(文数)2017年高考大题纵横练(二)

(文数)2017年高考大题纵横练(二)

1．已知函数f(x)＝A sin(ωx－π

6)(ω>0)相邻两个对称轴之间的距离是

π

2，且满足f(

π

4)＝ 3.

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)在钝角△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，sin B＝3sin C，a＝2，f(A)＝1，求△ABC的面积．

2．某种商品在50个不同地区的零售价格全部介于13元与18元之间，将各地价格按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，……，第五组[17,18]．如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．

(1)求价格在[16,17)内的地区数，并估计该商品价格的中位数(精确到0.1)；

(2)设m，n表示某两个地区的零售价格，且已知m，n∈[13,14)∪[17,18]，求事件“|m－n|>1”的概率．

3.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E在

线段B1C1上，B1E＝3EC1，AC＝BC＝CC1＝4.

(1)求证：BC⊥AC1；

(2)试探究：在AC上是否存在点F，满足EF∥平面A1ABB1？若存在，

请指出点F的位置，并给出证明；若不存在，请说明理由．

4．数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6a 1，且对n ∈N *，点(n ，a n )恒在直线f (x )＝2x ＋k 上，其中k 为常数．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)记T n ＝1S 1＋1S 2＋…＋1

S n ，求T 20的值．

5．已知函数f (x )＝a ln x ＋1

2bx 2－(a ＋b )x .

(1)当a ＝1，b ＝0时，求f (x )的最大值；

(2)当b ＝1时，设α，β是f (x )的两个极值点，且α<β，β∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)．求证：对任意的x 1，x 2∈[α，β]，|f (x 1)－f (x 2)|<1.

6．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1的顶点为A 1，A 2，B 1，B 2，焦点为

F 1，F 2，|A 1B 1|＝7，S ?A 1B 1A 2B 2＝2S ?B 1F 1B 2F 2. (1)求椭圆C 的方程；

(2)设n 是过原点的直线，l 是与n 垂直相交于P 点、与椭圆相交

于A ，B 两点的直线，|OP →|＝1.是否存在上述直线l 使AP →·PB →

＝1成立？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．

答案精析

高考大题纵横练(二)

1．解 (1)由题意知周期T ＝π，∴ω＝2， ∵f (π

4

)＝3，

∴A ＝2，f (x )＝2sin(2x －π

6)，

由π2＋2k π≤2x －π6≤3π

2＋2k π(k ∈Z )， ∴π3＋k π≤x ≤5π

6

＋k π(k ∈Z )， ∴f (x )的单调递减区间为[π3＋k π，5π

6＋k π](k ∈Z )．

(2)由题意b ＝3c ，f (A )＝2sin(2A －π

6)＝1，

∴sin(2A －π6)＝1

2

，

∵－π6<2A －π6<11π6，∴A ＝π6或π2

，

∵△ABC 为钝角三角形，∴A ＝π2(舍去)，故A ＝π6，

∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， ∴4＝3c 2＋c 2－23c 2×32

＝c 2

， ∴c ＝2，b ＝23， S △ABC ＝12×23×2×1

2

＝ 3.

2．解 (1)价格在[16,17)内的频率为 1－(0.06＋0.08＋0.16＋0.38)×1＝0.32. 所以价格在[16,17)内的地区数为50×0.32＝16. 设价格中位数为x ，

由0.06＋0.16＋(x －15)×0.38＝0.5， 解得x ＝1514

19

≈15.7(元)．

(2)由直方图知，价格在[13,14)的地区数为50×0.06＝3，设为x ，y ，z ；价格在[17,18)的地区数为50×0.08＝4，设为A ，B ，C ，D .

若m ，n ∈[13,14)时，有xy ，xz ，yz,3种情况；

若m ，n ∈[17,18)时，有AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD,6种情况； 若m ，n 分别在[13,14)和[17,18)内时，

共有12种情况．

所以基本事件总数为21种，

事件“|m －n |>1”所包含的基本事件个数有12种． P (|m －n |>1)＝

1221＝47

. 3．(1)证明 ∵AA 1⊥平面ABC ，BC ?平面ABC ， ∴BC ⊥AA 1.

又∵BC ⊥AC ，AA 1∩AC ＝A ， ∴BC ⊥平面AA 1C 1C ，

又AC 1?平面AA 1C 1C ，∴BC ⊥AC 1.

(2)解 方法一 当AF ＝3FC 时，FE ∥平面A 1ABB 1.

理由如下：在平面A 1B 1C 1内过点E 作EG ∥A 1C 1交A 1B 1于点G ，连接AG .

∵B 1E ＝3EC 1，∴EG ＝3

4A 1C 1，

又AF ∥A 1C 1且AF ＝3

4A 1C 1，

∴AF ∥EG 且AF ＝EG ， ∴四边形AFEG 为平行四边形， ∴EF ∥AG ，

又EF?平面A1ABB1，AG?平面A1ABB1，

∴EF∥平面A1ABB1.

方法二当AF＝3FC时，FE∥平面A1ABB1.

