初高中数学竞赛平面几何中定理.
初中数学竞赛平面几何中几个重要定理
定理1正弦定理
ABC ?中，设外接圆半径为R ，则2sin sin sin a b c R A B C ===证明:如图1-1，图1-2过B 作直径BA '，则,90A A BCA ''∠=∠∠= ，故sin sin 2BC a A A BA R '===',即2sin a R A
=；同理可得2sin sin sin a b c R A B C
===当A ∠为钝角时，可考虑其补角A π-.
当A ∠为直角时，sin 1A =，故无论哪种情况正弦定理成立。定理2余弦定理
ABC ?中，有关系2222cos a b c bc A
=+-2222cos b a c ac B
=+-2222cos c a b ab C
=+-有时也用它的等价形式
cos cos a b C c B =+cos cos b a C c A =+cos cos c a B b A
=+
定理3梅涅(Menelaus)劳斯定理（梅氏线）
直线DEF 截ABC ?的边,,BC CA AB 或其延长线于,,.D E F 则1AF BD CE FB DC EA
??=.
定理4塞瓦定理(Ceva)（塞瓦点）设O 是ABC ?内任意一点，,,AD BE CF 分别交对边于,,D E F 则
1BD CE AF DC EA FB ??=定理5塞瓦定理逆定理
在ABC ?三边所在直线,.BC CA AB 上各取一点,,D E F ，若1BD CE AF DC EA FB
??=则,,AD BE CF 平行或共点。:
定理6斯特瓦尔特定理
在ABC ?中，若D 是BC 上一点，且,,,BD p DC q AB c AC b ====，则222
b p
c q AD pq p q +=-+
定理7托勒密定理
四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆
AB CD BC AD AC BD ?+?=?的充要条件是,,,A B C D 四点共圆。
定理8西姆松(Simson)定理（西姆松线）
从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上
ABC ?的三边,.BC CA AB 上有点,,P Q R ，则,,AP BQ CR 共点的充要条件是1=??RB AR QA CQ PC BP 。
数学竞赛中几个重要定理1、梅涅劳斯定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点D 、
E 、
F 且D 、E 、F 三点共线，则FB AF
EA CE DC BD
??=1
2、梅涅劳斯定理的逆定理：如果在△ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上
有点D 、E 、F ，且满足FB AF
EA CE DC BD
??=1，则D 、E 、F 三点共线。
3、塞瓦定理：设O 是△ABC 内任意一点，AO 、BO 、CO 分别交对边于N 、P 、
M ，则1
=??P A CP
NC BN MB AM 4、塞瓦定理的逆定理：设M 、N 、P 分别在△ABC 的
边AB 、BC 、CA 上，且满足1=??P A CP
NC BN
MB AM
，则AN 、BP 、CM 相交于一点。
5、广勾股定理的两个推论：
推论1：平行四边形对角线的平方和等于四边平方和。
推论2：设△ABC 三边长分别为a 、b 、c ，对应边上中线长分别为m a 、m b 、m c
则：m a =2222221a c b -+；m b =2222221b c a -+；m c =222222
1
c b a -+
6、三角形内、外角平分线定理：内角平分线定理：如图：如果∠1=∠2，则有AC
AB
DC BD
=
外角平分线定理：如图，AD 是△ABC 中∠A 的外角平分线交BC 的延长线与D ，
则有AC AB DC
BD =7、托勒密定理：四边形ABCD 是圆内接四边形，则有AB ·CD+AD ·BC=AC ·BD
8、三角形位似心定理：如图，若△ABC 与△DEF 位似，则通过对应点的三直线AD 、BE 、CF 共点于P
9、正弦定理、在△ABC 中有R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为△ABC 外接圆半径）
余弦定理：a 、b 、c 为△ABC 的边，则有：
a 2=
b 2+
c 2-2bc ·cosA;b 2=a 2+c 2-2ac ·cosB;c 2=a 2+b 2-2ab ·cosC;
10、西姆松定理：点P 是△ABC 外接圆周上任意一点，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，PF ⊥AB ，D 、E 、F 为垂足，则D 、E 、F 三点共线，此直线称为西姆松线。
11、欧拉定理：△ABC 的外接圆圆心为O ，半径为R ，内切圆圆心为I ，半径为r,记OI=d,则有：d 2=R 2-2Rr.
