高等数学第19章第2节含参量反常积分
第十九章 含参量积分
§2 含参量反常积分
一、 一致收敛性及其判别法
注．：1)如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。
☆ 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。
注．
：1) 注意一致收敛的整体性. 2）注意大N 的公共性.
定理19.7（一致收敛的柯西准则） 含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在某一实数c M >，使得当M A A >21,时，对一切[]b a x ,∈，都有
,),(2
1
ε
A A dy y x f （3）
例1 证明含参量反常积分
?
+∞
sin dy y
xy
（4） 在[)+∞,δ上一致收敛()
0＞其中δ，但在()∞，＋0内不一致收敛。 证：1）(只需证明0,0>?>?N ε，使得当N A >时，对一切δ≥x 有ε
∞
+A
dy y
xy
sin 即可.)
①对任意.0>A 作变量代换xy u =，可得
,sin sin du u
u dy y xy
Ax A
??
+∞+∞
= （5）
②由于
du u
u
?
+∞
sin 收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，使当M A >'，就有
.sin '
ε
∞
+du u
u
A ③因为,0>≥δx 所以δA Ax ≥,取δ
M
N =
,则当δ
M
N A =
>时,
M A Ax >≥δ由上式,对一切,0>≥δx 有
.sin ε
∞
+du u
u
Ax
又由（5）可得
ε
∞
+A
dy y
xy
sin 所以(4)在,0>≥δx 上一致收敛。
2）现在证明(4)在()+∞,0内不一致收敛。（由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数()c M >，总相应地存在某个M A >及某个∈x []b a ,，使得
.),(0ε≥?
+∞
A
dy y x f ）
①由于非正常积分
?+∞
0sin du u u
收敛(在本节例6中我们将求出这个积分的值）
，所以??+∞+∞→=+00sin sin lim du u
u du u u b b ，即0,0>?>?δε，当),0(δ∈b 时有
,s i n
s i n 00ε<-?
?∞
+∞+b
du u
u du u u
②对任0>M 总存在某个)0(>x ，(不妨取M
x 2δ=
)，使得δδ
<=
<2
0Mx 所以有：
,sin sin 00ε<-??∞
+∞+Mx du u u du u u
即
.sin sin sin 0000εε+<<-???+∞+∞+∞
du u
u du u u du u u
Mx （6） ③现令?+∞=00sin 21du u
u
ε，由(5)及不等式(6)的左端就有
0002sin sin εεε=->=??
+∞+∞
Mx M
du u
u dy y xy
即：
.sin 0ε≥?
∞
+M
dy y
xy
所以(4)在()+∞,0内不一致收敛． ▌
☆ 关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理． 定理19．8 含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞+的递增数列{}n A (其中c A =1)，函数项级数
∑∑?
∞
=∞
==+1
1
)(),(1
n n n A A x u dy y x f n n
（7）
在[]b a ,上一致收敛．
证： )? [必要性]由(1)在[]b a ,上一致收敛，故对任给ε>0，必存在M>c ，使当
M A A >>'"时，对一切∈x []b a ,，总有
.),("
'
ε
A A dy y x f （8）
又由()∞→∞→n A n ，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m>n>N 时，就有
M A A n m >>+1．由(8)对一切∈x []b a ,，就有
.),(1
ε
+n m
A A dy y x f
又∵
)()(),(),(),(11
1
x u x u dy y x f dy y x f dy y x f m n A A A A A A m m
n n
n m
++=++=
??
?
+++
∴ ε<++)()(x u x u m n 这就证明了级数(7)在[]b a ,上一致收敛．
[]
充分性（不要求，略，但可以看懂） 用反证法．假若(1)在[]b a ,上不一致收敛，则
存在某个正数0ε，使得对于任何实数M>c ，存在相应的M A A >>'
"和[]b a x ,'
∈.使得
.),(0'"
'
ε≥?
A A dy y x f
现取{
}c M ,1m ax 1=，则存在112M A A >>及[]b a x ,1∈，使得 .),(012
1
ε≥?
A A dy y x f
一般地，取{}
)2(,max )1(2≥=-n A n M n n ，则有n n n M A A >>-122及[]b a x n ,∈，使得
.),(021
2ε≥?
-n
n A A n dy y x f （9）
由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且+∞=∞→n n A lim ．现在考察级数
.),()(1
1
1
∑∑?
∞
=∞
=+=n n A A n
n n
dy y x f x u
由(9)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n>N ，就有某个[]b a x n ,∈，使得
.),()(021
22ε≥=
?
+n n
A A n n n dy y x f x u
这与级数(7)在[]b a ,上一致收敛的假设矛盾．故含参量反常积分(1)在[]b a ,上一致收敛. ▌ 注．：1) 只要反常积分
[]?
