05椭圆 讲义
高中椭圆讲义
椭圆 1．椭圆的概念 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数． 2．椭圆的标准方程和几何性质 －a≤x≤a－b≤x≤b 概念方法微思考 1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？ 提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？
提示 由e ＝c a ＝ 1－????b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大， 椭圆越圆． 题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) (2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( ) (3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2 b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编 2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( ) A ．4 B ．8 C ．4或8 D ．12 3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2 4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( ) A.x 215＋y 2 10＝1 B.x 225＋y 2 20＝1 C.x 210＋y 2 15＝1 D.x 220＋y 2 15 ＝1 4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2 4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形 的面积等于1，则点P 的坐标为__________________． 题组三 易错自纠 5．若方程x 25－m ＋y 2 m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( ) A ．(－3,5) B ．(－5,3) C ．(－3,1)∪(1,5) D ．(－5,1)∪(1,3) 6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10 5 ，则m 的值为________．
高中数学椭圆讲义及例题
7.椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示：22 1x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是 以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对 称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆1 22 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点， 坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=, b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(< 椭圆讲义 １、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数(大于12F F )的点的轨迹称为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± ３、设M 是椭圆上任一点,点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ,则 12 12F F e d d M M ==. 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 １．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. ? 举一反三:【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则Ｐ到另一个焦点的距离＝ ＿__＿____ 【变式2】椭圆 125162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点,则1ABF ?的周长1ABF C ?=_＿＿＿___＿__＿. ? 【变式3】已知椭圆的方程为 1162 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则ｍ的取值范围是（ )。? A ．-4≤m ≤4且m ≠0 B ．-4<ｍ＜4且m ≠０ C.m ＞4或m ＜－4 D ．０＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx ２ +３ｙ2 －6ｍ=０的一个焦点为（0,２)，求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 ２. 求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)两个焦点的坐标分别是(－4,0)、（4，0),椭圆上一点Ｐ到两焦点距离的和是10; （2)两个焦点的坐标是（0，－2）、(0，2）,并且椭圆经过点?? ? ??2523-，。? 举一反三:【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，,且椭圆经过点）（0,5。 【变式２】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点,并且经过点(３,－２),求此椭圆的方程。 3.求经过点P （－3，０）、Q(０，２）的椭圆的标准方程。? 