≤ 其它 2cos π x x k 求： k 和 E()(),ξξD 13-1 47.00 2 1===ξξD E k ξ的分布函数为 F(x)=????? <≥-2 2813 x x X 求ξξD E 14-1 33==ξξD E 求： （1） E(x) (2) E (2)12+X 14-1 2 9)12(12 52= +- =X E EX 26. 随机变量 X 之密度函数为 P (x) =??? ??≤≤-其它 112 54x X 求 DX 26-1 5/7 15. 二维随机变量(X,Y) 的联合分布密度函数为 P (x.y)=???≤≤≤≤+其它01 0,10y x y x 求：EX 15-1 7/12 16. X 之分布密度函数为 P(x) =?? ?≤其它 2/cos πx x A 求：A, EX, DX 16-1 A=1/2 EX=0 24 2 -= πDX 17. 随机变量X 的分布函数为 F(x) =?? ? ??>≤≤+<π πx x b kx x 1000 试求： （1）k, b (2) EX, DX (3) Y=sinx. 求EY 17-1 π ππ π 2 12 2 01 2 = = = == EY DX EX b k 18. 设随机变量ξ的分布律如下.求:（1）12-= ξη的期望和方差（2）Z =2ξ 的 18-1 69.71.496.18.2====DZ EZ D E ηη 19. 设随机变量ξ的概率密度为： p(x) =???<<-其它0 1 ,0)1(2x x 31ξη=, ξη-=e 2 求 E 2211,,,ηηηηD E D 19-1 026.0736.0026.01 .02211====ηηηηD E D E 20. 设一台机器上有3个部件，根据需要均要进行调整，调整之概率为 0.1，0.2， 0.3，且相互独立。任一部件要调整即为机器需要调整，求需要调整的部件数X 之期望和方差 20-1 EX=0.6 DX=0.46 21. 设N X ~(3,16), Y =???>≤303 1X X 当当 求：Y 的数学期望 EY 和方差DY 21-1 EY=1/2 DY=1/4 22. X,Y 独立密度函数分别为下列，求 E(XY) F x (x)=???≤≤其它01 02x x F y (Y)=?? ?≥--其它 05 )5(y e y 22-1 E(XY)=4 23. )4,0(~N X , ~Y U[0, 4], X,Y 独立。 求 D(X+Y),D(2X+3Y),D(2X-3Y) 23-1 D(X+Y)=16/3 D(2X+3Y)=28 D(2X-3Y)=28 24. X,Y 均服从B(20,0.1), 5.0=XY ρ. 试求 D(X+Y), cov(X,2X-Y). 24-1 D(X+Y)=5.4 cov(X,2X-Y)=2.7 25. （X,Y ）分布律如下：求 EX, DX, EY, DY, COV(X,Y), xy ρ 26. 设二维随机变量（ηξ,）联合概率密度为 p(x,y)=???<<<<其它00,10x y x k 求 k, 并计算 E )(ξη, D()ξη 26-1 k=2 049.0)(25.0)(==ξηξηD E 27. 设（ηξ，）的联合密度为： P(x,y)= ? ??<<<<-其它00,100)1(24x y x y x 求 E ,ηξE ， D ηξD , 2-1 25 125 15 25 3 = = = = ηξηξD D E E 28. ηξ，相互独立，均服从N(0,2 σ),令U=βηαξ＋, V=βηαξ－ 求 U,,V 之协方差和相关系数 28-1 22 2 22 22)(),cov(βαβαρσβα+-=-=UV V U 29. 已知：X ～N(1,32), Y ～N(0,42),且xy ρ＝－１／２，设 Z= 2 3Y X + 求： （１）EZ, DZ (2)XZ ρ (3)问 X,Z 是否独立 29-1 EZ=1/3 DZ=3 0=XZ ρ X,Z 独立 证明题 1. 设二维随机变量（x,y ），其中x 服从〔－1,1〕均匀分布，2x y ＝ 证明：cov(x,y)＝0 2. 设随机变量X 的概率密度为偶函数，且∞<2Ex ，试证；X 与x 不相关 3. 设X 与Y 相互独立，证明：22)]()[()]()[()()()(X E Y D Y E X D Y D X D XY D ++= 4. 设随机变量X 服从]2 1 ,21[-上的均匀分布，求证：X Y πsin =的数学期望为0 C. 大数定律和中心极限定理 选择题 1. 若随机变量X 的方差存在，则）（）－（ 1a EX X P ≤>。 A. DX B. 1 C . 2a /DX D.DX a 2? 2. 若随机变量X 的方差DX 存在，则由（ ）立即可得[]DX 1)EX X P ≤>－（。 A. 贝叶斯公式 B .切比雪夫不等式 C.方差的性质 D.哥西－许瓦尔兹不等式 3. 若随机变量X 的方差D （X ）存在，则由（ ）立即可得 ）））（－（D (x 1X E X P ≤> A. 