1.2.1函数的概念

1.2.1函数的概念第2课时

教材分析

函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，函数是数学中最主要的概念之一，而函数概念贯穿在中学数学的始终，概念是数学的基础，概念性强是函数理论的一个显著特点，只有深刻理解函数概念，才能正确灵活地加以应用.本节通过训练求不同函数的定义域，使学生认识到函数的定义域的重要性，通过对抽象符号f（x）（即x在对应关系f下对应f（x））的理解和使用，使学生认识到符号f（x）本身就是三要素构成的整体.通过判断两个函数是否相同，进一步体现三要素整体的作用.从而进一步揭示函数的内涵，使函数概念在更高层次上再现，也使学生对函数概念的理解进一步深化.函数概念在高中阶段处于核心知识地位，和今后函数性质的研究，特殊函数的研究有密切联系，在教学过程中，应注意建立各种联系，从而给学生良好的知识结构.

课时分配

本节内容用1课时的时间完成，主要研究函数相等及求函数定义域.

教学目标

重点：能熟练求解简单函数的定义域以及判断两个函数是否相等．

难点：复合函数定义域的求法

知识点:函数相等的概念.

能力点:根据定义判定函数相等，会求简单函数的定义域.

教育点:经历研究数学问题的过程,体会探究的乐趣,激发学生的学习热情.

自主探究点:复合函数定义域的探究

考试点：函数的相等及复合函数定义域的求解.

易错易混点：复合函数定义域的求解.

教具准备多媒体课件和三角板

课堂模式学案导学

一、引入新课

问题：当实数a、b的符号相同,绝对值相等时,实数a=b;当集合A、B中元素完全相同时,集合A=B;那么两个函数满足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.

【设计意图】有实数与集合的相等自然引入函数相等的问题，启发学生思考，导入新课.

二、探究新知

问题：

①指出函数y=x+1的构成要素有几部分？

②一个函数的构成要素有几部分？

③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.

④函数y=x+1和函数y=t+1的值域相同吗？由此可见两个函数的定义域和对应关系分别相同,值域相同吗？

⑤由此你对函数的三要素有什么新的认识？

讨论结果：①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.

②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.

③定义域和对应关系分别相同.

④值域相同.

⑤如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.

【设计意图】通过几个小问题的设置使学生对函数的三要素有了新的认识，并以此归纳出函数相等的概念.

三、理解新知

两个函数相等我们强调的是：两个函数的定义域和对应关系分别相同.

【设计意图】让学生进一步认识函数相等的概念.

四、应用新知

例1．下列函数中哪个与函数y=x 相等？ (1)y=(x )2;(2)y=33x ;(3)y=2

x ;(4)y=x x 2

. 活动：

让学生思考两个函数相等的条件后,引导学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只要它们定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.

解：函数y=x 的定义域是R ,对应关系是x→x.

(1)∵函数y=(x )2

的定义域是［0,+∞), ∴函数y=(x )2

与函数y=x 的定义域R 不相同. ∴函数y=(x )2

与函数y=x 不相等. (2)∵函数y=33x 的定义域是R ,

∴函数y=33x 与函数y=x 的定义域R 相同. 又∵y=33x =x,

∴函数y=33x 与函数y=x 的对应关系也相同.

∴函数y=33x 与函数y=x 相等.

(3)∵函数y=2x 的定义域是R ,

∴函数y=2x 与函数y=x 的定义域R 相同. 又∵y=2x =|x|,

∴函数y=2x 与函数y=x 的对应关系不相同.

∴函数y=2x 与函数y=x 不相等.

(4)∵函数y=x

x 2

的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞), ∴函数y=x

x 2

与函数y=x 的定义域R 不相同, ∴函数y=(x )2与函数y=x 不相等.

点评：本题主要考查函数相等的含义.讨论函数问题时,要保持定义域优先的原则.对于判断两个函数是否是同一个函数,要先求定义域,若定义域不同,则不是同一个函数;若定义域相同,再化简函数的解析式,若解析

式相同(即对应关系相同),则是同一个函数,否则不是同一个函数.

