微分中值定理及其应用

摘要微分中值定理是微分学的理论基础．本文利用闭区间上连续函数的性质和相关的微分中值定理讨论了方程根的存在性及有关的等式和不等式的证明．创新之处是将微分中值定理推广到n 个函数的情形，从而使中值定理具有一般的形式．

关键词微分中值定理；应用；推广

Abstract Differential med-value theorem is the calculus learns ’ theory foundation ． In this paper, by using the properties of continuous functions on closed interval and the associated differential mean value theorem discusses the existence of the equation root and the relevant proof of the equality and inequality ．Innovation is the differential mean value theorem to n function, which has the general form of the mean value theorem ．

Key Words Differential med-value theorem; Application; Extend

1 引言

微分是数学分析中重要的基本概念，微分学是数学分析的重要组成部分，其中微分中值定理是微分学的核心．罗尔定理，拉格朗日中值定理及柯西中值定理统称为微分中值定理，它们是微分学中最基本最重要的定理．微分中值定理的应用十分广泛，其中，在讨论方程的实根，证明有关等式与不等式时有着重要的作用．

2 预备知识

由于微分中值定理与连续函数紧密相关，因此有必要介绍一些连续函数的性质、定理．

性质2.1[1]（极限的保号性）若0

lim ()x x f x A →=而()A B A B ><，则存在0δ>，使当00x x δ<-<时，()(())f x B f x B ><．

定理 2.2[1]（最值定理）闭区间[,]a b 上的连续函数()f x 在[,]a b 上必有最

大值和最小值，亦即在[,]a b 内，至少有两点1ξ和2ξ，使得对[,]a b 内的一切x ，有

12()()()f f x f ξξ≤≤．

这里1()f ξ和2()f ξ分别是()f x 在[,]a b 上的最大值与最小值．

定理2.3[1]（介值定理）闭区间[,]a b 上的连续函数()f x 可以取其最大值和最小值之间的一切值．

定理2.4[1]（零点存在定理）若()f x 在[,]a b 连续，()f a 和()f b 异号，那么在[,]a b 内至少有一点ξ，使

()0f ξ=．

定义2.5[1](导数的定义) 设有函数()y f x =在0x 附近有定义，对应于自变量的任意改变量x ，函数的改变量为00()()y f x x f x =+-．此时，如果极限

0000()()lim lim x x y f x x f x x x

→→+-= 存在，则称此极限值为函数()f x 在点0x 的导数，记为'0()f x ．

3 相关的几个重要定理

定理3.1[1]（费马定理）若(ⅰ)函数()f x 在0x 点的某一邻域0(,)O x δ内有定义，并且在此邻域内恒有

0()()f x f x ≤，

或者 0()()f x f x ≥；

(ⅱ) 函数()f x 在0x 点可导，

则有 '0()0f x =．

定理3.2[1]（罗尔中值定理）若函数()f x 满足

(ⅰ) 在[,]a b 连续；

(ⅱ) 在(,)a b 可导；

(ⅲ) ()()f a f b =，

则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使

'()0f ξ=．

定理3.3[1]（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足

(ⅰ) 在[,]a b 连续；

(ⅱ) 在(,)a b 可导,

则在(,)a b 内至少存在一点ξ，使

'()()()f b f a f b a

ξ-=-．定理 3.4[1]（柯西中值定理）若()f x 与()g x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，并且'()0g x ≠，则在内至少存在一点ξ，使

''()()()()()()

f f b f a

g g b g a ξξ-=-．定理 3.5[1]（泰勒定理）若()f x 在0x =点的某个邻域内有直到1n +阶连

续导数，那么在此邻域内有

"()'2(0)(0)()(0)(0)()2!!

n n n f f f x f f x x x R x n =+++++， (1)1()()(1)!

n n n f R x x n ξ++=+ （其中ξ在0与x 之间）． 4 微分中值定理的应用

4.1 利用微分中值定理讨论方程的实根

例4.1.1[2] 设()f x 在[,]a b 上一阶可导，在(,)a b 内二阶可导，

()()f a f b =，'()0f a <，'()0f b <，证明

（1）在(,)a b 内存在相异的点1x 与2x 使

12()()()()f x f a f b f x <=<，12a x x b <<<；

（2）在(,)a b 内至少存在一点ξ使"()0f ξ=．

证明（1）因()f x 在[,]a b 上可导，故()f x 在[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上必分别可取到其最大值与最小值，根据导数定义，由

''()()()()lim 0x a f x f a f a f a x a

++→-==<-， ''()()()()lim 0x b f x f b f b f b x b

--→-==<-，按极限的保号性知：在x a =的充分小右邻域内有()()f x f a <，故存在一点1x a >，使1()()()f x f a f b <=；在x b =的充分小左邻域内有()()f x f b >，故存在一点2x ，12a x x b <<<，使2()()()f x f b f a >=．即在内存在相异的两点1x 与2x 使