12、巴斯加线定理：圆内接六边形ABCDEF （不论其六顶点排列次序如何），其三组对边AB 与DE 、BC 与EF 、CD 与
FA 的交点P 、Q 、R 共线。
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明 一、 塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高” A B C D F P
还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、 E 、 F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 / / 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有/ /AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、 梅涅劳斯定理 A B C D E F P D /
高中复习数学竞赛基础平面几何知识点总结
高中数学竞赛平面几何知识点基础 1、相似三角形的判定及性质 相似三角形的判定： (1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似; (2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似(简叙为:两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似.); (3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似(简叙为:三边对应成比例，两个三角形相似.); (4)如果两个三角形的两个角分别对应相等(或三个角分别对应相等)，则有两个三角形相似(简叙为两角对应相等，两个三角形相似.). 直角三角形相似的判定定理: (1)直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形和原三角形相似; (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似. 常见模型： 相似三角形的性质: （1）相似三角形对应角相等 （2）相似三角形对应边的比值相等，都等于相似比 （3）相似三角形对应边上的高、角平分线、中线的比值都等于相似比 （4）相似三角形的周长比等于相似比 （5）相似三角形的面积比等于相似比的平方 2、内、外角平分线定理及其逆定理 内角平分线定理及其逆定理： 三角形一个角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例。 如图所示，若AM平分∠BAC，则AB AC =BM MC 该命题有逆定理： 如果三角形一边上的某个点与这条边所成的两条线段与这条边的对角的两边对应成比例，那么该点与对角顶点的连
线是三角形的一条角平分线 外角平分线定理： 三角形任一外角平分线外分对边成两线段，这两条线段和夹相应的内角的两边成比例。 如图所示，AD平分△ABC的外角∠CAE，则BD DC =AB AC 其逆定理也成立：若D是△ABC的BC边延长线上的一点， 且满足BD DC =AB AC ，则AD是∠A的外角的平分线 内外角平分线定理相结合： 如图所示，AD平分∠BAC，AE平分∠BAC的外角 ∠CAE，则BD DC =AB AC =BE EC 3、射影定理 在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，则有射 影定理如下： BD2=AD·CD AB2=AC·AD BC2=CD·AC 对于一般三角形： 在△ABC中，设∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则有 a=bcosC+ccosB b=ccosA+acosC c=acosB+bcosA 4、旋转相似 当一对相似三角形有公共定点且其边不重合时，则会产生另 一对相似三角形，寻找方法：连接对应点，找对应点连线和 一组对应边所成的三角形，可以得到一组角相等和一组对应 边成比例，如图中若△ABC∽△AED，则△ACD∽△ABE 5、张角定理 在△ABC中D为BC边上一点，则 sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 6、圆内有关角度的定理 圆周角定理及其推论： （1）圆周角定理指的是一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半（2）同弧所对的圆周角相等 （3）直径所对的圆周角是直角，直角所对的弦是直径
高中立体几何八大定理
线面位置关系的八大定理 、直线与平面平行的判定定理: 文字语言：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与平面平行图形语言：符号语言： a u a b u o alia a//b 作用：线线平行=线面平行 二、直线与平面平行的性质定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直 线就和交线平行。 图形语言： I//： 符号语言：I u E l //m a o P = m 作用：线面平行=线线平行 、平面与平面平行的判定定理文字语言：如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行. 图形语言： 符号语言： a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂 作用：线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理： 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言：「二a = a//b Y =b“ 作用：面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行