+∞
∈c
b a x dy y x f ,,),(收敛到)(x I (未必一致收敛) ,就有
=
)(x I ∑?
∑∞
=∞
==
=+1
1
1
),()(n A A n n
n n
dy y x f x u
[]?
+∞
∈c
b a x dy y x f ,,),(.
2)定理中的函数项级数
∑∑?
∞
=∞
==+1
1
)(),(1
n n n A A x u dy y x f n n
将与反常积分(1)一致收敛到同
一函数[]?
+∞
∈=
c
b a x dy y x f x I ,,),()(.
☆☆ 下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别法．由于它们的证明与函数项级数相
应的判别法相仿，故从略．
判别法1：（魏尔斯特拉斯M 判别法） 设有函数)(y g ，使得
.,),(),(+∞<≤≤≤≤y c b x a y g y x f
若
?
+∞
c
dy y g )(收敛，则?
+∞
c
dy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛．
判别法2：（狄利克雷判别法） 设
)(i 对一切实数N>c ，含参量正常积分
?
N
c
dy y x f ),(对参量x 在[]b a ,上一致有
界，即存在正数M ，对一切N>c 及一切∈x []b a ,，都有
;),(M dy y x f N
c
≤?
)(ii 对每一个∈x []b a ,，函数),(y x g 关于y 是单调递减且当+∞→y 时，对参量),(,y x g x 一致地收敛于0， 则含参量反常积分 ?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在[]b a ,上一致收敛．
判别法3：（阿贝耳判别法） 设
)
(i ?
+∞
c
dy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛；
)(ii 对每一个[]b a x ,∈，
函数),(y x g 为y 的单调函数，且对参量x ，),(y x g 在[]b a ,上一致有界，则含参量反常积分
?
+∞
c
dy y x g y x f ),(),(
在[]b a ,上一致收敛。
例2 证明含参量反常积分?
+∞
+0
2
1cos dx x xy
（10）
在),(+∞-∞上一致收敛。
证：由于对任何实数y 有
,11
1cos 2
2x x xy +≤+
及反常积分
?
+∞
+0
2
1x dx
收敛（上册P166例4），故由魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量反常积分（10）在),(+∞-∞上一致收敛. ▌
例3 证明含参量反常积分?
+∞
-0
sin dx x
x
e xy
（11） 在[]d ,0上一致收敛。
证: ①由于反常积分
?
+∞
0sin dx x
x
收敛（当然，对于参量y ，它在[]d ,0上一致收敛）. ②函数xy
e
y x g -=),(对每个∈x []d ,0单调，且对任何0,0≥≤≤x d y 都有
.1),(≤=-xy
e y x g
故由阿贝耳判别法即得含参量反常积分（11）在[]d ,0上一致收敛. ▌
例4 证明：若),(y x f 在[][]+∞?,,c b a 上连续，又
?
+∞
c
dy y x f ),(在[)b a ,上收敛，但
在b x =处发散，则
?
+∞
c
dy y x f ),(在[)b a ,上不一致收敛.
证: 用反证法.
①假若积分在[)b a ,上一致收敛，则对于任给0>ε，总存在M c >，当
M A A >>'时对一切∈x [)b a ,恒有
.),('
ε
A A
dy y x f
②由假设),(y x f 在[][]',,A A b a ?上连续，所以
?
'
),(A A
dy y x f 是x 的连续函数. 在
上面不等式中令b x →，得到
.),('
ε≤?
A A
dy y b f
而ε是任给的，因此
?
+∞
c
dy y x f ),(在b x =处收敛，这与假设矛盾。所以积分?
+∞c
dy
y x f ),(在[)b a ,上不一致收敛. ▌ 二、 含参量反常积分的性质
定理9.19（连续性）设),(y x f 在[][)+∞?,,c b a 上连续，若含参量反常积分
?
+∞
=c
dy y x f x I ),()( （12）
在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上连续.
证: ①由定理8.19，对任一递增且趋于∞+的数列{}n A )(1c A =，函数项级数
)(),()(1
1
1
x u dy y x f x I n n n A A n n
∑∑?
∞
=∞
===+ （13）
在[]b a ,上一致收敛.
②又),(y x f 在[][)+∞?,,c b a 上连续，故每个)(x u n 都在[]b a ,上连续。 ③由函数项级数连续性定理 (P40Th13.12) ，函数)(x I 在[]b a ,上连续.▌
结论．．1．：．该定理表明，在一致收敛的条件下，极限运算与积分运算可以交换：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
即． .),(lim ),(),(lim 0
0dy y x f dy y x f dy y x f c
x x c
c
x x ??
?
+∞
→+∞
+∞
→== （14）
定理10.19（可微性）设),(y x f 与),(y x f x 在区域[][)+∞?,,c b a 上连续。若
?
