概率论与数理统计期末复习重要知识点及公式整理

概率论与数理统计期末复习重要知识点

第二章知识点：

1.离散型随机变量：设X 是一个随机变量，如果它全部可能的取值只有有限个或可数无穷个，则称X 为一个离散随机变量。

2.常用离散型分布：

（1）两点分布（0-1分布）： 若一个随机变量X

只有两个可能取值，且其分布为

12{},{}1(01)

P X x p P X x p

p ====-<<，

则称X 服从

12

,x x 处参数为p 的两点分布。

两点分布的概率分布：12{},{}1(01)

P X x p P X x p

p ====-<<

两点分布的期望：()E X p =；两点分布的方差：()(1)D X p p =-

（2）二项分布：

若一个随机变量X 的概率分布由式

{}(1)

,0,1,...,.

k k n k

n P x k C p p k n -==-=

给出，则称X 服从参数为n,p 的二项分布。记为X~b(n,p)(或B(n,p)). 两点分布的概率分布：{}(1)

,0,1,...,.

k

k

n k

n P x k C p p k n -==-=

二项分布的期望：()E X np =；二项分布的方差：()(1)D X np p =-

（3）泊松分布：

若一个随机变量X 的概率分布为{},0,0,1,2,...

!

k

P X k e

k k λ

λ

λ-==>=，则称X 服从参

数为λ的泊松分布，记为X~P (λ)

泊松分布的概率分布：{},0,0,1,2,...

!

k

P X k e

k k λ

λ

λ-==>=

泊松分布的期望：()E X λ

=；泊松分布的方差：

()D X λ=

4.连续型随机变量：

如果对随机变量X 的分布函数F(x)，存在非负可积函数

()

f x ，使得对于任意实数

x ，有

(){}()x F x P X x f t dt

-∞

=≤=

?

，则称X 为连续型随机变量，称

()

f x 为X 的概率密度函数，

简称为概率密度函数。

5.常用的连续型分布： （1）均匀分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为??

???<<-=其它

,0,

1)(b x a a

b x f ，则称X 在区间（a,b ）上服

从均匀分布，记为X~U(a,b)

均匀分布的概率密度：??

???<<-=其它

,0,1)(b x a a

b x f 均匀分布的期望：()2

a b E X +=

；均匀分布的方差：

2

()()12

b a D X -=

（2）指数分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为

00

()0x

e x

f x λλλ-?>>=?

?，则称X 服从参数为

λ

的指数分布，记为X~e (λ)

指数分布的概率密度：

()0x

e x

f x λλλ-?>>=?

?

指数分布的期望：

1

()E X λ

=

；指数分布的方差：

2

1

()D X λ

=

（3）正态分布：

若连续型随机变量X 的概率密度为2

2

()2()2x f x x μσ

πσ

--

=

-∞<<+∞

则称X 服从参数为

μ

和2

σ

的正态分布，记为X~N(μ,2

σ)

正态分布的概率密度：2

2()2()2x f x x μσ

πσ

--=

-∞<<+∞

正态分布的期望：

()E X μ

=；正态分布的方差：

2

()D X σ

=

（4）标准正态分布：

2

0,1

μσ

==，

2

2

2

2

()()22x

t

x x x e

dt

?φπ

π

--

-∞

=

=

标准正态分布表的使用： （1）

()1()x x x φφ<=--

（2）

~(0,1)

{}{}{}

{}()()X N P a x b P a x b P a x b P a x b b a φφ<≤=≤≤=≤<=<<=-

（3）

2

~(,),~(0,1),X X N Y N μ

μσσ

-=

故

(){}{

}(

)

X x x F x P X x P μ

μ

μ

φσ

σ

σ

---=≤=≤

=

{}{

}(

)(

)

a b b a P a X b P Y μ

μ

μ

μ

φφσ

σσσ

----<≤=≤≤

=-

定理1： 设X~N(μ,2σ),则

~(0,1)