图形语言： 符号语言： a 丄m a 丄n :a _ ： m 「n 二 A m 二二，n 二： 作用：线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言：若两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行 图形语言： 符号语言： a - :■ 匕 a//b b -:- 作用：线面垂直=线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。 图形语言： 一 a 丄a 〕 任 符号表示： _ ■ a u Pj 注：线面垂直 =?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另 个平面 图形语言： 符号语言: a 1 P l AB : AB _丨 作用：面面垂直=线面垂直 五、直线与平面垂直的判定定理： 文字语言：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,
专题平面几何的四个重要定理
专题平面几何的四个重 要定理 SANY标准化小组 #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
竞赛专题讲座06 －平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、 Q、R共线的充要条件是。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC的三边BC、CA、AB上有点P、Q、R，则AP、BQ、CR共点 的充要条件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该 四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1．设AD是△ABC的边BC上的中线，直线CF交AD于F。求 证：。
【分析】CEF截△ABD→（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A、B、D之一作CF的平行线。 2．过△ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F， 交CB于D。 求证：。 【分析】连结并延长AG交BC于M，则M为BC的 中点。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 【评注】梅氏定理 3． D、E、F分别在△ABC的BC、CA、AB边上， ，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 【分析】 【评注】梅氏定理 4．以△ABC各边为底边向外作相似的 等腰△BCE、△CAF、△ABG。求证：AE、 BF、CG相交于一点。
【分析】 【评注】塞瓦定理 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求证：AC2=AB2+AB·BC。 【分析】过A作BC的平行线交△ABC的外接圆于D，连结BD。则 CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理， AC·BD=AD·BC+CD·AB。 【评注】托勒密定理 6．已知正七边形A 1A2A3A4A5A6A7。 求证：。（第21届全苏数学竞赛） 【分析】 【评注】托勒密定理 7．△ABC的BC边上的高AD的延长线交 外接圆于P，作PE⊥AB于E，延长ED交 AC延长线于F。 求证：BC·EF=BF·CE+BE·CF。 【分析】 【评注】西姆松定理（西姆松线） 8．正六边形ABCDEF的对角线AC、CE分别被内分点M、N分成的 比为AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共 线。求k。（23-IMO-5） 【分析】 【评注】面积法 9． O为△ABC内一点，分别以d a、d b、d c表示O到BC、CA、AB的距离，以R a、 R b、R c表示O到A、B、C的距离。
高中数学《立体几何》重要公式、定理
高中数学《立体几何》重要公式、定理 1．证明直线与平面的平行的思考途径 （1）转化为直线与平面无公共点； （2）转化为线线平行； （3）转化为面面平行. 2．证明直线与直线的平行的思考途径 （1）转化为判定共面二直线无交点； （2）转化为二直线同与第三条直线平行； （3）转化为线面平行； （4）转化为线面垂直； （5）转化为面面平行. 3．证明直线与直线的垂直的思考途径 （1）转化为相交垂直； （2）转化为线面垂直； （3）转化为线与另一线的射影垂直； （4）转化为线与形成射影的斜线垂直. 4．证明直线与平面垂直的思考途径 （1）转化为该直线与平面内任一直线垂直； （2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直； （3）转化为该直线与平面的一条垂线平行； （4）转化为该直线垂直于另一个平行平面； （5）转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 5．证明平面与平面平行的思考途径 （1）转化为判定二平面无公共点； （2）转化为线面平行； （3）转化为线面垂直. 6．证明平面与平面的垂直的思考途径 （1）转化为判断二面角是直二面角； （2）转化为线面垂直. 7.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律：a ＋b=b ＋a ． (2)加法结合律：(a ＋b)＋c=a ＋(b ＋c)． (3)数乘分配律：λ(a ＋b)=λa ＋λb ． 8.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b(b ≠0 )，a ∥b ?存在实数λ使a=λb ． P A B 、、三点共线?||AP AB ?AP t AB =?(1)OP t OA tOB =-+. ||AB CD ?AB 、CD 共线且AB CD 、不共线?AB tCD =且AB CD 、不共线. 9.共面向量定理 向量p 与两个不共线的向量a 、b 共面的?存在实数对,x y ,使p ax by =+． 推论 空间一点P 位于平面MAB 内的?存在有序实数对,x y ,使MP xMA yMB =+， 或对空间任一定点O ，有序实数对,x y ，使OP OM xMA yMB =++. 10.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和，等于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角 线所表示的向量. 11.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++（x y z k ++=），则当1k =时，对于空间任一点O ，总有P 、A 、B 、C 四点共面；当1 k ≠