+∞
=c
dy y x f x I ),()(在[]b a ,上收敛，?
+∞
c
x dy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]
b a ,
上可微，且 .),()('?
+∞
=
c
x dy y x f x I （15）
证: ①∵?
+∞
=c
dy y x f x I ),()(在[]b a ,上收敛，
∴对任一递增且趋于∞+的数列{}()c A A n =1，令().),(1
?
+=
n n
A A n dy y x f x u 则有
=
)(x I ∑?
∑∞
=∞=+=1
1
1
),()(n A A n n n n
dy y x f x u (*)
②又),(y x f 与),(y x f x 在区域[][)+∞?,,c b a 上连续,由定理19.3推得
.),()(1
'?
+=n n
A A x n
dy y x f x u
③由
?
+∞
c
x dy y x f ),(在[]b a ,上一致收敛及定理19.8，可得函数项级数
()()∑?
∑∞
=∞=+=1
1
'1
,n A A x n n n n
dy y x f x u 在[]b a ,上一致收敛，
③由(*)式 ，根据函数项级数的逐项求导定理(P40Th13.14)即得
()()()(),,,1
1
''
1
?
∑?
∑+∞
∞
=∞
====+c
x n A A x n n
dy y x f dy y x f x u x I n n
或写作
.),(),(??+∞+∞
??=c c dy y x f x
dy y x f dx d ▌ 结论．．2．：． 最后结果表明在定理条件下，求导运算和积分运算可以交换．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
. 定理11.19（可积性）设),(y x f 在[][)+∞?,,c b a 上连续，若?
+∞
=
c
dy y x f x I ),()(在
[]b a ,上一致收敛，则)(x I 在[]b a ,上可积，且
.),(),(???
?+∞+∞
=b
a
c
c
b a
dx y x f dy dy y x f dx （16）
证:①由定理19.9知道)(x I 在[]b a ,上连续，从而)(x I 在[]b a ,上可积.
②又由定理19.9的证明中可以看到，函数项级数（13）在[]b a ,上一致收敛，且各项)(x u n 在[]b a ,上连续，因此根据函数项级数逐项求积定理(P40Th13.13)，并注意到(P175Th19.6关于积分顺序的可交换性定理),于是有
∑?
?∑??
∞
=∞
=+==1
1
1
),()()(n A A b
a
n b
a
n b
a
n n
dy y x f dx dx x u dx x I
,),(1
1
∑??
∞
=+=n b
a
A A dx y x f dy n n
（17）
上式又可写作
.),()(???
+∞=b
a
c
b
a
dx y x f dy dx x I
即
.),(),(???
?
+∞
+∞
=b
a
c
c
b
a
dx y x f dy dy y x f dx ▌
☆ 当定理19.11中x 的取值范围为无限区间[)+∞,c 时，则有如下的定理： 定理19.12 设),(y x f 在[)[)+∞?+∞,,c a 上连续.若
)
(i ?
+∞
a
dx y x f ),(关于y 在任何闭区间[]d c ,上一致收敛，?
+∞
c
dy y x f ),(
关于x 在任何区间[]b a ,上一致收敛； )(ii 积分
?
??
?
+∞
+∞+∞
+∞
a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx ),(),(与 （18）
中有一个收敛，
则（18）中另一个积分也收敛，且
.),(),(?
??
?
+∞
+∞+∞
+∞
=a
c
c
a
dx y x f dy dy y x f dx （19）
证: ①不妨设（18）中第一个积分收敛，由此推得
?
?
+∞
+∞
c
a
dy y x f dx ),(也收敛.
(上册P271性质3,绝对收敛比收敛). ②又当c d >时 ?
??
?
+∞
+∞+∞
-=
c
a
a
d
c
d dy y x f dx dx y x f dy I ),(),(
.),(),(),(?
????
?
+∞+∞
+∞
+∞
--=
d
a
d
c
a
a
d
c
dy y x f dx dy y x f dx dx y x f dy
③由条件)(i 及定理19.11，可推得
???
?
+∞
+∞
=d c
a
a
d
c
dy y x f dx dx y x f dy ),(),(
∴ ?
?
+∞
+∞
=d
a d dy y x f dx I ),( .),(),(?
??
?
+∞+∞
+∞
+≤d
A d
A
a
dy y x f dx dy y x f dx （20）
其中A 为任实数.
④由假设
?
?
+∞
+∞c
a
dy y x f dx ),(收敛∴对于任给的0>ε，有a G >，使当G
A >时，有
.2
),(ε
<
?
?
+∞
+∞
d
A dy y x f dx (*1)
⑤选定A 后，由
?
+∞
c
dy y x f ),(的一致收敛性，存在c M >，使得当M d >时有
.)