贝叶斯公式 B .切比雪夫不等式 C.方差的性质 D. 柯西－许瓦尔兹不等式 4. 若随机变量X 的方差D （X ）存在，则） （）） （－（ 1X E X P ≤≥σ 。 A. D （X ） B. 1 C . 2 X D σ ） （ D. ）（X D 2σ 5. 若随机变量X 的方差D(X) 存在，则由（ ）立即可得)()1)((X D X E X P ≤>-。 A. 贝叶斯公式 B . 切比雪夫不等式 C. 方差的性质 D.柯西-许瓦兹不 等式 6. 若随机变量X 的方差D(X)存在，则≤??? ? ??≥-1)(σX E X P A. D(X) B. 1 C . 2 ) (σ X D D. )(2X D σ 计算题 1 独立地掷10颗骰子，求掷出的点数之和在 30 到 40 点之间的概率。(0.65) 2 设一颗螺丝钉的重量是随机变量，期望值是 50 克，标准差是 5克，求一盒 （100颗）螺丝钉重量超过 5100 g 的概率。( 0.02275 ) 3 一家保险公司有一万人参保，每年每人付 12 元保费。在一年内这些死亡的概 率都为 0.006，死亡后家属可向保险公司领取 1000 元。求：（1）保险公司一年的利润不少于 6 万元的概率；（2）保险公司亏本的概率。( 0.5, 0 ) 4. 设飞机乘客可以在米饭、面条两者中任选一种，又设调研和历史数据表明： 大约 60% 旅客会选择米饭。若本班机共有 300 名乘客，应准备多少份米饭可以保证 99% 的服务满意度？( 200 ) 填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________. 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随 机地取一个球，求取到红球的概率。 §1 .7 贝叶斯公式 1． 某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品, 求未经调试的概率。 2． 将两信息分别编码为A 和B 传递出去，接收站收到时，A 被误收作B 的概率为， 题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投 A. 一．填空题（每题3分，共15分） 1．三人随机进入五层楼的任一层，则至少有两人在同一层的概率为： 。 。 ，则，若 )( 6.0)|(2.0)( .2=-==A B P A B P A P 3． 3只红球，2只白球，每次从中任取一件，取后放回。则第5次取到第2次白球的概率为 。 4．。 ，则，且泊松分布～，指数分布～若随机变量= =DX DY Y e X 2)()()()(λπλ 。的矩估计为：参数的样本，则二项分布为取自总体若____________ )(),10(~),,(.51p p b X X X n 二、选择题（每题3分，共15分） ) ()()() ()()()|()|()()()()()()(1)()() (0 1ABC A C C B B A P C B A P D A BC P C AB P C B C P A B P A P ABC P B C P B P A P C B A P A C B A =-=-=-=，则以下一定成立的为的概率均大于，，，设有事件 15 9) (158)(157)(156)() ( 32012D C B A 的概率为：件，则至少有一件次品件次品，从中任取件产品中有， 5 1) (41)(31)(21)() ()(),3,2,1(21)( 3D C B A X P k k X P X k =====偶数，则的概率分布为：，若随机变量 4，若随机变量X,Y,Z 相互独立，且DX = 2,DY = 3,DZ = 1。则D (3X - Y - 2Z ) =( ） (A) 1 (B) 11 (C) 18 (D) 25 5. 若(321X X X ，，)为取自总体X 的样本,且EX = p ,则关于p 的无偏估计为( ） （A ） 321636261X X X ++ （B ）321616263X X X +- （C ）321616263X X X -+ （D ）321616263X X X -- 三、计算题（每题10分，共70分） 1，三门炮同时向一飞机射击，彼此互不影响，设击中飞机的概率分别为：0.2、0.3、0.4， 若其中只有一门炮击中飞机，则飞机被击落的概率为0.1； 四川大学期末考试试题 （2008-2009学年第二学期） 一、单项选择题（每空2分，共10分） 1.设事件A 和B 独立，且,5.0)(,3.0)(==B P A P 则=)(B A P Y （ ） (A)0.8 (B)0.5 (C)0.65 (D)0.95 2.设随机变量X 的密度函数为+∞<<-∞=---x e x f x x ,61 )(625102π则 E(X)=（ ） (A)5 (B)3 (C)-3 (D)-5 3.设X 有分布函数),(x F 令53-=X Y ,则Y 的分布函数为（ ） (A)??? ??