X Y N μ

σ

-=

6.随机变量的分布函数： 设X 是一个随机变量，称(){}F x P X x =≤为X 的分布函数。

分布函数的重要性质： 12212112120()1

{}{}{}()()()()()1,()0

F x P x X x P X x P X x F x F x x x F x F x F F ≤≤<≤=≤-≤=-

7.求离散型的随机变量函数、连续型随机变量函数的分布 （1）由X 的概率分布导出Y 的概率分布步骤：

①根据X 写出Y 的所有可能取值； ②对Y 的每一个可能取值

i

y 确定相应的概率取值；

③常用表格的形式把Y 的概率分布写出

（2）由X 的概率密度函数（分布函数）求Y 的概率密度函数（分布函数）的步骤： ①由X 的概率密度函数()

X f x 随机变量函数Y=g(X)的分布函数

()

Y F y

②由

()

Y F y 求导可得Y 的概率密度函数

（3）对单调函数，计算Y=g(X)的概率密度简单方法： 定理1 设随机变量X 具有概率密度()

(,)

X f x x ∈-∞+∞，又设y=g(x)处处可导且恒

有

'

()0

g x >（或恒有

'

()0

g x <），则Y=g(X)是一个连续型随机变量，其概率密度为

'[()]|()|,

()0

Y f h y h y y f y αβ

?<<=?

?；其中

()

x h y =是y=g(x)的反函数，且

min((),()),max((),())g g g g αβ=-∞+∞=-∞+∞

练习题：

2.4 第7、13、14

总习题 第3、6、9、10、11、13、14、17、18、19

第三章重要知识点：

Y X

1

y 2

y … j

y … {}

i P X x =

1x 11p 12p … 1j p … 1j

j

p ∑

2

x

21

p

22

p

… 2j

p

… 2j

j

p ∑

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

i

x

1

i p

2

i p

… ij

p

… ij

j

p ∑

. . .

. . . . . .

. . .

. . .

. . .

. . . {}

j P Y y =

1

i i

p ∑ 2

i i

p ∑

…

ij

i

p ∑

…

1

（1）要会由X 与Y 的联合概率分布，求出X 与Y 各自概率分布或反过来；类似 P63 例2 （2）要会在X 与Y 独立的情况下，根据联合概率分布表的部分数据，求解其余数据；

类似 P71 例3

（3）要会根据联合概率分布表求形如

{,}P a X b c Y d <<<<的概率；

（4）要会根据联合概率分布律之类求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

2. 二维连续型随机变量X 与Y 的联合概率密度:

设（X,Y ）为二维随机变量，F(x,y)为其分布函数，若存在一个非负可积的二元函数f(x,y),使对

任意实数（x,y ），有(,)(,)y

x

F x y f s t dsdt

-∞-∞=

??

，则称（X,Y ）为二维连续型随机变量。

(1) 要会画出积分区域使得能正确确定二重积分的上下限；

(2) 要会根据联合概率密度求出相应的分布函数F(x,y)，以及形如{}P X Y <等联合概

率值;P64 例3

(3) 要会根据联合概率密度求出

,x y

的边缘密度;类似 P64 例4

(4) 要会根据联合概率密度求出相应的期望、方差、协方差、相关系数等。

3.联合概率分布以及联合密度函数的一些性质：

（1）

1

ij

i j

p=

∑∑

；（2）

(,)1

f x y dxdy

+∞+∞

-∞-∞

=

??

要会根据这些性质解类似P68 第5，6题。

4.常用的连续型二维随机变量分布

二维均匀分布：设G是平面上的有界区域，其面积为A。若二维随机变量（X,Y）具有概率

密度函数

1(,)

(,)

A x y G

f x y

∈

?

=?

?，则称（X,Y）在G上服从均匀分布。

5.独立性的判断：

定义：设随机变量（X,Y）的联合分布函数为F(x,y),边缘分布函数为

()

X

F x

，()

Y

F y，若对任

意实数x,y，有

{,}{}{} P X x Y y P X x P Y y ≤≤=≤≤

（1）离散型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；

②所有可能取值(,)

i j

x y

，有

(,)()()

i j i j

P X x Y y P X x P Y y

=====

，..

ij i j

p p p

=

则

X与Y相互独立。

（2）连续型随机变量的独立性：①由独立性的定义进行判断；

②联合概率密度

(,)

f x y

，边缘密度()

X

f x，()

Y

f y

,x y ?

有

(,)()()

X Y

f x y f x f y

=

几乎处处成立, 则X 与Y相互独立。

(3)注意与第四章知识的结合

X与Y相互独立?