(2),(a A dy y x f d
-<
?
+∞
ε
(*2)
将(*1) 和(*2)式应用到（20）式，得到 ,2
2
εε
ε
=+
<
d I
即0lim =+∞
→d d I ，这就证明了（19）式. ▌ 例5 计算
).,0(sin sin 0
a b p dx x
ax
bx e I px
>>-=?+∞
-
解: 因为
?=-b a xydy x
ax
bx cos sin sin ，所以 ?+∞--=0sin sin dx x
ax bx e I px ??+∞-??? ??=0cos dx xydy e b a px ?
?+∞
-=0
cos b
a
px xydy e dx （21）
由于px px e xy e --≤cos 及反常积分?
+∞
-0
dx e px 收敛，根据魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量
反常积分
?
+∞
-0
cos xydx e px
在[]b a ,上一致收敛.由于xy e
px
cos -在[][b a ,),0?+∞上连续，根据定理19.11交换积分（21）
的顺序，积分I 的值不变.于是
??
?+==+∞-b a
b
a
px dy y
p p
xydx e dy I 2
20
cos .arctan arctan p
a
p b -= ▌ 注．
：1) ?
+∞
-0
cos xydx e px 2
2y
p p +=
事实上,由上册P188例15可知?
+++=C b a bx
a bx
b e bxdx e
ax
ax
2
2cos sin cos ,所以
?
+∞
-0
cos xydx e px t
px
t y p yx
p yx y e 0
2
2cos sin lim +-=-+∞
→
22cos sin lim y p yt p yt y e pt
t +-=-+∞
→-2200cos 0sin y p p y e +-220y p p +--=2
2y
p p
+= 例6 计算
?+∞
0.sin dx x ax
解 在上例中，令0=b ，则有
)22).(0(arctan sin )(0
>==?+∞
-p p
a
dx x ax e p F px
由阿贝耳判别法可得上述含参量反常积分在0≥p 上一致收敛.于是由定理19.9，)(p F 在
0≥p 上连续，且
.sin )0(0
?
+∞
=dx x
ax
F 又由（22）式
.sgn 2
arctan
lim )(lim )0(0
a p a p F F p p π
===++→→□ 例7 计算)23.(cos )(0
2
?
+∞
-=rxdx e r x ?
解 由于2
2
cos x x e rx e
--≤对任一实数r 成立及反常积分?+∞
-0
2
x e 收敛①，所以积分（23）
在()+∞∞-∈,r 上收敛. 考察含参量反常积分
()
)24.(sin cos 0
'2
2
??
+∞
-+∞
--=rxdx xe dx rx e
x r x
由于2
2
sin x x xe rx xe
--≤-对一切+∞<<-∞≥r x ,0成立及反常积分?+∞
-0
2
dx xe x 收敛，
根据魏尔斯特拉斯M 判别法，含参量积分（24）在()+∞∞-,上一致收敛. 综合上述结果由定理19.10即得
?
?-+∞→+∞
--=-=A
x A x rxdx xe
rxdx xe
r 0
'
sin lim
sin )(2
2
?
???
?
??-=?--+∞→A x x A rxdx re A rx e 0cos 210sin 21lim 2
2 ().2
cos 202r r
rxdx e r x ?-=-=?+∞-
于是有
从而()c =0?，又由（23）式，()2
00
2
π
?=
=
?
∞
+-dx e x ，所以2
π
=
c ，因此得到
().2
4
2
r e r -=
π
? □
最后简略地提一下关于含参量无界函数非正常积分.设在区域R
[][)d c b a ,,?=上有定义.若对x 的某些值，d y =为函数),(y x f 的瑕点，则称
?
d
c
dy y x f ),( （25）
为含参量x 的无界函数反常积分，或简称为含参量反常积分.若对每一个x ∈[]b a ,，积分（25）都收敛，则其积分值是x 在[]b a ,上取值的函数.含参量反常积分（25）在[]b a ,上一致收敛的定义是：
定义2对任给正数ε，总存在某正数c d -<δ，使得当δη<<0时，对一切[]b a x ,∈，都有
,),(εη
-d
d dy y x f
则称含参量反常积分（25）在[]b a ,上一致收敛.
第十九章 含参量正常积分.