举一反三:【变式】已知椭圆经过点P （2,0)和点)2 3 3,1(Q ,求椭圆的标准方程。 4.求与椭圆4x 2 +9y 2 =36有相同的焦距,且离心率为 5 5 的椭圆的标准方程。? 【变式1】在椭圆的标准方程中，，则椭圆的标准方程是( ) A. 1353622=+y x B ．135 362 2=+x y C.13622=+y x D ．以上都不对 【变式2】椭圆过（3,0)点，离心率3 6 = e ,求椭圆的标准方程。? 【变式3】长轴长等于2０,离心率等于5 3 ,求椭圆的标准方程。 学而思高中完整讲义：椭圆.板块一.椭圆的方程.学生版 【例1】 已知椭圆的焦点在x 轴上，焦距为8，焦点到相应的长轴顶点的距离为1，则椭圆 的标准方程为（ ） A ．221259x y += B ．221259y x += C ．22179y x += D ．22 179 x y += 【例2】 已知椭圆22 15x y m +=的离心率10e 5= ，则m 的值为（ ） A ．3 B ．5153或15 C ．5 D ．25 3 或3 【例3】 设定点12(03)(03)F F -，，，，动点P 满足条件)0(921>+=+a a a PF PF ，则点P 的 轨迹是（ ） A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 【例4】 已知椭圆的中心在原点，离心率1 2 e = ，且它的一个焦点与抛物线24y x =-的焦点重合， 则此椭圆方程为（ ） A ．22143x y += B ．22186x y += C ．2 212 x y += D ．2 214 x y += 【例5】 设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为1 e 2 =，右焦点为(0)F c ，，方程 20ax bx c +-=的两个实根分别为1x 和2x ，则点12()P x x ， （ ） A ．必在圆222x y +=内 B ．必在圆222x y +=上 C ．必在圆222x y +=外 D ．以上三种情形都有可能 【例6】 已知22 212x y m m +=+表示焦点在x 轴上的椭圆，则m 的取值范围是（ ） A ．2m >或1m <- B ．2m >- C ．12m -<< D ．2m >或21m -<<- 【例7】 经过点(30)P -，，(02)Q -，的椭圆的标准方程是 ； 典例分析 椭圆及其标准方程 一、教学目标 (一)知识目标 1、使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程及推导； 2、掌握焦点、焦点位置与方程关系、焦距； (二)能力目标 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力； (三)学科渗透目标 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． (解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆的标准方程单独列出加以比较．) 2．难点：椭圆的标准方程的推导． (解决办法：推导分4步完成，每步讲解，关键步骤加以补充说明．) 3．疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因． (解决办法：分三种情况说明动点的轨迹．) 三、教学过程 （一）创设情境，引入概念 1、动画演示，描绘出椭圆轨迹图形。 2、实验演示。 思考：椭圆是满足什么条件的点的轨迹呢？ （二）实验探究，形成概念 1、动手实验：学生分组动手画出椭圆。 实验探究： 保持绳长不变，改变两个图钉之间的距离，画出的椭圆有什么变化？ 思考：根据上面探究实践回答，椭圆是满足什么条件的点的轨迹？ 2、概括椭圆定义 引导学生概括椭圆定义 椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 距离的和等于常数（大于21F F ）的点的轨迹叫椭圆。 教师指出：这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫椭圆的焦距。 思考：焦点为21,F F 的椭圆上任一点M ，有什么性质？ 令椭圆上任一点M ，则有)22(22121F F c a a MF MF =>=+ （三）研讨探究，推导方程 1、知识回顾：利用坐标法求曲线方程的一般方法和步骤是什么？ M 2 F 1F 海豚教育个性化简案 海豚教育个性化教案（真题演练） 海豚教育个性化教案 A . 45 B .23 C .22 D .2 1 例2：已知m,n,m+n 成等差数列，m ，n ，mn 成等比数列，则椭圆12 2=+n y m x 的离心率为 例3：在ABC △中，3,2||,300===∠?ABC S AB A ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率 e = ． 【变式训练】 1. 椭圆的两个焦点把两条准线间距离三等分，则椭圆离心率为( ) A. 63 B.33 C.2 3 D. 不确定 2. 椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（ ） 3. 以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于___________。 2：求离心率的取值范围 例1：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使3 221π =∠PF F ，求 其离心率e 的取值范围。 例2：已知椭圆122 22=+b y a x （0>>b a ）与x 轴的正半轴交于A ，0是原点，若椭圆上存在一点M ，使MA ⊥MO ， 求椭圆离心率的取值范围。 例3：已知椭圆12222=+b y a x （0>>b a ），以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程02 =++c bx ax 无实根，求 其离心率e 的取值范围。 