理由如下：在平面BCC1B1内过点E作EG∥BB1交BC于点G，连接FG.

∵EG∥BB1，EG?平面A1ABB1，BB1?平面A1ABB1，

∴EG∥平面A1ABB1.

∵B1E＝3EC1，∴BG＝3GC，

∴FG∥AB，又AB?平面A1ABB1，FG?平面A1ABB1，

∴FG∥平面A1ABB1.

又EG?平面EFG，FG?平面EFG，EG∩FG＝G，

∴平面EFG∥平面A1ABB1.

∵EF?平面EFG，∴EF∥平面A1ABB1.

4．解(1)方法一依题意a n＝2n＋k，

得a1＝2＋k，a2＝4＋k，a3＝6＋k，

所以S3＝12＋3k.

又S3＝6a1，所以12＋3k＝12＋6k，

解得k＝0.

即a n＝2n.

方法二依题意得a n＝2n＋k，

所以a n＋1－a n＝(2n＋2＋k)－(2n＋k)＝2，

所以数列{a n}是以2＋k为首项，2为公差的等差数列．

因为S3＝a1＋a2＋a3＝3a1＋6.

又S3＝6a1，所以a1＝2，

所以a n＝2＋(n－1)×2＝2n.

(2)S n ＝a 1＋a n 2·n ＝2＋2n 2·n ＝n (n ＋1)，

所以1S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1

n ＋1，

所以T 20＝1S 1＋1S 2＋…＋1

S 20

＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(120－1

21)

＝1－121＝2021

.

5．(1)解 f (x )的定义域为(0，＋∞)． 当a ＝1，b ＝0时，f (x )＝ln x －x ， 求导数，得f ′(x )＝1

x －1，令f ′(x )＝0，

解得x ＝1.

当00，∴f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，∴f (x )在(1，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝－1.

(2)证明 当b ＝1时，f (x )＝a ln x ＋1

2

x 2－(a ＋1)x ，

求导数，得f ′(x )＝a

x ＋x －(a ＋1)＝x 2－(a ＋1)x ＋a x ＝(x －1)(x －a )x ，

令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝a .

∵α，β是f (x )的两个极值点，且α<β，β∈(1，e]， ∴α＝1，β＝a ∈(1，e]， ∴当x ∈[α，β]时，f ′(x )≤0， ∴f (x )在[α，β]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)，f (x )min ＝f (a )， ∴对任意的x 1，x 2∈[α，β]， |f (x 1)－f (x 2)|≤f (1)－f (a )

＝[12－(a ＋1)]－[1

2a 2＋a ln a －a (a ＋1)] ＝12a 2－a ln a －12

. 令g (a )＝12a 2－a ln a －1

2，则g ′(a )＝a －1－ln a ，

由(1)知ln x －x ≤－1，即ln x ≤x －1，

∴g ′(a )≥0，∴g (a )在(1，e]上单调递增，

∴g (a )≤g (e)＝12e 2－e －12＝e(12e －1)－12<3(32－1)－1

2＝1.

故对任意的x 1，x 2∈[α，β]， |f (x 1)－f (x 2)|<1.

6．解 (1)由|A 1B 1|＝7知a 2＋b 2＝7，① 由112211222A B A B B F B F S S ＝知a ＝2c ，② 又b 2＝a 2－c 2，③

由①②③解得a 2＝4，b 2＝3， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3

＝1.

(2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，假设使AP →·PB →

＝1成立的直线l 存在． ①当l 不垂直于x 轴时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，由l 与n 垂直相交于P 点且|OP →|＝1得

|m |1＋k 2＝1，即m 2＝k 2＋1. ∵AP →·PB →＝1，|OP →|＝1，

∴OA →·OB →＝(OP →＋P A →)·(OP →＋PB →)． ＝OP →2＋OP →·PB →＋P A →·OP →＋P A →·PB → ＝1＋0＋0－1＝0. 即x 1x 2＋y 1y 2＝0.

将y ＝kx ＋m 代入椭圆方程， 得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋(4m 2－12)＝0， 由根与系数的关系可得 x 1＋x 2＝－8km 3＋4k 2，④

x 1x 2＝4m 2－123＋4k 2

.⑤

0＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝x 1x 2＋k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2 ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2， 将④⑤代入上式并化简得

(1＋k 2)(4m 2－12)－8k 2m 2＋m 2(3＋4k 2)＝0，⑥ 将m 2＝1＋k 2代入⑥并化简得－5(k 2＋1)＝0，矛盾． 即此时直线l 不存在．

②当l 垂直于x 轴时，满足|OP →

|＝1的直线l 的方程为x ＝1或x ＝－1.当x ＝1时，A ，B ，P 的坐标分别为(1，32)，(1，－32)，(1,0)，∴AP →

＝(0，－32)，PB →＝(0，－32)，

∴AP →·PB →＝9

4

≠1.

当x ＝－1时，同理可得AP →·PB →

≠1，矛盾．即此时直线l 也不存在． 综上可知，使AP →·PB →＝1成立的直线l 不存在．