变式训练

判断下列各组的两个函数是否相同,并说明理由.

①y=x-1,x ∈R 与y=x-1,x ∈N ;

②y=4-x 2与y=

2-x ·2x +; ③y=1+x 1与u=1+x

1; ④y=x 2与y=x 2x ;

⑤y=2|x|与y=???<-≥;

0,2,0,2x x x x ⑥y=f(x)与y=f(u).

是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).

解：只需判断函数的定义域和对应法则是否均相同即可.

①前者的定义域是R ,后者的定义域是N ,由于它们的定义域不同,故不是同一个函数;

②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不同,故不是同一个函数; ③定义域相同均为非零实数,对应法则相同都是自变量取倒数后加1,那么值域必相同,故是同一个函数; ④定义域是相同的,但对应法则不同,故不是同一个函数;

⑤函数y=2|x|=?

??<-≥,0,2,0,2x x x x 则定义域和对应法则均相同,那么值域必相同,故是同一个函数; ⑥定义域相同,对应法则相同,那么值域必相同,故是同一个函数.

【设计意图】进一步巩固函数相等的的定义，应用定义解决问题，加深理解.

例2．求下列函数的定义域：

（1）11+?-=x x y ； （2）232531

x x y -+-=；

分析： 一般来说，如果函数由解析式给出，则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围．当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合．

解 ： （1）由???≥+≥-,01,01x x 得???-≥≥,

1,1x x 即1≥x ，故函数11+?-=x x y 的定义域是1[，)∞+． （2）由?????≥-≠-,05,0322x x 得?????≤≤-±≠,

55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3， 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}．

点评： 求函数的定义域，其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围，列出不等式（组），然后求出它们的解集．其准则一般来说有以下几个：

① 分式中，分母不等于零．

② 偶次根式中，被开方数为非负数．

③ 对于0x y =中，要求 x ≠0．

变式练习1求下列函数的定义域：

（1）x x x y -+=||)1(0

；（2）x

x x y 121

32+--+=． 解（1）由???>-≠+,0||,01x x x 得???<-≠,

0,1x x 故函数x x x y -+=||)1(0的定义域是{x |x <0，且x ≠1-}． （2）由?????≠>-≥+,0,02,032x x x 即???

????≠<-≥0,2,23x x x ∴函数x x x y 12132+--+=的定义域是{x |23-≤x ＜2，且x ≠0，}． 【设计意图】通过本例题归纳出求函数定义域的一般方法，以便于学生能熟练的求解函数的定义域． 例3. 若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-的定义域是

解析：若()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()()121f x f x ++-中的x+1与2x-1都要落在定义域中才有意义。

变式1：若()y f x =的定义域是[]3,3-，则函数()()11f x f x ++-的定义域是

变式2：若()1y f x =+的定义域是[]3,3-，则函数()f x 的定义域是

【设计意图】通过本例题让学生掌握求解复合函数定义域的一般方法． 五、课堂小结

教师：本节课我们学习了哪些知识？

学生：一、知识

1. 会求简单函数的定义域；

2.能够判定两个函数是否相等；

3.初步了解复合函数定义域的求法.

【设计意图】加强学生学习方法的指导.

六、布置作业

1.整理本节课的内容

2.书面作业

课本24页习题1.2A 组第1、2题.

3.预习作业：预习下一节内容《函数的表示方法》.

【设计意图】作业1,2是引导学生先复习再作业,培养学生良好的学习习惯;课下思考题为下节做准备.

七、教后反思

本教案的亮点是思路清晰，例题典型，由浅入深，利于理解，特别是每个例题之后的当堂练习即达到巩固知识的目的又在不知不觉中提高了学生的解题能力.另本节教学内容主要是依据高考说明,对课本内容适当拓展,重点对函数的相等问题进行了引申,设计时对拓展的内容采取渐进式,设计时本着逐步提高、 拓展,不能急于求成,否则事倍功半.

本教案的弱项是由于容量有限，函数值域的题目没来得及涉及，留到下节课处理.