12()()()()f x f a f b f x <=<，12a x x b <<<．

（2）由（1）的结论即知，()f x 在[,]a b 上的最大值点1ξ与最小值点2ξ必在开区间(,)a b 的内部，且12ξξ≠（否则()f x 恒为常数），则按费马定理得

1'()0f ξ=，2'()0f ξ=． 12ξξ≠, 1ξ, 2(,)a b ξ∈．

显然，导函数'()f x 在以1ξ与2ξ为端点的区间上满足罗尔定理的条件，则有"()0f ξ=，其中，ξ在1ξ与2ξ之间，当然有(,)a b ξ∈．

例4．1.2[2] 设函数()f x 在[0,]a 上连续，在(0,)a 内可导，试证明：在内(0,)a 至少存在一点ξ，使

'()()()f f f a ξξξ+=．

证法1 构造函数()()()F x xf x xf a =-．显然，()f x 在[0,]a 上是有界的，由此得（1）(0)()0F F a ==，

（2）()F x 在[0,]a 上连续，

（3）()F x 在(0,)a 内可导，

故由罗尔定理知：在内至少存在一点，使

''()()()()0F f f f a ξξξξ=+-=，

故：

'()()()f f f a ξξξ+=．

证法2 构造函数()()G x xf x =，显然，（1）()G x 在[0,]a 上连续，（2）()G x 在(0,)a 内可导，且(0)0G =，由拉格朗日中值定理知，在(0,)a 内至少存在一点ξ，使'()(0)()(0)G a G G a ξ-=-，即有'()0[()()]af a a f f ξξξ-=+，约去0a >，便得 '()()()f f f a ξξξ+=，0a ξ<<．

例4.1.3[2] 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内二阶可导，且存

在相等的最大值，()()f a g a =，()()f b g b =．试证明：存在一点(,)a b ξ∈，使得""()()f g ξξ=．

证明因连续函数()f x ，()g x 在闭区间[,]a b 上必能取得它们相等的最大值M ，即存在(,)a b α∈，(,)a b β∈，不妨设αβ≤，使得()()f g M αβ==．则

当αβ=时，取(,)a b ηαβ==∈，使()()f g ηη=；

当αβ<时，构造辅助函数()()()x f x g x ?=-，有

()()()()0f g M g ?αααα=-=-≥;

()()()()0f g f M ?ββββ=-=-≤．

当()()0M g ?αα=-=时，有()()f g αα=，取ηα=使()()f g ηη=；当()()0f M ?ββ=-=时，有()()f g ββ=，取ηβ=使()()f g ηη=；当()0?α>，()0?β<时，则由介值定理知存在一点(,)(,)a b ηαβ∈?，使得()0?η=，即()()f g ηη=．

又由题设知()0a ?=，()0b ?=，又()0?η=，a b η<<，且()x ?满足罗尔定理的各项条件，则至少存在1(,)a ξη∈，2(,)b ξη∈，使得

'''111()()()0f g ?ξξξ=-=，

'''222()()()0f g ?ξξξ=-=．

再因'()x ?在12[,]ξξ上满足罗尔定理条件，故至少存在一点12(,)(,)a b ξξξ∈?，使得

"""()()()0f g ?ξξξ=-=,

故存在一点(,)a b ξ?，使得

""()()f g ξξ=．

4.2 利用微分中值定理证明有关的等式

例 4.2.1[3] 设函数()f x 在[,]a b 上二阶可导，()()0f a f b ==，''()()0f a f b >，求证：(,)a b ξ?∈，(,)a b η∈使得()0f ξ=，"()0f η=．

证明由''()()0f a f b >知'()f a 与'()f b 同号，不妨设'()0f a >，'()0f b >（另一情况的证明类似）．

因为()f x 在[,]a b 上二阶可导，故()f x 在[,]a b 上连续，

所以

'()()()lim 0x a f x f a f a x a

+→-=>-， '()()()lim 0x b f x f b f b x b

-→-=>-．由极限的保号性，存在点a 的右邻域1(,)I a b ?和点b 的左邻域2(,)I a b ?使得

()()0f x f a x a ->-，1x I ∈；()()0f x f b x b

->-，2x I ∈．由于0x a ->，0x b -<，故1c ?，2(,)c a b ∈，12c c <，使得

1()()0f c f a >=，2()()0f c f b <=．

因12()()0f c f c <，在区间12[,]c c 上应用零点定理，必12(,)(,)c c a b ξ?∈?，使得()0f ξ=．

函数()f x 在区间[,]a ξ与[,]b ξ上满足罗尔定理的条件，必1(,)d a ξ?∈，

2(,)d b ξ∈使得'1()0f d =，'2()0f d =．

函数()f x 在[,]a b 上二阶可导，'()f x 在[,]a b 上必一阶可导，对函数'()f x 在区间12[,]d d 上应用罗尔定理，必12(,)(,)d d a b ?∈?使得