()()()

()()()

(,)0

X Y

E X Y E X E Y

D X Y D X D Y

C ov X Y

ρ

=

±=+

=

=

因此

()()()

()()()

(,)0

X Y

E X Y E X E Y

D X Y D X D Y

C ov X Y

ρ

≠

±≠+

≠

≠?X与Y不独立。

6．相互独立的两个重要定理

定理1随机变量X与Y相互独立的充要条件是X所生成的任何事件与Y生成的任何事件独

立，即，对任意实数集A，B，有

{,}{}{} P X A Y B P X A P X B ∈∈=∈∈

定理2 如果随机变量X 与Y 独立，则对任意函数1()

g x ，

2()

g y 相互独立。

（1）要求会使用这两个定理解决计算问题

练习题：

习题2-3 第3、4题 习题2-4 第2题

习题3.2 第5，7，8题

总习题三 第4，9（1）-（4）， 12,13

第四、五章知识点

设总体密度函数如下，12,,...n x x x 是样本，试求未知参数的矩估计值，最大似然估计值。

1

(;,),,0x p x e

x μ

θ

θμμθθ

--

=

>>

（1）

02

2

2

2

2

22

1

1

1

()1

1

1

1

1

()()

222x t

t

x t

t

t

t

E X x

e

dx t

e

dt e

dt E X x

e

dx t e

dt t

e

dt t

e

dt e

dt μ

θ

θ

θ

μ

μ

θ

θ

θ

θ

θ

μ

μθμ

θ

θ

θ

μμμ

θμθμ

θ

θ

θ

θ

θ

--

-

-

+∞

+∞+∞--

-

-

-

-

+∞

+∞+∞+∞+∞=

=

+

=+=

=

+=

+

+

=++??

?

??

?

?

?

22

2

()()[()]D X E X E X θ=-=，由此可推出(),()()D X E X D X θμ=

=-，

从而参数θ，μ的矩估计值为,s x s θμ∧

==- （2）似然函数为：(1)1

1

1

()()exp{()},n

n

i

i L x

x θμμθθ

==-

->∑

其对数似然函数为：1

()

ln (,)ln n

i

i x

L n μθμθθ

=-=--

∑

由上式可以看出，ln (,)L θμ是μ的单调增函数，要使其最大，μ的取值应该尽可能的大，

由于限制(1)x μ>，这给出的最大似然估计值为(1)x μ∧

= 将ln (,)L θμ关于θ求导并令其为0得到关于θ的似然方程

1

2

()

ln (,)

0n

i i x

d L n

d μθμθ

θθ

=-=-

+

=∑，解得1

(1)()

n

i

i x

x x n

μθ∧∧

=-=

=-∑

第四章重要知识点：

1.随机变量X 数学期望的求法：

（1）离散型 1

()i i i E X x p ∞

==

∑

；

（2）连续型 ()()E X x f x d x

+∞-∞

=?

2.随机变量函数g(X) 数学期望的求法：

（1）离散型 1

()()i i i E X g

x p ∞

==

∑；

（2）连续型 ()()()E X g x f x d x

+∞-∞

=?

3.二维随机向量期望的求法：

（1）离散型 11

[(,)](,)i

j

ij j i E g X Y g x y

p ∞

∞

===

∑∑；

（2）连续型 [(,)](,)(,)E g X Y g x y f x y d x d y

+∞+∞-∞

-∞

=??

4.随机变量X 方差的求法：

（1）简明公式 222()[()]()()D X E X E X E X E X =-=-

（2）离散型 2

1

()[(

)]i i i D X x E X p ∞

==

-∑

（3）连续型 2

()[()]()D X x E X f x d x

+∞-∞

=

-?

5. 随机变量X 协方差与相关系数的求法：

（1）简明公式 (,){[()]}{[()]}()()()Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y =--=- （2）离散型 ,(,)[()][()

]i

j i j i j

Cov X Y x E X y E Y p =--∑

（3）连续型 (,)[()][()](,)C o v X Y x E X y

E Y f x y d x d y

+∞

+∞-∞

-∞

=--??

