专题训练 不等式中恒成立、能成立、恰成立通关-2018年高考数学棘手问题归纳解析版

专题训练 不等式中恒成立、能成立、恰成立通关

-2018年高考数学棘手问题归纳解析版

第一类 不等式恒成立

1．已知函数()()2ln R 1

m

f x x m m x =

+-∈+． （1）试讨论函数()f x 的极值点情况； （2）当m 为何值时，不等式

()()2

1ln 101x x m x x +--<-（0x >且1x ≠）恒成立？

【答案】(1)见解析;(2) (]

,2-∞．

【解析】试题分析：（1）由题得，求得()()()

22

211

1x m x f x x x +-++'=

，设()()2

211g x x m x =+-+，由

()42m m ?=-，分0m ≤、02m <≤、2m >三种情况讨论，即可的奥函数极值点的情况．

（2）不等式()()2

1ln 10

1x x m x x +--<-可化为

()1

01

f x x >-，再由（1）函数的性质，即可得到实数m 的取值范围．

②当02m <≤时， 0?≤， ()()2

2110g x x m x =+-+≥恒成立，

故()0f x '≥在区间()0,+∞上恒成立，

所以()f x 在区间()0,+∞上单调递增， ()f x 无极值；

③当2m >时，令()0g x =，得11x m =-- 21x m =-，

令()0f x '>，得10x x <<或2x x >， 令()0f x '<，得12x x x <<，

所以()f x 在区间()10,x 上单调递增，在区间()12,x x 上单调递减，在区间()2,x +∞上单调递增，

故()f x 的极大值点为1x m =-1x m =-

综上所述，当2m ≤时， ()f x 无极值点；

当2m >时， ()f x 的极大值点为1x m =-1x m =-

（2）不等式

()()2

1ln 10

1x x m x x +--<-（0x >且1x ≠）可化为

()1

01

f x x >-（*）． 由（1）知：

2．已知函数，．

（I）令，讨论函数的单调性；

（II）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（I）时，在递增，递减；时，在递增；

时，在和递增，递减；时，在和递增，递减；（II）．【解析】试题分析：（I）求出函数的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（II）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，