第十九章 含参量正常积分 §19.1 含参量正常积分 教学要求： (1) 了解含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的证明 (2) 熟练掌握含参量正常积分的导数的计算公式． (3) 掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学重点:含参量正常积分定义及其性质；掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理的应用 教学难点：含参量正常积分的连续性，可微性和可积性； 一、含参量正常积分的概念 定义定义 设二元函数),(y x f 在矩形区域],[],[d c b a R ?=上有定义，且对],[b a 内每一点 x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间],[d c 上可积，则定义了x 的 函数 ?=d c dy y x f x I ),()(，],[b a x ∈ （1） 设二元函数),(y x f 在区域 }),()(|),{(b x a x d y x c y x G ≤≤≤≤=上有定义， 函数)(x c ，)(x d 为],[b a 上的连续函数，且对],[b a 内每一点x ，函数),(y x f 关于y 在闭区间)](),([x d x c 上可积，则定义了x 的函数 ? =) () (),()(x d x c dy y x f x F ，],[b a x ∈ （2） 称()(,)d c I x f x y dy =?和() () ()(,)d x c x F x f x y dy =?为含参量x 的正常积分，x 称为参变量。 类似可定义含参量y 的正常积分． 含参量积分在形式上是积分， 但积分值随参量的取值不同而变化， 因此实质上是一个函数。即含参量正常积分是以积分形式表达的函数，含参积分提供了表达函数的又一手段 . 二、含参量正常积分的连续性、可微性与可积性
习题反常积分的收敛判别法
习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有
含参量积分汇总
第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有
4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求
10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是,
4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证：
§_5_定积分习题与答案
第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数
dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?
? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx
含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总
含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
(,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε
高等数学反常积分练习题
测试一 一、名词解释 1.自由水 2.束缚水 3.水势 4.压力势 5.渗透势 6.衬质势 7.渗透作用 8.水通道蛋白 9.根压10.吐水现象 11.伤流现象12.蒸腾作用13.蒸腾拉力14.蒸腾速率15.蒸腾效率 16.蒸腾系数17.吸胀作用18.水分临界期 二、填空题 1. 植物散失水分的方式有种，即和。 2. 植物细胞吸水的三种方式是、和。 3. 植物根系吸水的两种方式是和。前者的动力是，后者的动力是。 4. 设甲乙两个相邻细胞，甲细胞的渗透势为- 16 × 10 5 Pa ，压力势为9 × 10 5 Pa ，乙细胞的渗透势为- 13 × 10 5 Pa ，压力势为9 × 10 5 Pa ，水应从细胞流向细胞，因为甲细胞的水势是，乙细胞的水势是。 5. 某种植物每制造10 克干物质需消耗水分5000 克，其蒸腾系数为，蒸腾效率为。 6. 把成熟的植物生活细胞放在高水势溶液中细胞表现，放在低水势溶液中细胞表现，放在等水势溶液中细胞表现。 7. 写出下列吸水过程中水势的组分 吸胀吸水，Ψ w = ；渗透吸水，Ψ w = ； 干燥种子吸水，Ψ w = ；分生组织细胞吸水，Ψ w =； 一个典型细胞水势组分，Ψ w = ；成长植株吸水，Ψ w = 。 8. 当细胞处于初始质壁分离时，Ψ P = ，Ψ w = ；当细胞充分吸水完全膨胀时，Ψ p = ，Ψ w =；在初始质壁分离与细胞充分吸水膨胀之间，随着细胞吸水，Ψ S ，Ψ P ，Ψ w 。 9. 蒸腾作用的途径有、和。 10. 细胞内水分存在状态有和。 11. 常用的蒸腾作用指标有、和。 12. 影响蒸腾作用的环境因子主要有、、和。
含参变量反常积分的几种计算方法
含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法
高等数学(上)第五章定积分总结
第五章 定积分 内容：定积分的概念和性质、微积分基本公式、换元积分法、分部积分法、广义积分。 要求：理解定积分的概念和性质。掌握牛顿－莱布尼兹公式、定积分的换元法和分部积分法，理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理，理解广义积分的概念和计算方法。 重点：定积分的概念和性质；微积分基本公式；换元积分法、分部积分法。 难点：定积分的概念；变上限积分函数及其导数；换元积分法、分部积分法。 §1.定积分的概念 一、实例分析 1．曲边梯形的面积 设函数)(x f y =∈C[a , b ], 且)(x f y =>0. 由曲线0,,),(====y b x a x x f y 围成的图形称为曲边梯形. 如何定义曲边梯形的面积? (1) 矩形面积=底高. (2) 预备一张细长条的纸, 其面积底高. (3) 预备一张呈曲边梯形状的纸, 将其撕成许多细长条. (4) 启示: 将曲边梯形分割为许多细长条, 分割得越细, 误差越小. y =f (x ) x =a x =b y =f (x )
第i 个细长条面积)],,[()(11---=?∈??≈?i i i i i i i i i x x x x x x f S ξξ 曲边梯形面积: ∑=?≈ n i i i x f S 1 )(ξ 定积分概念示意图.ppt 定义: ),,2,1,max {()(lim 1 n i x x f S i n i i i =?=?=∑=→λξλ 抛开上述过程的几何意义，将其数学过程定义为定积分. 二、定积分的定义 1. 定义 设)(x f y =在[a , b ]有定义, 且有界. (1) 分割: 用分点b x x x a n =<<<= 10把[a , b ]分割成n 个小区间: } ,,2,1,max{,,,2,1],,[11n i x x x x n i x x i i i i i i =?=-=?=--λ记 (2) 取点: 在每个小区间],[1i i x x -上任取一点i , 做乘积: i i x f ?)(ξ. (3) 求和: ∑=?n i i i x f 1 )(ξ (4) 取极限: ∑=→?n i i i x f 1 )(lim ξλ 若极限存在, 则其为)(x f 在[a , b ]上的定积分, 记作: ? b a dx x f )(. 即: ∑? =→?=n i i i b a x f dx x f 1 )(lim )(ξλ [a , b ]: 积分区间；a ：积分下限；b ：积分上限； ∑=?n i i i x f 1 )(ξ积分和式. 问题: 定积分是极限值, 在求极限的过程中, 谁是常量, 谁是变量?