+3531y F (B))53(+y F (C) )353(-y F (D) ?? ? ??+35y F 4.设总体n X X X ,,,21Λ是独立同分布的随机变量序列，均服从参数为1的指数分布，令∑==n i i X n X 122 1，则?→?P X 2（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 5.设总体3212 ,,),,(~X X X N X σμ是来自X 的样本，记 32114 14121X X X Z ++=，3212313131X X X Z ++=，2125253X X Z += 这三个对μ的无偏估计量中，（ ）最有效 (A)1Z (B)2Z (C)3Z (D)无法判断 二、填空题（每空2分，共10分） 1.一个袋子中有3个红球，2个白球，从中任取3个球，则至少取得一个白球的概率是______； 2.设), 3.0,100(~B X 由切比雪夫不等式，≥<-)10|30(|X P _______； 3.设)4 3;914,1,1(~),(-N Y X 的二维正态分布，记Y X Z 32-=,则~Z _________分布； 4.设)(~λP X ，已知1)]2)(1[(=--X X E ，则=λ__________； 5.设总体)1,0(~N X ，321,,X X X 分别是来自X 的样本， 、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3） 20**~20**学年第一学期概率论与数理统计期末考试试卷（A 卷）答案 一．（本题满分8分） 某城市有汽车100000辆，牌照编号从00000到99999．一人进城，偶然遇到一辆车，求该车牌照号中含有数字8的概率． 解： 设事件{}8汽车牌照号中含有数字=A ，所求概率为()A P ．…………….2分 ()()40951.010 91155 =-=-=A P A P ．…………….6分 二．（本题满分8分） 设随机事件，，满足：()()()41===C P B P A P ，()0=AB P ，()()16 1==BC P AC P ．求随机事件，，都不发生的概率． 解： 由于AB ABC ?，所以由概率的非负性以及题设，得()()00=≤≤AB P ABC P ，因此有 ()0=ABC P ．…………….2分 所求概率为() C B A P ．注意到C B A C B A ??=，因此有…………….2分 ()()C B A P C B A P ??-=1…………….2分 ()()()()()()()ABC P BC P AC P AB P C P B P A P -+++---=1 8 3 016116104141411=-+++--- =．…………….2分 三．（本题满分8分） 某人向同一目标进行独立重复射击，每次射击时命中目标的概率均为，()10< 作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ . 中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）. 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(的概率密 度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤==- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 <概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分 《概率论》期末 A 卷考试题（免费） 一 填空题(每小题 2分，共20 分) 1．甲、乙两人同时向一目标射击，已知甲命中的概率为0.7，乙命中的概率为0.8，则目标被击中的概率为（ ）. 2．设()0.3,()0.6P A P A B == ，则()P A B =( ). 3．设随机变量X 的分布函数为??? ? ? ????> ≤≤<=2,120,sin 0,0)(ππx x x a x x F ，则=a （ ）， ()6 P X π > =（ ）. 4．设随机变量X 服从参数为2=λ的泊松分布，则=-)1(2 X E ( ). 5．若随机变量X 的概率密度为2 36 ()x X p x -= ，则(2)D X -=（ ） 6．设Y X 与相互独立同服从区间 (1,6)上的均匀分布，=≥)3),(max(Y X P （ ）. 7．设二维随机变量（X,Y ）的联合分布律为 X Y 1 2 ?i p 0 a 12 1 6 1 1 3 1 b 则 ( ), ( ).a b == 8．设二维随机变量（X,Y ）的联合密度函数为? ? ?>>=--其它 00,0),(2y x ae y x f y x ，则 =a （ ） 9．若随机变量X 与Y 满足关系23X Y =-，则X 与Y 的相关系数X Y ρ=（ ）. 10.