题型四：椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等） 例1：已知实数y x ,满足12 42 2=+y x ,求x y x -+22的最大值与最小值 椭圆讲义 1、平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质： 焦点的位置 焦点在x 轴上 焦点在y 轴上 图形 标准方程 ()22 2210x y a b a b +=>> ()22 2210y x a b a b +=>> 范围 a x a -≤≤且 b y b -≤≤ b x b -≤≤且a y a -≤≤ 顶点 ()1,0a A -、()2,0a A ()10,b B -、()20,b B ()10,a A -、()20,a A ()1,0b B -、()2,0b B 轴长 短轴的长2b = 长轴的长2a = 焦点 ()1,0F c -、()2,0F c ()10,F c -、()20,F c 焦距 ()222122F F c c a b ==- 对称性 关于x 轴、y 轴、原点对称 离心率 )2 2101c b e e a a ==-<< 准线方程 2 a x c =± 2 a y c =± 3、设M 是椭圆上任一点，点M 到1F 对应准线的距离为1d ，点M 到2F 对应准线的距离为2d ，则 12 12F F e d d M M ==． 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 1．指出椭圆36492 2 =+y x 的焦点坐标、准线方程和离心率. 举一反三：【变式1】椭圆 116 252 2=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离=________ 【变式2】椭圆 125 162 2=+y x 的两个焦点分别为21F F 、，过2F 的直线交椭圆于A 、B 两点，则1ABF ?的周长1ABF C ?=___________. 【变式3】已知椭圆的方程为11622 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ ）。 A ．－4≤m ≤4且m ≠0 B ．－4＜m ＜4且m ≠0 C ．m ＞4或m ＜－4 D ．0＜m ＜4 【变式4】已知椭圆mx 2 +3y 2 －6m=0的一个焦点为（0，2），求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 2. 求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）两个焦点的坐标分别是（－4，0）、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点距离的和是10； （2）两个焦点的坐标是（0，－2）、（0，2），并且椭圆经过点??? ? ?2523-，。 举一反三：【变式1】两焦点的坐标分别为()()4-04,0，，，且椭圆经过点）（0,5。 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆14 92 2=+y x 有相同的焦点，并且经过点（3，－2），求此椭圆的方程。 椭圆及其标准方程练习题 【基础知识】 一．椭圆的基本概念 1.椭圆的定义：我们把平面内与两个定点的距离的和等于常数 （ ）的点 的轨迹叫做椭圆，用符号表示为这两个定点叫椭圆的 ，两个焦点之间的距离叫做椭圆的 。 椭圆方程的总形式为 [经典例题]： 例1. 根据定义推导椭圆标准方程. 已知B ，C 是两个定点，｜BC ｜＝6，且ABC ?的周长等于16，求顶点A 的轨迹方程 已知F 1, F 2是定点，| F 1 F 2|=8, 动点M 满足|M F 1|+|M F 2|=8，则点M 的轨迹是 （A ）椭圆 （B ）直线 （C ）圆 （D ）线段 例2.写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ⑴两个焦点坐标分别是(-4,0)、（4，0），椭圆上一点P 到两焦点的距离之和等于10； ⑵两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2）且过（23-,2 5） 例3 求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是(-3，0)，(3，0)，椭圆经过点(5，0). (2)两个焦点坐标分别是(0，5)，(0，-5)，椭圆上一点P 到两焦点的距离和为26. 例4 已知椭圆经过两点（)5,3()2 5 ,23与-，求椭圆的标准方程 例5 1.椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆离心率是 ； 2.如果椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则其离心率为 ； 3.若椭圆的两个焦点F 1、F 2与短轴的一个端点B 构成一个正三角形，则椭圆的离心率为 ； [典型练习]： 椭圆 19 252 2=+y x 上一点P 到一个焦点的距离为5，则P 到另一个焦点的距离为（ ） A.5 B.6 C.4 D.10 2.椭圆 1169 252 2=+y x 的焦点坐标是（ ） A.(±5，0) B.(0，±5) C.(0，±12) D.(±12，0) 3.已知椭圆的方程为 182 2 2=+m y x ，焦点在x 轴上，则其焦距为（ ） A.228m - B.2m -22 C.282-m D.222-m 4.1,6==c a ,焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 第十三讲椭圆 ［知识能否忆起］ 1 ?椭圆的定义 平面内到两个定点 F i , F 2的距离之和等于常数（大于|F I F 2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两 个定点叫做椭圆的焦点，两焦点 F i ，F 2间的距离叫做椭圆的焦 __________ ［小题能否全取］ x 2 y 2 1. （教材 习题改编）设P 是椭圆~4 + 9 = 1的点，右F i , F 2是椭圆的两个焦点，贝U |PF i | + |PF 2| 等于( ) A . 