含参量反常积分一致收敛的判别法
题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期
摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法
Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis
目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11)
数学分析之含参量积分
第十九章含参量积分 教学目的：1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法；3.掌握欧拉积分的形式及有关计算。教学重点难点：本章的重点是含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定；难点是一致收敛性的判定。 教学时数：12学时 §1含参量正常积分 一. 含参积分:以实例和引入. 定义含参积分和. 含参积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参积分表达的函数为含参积分. 1. 含参积分的连续性: Th19.5 若函数在矩形域上连续, 则函数 在上连续 . ( 证) P172 Th19.8 若函数在矩形域上连续, 函数和 在上连续, 则函数在上连续. ( 证) P173
2. 含参积分的可微性及其应用: Th 19.10 若函数及其偏导数都在矩形域上连续, 则函数在上可导, 且 . ( 即积分和求导次序可换) . ( 证) P174 Th 19.11 设函数及其偏导数都在矩形域上连续,函数和定义在, 值域在上, 且可微, 则含参积分 在上可微, 且 . ( 证)P174 例1 计算积分. P176. 例2设函数在点的某邻域内连续 . 验证当充分小时, 函数 的阶导数存在, 且. P177. §2 含参反常积分 一. 含参无穷积分:
1.含参无穷积分:函数定义在上( 可以是 无穷区间) . 以为例介绍含参无穷积分表示的函 数. 2. 含参无穷积分的一致收敛性: 逐点收敛( 或称点态收敛) 的定义: , , 使 . 引出一致收敛问题 . 定义(一致收敛性) 设函数定义在上 . 若对 , 使对成立, 则称含参无穷积分在( 关于)一致收敛. Th 19.5 ( Cauchy收敛准则) 积分在上一致收敛, 对成立 . 例1 证明含参量非正常积分在上一致收敛, 其中. 但在区间内非一致收敛 . P180 3. 含参无穷积分与函数项级数的关系:
含参量反常积分一致收敛性的判别法资料
含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-
19数学分析课件含参量积分.doc
第十九章含参量积分 目的与要求：1.掌握含参量正常积分的连续性，可微性和可积性定理，掌握含参量正常积分的求导法则；2.掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法.3. 了解r函数与B函数的定义与有关性质 重点与难点：本章重点是含参量正常积分的连续性，可微性和可积性，含参量反常积分的一致收敛性概念，性质；难点则是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与可积性定理的证明 第一节含参量正常积分 ?含参量正常积分的概念 1定义 设二元函数/(x,y)在矩形区域R = [m]x[c,d]上有定义，且对[。,用内每一点们函数f (x, y)关于)，在闭区间]上可积，则定义了尤的函数 /⑴=y)d y, xe[a,h] (i) c 设二元函数/(、,)，)在区域 G = {(%, y)\ c(x) < y < d(x\ a 间[c(x),J(x)]±可积，则定义了尤的函数 d(；) F(x)= \f(x.y)dy , A* e [a.b] (2) c由 称(1)和(2)为含参量]的正常积分.类似可定义含参量)，的正常积分. 二含参量正常积分的连续性、可微性与可积性 1连续性 定理19. 1(连续性)若二元函数/(x,y)在矩形区域R = [a,h]x\c^d]±连续，则函数d Z(x)= 在[。㈤上连续. C 证设x 6 [a.h],对充分小的Ar, ^*x4-ZLr e [a,h](若工为区间端点则考虑Ar〉0或 k<0),于是 d Z(x + Ax)- /(x)= j[/(x + Ax,y)-/(x,y)]Jy (3) c 由于f^y)在有界闭区域R上连续，从而一致连续，即对任给的正数总存在某个正数 S ,对/?内任意两点(X], )与(尤2，光)，只要 X,-X2\<3,_光|<$ 就有F3，)"-/(尤2,光』<￡⑷所以由(3) (4)可得：当|4xj < 8 , §2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。 第十一章 反常积分习题课 一 概念叙述 1．叙述()dx x f a ? +∞ 收敛的定义． 答： ()dx x f a ? +∞ 收敛? ()()lim +∞ →+∞=? ? u a a u f x dx f x dx 存在． ?()lim 0+∞ →+∞=?u u f x dx ． ?()()0,0,,εε+∞ ?>?>?>-?>?>?>当δ<<+a u a ， 有()()ε-，存在0M >，只要12,u u M >， 便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ，存在0δ>，只 要()12,,u u a a ∈+δ，总有 ()()()2 1 2 1 b b u u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε??? ． 二 疑难问题 1．试问 ? +∞ a dx x f )(收敛与0)(lim =+∞ →x f x 有无联系？ 