高中数学竞赛讲义(16)平面几何
高中数学竞赛讲义（十六） ──平面几何 一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成） 梅涅劳斯定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，则 梅涅劳斯定理的逆定理条件同上，若 则三点共线。 塞瓦定理设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点， 则 塞瓦定理的逆定理设分别是ΔABC的三边 BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线共点或互相平行。 角元形式的塞瓦定理分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共点 的充要条件是 广义托勒密定理设ABCD为任意凸四边形，则AB?CD+BC?AD≥AC?BD，当且仅当A，B，C，D四点共圆时取等号。
斯特瓦特定理设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有 AP2=AB2?+AC2?-BP?PC. 西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足共线。 西姆松定理的逆定理若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形的外接圆上。 九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，这九点共圆。 蒙日定理三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成集合为一条直线，这条直线称根轴）欧拉定理ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且 二、方法与例题 1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与已知图形或点重合。 例1 在ΔABC中，∠ABC=700，∠ACB=300，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=100，∠PBQ=∠PCB=200，求证：A，P，Q三点共线。 [证明] 设直线CP交AQ于P1，直线BP交AQ于P2，因为∠ACP= ∠PCQ=100，所以，①在ΔABP，ΔBPQ，ΔABC中由正弦定理有
数学竞赛平面几何重要知识点绝对精华
数学竞赛平面几何重要知识点 梅涅劳斯定理： 设D 、E 、F 分别是ABC ?三边（或其延长线）上的三点，则D 、E 、F 三点共线的充要条件是1=??EA CE FC BF DB AD 。 斯德瓦特定理：设P 是ABC ?的边BC 边上的任一点，则 BC PC BP AP BC AB PC AC BP ??+?=?+?222 西摩松定理： 设P 是ABC ?外接圆上任一点，过P 向ABC ?的三边分别作垂线，设垂足为D 、E 、F ，则D 、E 、F 三点共线。
6、共角定理：设ABC ?和C B A '''?中有一个角相等或互补（不妨设A=A '）则 C A B A AC AB S S C B A ABC ' '?''?='''?? 与圆有关的重要定理 4.四点共圆的主要判定定理 （1）若∠1=∠2，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （2）若∠EAB=∠BCD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； （3）若PA ?PC=PB ?PD ，则A 、B 、C 、D 四点共圆； 三角形的五心 三角形的三条中线共点，三条角平分线共点，三条高线共点，三条中垂线共点。三角形的垂心、重心、外心共线（欧拉线），并且重心把连结垂心和外心的线段分成2∶1的两段。三角形的外心和内心的距离)2(r R R d -=。此公式称为欧拉式，由此还得到r R 2≥。当且仅当△ABC 为正三角形时,d=0,此时R=2r.其中R 和r 分别是三角形外接圆半径和内切圆半径。 与△的一边及另两边的延长线均相切的圆称为△的旁切圆，旁切圆的圆心称为旁心。
重要例题 例1.设M 是任意ABC ?的边BC 上的中点，在AB 、AC 上分别取点E 、F,连EF 与AM 交于N ，求证：)(21AF AC AE AB AN AM +=（1978年辽宁省中学数学竞赛） 例 2. 已知点O 在ABC ?内部，022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为_________________. 例3. 如图①，P 为△ABC 内一点，连接P A 、PB 、PC ，在△P AB 、△PBC 和△P AC 中，如果存在一个三角形与△ABC 相似，那么就称P 为△ABC 的自相似点． ⑴如图②，已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠ACB ＞∠A ，CD 是AB 上的中线，过点B 作BE ⊥CD ，垂足为E ，试说明E 是△ABC 的自相似点． ⑵在△ABC 中，∠A ＜∠B ＜∠C ． ①如图③，利用尺规作出△ABC 的自相似点P （写出作法并保留作图痕迹）； ②若△ABC 的内心P 是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数．
高中数学常用平面几何名定理