（4）()

()

XY D X D Y ρ=

6.数学期望、方差、协方差重要的性质： (1) 1212()()()E X X E X E X +=+

(2) 设X 与Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =

(3) ()()()2{[()][()]}

()()2(,)

D X Y D X D Y

E X E X Y E Y D X D Y C ov X Y ±=+±--=+±

若X 与Y 相互独立，则()()()D X Y D X D Y ±=+

(4) 2()()D C X C D X =

(5) 1212(,)(,)(,)C ov X X Y C ov X Y C ov X Y +=+ （6）(,)(,)Cov aX bY abCov X Y = 若X 与Y 相互独立，则(,)0Cov X Y =

(7) 若（X,Y ）服从二维正态分布，则X 与Y 相互独立，当且仅当0XY ρ= 7.

n 维正态分布的几个重要性质：

（1）n 维正态变量（12,,...,n X X X ）的每个分量

i

X （

1,2,...i n =）都是正态变量，反之，

若12,,...,n X X X 都是正态变量，且相互独立，则（12,,...,n X X X ）是n 维正态变量。 （2）n 维随机向量（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布的充分必要条件是12,,...,n X X X 的任意线性组合均服从一维正态分布1122...n n l X l X l X +++均服从一维正态分布（其中

12,,...n

l l l 不全为零）。

（3）若（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，设12,,...,k Y Y Y 是(1,2,...)j X j n =的线性函数，则（12,,...,k Y Y Y ）服从k 维正态分布。

（4）设（12,,...,n X X X ）服从n 维正态分布，则“12,,...,n X X X 相互独立”等价于“12,,...,n X X X 两两不相关” 练习题：

1. 设（X,Y ）的联合密度函数为24(1),01,0(,)0

x y x y x f x y -<<<

解：113

00

3()(,)24(1)12(1)5x E X xf x y dxdy x xydydx x x dx +∞

+∞-∞-∞=

=-=

-=

??

?

?

? 11

2

2

2

4

2()(,)24(1)12(1)5

x E X x f x y dxdy x x ydydx x x dx +∞

+∞-∞-∞

=

=-=

-=

??

?

?

?

2

2

22

31

()()()()5525

D X

E X E X =-=

-= 同理

12

2()(,)24(1)5

x E Y xf x y dxdy x y dydx +∞+∞-∞

-∞

=

=-=

??

??

12

3

1()(,)24(1)5

x E Y xf x y dxdy x y dydx +∞+∞-∞

-∞

=

=-=??

?

?

又因1

4()[24(1)]15x E X Y xy x y dydx =

-=??

从而462(,)()()()15

25

75

C ov X Y E X Y E X E Y =-=

-=

2752125

3

()

()

XY D X D Y ρ=

==

2. 习题4.3第10题 8.中心极限定理

（1）定理4（棣莫佛—拉普拉斯定理） 设随机变量

12,,...,...

n X X X 相互独立，并且都服从参数为p 的两点分布，则对任意实数x ，

有2

1

2

lim }()(1)

2n

t

i x i n X np

P x e

dt x np p π

-

=-∞

→∞

-≤=

=Φ-∑

?

（2）定理3（独立同分布的中心极限定理） 设随机变量

12,,...,...

n X X X 相互独立，服从同一分布，且

2

(),()(1,2,...),

i i E X D X i μσ

===则2

2

1lim }2n

t

i

x n X

n P x e

dt n

μσ

π

-

-∞

→∞

-≤=

∑?

练习题：习题4-4 11题 12题 总习题四 24，25，26题

第五章重要知识点

确定或求证统计量所服从的分布 1.三大分布

（1）2

χ分布：：设12,,...n X X X 是取自总体N(0,1)的样本，称统计量222212...n

X X X χ=+++服从自由度为n 的2

χ分布。

（2）t 分布：设X~N(0,1), 2

~()Y n χ，且X 与Y 相互独立，则称/t Y n

=服从自由度为

n 的t 分布。

（3）F 分布：设22

~(),~()X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则称//X m F Y n

=

服从自由度

为（m,n ）的F 分布。 2.三大抽样分布

（1）设总体2

12~(,),,,...,n X N X X X μσ是取自X 的一个样本，X 为该样本的样本均值，

则有2

~(,/)X N n μσ

，~(0,1)/X U N n

μ

σ-=

（2）定理2设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2S 为该样本的样本均值与样本方差，则有2