只需即可，由（I）中的单调性，求出的最小值，再求出的范围．

试题解析：（I）解：h(x)=f(x)-g(x)= ，定义域为

，（x>0）

a0时，>0得x>1；<0得0

所以h(x)在（1，）递增，（0，1）递减

a=1时，，所以h(x)在（0，）递增

00得01；<0得a1时，>0得0a；<0得1

综上：a 0时，h(x)在（1，）递增，（0，1）递减

a=1时，h(x)在（0，）递增

0

a>1时，h(x)在（0，1）和(a，)递增，(1，a)递减

（II）若任意，都有恒成立．令h(x)= f(x)- g(x)，

只需即可

由（I）知，时，h(x)在递增，=h（I）=4-a 0，解得a 4．又，所以，

a e时，h(x)在递减，=h(e)= 解得，又a e，所以，1

因为，所以h(a)在(1，e)递减．所以，则h(a) 0恒成立，

所以1

3．已知函数是定义在上的偶函数．当时，．

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（I）（II）

【解析】试题分析：（I）根据是偶函数，当时，，可得当时，，，

求出可得切线斜率，求出，可得切点坐标，由点斜式可得切线方程；（II）令

，则原命题等价于，恒成立，即恒成立，设

，利用导数研究函数的单调性，求出的最大值为，从而可得实数的取值范围

为．

试题解析：因为为偶函数，所以，

当时，则，故，所以，

从而得到，，

（I）当时，，所以

所以在点的切线方程为：，即

（II）关于的不等式恒成立，即恒成立

令，则原命题等价于，恒成立，

即恒成立，记，，

当时，，则递增；当时，，则递减；

所以，当时，取极大值，也是最大值，

所以，即实数a的范围为．

4．已知函数，，其中是自然常数．

（I）判断函数在内零点的个数，并说明理由；

（II），，使得不等式成立，试求实数的取值范围．

【答案】（I）见解析；（II）．

【解析】试题分析：（I）对函数求导，，得到函数在上单调递增，根据零

点存在定理得到函数存在一个零点；（II）不等式等价于，即

，对两边的函数分别求导研究单调性，求得最值得到取得最大值，取得最小

值，故只需要，解出即可．

（II）因为不等式等价于，

所以，，使得不等式成立，等价于

，即，

当时，，故在区间上单调递增，

所以当时，取得最小值，又，

当时，，，，所以，故函数在区间上单调递减．

因此，当时，取得最大值，所以，所以，所以实数的取值范围为

．

5．已知函数．

（I）求证：函数有唯一零点；

（II）若对任意，恒成立，求实数的取值范围．

【答案】（I）见解析；（II）．

【解析】试题分析：（I ）求出

，先证明

在区间上为增函数，又，

，所以

在区间

上恰有一个零点，而

在

上恒成立，在

上无零点，从

而可得结果；（II ））设的零点为，即．原不等式可化为

，令

若

，

可得

，等式左负右正不相等，若

，等式左正右负不相等，只能

，

，即

求所求．

试题解析：（I ），

易知在上为正，因此在区间上为增函数，又，

因此，即在区间上恰有一个零点，

由题可知在

上恒成立，即在

上无零点，

则

在

上存在唯一零点． （II ）设

的零点为，即

．原不等式可化为

，

令，则，由（I ）可知在上单调递减，

在上单调递增，故只求，，设，

下面分析，设，则，

可得，即

若，等式左负右正不相等，若

，等式左正右负不相等，只能．

因此

，即

求所求．

6．已知函数()2

1ln 2

f x x ax x =

-+，其中a R ∈． （Ⅰ）讨论函数()f x 极值点的个数；

（Ⅱ）若函数()f x 有两个极值点,m n ，其中m n <

且2

m >

，是否存在整数k 使得不等式 ()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立？若存在，求整数k 的值；若不存在，请说明理由．（参考数据： ln20.7,ln3 1.1≈≈）

【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）0k =或1k =-．

【解析】试题分析：（Ⅰ）求导得()21

x ax f x x

-+'=，令210x ax -+=，讨论?，结合单调性可得解；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,m n 是方程2

10x ax -+=的两根，所以,1m n a m n +=?=，可得

()()22211 ln 2f m f n m m m ??-=--+ ???，令2t m =，设()11ln 2g t t t t ??=--+ ???（1,12t ??

∈ ???

）

，可得()30ln24g t <<-，即()()3

0ln24f m f n <-<-，进而得所以0{ 3

3522

4

k k ln ln ≤+≥-，求解即可．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知， ,m n 是方程210x ax -+=的两根，所以,1m n a m n +=?=．

()()()

()2222111

ln ln ln 222

m f m f n m am m n an n m n a m n n ??-=

-+--+=---+ ??? ()

()()222222111ln ln 22m n m n m n m m m m ??

=

--+-+=--+ ???令2t m =，因

为2m ??∈ ? ???

，所以1,12t ??∈ ???，设()11ln 2g t t t t ??=--+ ???（1,12t ??

∈ ???

）

因为()()2

2222

11111210222t t t g t t t t t ---+??=-++==-< ???'所以()g t 在1,12??

???

上为减函数，所以()()112g g t g ??<< ???

，因为()13

10,ln224g g ??==- ???

