迷宫最短路径问题新算法

图１

迷宫

１问题描述

迷宫最短路径（ｔｈｅｓｈｏｒｔｅｓｔｐａｔｈｏｆｍａｚｅ）问题是一个典

型的搜索、遍历问题，其程序设计思想在人工智能设计、机器人设计等事务中均有应用。

如图１所示，一个Ｎ×Ｍ的大方块迷宫，带斜线的单元格表示墙壁（障碍），空白的单元格表示通道。迷宫问题可以表述为：寻找从某一个给定的起始单元格（迷宫入口）出发，经由行相邻或列相邻的通道单元格，最终可以到达目标单元格（迷宫出口），所走过的单元格序列。行进中，只能沿上下左右四个方向前进。

而迷宫最短路径问题就是找出从迷宫入口到出口所经过单元格个数最少的路径。

２经典算法

求解迷宫问题，经典算法有深度优先搜索和广度优先搜索

两种。

深度优先搜索（ＤＦＳ）：从入口出发，顺着某一方向向前探索，若能走通，则继续往前走；否则沿原路退回（回溯），换一个方向再继续探索，直至所有可能的通路都探索到为止。如果恰好某一步探索到出口，则就找到了从入口到出口的路径。为了保证在任何位置上都能沿原路退回，防止死循环，需要使用堆栈来保存大量记录。而要求解迷宫最短路径，则必须用深度优先搜索出所有到达出口的路径，通过比较得到最短距离的路径，这样也必然要求增加数据空间来保存搜索过程中当前最短路径，增加了空间复杂度。

广度优先搜索（ＢＦＳ）：从入口出发，离开入口后依次访问与当前位置邻接的单元格（上下左右方向），然后分别从这些相邻单元格出发依次访问它们的邻接格，并使“先被访问的单元格的邻接格‘先于’后被访问的单元格的邻接格”被访问，直至访问到迷宫出口，则找到了迷宫问题的最优解，即迷宫最短路径。该算法的显著特点是“层层推进”，探索点会随着探索的深入急剧增加，相应地，需要大量的空间用来保存探索过程的记录，空间复杂度大。

与此同时，上述两种算法都比较抽象复杂，编程实现容易出现问题，调试比较困难，因此在本篇论文中提出了一种新的容易理解和调试的算法，该算法复杂度较低，求解较大规模的迷宫问题也有不俗的表现。

３本文算法

３．１本文算法基本思想描述

首先与其他算法一样，将Ｎ×Ｍ的图形迷宫表示为一个二

迷宫最短路径问题新算法

张林锋，吕

辉，瞿军锋

（空军工程大学导弹学院，陕西三原７１３８００）

Ｅ－ｍａｉｌ：ｉｃｅｒａｉｎ５２２＠ｓｏｈｕ．ｃｏｍ

摘

要：提出了求解迷宫最短路径问题的新算法，该算法抛弃了经典算法（深度优先搜索和广度优先搜索）中繁杂低效的

递归、回溯思想。通过合理的变换，将原问题转化为迷宫路径深度图的生成问题。最后对算法进行了严谨的分析和实例测试，显示出该算法易于理解、易于编程、时间空间复杂度低等优点。关键词：最短路径；时间复杂度；深度优先搜索；广度优先搜索文章编号：１００２－８３３１（２００６）３２－００６３－０２

文献标识码：Ａ

中图分类号：ＴＰ３０１．６

ＮｅｗＡｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒＳｏｌｖｉｎｇＳｈｏｒｔｅｓｔＰａｔｈｏｆＭａｚｅＰｒｏｂｌｅｍ