设二维随机变量)0,4,3,2,1(~),(N Y X ，则=-)52(Y X D （ ）. 二．选择题（每小题 2分，共10 分) 1．设当事件C B 和同时发生时事件A 也发生，则有（ ）. ) ()()(1 )()()()(1)()()()() ()()(C B P A P d C P B P A P c C P B P A P b BC P A P a =-+≤-+≥= 2．假设事件B A 和满足1)|(=B A P ，则（ ）. (a ) B 是必然事件 （b ）0)(=-A B P (c) B A ? (d ) 0)|(=B A P 3．下列函数不是随机变量密度函数的是( ). (a )sin 0()20 x x p x π? <=（ ）. 1 11() 1 () () ()4 28 a b c d 三、解答题（1-6小题每题9分，7-8小题每题8分，共70分） 1.某工厂有甲、乙、丙三车间，它们生产同一种产品，其产量之比为5：3：2, 已知三 车间的正品率分别为0.95, 0.96, 0.98. 现从全厂三个车间生产的产品中任取一件，求取到一件次品的概率。 2．设10件产品中有3件次品，从中不放回逐一取件，取到合格品为止.（1）求所需取件次数X 的概率分布 ；（2）求X 的分布函数()F x . 3．设随机变量X 的密度函数为(1) 01()0 A x x f x -<. 4．设随机变量X 的密度函数为sin 0()20 x x f x π? < 期末考试试卷参考解答及评分标准 开/闭卷 闭卷 A/B 卷 A 2219002801- 课程编号 2219002811 课程名称 概率论与数理统计 _______________ 学分 J ________ 第一部分基本题 一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分。在每小题给出的四个选项中，只有一 个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内) (每道选择题选对满分，选 错0分) 2?假设事件A 与事件B 互为对立，则事件A B( ) (A)是不可能事件 (B)是可能事件 (C) 发生的概率为1 (D)是必然事件 答：选A ，这是因为对立事件的积事件是不可能事件。 3. 已知随机变量X,Y 相互独立，且都服从标准正态分布，则 X 2 + Y 2服从( ) (A)自由度为1的2分布 (B)自由度为2的2分布 (C)自由度为1的F 分布 (D)自由度为2的F 分布 答:选B ，因为n 个相互独立的服从标准正态分布的随机变量的平方和服从自由度为 2分布。 4. 已知随机变量X,Y 相互独立，X~N(2,4),Y~N(-2,1),则( (A) X+Y~P ⑷ (B) X+Y~U(2,4) (C) X+Y~N(0,5) 答:选C ，因为相互独立的正态变量相加仍然服从正态分布, D(X+Y)=D(X)+D(Y)=4+1=5,所以有 X+Y~N(0,5)。 5. 样本(X 1,X 2,X 3)取自总体 X ，E(X)= < D(X)=-2,则有( ) 答：选B ,因为样本均值是总体期望的无偏估计，其它三项都不成立。 6. 随机变量 X 服从在区间(2,5)上的均匀分布，贝U X 的数学期望E(X)的值为( ) (A) 2 (B) 3 (C) 3.5 (D) 4 答：选C ,因为在(a,b)区间上的均匀分布的数学期望为(a+b)/2。 二、填空题(共6小题，每小题5分，满分30分。把答案填在题中横线上) 1. 事件表达式A B 的意思是( ) (A) 事件A 与事件B 同时发生 (C)事件B 发生但事件A 不发生 答：选D , (B) 事件A 发生但事件B 不发生 (D)事件A 与事件B 至少有一件发生 ) (D) X+Y~N(0,3) 而 E(X+Y)=E(X)+E(Y)=2-2=0, (A) X 1+X 2+X 3是」的无偏估计 Y + V + V (B) X1 X2 入3 是邛勺无偏估计 3 (C) X ；是二2 的无偏估计 (D) .宁严2 是■-2的无偏估计 北京邮电大学概率论期末考试试卷及答案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关 系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A 与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 B =x ≤ x ≤ A S：则 x x = x < 3 1: }, { 2: { }, ≤ = {≤< 5 0: （1）= A，（2） ?B = AB，（3）=B A， （4）B A?= ，（5）B A= 。 §1 .3 概率的定义和性质 1.已知6.0 A P ?B = P A B P，则 ( ,5.0 ( ) ) ,8.0 (= ) = (1) =) (AB P, (2)() P)= , (B A (3)) P?= . (B A 2. 