所以()30ln24g t <<

-，即()()3

0ln24

f m f n <-<-． 因为()()()35ln2f n k f m f n k +<<++，所以()()35ln2k f m f n k <-<-

所以0

{ 3

3522

4

k k ln ln ≤+≥-，解得12ln204k -≤≤因为ln20.7≈，所以1

2ln20.2520.7 1.154-≈-?=-，又因为k Z ∈，所以0k =或1k =-

所以存在整数0k =或1k =-使得不等式()()()35ln2f n k f m f n k +<<++恒成立． 7．设函数()2

1ln 2

f x x ax bx =-

-． （1）当0a =， 1b =-时，方程()f x mx =在区间21,e ????内有唯一实数解，求实数m 的取值范围．

（2）令()()212a F x f x ax bx x =+

++ (03)x <≤，其图象上任意一点()00,P x y 处切线的斜率1

2

k ≤恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）11m e =

+或2211m e ≤<+；（2）12

a ≥． 【解析】试题分析: (1)第(1)问， 令ln x x mx +=，化为ln 1x

m x

=+，原方程()f x mx =在区间21,e ????内有唯一实数解转化为常函数y m =与函数()ln 1x g x x

=

+在区间2

1,e ????有且只有一个交点，再研究利用导数研究g(x)的单调性画图分析得到实数m 的取值范围． (2)第(2)问，

()ln a F x x x =+

， (]0,3x ∈，则有()00201

'2

x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立，再分离参数求实数a 的取值范围．

试题解析:

（1）()ln f x x x =+，令ln x x mx +=，化为ln 1x m x

=+，原方程()f x mx =在区间2

1,e ????内有唯一实数解转化为常函数y m =与函数()ln 1x g x x

=

+在区间2

1,e ????有且只有一个交点， ()21ln 'x

g x x

-=

，容易得到()g x 在[]1,e 上单调递增，在2,e e ????上单调递减， ∴()()max 11g x g e e ==+， ()11g =， ()

2

2211g e e =+>，

∴m 的取值范围是11m e =+或22

11m e ≤<+．

（2）()ln a F x x x =+

， (]0,3x ∈，则有()00201

'2

x a k F x x -==≤，在(]00,3x ∈上恒成立， ∴200max

12a x x ??

≥-

+ ???， (]00,3x ∈， 当01x =时， 20012x x -+取得最大值1

2

， ∴1

2

a ≥

． 8．已知函数()e

x x a

f x +=

，其中e 为自然对数的底数，若当[]1,1x ∈-时， ()f x 的最大值为()g a ． （1）求函数()g a 的解析式； （2）若对任意的R a ∈， 1

e e

k <<，不等式()g a ka t ≥+恒成立，求kt 的最大值． 【答案】(1)见解析;(2)

12e

． 【解析】试题分析：（1）由题意，得()1e

x

a x

f x --'=

，对a 分类讨论，明确函数的单调性，从而得到函数()g a 的解析式；（2）令()()h a g a ka t =--．令()h a 的最小值恒大于等于零，从而得到kt 的最大值． 试题解析：

（1）由题意，得()1e

x

a x

f x --'=

． 当11a -≤-，即2a ≥时， ()()0f x f x '≤?在[]

1,1x ∈-时为单调递减函数，

所以()f x 最大值为()()()1e 1g a f a =-=-．

当111a -<-<，即02a <<时，当()1,1x a ∈--时， ()0f x '>， ()f x 单调递增； 当()1,1x a ∈-时， ()0f x '<， ()f x 单调递减， 所以()f x 的最大值为()()1

1e

a g a f a -=-=．

当11a -≥时，即0a ≤时， ()0f x '≥， ()f x 在[]

1,1x ∈-时为单调递增函数， 所以()f x 的最大值为()()11e

a

g a f +==

． 综上得()()1e 1,2,

{e ,02, 1,0.e

a a a g a a a

a --≥=<<+≤

（2）令()()h a g a ka t =--．

①当02a <<时， ()()1

e a h a g a ka t ka t -=--=-- ()1e a h a k -?='-，

由()0h a '=，得1ln a k =+，

所以当()0,1ln a k ∈+时， ()0h a '<； 当()1ln ,2a k ∈+时， ()0h a '>，

故()h a 最小值为()()1ln 1ln h k k k k t +=-+- 0ln t k k ≥?≤-． 故当

1

e e

k <<且ln t k k ≤-时， ()g a ka t ≥+恒成立． ②当2a ≥，且ln t k k ≤-时， ()()()h a g a ka t =-+ ()e e a k t =---． 因为e 0k ->， 所以()h a 单调递增，

故()()()()min 22e 2ln h a h k e t e k e k k ==---≥--+ e 2ln k k k =-+． 令()e 2ln p k k k k =-+， 则()ln 10p k k -'=≤，

故当1,e e k ??∈ ???