高中数学常用平面几何名定理 定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 定理2 Ceva定理 定理3 Menelaus定理 定理4 蝴蝶定理定理 内容：圆O中的弦PQ的中点M，任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。 定理5 张角定理 在△ABC中，D是BC上的一点。连结AD。张角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD 定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松线） 从一点向三角形的三边所引垂线的垂足共线的充要条件是该点落在三角形的外接圆上。 定理7 Eular line： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 定理8 到三角形三定点值和最小的点——费马点 已知P为锐角△ABC内一点，当∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°时，PA＋PB＋PC的值最小，这个点P称为△ABC 的费尔马点。 定理9 三角形内到三边距离之积最大的点是三角形的重心 定理10到三角形三顶点距离的平方和最小的点是三角形的重心 在几何里,平面是无限延展的,是无大小的,是不可度量的,是无厚度的,通常画平行四边形来表示平面 0、勾股定理，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。这是平面几何中一个最基本、最重要的定理，国外称为毕达哥拉斯定理。 1、欧拉（Euler）线： 同一三角形的垂心、重心、外心三点共线，这条直线称为三角形的欧拉线；且外心与重心的距离等于垂心与重心距离的一半 2、九点圆： 任意三角形三边的中点.三条高线的垂足.垂心与各顶点连线的中点,这9点共圆，这个圆称为三角形的九点圆；其圆心为三角形外心与垂心所连线段的中点，其半径等于三角形外接圆半径的一半。
高中数学立体几何判定定理及性质
高中立体几何判定定理及性质 一、公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直线 在平面内； ②用来说明平 面是无限延展的 公理2 如果两个平面 有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 （那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两 个平面是相交关 系； ②用来证明多 点共线，多线共 点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面 不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点共 面，多线共面 推论1 经过一条直线和这 条直线外的一点，有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使 ，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使 ，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使 ，有且只有一个平面 ∥ 公理4 （平行公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线平 行
二、平行关系 文字语言符号语言图像语言作用（1）公理4 （平行 公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? （2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? （3）线面平行的性 质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β （4）面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a （5）面面平行 的判定如果两个平面垂直于同一条直线，那么这两个平面平行。 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O （6）面面平行 的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 b a b a∥∥ ? ? ? ? ? ? = ? = ? γ β γ α β α （7）面面平行 的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直 βα β α ∥∥ a a ? ? ? ? ?
高中数学竞赛题之平面几何
第一讲 注意添加平行线证题 在同一平面,不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的,也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时,若能依据证题的需要,添加恰当的平行线,则能使证明顺畅、简洁. 添加平行线证题,一般有如下四种情况. 1 为了改变角的位置 大家知道,两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等,错角相等,同旁角互补.利用这些 性质,常可通过添加平行线,将某些角的位置改变,以满足求解的需要. 例1 设P 、Q 为线段BC 上两点,且BP ＝CQ ,A 为BC 外一动点(如图1).当点A 运动到使 ∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 是什么三角形？试证明你的结论. 答： 当点A 运动到使∠BAP ＝∠CAQ 时,△ABC 为等腰三角形. 证明：如图1,分别过点P 、B 作AC 、AQ 的平行线得交点D .连结DA . 在△DBP ＝∠AQC 中,显然 ∠DBP ＝∠AQC ,∠DPB ＝∠C . 由BP ＝CQ ,可知 △DBP ≌△AQC . 有DP ＝AC ,∠BDP ＝∠QAC . 于是,DA ∥BP ,∠BAP ＝∠BDP . 则A 、D 、B 、P 四点共圆,且四边形ADBP 为等腰梯形.故AB ＝DP . 所以AB ＝AC . 这里,通过作平行线,将∠QAC “平推”到∠BDP 的位置.由于A 、D 、B 、P 四点共圆,使证明很顺畅. 例2 如图2,四边形ABCD 为平行四边形,∠BAF ＝∠BCE .求证：∠EBA ＝∠ADE . 证明：如图2,分别过点A 、B 作ED 、EC 的平行线,得交点P ,连PE . 由AB CD ,易知△PBA ≌△ECD .有PA ＝ED ,PB ＝EC . ∥＝ A D B P Q 图1 P E D G A B F C 图2
平面几何四大定理
. . 平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ， 则P 、Q 、R 共线的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1． 设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。 求证：FB AF 2ED AE = 。 【分析】CEF 截△ABD → 1FA BF CB DC ED AE =??（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平 行线。 2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB
DEG 截△ABM →1DB MD GM AG EA BE =??（梅氏定理） DGF 截△ACM →1DC MD GM AG FA CF =??（梅氏定理） ∴FA CF EA BE +=MD AG )DC DB (GM ?+?=MD GM 2MD 2GM ??=1 【评注】梅氏定理 3． D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上， λ===EA CE FB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。 求S △LMN 。 【分析】 【评注】梅氏定理 4． 以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、 △ABG 。求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。 【分析】 B
平面几何四大定理
. 平面几何四个重要定理 四个重要定理： 梅涅劳斯(Menelaus)定理（梅氏线） △ABC 的三边BC 、CA 、AB 或其延长线上有点P 、Q 、R ， 则P 、Q 、R 共线的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦点） △ABC 的三边BC 、CA 、AB 上有点P 、Q 、R ，则AP 、BQ 、CR 共点的充要条件是 1RB AR QA CQ PC BP =??。 托勒密(Ptolemy)定理 四边形的两对边乘积之和等于其对角线乘积的充要条件是该四边形内接于一圆。 西姆松(Simson)定理（西姆松线） 该点落在三角形的外接圆上。 例题： 1． 设AD 是△ABC 的边BC 上的中线，直线CF 交AD 于F 。求证： FB AF 2ED AE = 。 【分析】CEF 截△ABD → 1FA BF CB DC ED AE =??（梅氏定理） 【评注】也可以添加辅助线证明：过A 、B 、D 之一作CF 的平行 线。 2． 过△ABC 的重心G 的直线分别交AB 、AC 于E 、F ，交CB 于
DEG 截△ABM →1DB MD GM AG EA BE =? ?（梅氏定理） DGF 截△ACM →1DC MD GM AG FA CF =??（梅氏定理） ∴FA CF EA BE +=MD AG )DC DB ( GM ?+?=MD GM 2MD 2GM ??=1 【评注】梅氏定理 3． D 、E 、F 分别在△ABC 的BC 、CA 、AB 边上， λ===EA CE FB AF DC BD ，AD 、BE 、CF 交成△LMN 。 求S △LMN 。 【分析】 【评注】梅氏定理 4． 以△ABC 各边为底边向外作相似的等腰△BCE 、△CAF 、 △ABG 。求证：AE 、BF 、CG 相交于一点。 【分析】 【评注】塞瓦定理 5． 已知△ABC 中，∠B=2∠C 。求证：AC 2=AB 2 +AB ·BC 。
高中立体几何定理及性质讲课讲稿
高中立体几何定理及 性质
高中立体几何定理及性质 一、公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直 线在平面内； ②用来说明平 面是无限延展 的 公理2 如果两个平面有 一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 （那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线） l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两 个平面是相交 关系； ②用来证明多 点共线，多线 共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 确定一个平面 不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点 共面，多线共 面 推论1 经过一条直线和 这条直线外的一点，有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使 ，有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使 ，有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直 线，有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使 ，有且只有一个平面 ∥ 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2
公理4 （平行公理） 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线 平行 二、平行关系 文字语言符号语言图像语言作用 （1）公理4 （平行公理）平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? （2）线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? （3）线面平行 的性质定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β （4）面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a （5）面面平行的判定如果两个 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O 仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3
高中数学竞赛平面几何中的几个重要定理
平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边 AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、 F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-===-， 所以APC BPC S AD DB S ??=．同理可得APB APC S BE EC S ??=，BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、 A B C D F P