答：首先，0)(lim =+∞ →x f x 肯定不是 ? +∞ a dx x f )(收敛的充分条件，例如01 lim =+∞→x x ，但 ? +∞ 11 dx x 发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是?+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如 ? +∞ 1 2 sin dx x ，?+∞ 1 2 cos dx x ，? +∞ 1 4sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得 第五章 习题二 换元法与分部积分法，反常积分 一．选择题 1．设2]2,0[)(C x f ∈，0)0(=f ，4)2(=f ，2)2(='f ，则=''?dx x f x )2(1 0（ A ） （Ａ）0； （Ｂ）1； （Ｃ）2； （Ｄ）4． 2．设)(x f 连续，则 =+?b a dy y x f dx d )(（ B ） （Ａ）?+'b a dy y x f )(；（Ｂ）)()(a x f b x f +-+；（Ｃ）)(a x f +；（Ｄ）)(b x f +． 3．下列反常积分中收敛的是（ D ） （Ａ）dx x ?∞ +1 1； （Ｂ）dx x ? 1 031 ； （Ｃ）dx x ?101； （Ｄ）dx x ?∞+121． 4．下列反常积分中收敛的是（ C ） （Ａ）?∞ +e dx x x ln ； （Ｂ）?∞+e dx x x ln 1 ； （Ｃ）?∞+e dx x x 2) (ln 1； （Ｄ）?∞+e dx x x 2 1)(ln 1 ． 5．对于反常积分?∞ +1 ln x x dx p ，下列结论正确的是（ D ） （Ａ）当1>p 时收敛； （Ｂ）p 取任意实数都收敛； （Ｃ）当1 第十九章 含参量积分 一. 填空题 1. 若(,)f x y 在矩形区域[,][,]R a b c d =?上_________,则 (,)(,)b d d b a c c a dx f x y dy dy f x y dx =? ??? 2. 含参量反常积分 2 cos 1xy dx x +∞+? 在____________上一致收敛. 3. 设(,)f x y 在[,][,)a b c ?+∞上连续,若含参量反常积分 ()(,)c I x f x y dy +∞= ? 在[,]a b 上___________,则()I x 在[,]a b 上连续. 4. (1)_______.n Γ+= 5. 在1110 (,)(1),0,0p q B p q x x dx p q --= ->>? 中如令 2cos x ?=, 则 (,)_______B p q = 6. 对于任何正实数,,p q Γ函数与B 函数之间的关系为(,)________.B p q = 7. (,)c f x y dy +∞ ? 在[,]a b 上不一致收敛是指______________. 8. 1 0lim _________.y -→=? 9. 设 2(), (1,1)(1sin )dx F y y y x π π-=∈-+?, 则 ()__________.F y '= 10. 利用Γ函数定义,4 ________.x e dx +∞ --∞ =? 二.证明题 1. 证明 22 222 1 () y x dx x y +∞ -+? 在(,)-∞+∞上一致收敛. 2. 证明 2 x y e dy +∞ -? 在[,](0)a b a >上一致收敛. 3. 证明若函数()f x 在[,]a A 连续, 则[,)x a A ?∈, 有 01lim [()()]()()x a h f t h f t dt f x f a h →+-=-? §2 含参量反常积分 教学目的：掌握含参量反常积分的一致收敛性概念，含参量反常积分的性质，含参量反常积分 的魏尔斯特拉斯判别法，了解狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学要求： (1)掌握含参量反常积分的一致收敛性及其判别法，含参量反常积分的性质，以及含参量反 常积分的魏尔斯特拉斯判别法． (2) 掌握和应用狄里克雷判别法和阿贝尔判别法． 教学建议： (1) 本节的重点是含参量反常积分的一致收敛性及魏尔斯特拉斯判别法．要求学生会用魏尔 斯特拉斯判别法判别含参量反常积分的一致收敛性． (2) 本节的难点是狄里克雷判别法和阿贝尔判别法以及含参量反常积分的连续性，可微性与 可积性定理的证明．对较好学生在这方面提出高要求，布置有关习题；另外，由于这方面内容与函数项级数部分有类似之处，还可要求他们作比较与总结． 教学程序： 定义 设函数()y x f ,定义在无界区域R =(){}+∞<≤≤≤y c b x a y x ,,上，若对[]b a ,内每一个固定的x ，反常积分 ()?+∞ c dy y x f ,都收敛，则它的值定义了[]b a ,上一个x 的函数，记 ()x I = ()?+∞ c dy y x f ,，x ∈[]b a , （1） 称（1）式为定义在[]b a ,上的含参量x 的无穷限反常积分. 一 一致收敛概念及其判别法 1．一致收敛的定义 定义1 若含参量的反常积分（1）与函数()x I 对任给的正数ε，总存在某个实数c N >，使得当N M >时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?M c x I dy y x f , 即 ()ε，使得当M A A >21,时，对一切x ∈[]b a ,，都有 ()()ε<-?2 1 ,A A x I dy y x f 例1 证明参量的反常积分 ?+∞ sin dy y xy 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< 关于含参量反常积分的证明 引言 刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。 