时， ()p k 为减函数， 所以()()e p k p >， 又()e 0p =， 所以当

1

e e

k <<时， ()0h a >， 即()0h a ≥恒成立． ③当0a ≤，且ln t k k ≤-时，

()()()11

e e

h a g a ka t a k t ??=-+=-+- ???，

因为

1

0e

k -<， 所以()h a 单调递减， 故()()min 11

0ln e e

h a h t k k ==-≥+． 令()1

ln e

m k k k =

+， 则()1ln 0m k k =+≥'，

所以当1,e e k ??∈ ???

时， ()p k 为增函数，

所以()10e m k m ??>= ???

， 所以()0h a >，即()0h a ≥． 综上可得当

1

e e

k <<时，“ln t k k ≤-”是“()g a ka t ≥+成立”的充要条件． 此时2

ln tk k k ≤-．

令()2

ln q k k k =-，

则()()2ln 2ln 1q k k k k k k =--=-+'， 令()0q k '=，得12

e

k -=．

故当112e ,e k --??

∈ ???

时， ()0q k '>；

当12e ,e k -??∈ ???时， ()0q k '<， 所以()q k 的最大值为121e 2e

q -??= ???，

当且仅当12

e k -=， 1

21ln e 2

t k k -=-=时，取等号，

故tk 的最大值为

12e

． 9．已知函数()()

()2

ln 1f x x a x a R =--∈．

（1）讨论函数()f x 的单调性；

（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，试求实数a 的取值范围．

【答案】(1) 当0a ≤时，函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增；当 0a >时，函数()f x 在区间? ?

上单调递增，在区间?

+∞???

上单调递减(2) {}0a a ≤ 【解析】试题分析：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()2

1122ax f x ax x x

-='=-．对a 分类讨论，明

确函数的单调性；

（2）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，即求()f x 的最小值大于等于零即可．

当0a >时，函数()f x 在区间? ?上单调递增，在区间?+∞???

上单调递减． （2）当0a ≤时，由（1)，知函数()y f x =在区间[

)1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以()0f x ≥恒成立，即0a ≤符合题意． 法一:当0a >时，令()1

20f x ax x

=

-='，

解得： x =

1=，解得12a =．

所以存在10,

2a ??∈ ???，使得()1113ln 2ln202222h a h ??<=--+=-< ???

， 即存在10,2a ??

∈ ???

，使得10f a ??

< ???

， 即当1

02

a <<

时，不符合题意．

②当1

2a ≥

时，1≤， 即()0f x '≤在区间[

)1,+∞上恒成立， 所以函数()f x 在区间[

)1,+∞上单调递减， 所以()()10f x f ≤=， 显然1

2

a ≥

不符合题意． 综上所述，实数的取值范围为{}

0a a ≤． 法二：当0a >时，令()()ln 1,1g x x x x =-->，

()()()1

1010g x g x g x

=

-

=-????

， 故在(),b +∞上，

()()()()

()()22ln 111111f x x a x x a x x a x ??=--<---=--+??

()111110x a a ??

??<---+= ??????

?， 不合题意，舍去．

综上所述，实数a 的取值范围为{}

0a a ≤． 10．已知函数()ln x m

f x e

x +=-．

（Ⅰ）设1x =是函数()f x 的极值点，求证： ln x

e e x e -≥；

（Ⅱ）设0x x =是函数()f x 的极值点，且()0f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围．（其中正 【答案】(1)见解析;(2) [

)ln ,a a --+∞．

【解析】试题分析：（1）由1x =是函数()f x 的极值点可得1m =-，只要证明()1f x ≥即可；

（2））()1(0)x m

f x e

x x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()21

0x m g x e x

+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增，由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在