F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交 于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则 据塞瓦定理有 //1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有//AD AD DB D B =．由于点D 、D /都在线段AB 上，所以点D 与D /重合．即得D 、E 、F 三点共线． 注：利用唯一性，采用同一法，用上塞瓦定理使命题顺利获证． 二、梅涅劳斯定理 3．梅涅劳斯定理及其证明 定理：一条直线与?ABC 的三 边AB 、BC 、CA 所在直线分别交 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不 是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． A B C D F P D / A B C D E F G
高中立体几何常用结论、定理
立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1．公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，则l?α． 2．公理2如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线． P∈α，P∈α?α∩β＝l，且P∈l． 3．公理3经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面． 推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面． 4．异面直线的判定定理：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．（若a?α，A/∈α，B∈α，B/∈a，则直线AB和直线a是异面直线．） 5．公理4（空间平行线的传递性）：平行于同一条直线的两条直线互相平行． 6．等角定理：如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．7．定理：如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线，那么它也垂直于另一条直线．若b∥c，a⊥b，则a⊥c． 8．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 若a?／α，b?α，a∥b，则a∥α． 9．直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行． 若a∥α，a?β，α?β＝b，则a∥b． 10．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，这条直线和这个平面垂直． 若m?α，n?α，m?n＝O，l⊥m，l⊥n，则l⊥α． 11．：若两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也和这个平面垂直．若a∥b，a⊥α，则b⊥α． 12．直线与平面垂直的性质定理：若两条直线同时垂直于一个平面，那么这两条直线平行．若a⊥α，b⊥α，则a∥b． 13．平面与平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行． 若a?α，b?α，a?b＝A，a∥β，b∥β，则α∥β． 14．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行． 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，则a∥b． 15．定理：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．若α∥β，a⊥α，则a⊥β． 16．两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 若l⊥α，l?β，则α⊥β． 17．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 若α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l，则a⊥β． 18．两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题(含答案)
人教版九年级数学竞赛专题：平面几何的定值问题（含答案） 【例1】 如图，已知P 为正方形ABCD 的外接圆的劣弧上任意一点.求证：为定值. AD ⌒ PA PC PB P A B C D 【例2】 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦 CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ） A.到CD 的距离保持不变 B.位置不变 C.等分 D.随C 点的移动而移动 DB ⌒ A
【例3】 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂 线的垂足.求证：不管ST 滑到什么位置，∠SPM 是一定角. B 【例4】 如图，扇形OAB 的半径OA =3，圆心角∠AOB =90°.点C 是上异于A ，B 的动点，过点C AB ⌒ 作CD ⊥OA 于点D ，作CE ⊥OB 于点E .连接DE ，点G ，H 在线段DE 上，且DG =GH =HE .（1）求证：四边形OGCH 是平行四边形； （2）当点C 在上运动时，在CD ，CG ，DG 中，是否存在长度不变的线段？若存在，请求出该线段AB ⌒ 的长度； （3）求证：CD 2+3CH 2是定值. B O A C E H G D 【例5】 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A ，B 两点，交y 轴于C ，D 两点，且C 为弧AE 的中点，AE 交y 轴于G 点.若点A 的坐标为（-2，0），AE =8.