4 B . 8 C . 6 D . 18 解析：选C 依定义知|PF 11+ |PF 2|= 2a = 6. C . (— 3,1) U (1,5) D . (— 5,1)U (1,3) 5 — m > 0, 解析：选C 由方程表示椭圆知 m + 3>0, 5 — m ^ m + 3, X 2 2.（教材习题改编）方程53m + m + 3 =1表示椭圆, m 的范围是（ A . (-3,5) B . (— 5,3) 解得一3 v m v 5 且 m ^ 1. 2 2 3. （2012淮南五校联考）椭圆X9 + 4^= 1的离心率为5，则k 的值为（ 解析：选 C 若 a 2= 9, b 2 = 4+ k ,贝V c = 5 — k , 若 a 2= 4 + k , b 2= 9,则 c = 'k — 5, c 4 k — 5 4 由C =4,即 =4，解得k = 21. a 5 、4+k 5 4. （教材习题改编）已知椭圆的中心在原点，焦点在 8?则该椭圆的方程是 _________ 5. 已知F 1, F 2是椭圆C 的左，右焦点，点P 在椭圆上，且满足|PF 1|= 2|PF 2|,/ PF 1F 2 =30°则椭圆的离心率为 ___________ . 解析：在三角形PF 1F 2中，由正弦定理得 sin Z PF 2F 1= 1,即Z PF 2F 1=扌，设 |PF 2|= 1,贝U |PF 1|= 2, |F 2F 1| = V 3, 所以离心率e = ?c = 3 . 2a 3 1. 椭圆的定义中应注意常 数大于 |F 1F 2|.因为当平面内的动点与定点 F 1, F 2的距离之和等 于|F 1F 2|时，其动点轨迹就是线段 F 1F 2;当平面内的动点与定点 F 1,F 2的距离之和小于|F 1F 2| 时，其轨迹不存在. 2 ?已知椭圆离心率求待定系数时要注意椭圆焦点位置的判断，当焦点位置不明确时， 要分两种 情形讨论. ［考点通关把握］ 1典题导入 解 析： c 4 1 丄， ???2c = 8,「.c = 4,「.e = a = a = 2,故 a = ???椭圆的方程为64+4x8= 1. A . - 21 B . 21 19 C .-亦或21 D.25或 21 1 y 轴上，若其离心率为2,焦距为 又'/b 2= a 2— c 2= 48, 4 /曰. 19 5，得 k = — 25； 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] (湖北部分重点中学2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 [解析]按小球的运行路径分三种情况: (1)A C A --,此时小球经过的路程为2(a －c); (2)A B D B A ----, 此时小球经过的路程为2(a+c); (3)A Q B P A ----此时小球经过的路程为4a,故选D 【名师指引】考虑小球的运行路径要全面 【新题导练】 1.短轴长为5，离心率3 2 = e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 （ ） A.3 B.6 C.12 D.24 [解析]C. 长半轴a=3，△ABF 2的周长为4a=12 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆 22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为（ ） A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 [解析]B. 两圆心C 、D 恰为椭圆的焦点，10||||=+∴PD PC ，PM PN +的最小值为10-1-2=7 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【解题思路】将题中所给条件用关于参数c b a ,,的式子“描述”出来 [解析]设椭圆的方程为122 22=+b y a x 或)0(12222>>=+b a a y b x ， 则?? ? ??+=-=-=222)12(4c b a c a c b ， 解之得：24=a ，b =c ＝4.则所求的椭圆的方程为 116322 2=+y x 或132 1622=+y x . 【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数c b a ,,的数量关系． 椭圆（讲义） 知识点睛 一、曲线与方程 1． 曲线C 上的点与二元方程()0f x y =，的对应关系： （1）曲线上点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点． 那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线． 2． 求曲线的方程的一般步骤： （1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x ，y )表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件p 的点M 的集合 {|()}P M p M =； （3）用坐标表示条件p (M )，列出方程()0f x y =，； （4）化方程()0f x y =，为最简形式； （5）说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上． 二、椭圆及其标准方程 我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆． 这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 如图，设( )M x y ，是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2(0)c c >， 那么焦点1F ，2F 的坐标分别为( 0)c -，，( 0)c ，． 又设M 与1F ，2F 的距离的和等于2(0)a a >． 