2

22

2

2

1

1

1

()~(1)n

i

i n S X

X n χ

χσ

σ

=-=

=

--∑，

X 与2

S 相互独立

（3）定理3 设总体212~(,),,,...,n X N X X X μσ，是取自X 的一个样本，X 与2S 为该样本的样本均值与样本方差，则有2

2

2

2

1

1

()~()n

i i X n χμχσ

==

-∑

，~(1)/

T t n S n

=

-

练习题：

1.设122,...n X X X 是来自正态总体~(0,1)X N 的样本，求统计量

13212

2

2

242...n n

Y X X X -=

+++

解：因为2

1321...~(0,)n X X X N n σ-+++1321

2

...~(0,1)n X X X N n σ

-+++

~(0,1),1,2, (2i)

X N i n σ

=

由样本的独立性及2

χ分布的定义，有2

2

22

22

4

(

)(

)...(

)~()n

X X X n χσ

σ

σ

+++

再由样本的独立性以及t 分布的定义，有

1321

13212

2

2

2

2

2

2422422

...~()......n n n

n

X X X n

Y t n X X X X X X n σ

σ

--+++=

=

++++++

2． 总习题五 14题

3.求样本函数相关的概率问题

练习题：习题5-3 2 总习题五 16、17

第六章重要知识点：

1.矩估计的求法： 设总体X 的分布函数

1(;,...,)

k F x θθ中含有k 个未知参数的函数

1,...,k

θθ，则

（1）求总体X 的k 阶矩

1,...k

μμ它们一般都是

是这k 个未知参数的函数，记为1(,...),1,2,...i i k g i k

μθθ==

（2）从（1）中解得1,...(),1,2,...j j k h j k

θμμ==

（3）再用

(1,2,...)

i i k μ=的估计量

i

A 分别代替上式中的

i

μ，即可得

(1,2,...)

j j k θ=的估计量：

^

1,...(),1,2,...j j k h A A j k

θ==

注：求

1,...,k

v v ，类似于上述步骤，最后用

1,...,k

B B ，代替

1,...,k

v v ，求出矩估计

^

(1,2,...)

j j k θ=

2.最大似然估计的求法：

求最大似然估计的一般方法： （1） 写出似然函数

12()(,,...;)

n L L x x x θθ=

（2） 令

()

dL d θθ

=或

ln ()

d L d θθ

=，求出驻点

（3）判断并求出最大值点，在最大值点的表达式中，用样本值代入就得参数的最大似然估计值。比如P154 例4—6。 3. 估计量的优良性准则 （1）无偏性

定义1 设

^

1(,...)

n X X θ是未知参数θ的估计量，若

^

()E θθ

=,则称^

θ为的无偏估计量。

（2）有效性

定义 2 设

^

^

111(,...)

n X X θθ=和

^

^

221(,...)

n X X θθ=都是参数θ的无偏估计量，若

^

^

12()()D D θθ<,则称^

1θ较^

2θ有效。

4 置信区间

（1）双侧置信区间:

设θ为总体分布的未知参数，12,,...n

X X X 是取自总体X 的一个样本，对给定的数1α-，

01α<<，若存在统计量12(,,...)n X X X θθ--

=，

12(,,...)

n X X X θθ--=，使得

_

{}1P θθθα

-

<<=-，则称随机区间

_

(,)

θθ-

为θ的

1α

-双侧置信区间，称1α-为置信度，又分别称

_

θ

与θ-

为θ的双侧置信下限与双侧置

信上限。

（2）单侧置信区间：

设θ为总体分布的未知参数，

12,,...n

X X X 是取自总体X 的一个样本，对给定的数

1α-，01α<<，若存在统计量

12(,,...)

n X X X θθ-

-

=，

满足

{}1P θθα

-

<=-，则称

(,)

θ-+∞为θ的置信度为1α-的单侧置信区间，称θ

-为θ

的单侧置信下限；若存在统计量

12(,,...)

n X X X θθ-

-

=，满足

{}1P θθα

-

<=-

则称

(,)

