福建省三明一中2013届高三上学期期中考试(数学理)
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．下列各小题中，所给出的四个
答案中有且仅有一个是正确的）
1．设全集U=R ，集合}02|{2<-=x x x A ,{|1}B x x =>，则集合=)(B C A R （ ） A ．}10|{< C ．}20|{< D ．}1|{≤x x 2．等比数列{}n a 中，81,942==a a ，则公比是（ ） A ．3± B ．3 C ．9± D ．9 3．若c b a ,,是实数，则“b a >”是“22bc ac >”（ ）条件 A ．充分而不必要 B ．必要而不充分 C ．充分必要 D ．既不充分也不必要 4．下列函数中，是奇函数且在()+∞,0上为增函数的为（ ） A ．3x x y -= B ．x x y 22-=- C ．3 1x x y - = D ．x x y +-=11lg 5．两座灯塔A 和B 与海岸观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站的北偏东0 40，灯塔B 在 观察站的南偏东0 60，则灯塔A 在灯塔B 的（ ） A ．北偏东0 10 B ．北偏西0 10 C ．南偏东0 10 D ．南偏西0 10 6．函数)sin(?ω+=x A y 在一个周期上的图象如下图所示．则函数的解析式是 (. ) A ． )3 22sin(2π-=x y B ． )3 2sin(2π - =x y C ．)322 sin(2π+=x y D ．)3 42sin( 2π+ =x y 7．在ABC ?中，若CA BC CB AB AC AB AB ?+?+?=2 ，则ABC ?的形状是（ ） A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．既非等腰三角形又非直角三角形 8．数列}{n a 中，若41-=a ，31+=+n n a a ，则=+++1021a a a （ ） A ．23 B ．95 C ．100 D ．105 9．若向量)2,1(-=x a ，)4,(-=y b 共线，则y x 39+的最小值是（ ） A ．12 B ．23 C ．32 D ．6 10．函数x x f 3 log )(=在区间[]b a ,上的值域为[]1,0，则a b -的最小值是（ ） A ．3 8 B ．2 C ．3 2 D ． 3 1 第II 卷（非选择题，共１００分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置） 11．当??? ???∈2,21 x 时，1-≤x M 恒成立，则M 的最大值是________； 12．若数列{}n a 中，11=a ，且满足121+=+n n a a ，则=7a ________； 13. 若向量()1,0,21, 1=?? ? ? ?=ON OM ，且10≤?≤OM OP ，10≤?≤ON OP ，则满足条件的点P 变动范围的面积是________； 14．在直角坐标平面内，已知点列)2,1(1P 、)2,2(2 2P 、)2,3(33P ，…，)2,(n n n P ，……． 如果k 为正偶数，则向量k k P P P P P P 14321-+++ 的坐标（用k 表示）是________； 15．给出下列四个命题： （1）函数()()Z k x k y ∈+=, sin π是奇函数； （2）函数?? ? ? ?+ =32sin πx y 的图象由x y 2sin =的图象向左平移3π 个单位得到； （3）函数)2 2sin(π + =x y 的对称轴是)(2 Z k k x ∈= π； （4）函数()x x x y 2cos cos sin 2 ++=的最大值为3． 其中正确命题的序号是__________（把你认为正确的命题序号都填上）． 三、解答题(本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16.（本小题满分13分） 已知向量),1(m a ＝，)2,1(-m b ＝，且b a ≠，若a b a ⊥-)(． (Ⅰ)求实数m 的值； (Ⅱ) 求向量b a ,的夹角θ的大小． 17．（本小题满分13分） 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，又数列{}n b 的前n 项和n n na S =． （Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若) 32(1+= n n n a b c ，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 18.（本小题满分13分） 已知函数)(1cos 2)6 2sin()(2 R x x x x f ∈-+- =π ． （Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间； （Ⅱ）ABC ?的三边c b a ,,中，已知2=ac ，且1)2 (=B f ，求BC AB ?的值． 19．（本小题满分13分） 某化工厂引进一条先进生产线生产某化工产品，其生产的总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的函数关系式可以近似表示为8000485 2 +-=x x y ，已知该生产线年产量 最大为210吨． （Ⅰ）求年生产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求最低成本； (Ⅱ)若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大 利润是多少？ 