由椭圆的定义，椭圆就是集合 12{|||||2}P M MF MF a =+=． 因为12|| ||MF MF = = 所以 2a =． 为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得 2a = 将这个方程两边平方，得 22222()44()x c y a x c y ++=--+， 整理得 2a cx -= 上式两边再平方，得 4222222222222a a cx c x a x a cx a c a y -+=-++， 整理得 22222222()()a c x a y a a c -+=-， 两边同除以222()a a c -，得 22 2221x y a a c +=-． ① 由椭圆的定义可知，22220a c a c a c >>->，即，所以． 由图可知，1212|||| |||| ||PF PF a OF OF c PO =====，， 令||b PO ==那么①式就是22221(0)x y a b a b +=>>． 椭圆的标准方程：22 221(0)x y a b a b +=>>． 三、椭圆的几何性质 椭圆专题复习 1. 椭圆定义： 平面内与两个定点21F F 、的距离之和为常数|)|2(222F F a a >的动点P 的轨迹叫椭圆,其中两个定点21F F 、叫椭圆的焦点. 当21212F F a PF PF >=+时, P 的轨迹为椭圆 ; ; 当21212F F a PF PF <=+时, P 的轨迹不存在; 当21212F F a PF PF ==+时, P 的轨迹为 以21F F 、为端点的线段 题型1:椭圆定义的运用 [例1 ] 椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是( ) A ．4a B ．2(a －c) C ．2(a+c) D ．以上答案均有可能 【变式训练】 1.短轴长为5，离心率32= e 的椭圆两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为 A.3 B.6 C.12 D.24 ( ) 2.已知P 为椭圆22 12516 x y +=上的一点，,M N 分别为圆22(3)1x y ++=和圆22(3)4x y -+=上的点，则PM PN +的最小值为 A ． 5 B ． 7 C ．13 D ． 15 ( ) 题型2 求椭圆的标准方程 [例2 ]设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为24－4，求此椭圆方程. 【变式训练】 3. 如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆，那么实数k 的取值范围是____________. 4. 椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离 椭圆知识点 知识要点小结： 知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若)(2121 F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的标准方程 1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b y a x )0(>>b a ，其中2 22b a c -= 2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+b x a y )0(>>b a ，其中2 22b a c -=； 注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时， 才能得到椭圆的标准方程； 2．在椭圆的两种标准方程中，都有)0(>>b a 和2 22b a c -=； 3．椭圆的焦点总在长轴上. 当焦点在x 轴上时，椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -； 当焦点在y 轴上时，椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c - 知识点三：椭圆的简单几何性质 椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：说明：把x 换成x -、或把y 换 成y -、或把x 、y 同时换成x -、y -、原方程都不变，所以椭圆122 22=+b y a x 是以x 轴、 y 轴为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称 为椭圆的中心。 （2）范围： 椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足 椭圆及其标准方程 一、教学目标： 1．知识与技能目标： （1）掌握椭圆定义和标准方程. （2）能用椭圆的定义解决一些简单的问题. 2．过程与方法目标： （1）通过椭圆定义的归纳和标准方程的推导，培养学生发现规律、认识规律并利用规律解决实际问题的能力. （2）在椭圆定义的获得和其标准方程的推导过程中进一步渗透数形结合等数学思想和方法 3．情感态度与价值观目标： （1）通过椭圆定义的归纳过程获得培养学生探索数学的兴趣. （2）通过标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”. （3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 二、教学重点、难点： 1．重点：椭圆定义的归纳及其标准方程的推导。 2．难点：椭圆标准方程的推导。 三、教材与教法分析 （一）、教材、学习者特征分析： 本节课是圆锥曲线的第一课时。它是在学生学习了直线和圆的方程的基础上，进一步学习用坐标法研究曲线。椭圆的学习为后面研究双曲线、抛物线提供了基本模式和理论基础。因此这节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容；椭圆的标准方程推导过程中，化简两个根式的方程的方法特殊，难度较大，学生初次遇到。