"(())()0x f x f ηη===．

例 4.2.2[3] 设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上可导，'()0g x ≠，求证：存在(,)a b ξ∈使得

''()()()()()()

f b f f

g g b g ξξξξ-=-．证明令函数()()()()()()()F x f b g x g a f x f x g x =+-，显见()F x 在[,]a b 上可导，又()()()F a f b g a =，()()()F b g a f b =，应用罗尔定理，必(,)a b ξ?∈使得'()0F ξ=，即

''''()()()()()()()()0f b g g a f f g f g ξξξξξξ+--=．

由于'()0g x ≠，所以()()0g g a ξ-≠（否则，应用罗尔定理，必(,)a ηξ?∈使得

'()0g η=，此与'()0g x ≠矛盾）

．将上式简化即得 ''()()()()()()

f b f f

g g a g ξξξξ-=-． 4.3 利用微分中值定理证明有关的不等式

例 4.3.1[4] 设函数()f x 在[,]a b 上可导，且()y f x =非直线，求证：存在(,)a b ξ∈使得

'()()()f b f a f b a

ξ->-．证明连接两点(,())a f a ，(,())b f b 的直线方程为

()()()()f b f a y f a x a b a

--=--．考虑曲线()y f x =与上述直线的纵坐标的差，记为函数()F x ，则

()()()()()()f b f a F x f x f a x a b a

-=----．显见()F x 在[,]a b 上可导，且()()0F a F b ==．由于()y f x =非直线，所以(,)c a b ?∈，使得()0F c >，或()0F c <．

(1) 当()0F c >时，对()F x 分别在[,]a c 与[,]c b 上应用拉格朗日中值定理，必1(,)a c ξ?∈，2(,)c b ξ∈使得

''11()()()()()()()0f b f a F c F a F c F f b a c a c a

ξξ--=-

==>---， ''22()()()()()()()0f b f a F b F c F c F f b a b c b c ξξ---=-==<---．若()()0f b f a b a -≥-，则'1()()()f b f a f b a ξ->-，即'1()()()f b f a f b a

ξ->-，这里1ξ为所求的ξ；若

()()0f b f a b a -<-，则'2()()()f b f a f b a ξ-<-，即'2()()()f b f a f b a ξ->-，这里2ξ为所求的ξ．

(2) 当()0F c <时，证明与上述讨论完全类似，从略．

5 对微分中值定理的推广

在对微分中值定理的研究中，拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以表述为行列式的形式，现将它们行列式的形式表述如下：

1（拉格朗日中值定理的行列式形式）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使

'()1

()10()10

f a a f b b f ξ=．

证明已知上式等价于'()()()f b f a f b a

ξ-=-，作辅助函数 ()1

()()1()1

f a a F x f b b f x x =，

显然()()0F a F b ==，()F x 在[,]a b 上满足罗尔定理的条件，因此至少存在

一点(,)a b ξ∈，使'()0F ξ=，即

'()1

()10()10

f a a f b b f ξ=．

2（柯西中值定理的行列式形式）设()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，对任意(,)x a b ∈，'()0g x ≠，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使

''()

()1()

()10()()0

f a

g a f b g b f g ξξ=．证明作辅助函数

()()1

()()

()1()()1

f a

g a F x f b g b f x g x =，由1知，()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使

''()

()1()

()10()()0

f a

g a f b g b f g ξξ=．现将上述定理推广到一般n 个函数．

3（一般n 个函数的中值定理）设121n x x x -<<<为1n -个不相等的实数，函数组()(1,2,,)i f x i n -满足

（ⅰ）在11[,]n x x -上都连续；

（ⅱ）在11(,)n x x -内都可导；

则在11(,)n x x -内至少存在2n -个11(,)n x x ξ-∈，使

112111222211211'''12()

()()()

()()0()

()

()()()()

n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f f ξξξ---=． *) 证明首先证明在1211(,)(,)n x x x x -?内至少存在一个ξ，使*)成立．

为此，作辅助函数

11211122221121112()

()()()

()()()()

()

()()()()n n n n n n n f x f x f x f x f x f x F x f x f x f x f x f x f x ---=

，

根据行列式定义知：()F x 的展开式是12(),(),,()n f x f x f x 的一个线性组合，因此由定理条件（ⅰ）、（ⅱ）知，()F x 在12[,]x x 上连续，在12(,)x x 内可导，又显然由行列式的性质得：12()()0F x F x ==，这样由罗尔中值定理得：在1211(,)(,)n x x x x -?内至少存在一个ξ，使*)成立．

类似可以证明在其它各分点组成的每个小区间：1(,)(2,3,

,2)i i x x i n +=-内都

至少存在一个ξ，使*)成立．

这样在11(,)n x x -内至少存在2n -个11(,)n x x ξ-∈，使

112111222211211'''12()

()()()

()()0()()()()()()n n n n n n n f x f x f x f x f x f x f x f x f x f f f ξξξ---=．

参考文献

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