θ-

-∞为θ的置信度为1α

-

的单侧置信区间，称θ-

为θ的单侧置信上限。

5.寻求置信区间的方法： 一般步骤：

（1） 选取未知参数θ的某个较优估计量θ∧

（2）围绕θ∧

构造一个依赖于样本与参数θ的函数12(,,...,)

n U U X X X θ=

（3）对给定的置信水平1α-，确定

1

λ与

2

λ，使

12{}1P U λλα

≤≤=-

通常可选取满足1{}2P U α

λ≤=

与

2{}2

P U α

λ≥=

的

1

λ与

2

λ，在常用分布情况下，这可由分位

数表查得。

（4）对不等式

12

U λλ≤≤作恒等变形后化为

{}1P θθθα

-

-

<<=-

则

(,)

θθ-

-

就是θ的置信度1α

-

为的双侧置信区间。

6.置信区间的公式： (1)0-1分布参数的置信区间： 2

2

22

2

2211((4),

(422(),2(),()

b b a

c b b ac a a

a n u

b n X u

c n X αα--

--+-=+=--=

(2)设总体

2

~(,)

X N μσ，其中2

σ已知，

μ

而为未知参数，

12,,...n

X X X 是取自总体X

的一个样本。

均值μ

的1α

-置信区间为：（2

X

n

α

σ

μ

-

，2

X

n

α

σ

μ

+

）

(3)设总体

2

~(,)

X Nμσ，其中μ，2

σ未知，12

,,...

n

X X X

是取自总体X的一个样本。

均值μ

的1α

-置信区间为：（2

(1)

S

X t n

n

α

--

，

2

(1)

S

X t n

n

α

+-

）

(4)设总体

2

~(,)

X Nμσ

，其中

μ

，

2

σ未知，12

,,...

n

X X X

是取自总体X的一

个样本。

方差

2

σ

的1α

-置信区间为：

22

22

1

(1)(1)

(,)

(1)(1)

n S n S

n n

αα

χχ

-

--

--

σ

的1α

-置信区间为：

22

22

212

(1)(1)

,)

(1)(1)

n S n S

n n

αα

χχ

-

--

--

练习题：

习题6-2 第1，2，5，6题

习题6-3 第3，4，5，6题

习题6-4 第4题

总习题六第7，8，9，10，16，17，18，20，21题

第1章随机事件及其概率

（1）排列组合公式

)!

(

!

n

m

m

P n

m-

=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!

(!

!

n

m

n

m

C n

m-

=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

（2）加法和乘法原理加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n

某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n

某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m×n 种方法来完成。

（3）一些常见排列重复排列和非重复排列（有序）对立事件（至少有一个）

顺序问题

（4）随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行，而每次试验的可能结果不止一个，但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果，则称这种试验为随机试验。

试验的可能结果称为随机事件。

（5）基本事件、样本空间和事件在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：

①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；

②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用ω来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件ω）组成的集合。通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，?为不可能事件。

不可能事件（?）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为1，而概率为1的事件也不一定是必然事件。

（6）事件的关系与运算①关系：

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分，（A发生必有事件B发生）：B

A?

如果同时有B

A?，A

B?，则称事件A与事件B等价，或称A等于B：A=B。

A、B中至少有一个发生的事件：A B，或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件，称为A与B的差，记为A-B，也可表示为A-AB或者B

A，它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生：A B，或者AB。A B=?，则表示A与B不可能同时发生，称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A称为事件A的逆事件，或称A的对立事件，记为A。它表示A不发生的事件。互斥未必对立。

②运算：

结合率：A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率：(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率：

∞

=

∞

=

=

1

1i

i

i

i A

A

B

A

B

A

=，B

A

B

A

=

（7）概率的公理化定义

设Ω为样本空间，A为事件，对每一个事件A都有一个实数P(A)，若满足下列三个条件：

1° 0≤P(A)≤1，

2° P(Ω) =1

3° 对于两两互不相容的事件1A，2A，…有

∑∞

=

∞

=

=

??

?

?

?

?