（二）、教学方法和教学策略分析： 探究式、启发式教学方法，引导学生主动参与、积极体验、自主探究，形成师生互动的教学氛围。以启发、引导为主，采用设疑的形式，逐步让学生进行探究性的学习。充分利用了青少年学生富有创造性和好奇心，敢想敢为，对新事物具有浓厚的兴趣的特点。让学生根据教学目标的要求和题目中的已知条件，自觉主动地创造性地去 分析问题、讨论问题、解决问题。 四、教具：多媒体直尺、细绳、钉子、笔、小木黑板 第一课时 五、教学过程 新课引入 2010年10月1日，中国的航天史又被翻开了新的一页，我国自主研制的嫦娥二号探月卫星升上太空，在太空中探索宇宙的奥秘。这一事件，再一次向世界表明，我们中国人有信心、有能力攀登一个又一个科学高峰。“嫦娥二号”升空后，准确的进入预定轨道，它运行中期的轨道是一个椭圆。 在宇宙中还有许多天体的运行轨道也是椭圆，生活中也有许多椭圆形的实际例子。由此看来，若要探索浩瀚宇宙的奥秘，解决日常生活中与椭圆有关的一些实际问题，需要对椭圆这一图形进行研究。今天我们就来研究什么是椭圆及椭圆的标准方程。那么什么是椭圆呢？ （一）认识椭圆，问题引出: 1．对椭圆的感性认识.通过演示课前老师和学生共同准备的有关椭圆的实物和图片，让学生从感性上认识椭圆. （演示：天体运行轨道；生活实例：平面截圆锥等图片） 2．对比圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合。 如果将圆的定义中的“定点”改为“两定点”，“距离”改为“距离的和”，那么平面内到两定点的距离的和等于定长的点的集合（轨迹）是什么图形？ （二）动手实验，亲身体验 指导学生互相合作（主要在于动手），体验画椭圆的过程（课前准备直尺、细绳、钉子、笔、纸板），并以此了解椭圆上的点的特征. 请三名同学上台画在黑板上. 注：在本环节中不急于向学生交待椭圆的定义，而是先设计一个实验，一来是为了给学生一个创造实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践，为进一步上升到理论做准备。 先在画板上点两点F1、F2，取一定长的细绳，把它的两端固定在画板上的F1 、F2 两点处。 【演示一】当绳长等于| F1 F2|时，使笔尖贴紧绳子慢慢移动。 （1）、观察：笔尖的轨迹是一个什么图形？明确: 一条线段 （2）、这条线段上的每一个点到F1 、F2两点的距离和都相等吗？ 明确:相等，而且都等于这条绳长 椭圆讲义 1、平面内与两个定点F1，F 2的距离之和等于常数（大于为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距. 2、椭圆的几何性质: 焦点的位置焦点在x轴上 图形 标准方程 范围-a_x_a 且-b_y_b 顶点 ---1 -a,0、二2 a,0 已0,-b、三2 0,b 轴长短轴的长=2b 焦占 八'、八、、 F1 -c,0、F2 c,0 焦距F1F2 =2c t 对称性关于x轴、y 离心率 2 准线方程 3、设□是椭圆上任一点，点 |M F j M F2I e. d i d2 四、常考类型 类型一：椭圆的基本量 F1 F2）的点的轨迹称为椭圆?这两个定点称 焦点在y轴上 2 2 y x 2 2 =1 a b 0 a b --■-i 0, 一 a、 _-；i ：； —b,0、 长轴的长=2a F i 0, -c、 c2 = a2 _ b2 轴、原点对称 ---2 0,a 二 2 b,0 F2 0,c 2 + a y 二 c M到F i对应准线的距离为d i，点切到F2对应准线的距离为d2，则1 ?指出椭圆9x2 4y2 =36的焦点坐标、准线方程和离心率 2 2 举一反三：【变式1】椭圆 — 1 1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为 3,贝U P 到另一个焦点的距离 25 16 2 2 【变式2】椭圆 X =1的两个焦点分别为 16 25 的周长C ABF 1 = ___________ ■ 2 2 —=1，焦点在x 轴上，则m 的取值范围是（ 16 m 2 .. 2 2 【变式4】已知椭圆mx+3y — 6m=0的一个焦点为（0, 2）,求m 的值。 类型二：椭圆的标准方程 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1 ）两个焦点的坐标分别是（一 4, 0）、（4, 0）,椭圆上一点P 到两焦点距离的和是 10; （2）两 个焦点的坐标是（0, 举一反三： 【变式1】两焦点的坐标分别为 0,4 ,0,-4，且椭圆经过点（5,0）。 2 2 - —=1有相同的焦点，并且经过点 9 4 2）,求此椭圆的方程。 R 、F 2，过F 2的直线交椭圆于 A 、B 两点」V .IABF 1 【变式3】已知椭圆的方程为 A . — 4W me 4 且 m ^ 0 B.— 4v m < 4 且 m ^ 0 C. m > 4 或 m <— 4 D . 0< m < 4 【变式2】已知一椭圆的对称轴为坐标轴且与椭圆 3 ，一 2）、（ 0, 2）,并且椭圆经过 点 圆锥曲线 一、知识点讲解 一、椭圆：（1）椭圆的定义：平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹。 其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。 注意：||221F F a >表示椭圆；||221F F a =表示线段21F F ；||221F F a <没有轨迹； （2）椭圆的标准方程、图象及几何性质： 中心在原点，焦点在x 轴上 中心在原点，焦点在 y 轴上 标准方程 )0(122 22>>=+b a b y a x )0(12 2 22>>=+b a b x a y 图 形 顶 点 ),0(),,0()0,(),0,(2121b B b B a A a A -- ),0(),,0()0,(),0,(2121a B a B b A b A -- 对称轴 x 轴，y 轴；短轴为b 2，长轴为a 2 焦 点 )0,(),0,(21c F c F - ),0(),,0(21c F c F - 焦 距 )0(2||21>=c c F F 222b a c -= 离心率 )10(<<= e a c e （离心率越大，椭圆越扁） 通 径 22b a （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段） 3．