一、证明过程中用到的定理 定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。 定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛， 且每一项()x u n 都连续，则()∑ ? b a n x u dx =()∑? x u n b a dx . 定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都 有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑n u ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则 ()()()∑∑ =??? ??x u dx d x u dx d n n . 定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,?=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx d c b a b a d c ? ???= ,,. 定理5 含参量反常积分()dy y x f c ? +∞ ,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞ +的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数 ()()∑ ? ∑∞ =∞ =+= 1 1 1 ,n A A n n N N x u dy y x f 在I 上一致收敛。 二、证明思想 由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分 转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。 三、含参量反常积分性质的证明 1、连续性 设()y x f ,在[]+∞?,c I 上连续，若含参量反常积分()()? +∞ = Φc dy y x f x ,在 I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。 第十一章 反常积分 一、单选题（每题2分） 1、广义积分 dx x x ? ∞ +-1 2 1 1=（ ） A 、0 B 、2π C 、4π D 、发散 2、广义积分 dx x x ? ∞+-+2 2 21 =（ ） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散 3、广义积分?+-2 02 34x x dx =（ ） A 、3ln 1- B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ） A 、 ? ∞ +e dx x x ln B 、?∞+e x x dx ln C 、 ?∞ +e x x dx 2 )(ln D 、?∞+e x x dx 21)(ln 5、下列广义积分发散的是（ ） A 、 ?∞ -0 dx e x B 、 ? π 2cos x dx C 、?-20 2x dx D 、?∞+-0dx e x 6、下列积分中（ ）是收敛的 A 、?∞ +∞-xdx sin B 、?-2 22sin π πx dx C 、?∞+0dx e x D 、 ?-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ） A 、?-1 1sin x dx B 、?--1121x dx C 、?∞+-02 dx xe x D 、?∞+22)(ln x x dx 8、?=-1 01 2 1dx e x x （ ） A 、e 1 B 、11-e C 、e 1 - D 、∞ 9、已知 2sin 0 π =? ∞ +dx x x ，则=?∞+dx x x x 0cos sin （ ） A 、0 B 、4π C 、 2π D 、π 10、广义积分=+?∞ +∞-dx x 2 11 （ ） A 、0 B 、2π C 、2π - D 、π 11、下列积分中绝对收敛的是（ ） A 、 dx x x ? ∞ +1 2sin B 、dx x x ?∞+1sin C 、dx x ?∞+12sin D 、dx x x ?∞+14sin 12、已知广义积分 dx x ?∞+∞ -sin ，则下列答案中正确的是（ ） A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =?∞ +∞-dx x B 、 dx x ? ∞+∞-sin = () ()()[]0 cos cos cos =∞--∞+-=∞ -∞+-x C 、dx x ?∞+∞-sin =()0 cos cos lim sin lim =+-=? -+∞ →+∞ →b b xdx b b b b D 、 dx x ?∞+∞ -sin 发散 13、设广义积分 dx e kb ?∞ +-0 收敛，则k （ ） A 、0≥ B 、0> C 、0< D 、0= 答案：BCDCB DAABD ADB 二、判断题（每题2分） 1、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 cos λ条件收敛； （ ） 2、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 sin λ绝对收敛； （ ）含参量反常积分答案
第十一章反常积分习题课教学总结
第5章换元法与分部积分法,反常积分习题集及答案
第十九章含参量积分
含参量反常积分
习题8.2反常积分的收敛判别法
关于含参量反常积分的证明.
第11章反常积分答案