已知, 3.0 P A P则 =AB ( (= ) ,7.0 ) P= . A ) (B §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是。 2. 已知,2/1 A P =B A P则 = A P B | ( | ) ,3/1 ) ) ,4/1 ( (= 概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度. 《概率论》期末考试试题（B卷答案） 考试时间：120分钟（2005年07月） 班级姓名成绩 1.设甲、乙两人在同样条件下各生产100天，在一天中出现废品的概率分布分别如下： 求甲、乙两人生产废品的数学期望，比较甲、乙两人谁的技术高？（） A甲好B乙好C一样好D无法确定 2.某厂产品的合格率为96%,合格品中一级品率为75％。从产品中任取一件为一级品的概率是多少？（） A 0.72 B 0.24 C 0.03 D 0.01 3. 任一随机事件A的概率P(A)的取值在（） A （0，1） B [0,1] C [-1,0] D (0,∞) 4.已知P（A）＝1，P（B）＝0，则（） A. A为必然事件，B为不可能事件 B. A为必然事件，B不是不可能事件 C. A不必为必然事件，B为不可能事件 D. A不一定是必然事件，B不一定是不可能事件 5. 设A、B两个任意随机事件，则= A P （） (B ) A. P（A）+ P（B） B. P（A）－P（B）+ P（AB） C. P（A）+ P（B）－P（AB） D. P（AB）－P（A）－P（B） 6.若已知φ A ，且已知P（A）＝0，则（） B = A.A与B独立 B. A与B不独立 C.不一定 D.只有当φ=A ，φ=B 时，A 、B 才独立 7.已知X ～B （n ，p ），则D （X ）＝（ ） A.np B.p （1－p ） C.n （1－p ） D.np （1－p ） 8.设),(~2σμN X ，将X 转化为标准正态分布，转化公式Z ＝（ ） A. 2 σ μ -x B. σ μ -x C. σ μ +x D. μ σ -x 9. 设),(~2 σμN X ，P (a ≤x ≤b )=( ) A.()()a b φφ- B.?? ? ??--??? ??-σμφσμφa b C.??? ??-+??? ??-σμφσμφa b D.?? ? ??--??? ??-σμφσμφb a 10. )1,0(~N X ,P (X ≤2）＝（ ） A.0.6826 B.0.9545 C.0.9973 D.0.5 二、 多项选择题（3*8=24分） 1. 设A 、B 是两个独立随机事件，则（ ） A.)()()(B P A P B A P ?= B. )()|(A P B A P = C. )()|(B P A B P = D. )()()(B P A P B A P += E. )()|()(B P B A P B A P ?= 2. 离散型随机变量的概率分布具有性质（ ） 1.将4个不同的球随机地放在5个不同的盒子里，求下列事件的概率: (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 解: 把4个球随机放入5个盒子中共有45=625种等可能结果. （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P(A)=5/625=1/125 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 30 2415=C C 种方法 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有12×30=360种等可能结果. 故 12572 625360)(= =B P 2.某货运码头仅能容纳一只船卸货，而，甲乙两船在码头卸货时间分别为1小时和2小时，设甲、乙在24小时内随时可能到达，求它们中间任何一船都不需要等待码头空出的概率。 解： 设x,y 分别为两船到达码头的时刻。 由于两船随时可以到达，故x,y 分别等可能地在[0,60]上取值，如右图 方形区域，记为Ω。设A 为“两船不碰面”，则表现为阴影部分。 222024,024024,024,2111 ()24576,()2322506.522 () ()0.8793 () x y x y x y y x m m A m A P A m Ω≤<≤<≤<≤<->->Ω===?+?===Ω={(x,y)}, A={(x,y)或},有所以， 3.设商场出售的某种商品由三个厂家供货，其供应量之比是3：1：1，且第一、二、三厂家的正品率依次为98%、98%、96%，若在该商场随机购买一件商品，求： (1) 该件商品是次品的概率。 (2) 该件次品是由第一厂家生产的概率。 解: 厦门大学概统课程期中试卷 ＿＿＿＿学院＿＿＿系＿＿＿年级＿＿＿专业 考试时间概率论期末试卷
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