常用结论：（1）椭圆)0(12 222>>=+b a b y a x 的两个焦点为21,F F ，过1F 的直线交椭圆于B A ,两点，则2ABF ?的周长= （2）设椭圆 )0(122 2 2>>=+b a b y a x 左、右两个焦点为21,F F ，过1F 且垂直于对称轴的直线交椭圆于Q P ,两点，则Q P ,的坐标分别是 =||PQ 二、例题讲解。 例1、 已知椭圆的中心在原点，且经过点()03，P ，b a 3=，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数a 和b （或2 a 和2 b ）的值，即可求得椭圆的标准方程． x O F 1 F 2 P y A 2 B 2 B 1 x O F 1 F 2 P y A 2 A 1 B 1 B 2 A 1 2.1椭圆 第1课时椭圆及其标准方程 1．归纳总结，核心必记 (1)椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆的标准方程 (－c，0)，(c，0)(0，－c)，(0，c) 例题1（椭圆定义理解） 已知椭圆x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)，F1，F2是它的焦点．过F1的直线AB与椭圆交于A、B两点， 求△ABF2的周长． 解：∵|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF2|＝2a， 又∵△ABF2的周长＝|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4a， ∴△ABF2的周长为4a. 由椭圆的定义可知，点的集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}(其中|F1F2|＝2c)表示的轨迹有三种情况：当a>c时，集合P为椭圆；当a＝c时，集合P为线段F1F2；当a 命题乙：P 点轨迹是椭圆，则命题甲是命题乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 若点P 的轨迹是椭圆，则一定有|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)． 所以甲是乙的必要条件． 反过来，若|P A |＋|PB |＝2a (a >0，为常数)，当2a >|AB |时，点P 的轨迹是椭圆；当2a ＝|AB |时，点P 的轨迹是线段AB ；当2a <|AB |时，点P 的轨迹不存在，所以甲不是乙的充分条件．综上可知，甲是乙的必要不充分条件． 2．已知定点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝8，动点P 满足|PF 1|＋|PF 2|＝8，则动点P 的轨迹是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．直线 D ．线段 解析：选D 因为|PF 1|＋|PF 2|＝|F 1F 2|，所以动点P 的轨迹是线段F 1F 2. 例题2（求椭圆的标准方程） (1)已知椭圆的两个焦点坐标分别是(－2，0)，(2，0)，并且经过点????52，－3 2，求它的标准方程； (2)若椭圆经过两点(2，0)和(0，1)，求椭圆的标准方程． 解：(1) ∵椭圆的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)． 由椭圆的定义知 2a ＝ ????52＋22＋??? ?－322 ＋ ????52－22＋??? ?－322 ＝210， ∴a ＝10.又∵c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝10－4＝6. ∴所求椭圆的标准方程为x 210＋y 2 6 ＝1. (2) 设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )． ∵椭圆过(2，0)和(0，1)两点， ∴? ????4m ＝1，n ＝1， ∴?????m ＝14，n ＝1. 椭圆讲义与练习 题型一：椭圆的第一定义与标准方程 例1 、椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ，椭圆的标准方程为：1142 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ，椭圆的标准方程为：116 42 2=+y x ； 说明：椭圆的标准方程有两个，给出一个顶点的坐标和对称轴的位置，是不能确定椭圆的横竖的，因而要考虑两种情况． 变式练习：求适合条件的椭圆的标准方程． （1）长轴长是短轴长的2倍，且过点()62-， ； （2）在x 轴上的一个焦点与短轴两端点的联线互相垂直，且焦距为6． 分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由12222=+b y a x 求出1482 =a ， 372 =b ，在得方程 13714822=+y x 后，不能依此写出另一方程137 1482 2=+x y ． 解：（1）设椭圆的标准方程为12222=+b y a x 或122 22=+b x a y ． 由已知b a 2=． ① 又过点()62-， ，因此有 ()16222 22=-+b a 或()12622 22 =+-b a ． ② 由①、②，得1482=a ，372= b 或522=a ，132 =b ．故所求的方程为 13714822=+y x 或113 522 2=+x y ． （2）设方程为12222=+b y a x ．由已知，3=c ，3==c b ，所以182 =a ．故所求方程 为 19 182 2=+y x ．椭圆讲义(学生版)
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