平面几何中几个重要定理的证明
1 平面几何中几个重要定理及其证明 一、塞瓦定理 1．塞瓦定理及其证明 定理：在?ABC 内一点P ，该点与?ABC 的三个顶点相连所在的三条直线分别交?ABC 三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，且D 、E 、F 三点均不是?ABC 的顶点，则有 1AD BE CF DB EC FA ??=． 证明：运用面积比可得 ADC ADP BDP BDC S S AD DB S S ????==． 根据等比定理有 ADC ADC ADP APC ADP BDP BDC BDC BDP BPC S S S S S S S S S S ??????????-=== -， 所以 APC BPC S AD DB S ??=．同理可得 APB APC S BE EC S ??=， BPC APB S CF FA S ??=． 三式相乘得 1AD BE CF DB EC FA ??=． 注：在运用三角形的面积比时，要把握住两个三角形是“等高”还是“等底”，这样就可以产生出“边之比”． 2．塞瓦定理的逆定理及其证明 定理：在?ABC 三边AB 、BC 、CA 上各有一点D 、E 、F ，且D 、E 、F 均不是?ABC 的顶点，若 1AD BE CF DB EC FA ??=，那么直线CD 、AE 、BF 三线共点． 证明：设直线AE 与直线BF 交于点P ，直线CP 交AB 于点D /，则据塞瓦定理有 // 1AD BE CF D B EC FA ??=． 因为 1AD BE CF DB EC FA ??=，所以有 A B C D F P A B C D E F P D /
高中数学立体几何解析几何 判定&性质&公式整理(全)
高中数学必修二复习 基本概念 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系： 空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类： （1）共面：平行、相交 （2）异面： 异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角：范围为( 0°，90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类： （1）有且仅有一个公共点——相交直线；（2）没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系： 直线和平面只有三种位置关系：在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
高中的数学竞赛平面几何基本定理
（高中）平面几何基础知识（基本定理、基本性质） 1． 勾股定理（毕达哥拉斯定理）（广义勾股定理）(1)锐角对边的平方，等于其他两边之平方和，减去这两边中的一边 和另一边在这边上的射影乘积的两倍． (2)钝角对边的平方等于其他两边的平方和，加上这两边中的一边与另一边在这边上的射影乘积的两倍． 2． 射影定理（欧几里得定理） 3． 中线定理（巴布斯定理）设△ABC 的边BC 的中点为P ，则有)(22222BP AP AC AB +=+； 中线长：2 22222a c b m a -+=． 4． 垂线定理：2222BD BC AD AC CD AB -=-?⊥． 高线长：C b B c A a bc c p b p a p p a h a sin sin sin ))()((2===---=． 5． 角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例． 如△ABC 中，AD 平分∠BAC ，则AC AB DC BD =；（外角平分线定理）． 角平分线长：2cos 2)(2A c b bc a p bcp c b t a +=-+= （其中p 为周长一半）． 6． 正弦定理：R C c B b A a 2sin sin sin ===，（其中R 为三角形外接圆半径）． 7． 余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=． 8． 张角定理：AB DAC AC BAD AD BAC ∠+∠=∠sin sin sin ． 9． 斯特瓦尔特(Stewart )定理：设已知△ABC 及其底边上B 、C 两点间的一点D ，则有AB 2·DC +AC 2·BD －AD 2·BC ＝ BC ·DC ·BD ． 10． 圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，等于圆心角的一半．（圆外角如何转化？） 11． 弦切角定理：弦切角等于夹弧所对的圆周角． 12． 圆幂定理：（相交弦定理：垂径定理：切割线定理（割线定理）：切线长定理：） 13． 布拉美古塔（Brahmagupta ）定理： 在圆内接四边形ABCD 中，AC ⊥BD ，自对角线的交点P 向一边作垂线，其 延长线必平分对边． 14． 点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA ·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点． 15． 托勒密（Ptolemy ）定理：圆内接四边形对角线之积等于两组对边乘积之和，即AC ·BD =AB ·CD +AD ·BC ，(逆命题 成立) ．（广义托勒密定理）AB ·CD +AD ·BC ≥AC ·BD ． 16． 蝴蝶定理：AB 是⊙O 的弦，M 是其中点，弦CD 、EF 经过点M ，CF 、DE 交AB 于P 、Q ，求证：MP =QM ． 17． 费马点：定理1等边三角形外接圆上一点，到该三角形较近两顶点距离之和等于到另一顶点的距离；不在等边三角 形外接圆上的点，到该三角形两顶点距离之和大于到另一点的距离．定理2 三角形每一内角都小于120°时，在三