ＺＨＡＮＧＬｉｎ－ｆｅｎｇ，ＬＶＨｕｉ，ＱＵＪｕｎ－ｆｅｎｇ

（ＴｈｅＭｉｓｓｉｌｅＩｎｓｔｉｔｕｔｅ，ＡｉｒＦｏｒｃｅＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓａｎｙｕａｎ，Ｓｈａｎｎｘｉ７１３８００，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ａｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｐｒｅｓｅｎｔｅｄｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｔｈｅｓｈｏｒｔｅｓｔｐａｔｈｏｆｍａｚｅｐｒｏｂｌｅｍ，ｗｈｉｃｈｉｓｎｏｔｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｎｅｆ－ｆｉｃｉｅｎｔｒｅｃｕｒｓｉｖｅｂａｃｋｔｒａｃｋｉｎｇｔｈｅｏｒｙｏｆｃｌａｓｓｉｃａｌａｌｇｏｒｉｔｈｍ（ＤＦＳ－ＤｅｐｔｈＦｉｒｓｔＳｅａｒｃｈａｎｄＢＦＳ－ＢｒｅａｄｔｈＦｉｒｓｔＳｅａｒｃｈ）．Ｂｙａｐｐｒｏｐｒｉａｔｅｃｏｎｖｅｒｓｉｏｎ，ｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｃｈａｎｇｅｓｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｌｐｒｏｂｌｅｍｉｎｔｏｔｈｅｃｒｅａｔｉｏｎｏｆｔｈｅｍａｚｅｇｒａｐｈｐｒｏｂｌｅｍ．Ａｔｌａｓｔ，ａｎｅｘａｍｐｌｅｉｓｇｉｖｅｎ，ｗｈｉｃｈｓｈｏｗｓｔｈａｔｔｈｅｎｅｗａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｓｅａｓｙｔｏｂｅｕｎｄｅｒｓｔｏｏｄａｎｄｐｒｏｇｒａｍｍｅｄａｓｗｅｌｌａｓｉｔｓｌｏｗｔｉｍｅａｎｄｓｐａｃｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ．

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｓｈｏｒｔｅｓｔｐａｔｈ；ｔｉｍｅｃｏｍｐｌｅｘｉｔｙ；ＤｅｐｔｈＦｉｒｓｔＳｅａｒｃｈ；ＢｒｅａｄｔｈＦｉｒｓｔＳｅａｒｃｈ

作者简介：张林锋（１９８１－），男，硕士生，研究方向：计算机控制；吕辉（１９４１－），男，博士生导师；研究方向：计算机网络和计算机控制；瞿军锋

（１９７６－），男，硕士生，研究方向：计算机控制。

维矩阵，用二维数组ａ［Ｎ］［Ｍ］来存储信息，Ｎ和Ｍ分别代表迷宫的行数和列数，迷宫中的每个位置都可用矩阵数组的行号和列号来指定。在矩阵中，当且仅当在位置（ｉ，ｊ）处有一个障碍时其值ａ［ｉ］［ｊ］为１，否则其值为０。图２给出了与图１迷宫对应的矩阵描述。

其次在本算法中引入了“路径深度”及“路径深度图”的概念。

路径深度：从某位置走到出口的最短路径的长度，记为

ｄｅｐｔｈ（），设每一方块为单位路径长度。假定出口处路径深度为０，障碍处路径深度为－１。

路径深度图：与迷宫对应的图，每一个节点值为与该节点对应的迷宫单元格的路径深度，即该单元格与迷宫出口的最短距离。

显然路径深度图有且唯一（因为每个单元格与迷宫出口的最短距离有且唯一）。

如图１所示的迷宫入口处的路径深度为１２，最短路径为图２中箭头所指出的道路。即：

（１，１）－（１，２）－（２，２）－（３，２）－（３，１）－（４，１）－（５，１）－（５，２）－（５，３）－（４，３）－（４，４）－（４，５）－（５，５）。

迷宫单元格的路径深度如图３所示。

从图３中，可以看出：迷宫最短路径是一条从入口处开始的路径深度逐次递减１的序列。

因此如果能求出整个迷宫每个单元格的路径深度，从而形成迷宫的路径深度图则求解最短路径就很简单。

本论文的关键算法在求解迷宫的路径深度图上。

３．２迷宫路径深度图算法

定理形成迷宫路径深度图的必要条件是：图中每一个节

点值不大于周围（上下左右四个可行进方向）最小节点值＋１。

证明：设点Ａ（ｘ，ｙ）为迷宫中任意一点（非障碍），而点Ｂ为与点Ａ邻接点（上下左右四个方向）中节点值最小的点（非障碍）。

必要性：假设从点Ｂ出发，存在一条到达迷宫出口的最短路径。则从点Ａ出发，可以先到达Ｂ点，然后顺着从点Ｂ到出口的最短路径，就能到达出口。而由本文路径深度的定义，显然有ｄｅｐｔｈ（Ａ）≤ｄｅｐｔｈ（Ａ－＞Ｂ－＞出口）＝１＋ｄｅｐｔｈ（Ｂ）。必要性得证。