1

1

)

(

i

i

i

i A

P

A

P

常称为可列（完全）可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

（8）古典概型

1°{}

n

ω

ω

ω

2

1

,

=

Ω，

2°

n

P

P

P

n

1

)

(

)

(

)

(

2

1

=

=

=ω

ω

ω 。

设任一事件A，它是由

m

ω

ω

ω

2

1

,组成的，则有

P(A)={})

(

)

(

)

(

2

1m

ω

ω

ω

=)

(

)

(

)

(

2

1m

P

P

Pω

ω

ω+

+

+ n

m

=

基本事件总数

所包含的基本事件数

A

=

（9）几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀，同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述，则称此随机试验为几何概型。对任一事件A，

)

(

)

(

)

(

Ω

=

L

A

L

A

P。其中L为几何度量（长度、面积、体积）。

（10）加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)＝0时，P(A+B)=P(A)+P(B)

（11）减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B?A时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时，P(B)=1- P(B)

（12）条件概率定义设A、B是两个事件，且P(A)>0，则称

)

(

)

(

A

P

AB

P

为事件A发生条件下，事件B发生的条件概率，记为=

)

/

(A

B

P

)

(

)

(

A

P

AB

P

。

条件概率是概率的一种，所有概率的性质都适合于条件概率。例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A)

（13）乘法公式乘法公式：)

/

(

)

(

)

(A

B

P

A

P

AB

P=

更一般地，对事件A

1

，A

2

，…A

n

，若P(A

1

A

2

…A

n-1

)>0，则有

2

1

(A

A

P…)n A)

|

(

)

|

(

)

(2

1

3

1

2

1A

A

A

P

A

A

P

A

P

= (2)

1

|

(A

A

A

P n…

)1-n A。

（14）独立性①两个事件的独立性

设事件A、B满足)

(

)

(

)

(B

P

A

P

AB

P=，则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立，且0

)

(>

A

P，则有

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

|

(B

P

A

P

B

P

A

P

A

P

AB

P

A

B

P=

=

=

若事件A、B相互独立，则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。

?与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件，如果满足两两独立的条件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

（15）全概公式设事件n B

B

B,

,

,2

1 满足

1°n B

B

B,

,

,2

1 两两互不相容，)

,

,2,1

(0

)

(n

i

B

P i

=

>，

2°

n

i

i

B

A

1

=

?

，

则有

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

(2

2

1

1n

n B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

P+

+

+

= 。

（16）贝叶斯公式

设事件1B，2

B，…，n B及A满足

1°1B，2

B，…，n B两两互不相容，)

(Bi

P>0，=

i1，2，…，n，2°

n

i

i

B

A

1

=

?

，0

)

(>

A

P，

则

∑

=

=

n

j

j

j

i

i

i

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

B

P

1

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(，i=1，2，…n。

此公式即为贝叶斯公式。

)

(

i

B

P，（1

=

i，2，…，n），通常叫先验概率。)

/

(A

B

P

i

，（1

=

i，2，…，n），通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律，并作出了“由果朔因”的推断。

（17）伯努利概型我们作了n次试验，且满足

每次试验只有两种可能结果，A发生或A不发生；

◆ n 次试验是重复进行的，即A 发生的概率每次均一样；

◆ 每次试验是独立的，即每次试验A 发生与否与其他次试验A 发生与

否是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型，或称为n 重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率，则A 发生的概率为q p =-1，用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率，

k

n k k n

n q

p k P C

-=

)(，n k ,,2,1,0 =。

第二章 随机变量及其分布

（1）离散型随机变量的分布律

设离散型随机变量X 的可能取值为X k (k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件(X=X k )的概率为

P(X=x k )=p k ，k=1,2,…，

则称上式为离散型随机变量X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给出：

,,,,,,,,|

)(2121k k k p p p x x x x X P X =。 显然分布律应满足下列条件：

（1）0≥k p ， ,2,1=k ， （2）∑

∞

==1

1

k k p 。

（2）连续型随机变量的分布密度

设)(x F 是随机变量X 的分布函数，若存在非负函数)(x f ，对任意实数x ，有 ?