()0,+∞上的唯一零点，所以0

1

x m e x +=

，即00ln x m x +=-， ()0f x ≥恒成立， 即()f x 的最小值恒大于等于零即可． 试题解析：

（Ⅰ）证明： ()1

(0)x m

f x e

x x

+=->' 因为1x =是函数()f x 的极值点，所以()1110m

f e +-'==，解得1m =-

经检验， 1m =-符合题意

则()1

1

(0)x f x e x x

-=-

>'， ()1ln (0)x f x e x x -=-> 当01x <<时， 10

01x e e -<<=， 11x

-<-，所以()0f x '<；

当1x >时， 101x e e ->=， 1

10x

-<-

<，所以()0f x '> 所以()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增 所以()()min

11f x f ==，从而()1f x ≥，即ln 1x

e x e

-≥，所以ln x e e x e -≥

（Ⅱ）()1(0)x m f x e

x x +=->'，设()1(0)x m g x e x x +=->，则()21

0x m g x e x

+=+>' 所以()g x 即()f x '在()0,+∞上单调递增

由于0x x =是函数()f x 的极值点，所以0x x =是()f x '在()0,+∞上的唯一零点 所以00

1x m

e

x +=

，则001ln ln x m

e x +=，即00ln x m x +=-

当00x x <<时， ()()00f x f x ''<=；当0x x >时， ()()00f x f x ''>= 所以函数()f x 在()0,x x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 从而函数()f x 在0x x =处取得最小值 所以()()()0000000

11

ln x m

f x f x e

x x m x m x x +≥=-=

++=++ 因为()0f x ≥恒成立，所以00

1

0x m x +

+≥ 所以00001ln x m x x x +

≥-=+，即00

1

ln x x ≥，也即00ln 1ln x x a a ≤= 令()ln (0)h x x x x =>，则有()()01h x h a ≤=

因为函数()ln h x x x =在10,e ?

? ???单调递减，在1,e ??+∞ ???

上单调递增， 且当()0,1x ∈时， ()0h x <；当()1,x ∈+∞时， ()0h x >， 所以0x a ≤ 从而0x a -≥-， 0ln ln x a -≥-，于是00ln ln x x a a --≥-- 所以ln m a a ≥--，故m 的取值范围为[

)ln ,a a --+∞ 11．已知函数()()ln 1f x x x k x =--， k R ∈

（1）当1k =时，求函数()f x 的单调区间；

（2）若函数()y f x =在区间()1,+∞上有1个零点，求实数k 的取值范围；

（3）是否存在正整数k ，使得()0f x x +>在()1,x ∈+∞上恒成立？若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由．

【答案】(1)见解析;(2) ()1+∞，;(3)见解析．

【解析】试题分析：（1）当1k =时，得到()f x ，求得()f x '，利用()0f x '>和()0f x '<，即可求解函数的单调区间；

（2）由()ln 1f x x k '=+-，分1k ≤和1k >两种情况分类讨论，得到函数的单调性与极值，结合函数的图象，即可求解实数k 的取值范围；

（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立，分类参数得出ln 1

x x x

k x +<-对1x >恒成立，设函数()ln 1

x x x

g x x +=-，求得()g x '，求得函数()g x 单调性与极值，即可求解实数k 的最大值． 试题解析：

（1）当1k =时， ()ln 1f x x x x =-+， ()ln f x x '=． 令()0f x '>，解得1x >，令()0f x '<，解得01x <<， ∴()f x 的单调增区间为()1+∞，，单调减区间为()01，． （2）()ln 1f x x k '=+-，

当1k ≤时，由1x >，知()0f x '>，

所以， ()f x 在()1+∞，上是单调增函数，且图象不间断， 又()10f =，∴当1x >时， ()()10f x f >=，

∴函数()y f x =在区间()1+∞，上没有零点，不合题意．

当1k >时，由()0f x '=，解得1

1k x e -=>，

若1

1k x e -<<，则()0f x '<，故()f x 在()