下面给出求解迷宫路径图的算法：

步骤１置初值，ｄｅｐｔｈ（障碍）＝－１，ｄｅｐｔｈ（出口）＝０，ｄｅｐｔｈ（通道）＝

Ｎ×Ｍ；

步骤２交换标记ｔａｇ置为０；步骤３指针指向某一通道单元格Ａ；

步骤４如果当前单元格是迷宫障碍，转步骤７；

步骤５找出周围可行方向单元格（非障碍）的最小路径深度ｍｉｎ（ｄｅｐｔｈ（））；

步骤６如果ｄｅｐｔｈ（Ａ）＞ｍｉｎ（ｄｅｐｔｈ（））＋１，则调整ｄｅｐｔｈ（Ａ）＝ｍｉｎ（ｄｅｐｔｈ（））＋１，并记交换标记ｔａｇ＝１；

步骤７如果已遍历完所有单元格，转步骤９；

步骤８指针以某一遍历规则（比如顺序访问）后移，转步骤３；步骤９如果ｔａｇ＝１，转步骤２；

步骤１０如果ｔａｇ＝０，说明所有单元格路径深度ｄｅｐｔｈ（）经过动态调整后达到稳定平衡（定理所述状态），即形成路径深度图，算法结束。

现在证明该算法最终形成了路径深度图。

用反证法证明。由上述算法形成的图记为图Ｇ，假设图Ｇ并非本文定义的路径深度图Ｇ′，即图Ｇ总存在一点Ａ，其节点值ｄｅｐｔｈ（Ａ）＝ｋ，而该点对应的单元格与迷宫出口的最短路径的长度为ｌ，ｌ＜ｋ，设最短路径为Ａ→Ｐｌ－１→Ｐｌ－２→…→Ｐ１→出口，而在图Ｇ中此路径上有ｌ个节点，沿路径顺序其节点值为上界为

ｋ，下界为ｌ的递减整数数列，因为ｌ＜ｋ，由鸽巢原理，则必有一节点Ｐｉ，Ｐｉ＞Ｐｉ＋１＋１，则该图Ｇ未达到稳定平衡，与前提Ｇ是稳定

平衡下的路径深度图矛盾，故假设不成立，从而证明了算法形成的最终图就是待求解的路径深度图。

３．３通过路径深度图寻找最短路径算法

构造出路径深度图Ｇ后，就可以很方便地找到迷宫中任

意一点到出口的最短路径。在这里，以求解迷宫入口到出口的最短路径为例，设ｄｅｐｔｈ（ｓ）＝ｋ。

算法如下：

步骤１指针ｐ指向入口，入口位置进路径队列，路径深度标记

ｄｅｐｔｈ＝ｋ－１；

步骤２寻找ｐ指向的单元格周围（上下左右可行进方向）路径深度等于ｄｅｐｔｈ的单元格；

步骤３该单元格进入路径队列，ｐ指向该单元格，ｄｅｐｔｈ－－；步骤４如果ｄｅｐｔｈ＞０，转步骤２；

步骤５如果ｄｅｐｔｈ＝０，说明找到出口，出口位置进入路径队列，算法结束。

至此，迷宫最短路径新算法结束。

４算法评价

４．１时间空间复杂度分析

本算法主要分两个部分，而最主要的时间开销就在第一部分求路径深度图算法上。算法主要过程是逐步判断每个单元格是否与周围４个单元格达到稳定平衡状态，时间复杂度为Ｏ（４×Ｎ×Ｍ），空间方面主要需要两个Ｎ×Ｍ的二维数组（一个存储迷宫信息，一个存储路径深度图），故空间复杂度为