∞

-=

x

dx

x f x F )()(，

则称X 为连续型随机变量。)(x f 称为X 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。

密度函数具有下面4个性质： 1° 0)(≥x f 。 2° ?+∞

∞

-=1

)(dx x f 。

（3）离散与连续型随机变量的关系

dx x f dx x X x P x X P )()()(≈+≤<≈=

积分元dx x f )(在连续型随机变量理论中所起的作用与k k p x X P ==)(在离散型随机变量理论中所起的作用相类似。

（4）分布函数

设X 为随机变量，x 是任意实数，则函数

)()(x X P x F ≤=

称为随机变量X 的分布函数，本质上是一个累积函数。

)()()(a F b F b X a P -=≤< 可以得到X 落入区间],(b a 的概率。分布

函数)(x F 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。

分布函数具有如下性质：

1° ,1)(0≤≤x F +∞<<∞-x ；

2° )(x F 是单调不减的函数，即21x x <时，有 ≤)(1x F )(2x F ； 3° 0)(lim )(==-∞-∞

→x F F x ， 1)(lim )(==+∞+∞

→x F F x ；

4° )()0(x F x F =+，即)(x F 是右连续的； 5° )0()()(--==x F x F x X P 。 对于离散型随机变量，∑

≤=

x x k k p x F )(；

对于连续型随机变量，?

∞

-=

x

dx x f x F )()( 。

（5）八大分布

0-1分布 P(X=1)=p, P(X=0)=q

二项分布

在n 重贝努里试验中，设事件A 发生的概率为p 。事件A 发生的次数是随机变量，设为X ，则X 可能取值为n ,,2,1,0 。

k

n k

k

n n q

p C k P k X P -===)()(， 其中

n k p p q ,,2,1,0,10,1 =<<-=，

则称随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布。记为

),(~p n B X 。

当1=n 时，k

k q p k X P -==1)(，1.0=k ，这就是（0-1）分

布，所以（0-1）分布是二项分布的特例。

泊松分布 设随机变量X 的分布律为

λ

λ

-=

=e

k k X P k

!

)(，0>λ， 2,1,0=k ，

则称随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，记为)(~λπX 或者P(λ)。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n →∞）。

超几何分布

)

,min(,2,1,0,

)(n M l l k C C C k X P n

N

k

n M

N k

M ==?=

=--

随机变量X 服从参数为n,N,M 的超几何分布，记为H(n,N,M)。

几何分布

,3,2,1,)(1

===-k p q

k X P k ，其中p ≥0，q=1-p 。

随机变量X 服从参数为p 的几何分布，记为G(p)。

均匀分布

设随机变量X 的值只落在[a ，b]内，其密度函数)(x f 在[a ，b]上为常数a

b -1，即

??

?

??-=,

0,1)(a

b x f 其他， 则称随机变量X 在[a ，b]上服从均匀分布，记为X ~U(a ，b)。 分布函数为

?∞-=

=x

dx x f x F )()(

当a ≤x 1

b x x x X x P --=<<1

221)(。

0， x

a b a

x -- a ≤x ≤b

1， x>b 。 a ≤x ≤b

指数分布

其中0>λ，则称随机变量X 服从参数为λ的指数分布。 X 的分布函数为

记住积分公式：

!0

n dx e

x

x

n

=?+∞

-

正态分布

设随机变量X 的密度函数为

22

2)(21

)(σ

μσπ--=

x e

x f ， +∞<<∞-x ，

其中μ、0>σ为常数，则称随机变量X 服从参数为μ、σ的正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为),(~2

σμN X 。

)(x f 具有如下性质：

1° )(x f 的图形是关于μ=x 对称的； 2° 当μ=x 时，σπμ21

)(=

f 为最大值；

若),(~2

σμN X ，则X 的分布函数为 dt e x F x t ?∞

---=2

2

2)(21)(σ

μπσ。。

参数0=μ、1=σ时的正态分布称为标准正态分布，记为

)1,0(~N X ，其密度函数记为 2

221)(x e

x -=π?，+∞<<∞-x ，

分布函数为 ?∞

--

=

Φx

t

dt e

x 2

2

21

)(π。

)(x Φ是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。

Φ(-x)＝1-Φ(x)且Φ(0)＝21。

如果X ~),(2

σμN ，则

σμ

-X ~)1,0(N 。 ??

?

?

?-Φ-???

?

?-Φ=≤<σ

μσ

μ1221)(x x x X x P 。

=

)(x f ,x

e λλ- 0≥x , 0, 0

=

)(x F ,1x

e λ-- 0≥x , ,0 x<0。