11,k e -上是单调减函数，

若1

k x e

->，则()0f x '>，故()f x 在()

1

,k e -+∞上是单调增函数，

∴当11k x e -<<时， ()()10f x f <=，

又∵()()

10k k k

f e ke k e k =--=>， ()f x 在()1+∞，上的图象不间断，

∴函数()y f x =在区间()1+∞，上有1个零点，符合题意． 综上所述， k 的取值范围为()1+∞，．

（3）假设存在正整数k ，使得()0f x x +>在1x >上恒成立， 则由1x >知10x ->，从而ln 1

x x x

k x +<-对1x >恒成立（*） 记()ln 1x x x g x x +=

-，得()()

2

2ln 1x x

g x x ---'=， 设()2ln h x x x =--， ()11

10x h x x x

='-=->， ∴()h x 在()1+∞，是单调增函数，

又()()()31ln3042ln40h h h x =-=-，，在[]

3,4上图象是不间断的， ∴存在唯一的实数()034x ∈，，使得()00h x =， ∴当01x x <<时， ()()()00h x g x g x '<<，，在()01x ，上递减， 当0x x >时， ()()()00h x g x g x '>>，，在()0,x +∞上递增， ∴当0x x =时， ()g x 有极小值，即为最小值， ()000

00ln 1

x x x g x x +=

-，

又()0002ln 0h x x x =--=，∴00ln 2x x =-，∴ ()00g x x =， 由（*）知， 0k x <，又()03,4x ∈， *

N k ∈，∴ k 的最大值为3，

即存在最大的正整数3k =，使得()0f x x +>在()1x ∈+∞，上恒成立． 12．已知函数()2

ln f x ax bx x =-+，（ a ， b R ∈）．

（1）若1a =， 3b =，求函数()f x 的单调减区间；

（2）若0b =时，不等式()0f x ≤在[1,+∞）上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）当1a =， 9

2

b >

时，记函数()f x 的导函数()'f x 的两个零点是1x 和2x （12x x <），求证：

()()1263

3ln216

f x f x ->

-． 【答案】(1) 1,12??

???

(2) 12a e ≤-;(3)见解析．

【解析】试题分析：（1）代入1a =， 3b =时，得到()f x ，求得()f x '，即可求解函数的单调区间； （2）把不等式()0f x ≤在[

)1,+∞上恒成立，转化为2ln x a x ≤-

在区间[)1,+∞上恒成立，令()2

ln x

h x x

=-，利用导数求得函数的最小值，即可求解实数a 的取值范围．

（3）方法一：求得()'f x ，得1x ， 2x 是方程2210x bx -+=的两个根，即121

2

x x =

， 化简()()()

()2

2

122222

2

1ln 2,2,4f x f x x x x x -=-

-∈+∞，令()()()12t f x f x ?=-，利用导数求得()t ?的最小值，即可证明结论；

（2）0b =时， ()2

ln f x ax x =+，

不等式()0f x ≤在[

)1,+∞上恒成立即为： 2

ln x

a x ≤-在区间[)1,+∞上恒成立 令()2ln x h x x =-

，则()3

2ln 1

'x h x x -=，令()'0h x =得：

x =

因为(x ∈时， ()'0h x <，

)

x ∈+∞时， ()'0h x >，

所以()h x

在(

上单调递减，在

)

+∞上单调递增

所以()min 12h x h

e ==-

，所以12a e

≤-．

方法二：因为1a =，所以()2

ln f x x bx x =-+，从而()221

'x bx f x x

-+=（0x >）．

由题意知， 1x ， 2x 是方程2

210x bx -+=的两个根．记()2

21g x x bx =-+，则212

0g b b

??=

> ???

， 因为92b >

，所以1190442g b ????

=-< ? ?????

， ()2920g b =-<， 所以111,4x b ??∈ ???

， ()22,x ∈+∞，且()f x 在[]

12,x x 上为减函数．

所以()()()()121117632ln 42ln23ln241644416b

b f x f x f f b ????->-=-+--+=--

? ?????

．