Ｏ（Ｎ×Ｍ）。

第二部分算法为通过路径深度图求最短路径，当最短路径长度为ｋ时，时间方面最多需要判断３ｋ次，空间方面路径队列长度为ｋ，其中ｋ＝Ｏ（Ｎ＋Ｍ），所以时间和空间复杂度均为

Ｏ（Ｎ＋Ｍ）。

综上所述，本算法的时间和空间复杂度均为Ｏ（Ｎ×Ｍ）。而经典算法中广度优先搜索，空间复杂度方面除了要两个

Ｎ×Ｍ的二维数组存储迷宫信息和迷宫单元格访问信息外，还

（下转６８页）

图２用矩阵描述的迷宫

图３

迷宫路径深度图

表１

本文算法与经典算法复杂度比较

规模

算法

本算法

广度优先探索深度优先探索判断次数调整次数

探索次数

探索次数

５×５２２８１６２３６２６８１５×１５

２９７８

１０８３２９６３６４０４０×５０３０２５２

９２６

３６８６４

４２１７６

（上接６４页）

需要使用堆栈来保存大量探索记录。时间复杂度方面和具体迷宫布局有关，主要时间开销在探索上，由于算法采用了递归反复探索，通常情况下访问一个单元格后要依次访问４个后继方向上的单元格，第一次找到迷宫出口的路径即为最短路径。假设最短路径长度要Ｎ＋Ｍ，当不设置迷宫单元格访问矩阵时，则几乎要探索Ｏ（４＾（Ｎ＋Ｍ））次，时间复杂度远大于本算法。

深度优先算法，空间复杂度与深度优先搜索相差不大，但时间复杂度方面，算法要实现找出最短路径，必须遍历出所有到达出口的路径，比较各条路径的总长度，从而得出最短路径，因此时间复杂度大于广度优先搜索，自然而然远大于本算法。

将本文算法和两种经典算法应用于具体迷宫，对其时间复杂度做个定量分析。测试中，迷宫随机产生，对深度优先和广度优先算法，统计其探索次数；对本文算法，统计其判断次数和调整次数（算法第一部分步骤６）。针对不同规模的迷宫，列表（表１）如下：

从表中数据可以看出，当迷宫规模较小时，本算法的时间复杂度与经典算法相近，但随着规模的增大，本算法要优于经典算法。

４．２编程调试方面

用经典算法进行编成时，由于牵涉到回溯、递归等较复杂

的算法，非常容易出错。尤其牵涉到复杂数据结构栈（深度优先搜索）、队列（广度优先搜索）的操作，调试跟踪比较麻烦。

而用本算法进行编程时，只用到数组这个简单形象的数据结构，算法也简单，相应的编程代码也短小高效，在迷宫规模较小时，完全可以进行人工纸上模拟运行，加深对算法的理解。

５小结

本论文主要提出了一种解决迷宫最短路径问题的新算法，

从数学方面证明了该算法的正确性，分析了算法的时间空间复杂度，将算法和经典算法进行了比较测试，显示出本算法的高效、简单、操作性好。（收稿日期：２００６年２月）

参考文献：

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实验结果显示，不论是峰值信噪比还是滤波图像的视觉质量，数字双边ｌ１滤波器的滤波效果均极为显著，性能大大优于中值滤波器。可见，脉冲双边ｌ１滤波器比传统中值滤波器具有更强的噪声抑制能力和边缘保持能力。同时，式（１０）运算简单，实现方便，因此是对传统中值滤波器极为合理而有效的推广与改进，具有重要的实用价值。

５结论

本文旨在研究非线性数字滤波器设计问题。基于稳健统计

理论和双边滤波思想，文中提出稳健的图像复原统一框架，并由此导出了一种数字滤波器的统一设计框架，简洁地建立了非线性数字滤波器与最优能量泛函框架之间的理论联系。基于统一设计框架，文中提出了一种新型脉冲噪声滤波器，即双边ｌ

１

滤波器。双边ｌ１

滤波器赋予噪声点的权重相对于图像信息的权重接近于零，更好地抑制了噪声点对滤波过程的影响，是一种比中值滤波器更为鲁棒的滤波机制。实验结果验证了双边ｌ１

滤波器抑制脉冲噪声的有效性。（收稿日期：２００６年２月）

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