20．（本小题满分14分） 已知ABC ?的三边c b a ,,成等比数列，且23=+c a ， 3 5tan 1tan 1=+ C A ． （Ⅰ）求B cos ； (Ⅱ)求ABC ?的面积． 21．（本小题满分14分）注意：第（Ⅲ）小题平行班不做，特保班必做． 已知)0(ln )(2≠--=a bx ax x x f ． （Ⅰ）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围； (Ⅱ)在（Ⅰ）的结论下，设2(),[0,ln 2]x x g x e be x =+∈，求函数()g x 的最小值； （Ⅲ）设各项为正的数列{}n a 满足：*111,ln 2,n n n a a a a n N +==++∈，求证：21n n a ≤-． 三明一中2012—2013学年第一学期学段考 高三理科数学试题参考答案 1－10． BA BCBC ADDC 解得1=m 或2=m （舍去）， ∴ 1=m ． (Ⅱ) 由(Ⅰ)得，)2,0(),1,1(==b a ， ∴ 2 22 22cos =?== θ， 又],0[πθ∈，∴ 4 πθ=． 又11211=-==S b 也符合上式， ∴ )(34* N n n b n ∈-=． （Ⅱ）由（Ⅰ）得)1 413 41 ( 41 ) 14)(34(1 +- -= +-= n n n n c n ， ∴ ??? ???+--+???+-+-= +???+++=)141341()9151()511(41321n n c c c c T n n 1 4)1 411(41+= +- =n n n ． 18．解：（Ⅰ）x x x x x x f 2cos 2cos 2 12sin 2 31cos 2)6 2sin()(2 +-= -+- =π )6 2sin(2cos 2 12sin 23π + =+ = x x x ． 由)(22 6 222 z k k x k ∈+≤ + ≤+- ππ π ππ 得，)(6 3 z k k x k ∈+≤ ≤+- ππ ππ ， 故)(x f 的单调递增区间是)(]6 3 [z k k k ∈++-ππ ππ ， ． (Ⅱ) 由（Ⅰ）得，1)6 sin()2 ( =+ =π B B f , ∵ π< π= B ， ∴3 2,ππ=->= ∴ 1,cos ->=<=?BC AB ca BC AB ． (Ⅱ)设年产量获得的总利润为)(x R 万元， 则)2100(1680 )220(5 18000885 40)(2 2 ≤≤+-- =-+- =-=x x x x y x x R ， ∴)(x R 在[]210,0上是增函数，∴ 当210=x 时，1660)210())((max ==R x R ． 答：当年产量为210吨时，可获得的利润最大为1660万元． 20．解：（Ⅰ）由 3 5sin sin )sin(sin cos sin cos tan 1tan 1= += + = + C A C A C C A A C A ， 又c b a ,,成等比数列，得ac b =2 ，由正弦定理有C A B sin sin sin 2 =， 在ABC ?中有B C A sin )sin(=+，∴得 3 5sin sin 2 = B B ，即5 3sin = B ． 由ac b =2 知，b 不是最大边， ∴ 5 4sin 1cos 2 = -= B B ． (Ⅱ)由余弦定理B ac c a b cos 22 22-+=得， ac c a ac c a ac 5 18)(5 422 2 2 -+=? -+=， 得5=ac ， ∴ 2 3sin 2 1== ?B ac S ABC ． 21．解：（Ⅰ）依题意：2()ln f x x x bx =+- ∵)(x f 在),0(+∞递增 ， ∴ 021)(≥-+= 'b x x x f 对),0(+∞∈x 恒成立 ∴x x b 21+≤ ． ∵0>x ∴2221≥+x x 当且仅当2 x = 时取“=”，∴22≤b ， 且当b =0)(),2 2, 0(>'∈x f x ，02 f '= ，,),()02 x f x '∈+∞>， ∴符合)(x f 在),0(+∞是增函数， ∴]22,(-∞∈b ． ① 当12 ≤- b 时,即222≤≤-b 时.y 在]2,1[递增 ∴当1t =时,1min +=b y ②当22 1<- min ,2 4 b b t y =- =- ③当22 ≥- b ,即4-≤b 时,y 在]2,1[递减,当2t =时,b y 24min += 综上:??? ????+-+=b b b x g 14 24)(2min 222244 ≤≤--<<--≤b b b （Ⅲ）∵121,ln 11231a a ==++=>，3ln 3321a =++>， 假设1(1)k a n ≥≥，则1ln 21k k k a a a +=++>， ∴1n a ≥成立． 设()ln 1F x x x =-+，(1)x ≥，则011)(≤-= 'x x F ， ∴()F x 在[1,]+∞单调递减，∴()(1)0F x F ≤=，∴ln 1x x ≤-， ∴ln 1n n a a ≤-，故121n n a a +≤+，∴112(1)n n a a ++≤+． ∴ 21 11112(1)2(1)2(1)2n n n n n a a a a ++-+≤+≤+≤≤+= , ∴ 1221n n n n a a +≤?≤-． 故原命题得证． 注：（Ⅲ）用数学归纳法应酌情给分．