第三章 证明(三)单元综合测试(含答案)

2

l 1l

第三章 证明（三）单元综合测试

一、选择题

1. （2011广东广州市）已知 ABCD 的周长为32，AB=4，则BC=（ ）.

A.4

B.12

C.24

D.28

2. （2011四川绵阳）下列关于矩形的说法中正确的是

A ．对角线相等的四边形是矩形

B ．对角线互相平分的四边形是矩形

C ．矩形的对角线互相垂直且平分

D ．矩形的对角线相等且互相平分

3. （2011江苏扬州）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（ ）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

4. （2011山东聊城）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形

的面积是（ ）

A ．12cm 2

B ． 24cm 2

C ． 48cm 2

D ． 96cm 2 5. （2011江苏泰州）四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，给出下列四组条件：

①AB ∥CD ，AD ∥BC ；②AB =CD ，AD =BC ；③AO =CO ，BO =DO ；④AB ∥CD ，AD =BC ．其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有

A ．1组

B ．2组

C ．3组

D ．4组

6、（2011山东烟台）如图，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，点E 、F 、G 分别是BD 、AC 、DC 的

中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG 的周长是（ ） A.8 B.9 C.10 D.12

（第6题图） （第7题图） （第8题图）

7. （2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A

和B 为圆心，大于

1

2

AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．

A

C

D

B

C

D

A

A ．矩形

B ．菱形

C ．正方形

D ．等腰梯形

8. （2011广东茂名）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A ．B 、D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是 A ．3公里

B ．4公里

C ．5公里

D ．6公里

9. (2011四川重庆）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，

且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

10. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第

①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为(

)

……

图① 图② 图③ 图④

A ．55

B ．42

C ．41

D ．29

二、填空题

11. （2011福建福州）如图4,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90C ∠=o

,

则A B C ∠+∠+∠= ___________度.

12. （ 2011重庆江津）在梯形ABCD 中,AD ∥BC,中位线长为5,高为

6,则它的面积是___________.

13. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，

AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点O.若AC=6，则线段AO 的长度等于___________.

14. （2011江苏淮安）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形

ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)

15. （2011湖北鄂州）如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8

，则图中五个小矩形的周

长之和为_______． D

C

B A

(第15题图) (第16题图) (第17题图)

16．（2011江苏盐城）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得

到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ▲ ．

17. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 . 三、解答题：

18. （2011昭通）如图所示，□AECF 的对角线相交于点O ，DB 经过点O ，分别与AE ，CF 交于B ，D 。求证：四边形ABCD 是平行四边形。

E

A

B

C D

19.（2011贵州毕节）已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD(如图所示)，∠BAD的平分

线AE交BC于点E，连结DE.

(1) 在下图中，用尺规作∠BAD的平分线AE(保留作图痕迹不写作法)，并证明四边形

ABED是菱形。

(2) 若∠ABC＝

60，EC＝2BE.求证：ED⊥DC。

B

D

C A

3

2

1G

E

F

D C

B

A （第21题）①

20. （2011贵州贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、

EA ，延长BE 交边AD 于点F ． （1）求证：△ADE ≌△BCE ；（5分） （2）求∠AFB

的度数．（5分）

21. （2011湖南永州）探究问题：

⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ． 感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．

∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．

∴_________=EF ，故DE+BF=EF ．

⑵方法迁移：

如图②，将ABC Rt ?沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=

2

1

∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．

⑶问题拓展：

如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足DAB EAF ∠=

∠2

1

,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

E

F

D C

B

A

（第21题）③

E

F

D

C

B

A

（第21题）②

参考答案

一、选择题

1. （2011广东广州市）已知 ABCD的周长为32，AB=4，则BC=（）.

A.4

B.12

C.24

D.28

【答案】B

2. （2011四川绵阳）下列关于矩形的说法中正确的是

A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形

C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分

【答案】D

3.（2011江苏扬州）已知下列命题：①对角线互相平分的四边形是平行四边形；②等腰梯

形的对角线相等；③对角线互相垂直的四边形是菱形；④内错角相等。其中假命题有（）

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

【答案】B

4. （2011山东聊城）已知一个菱形的周长是20cm，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形

的面积是（）

A．12cm2 B．24cm2C．48cm2D．96cm2

【答案】B

5. （2011江苏泰州）四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四组条件：

①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC．其

中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有

A．1组B．2组C．3组D．4组

【答案】C

6、（2011山东烟台）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点E、F、G分别是BD、AC、DC的

中点.已知两底差是6，两腰和是12，则△EFG的周长是（）

A.8

B.9

C.10

D.12

（第6题图）

7. （2011湖南益阳）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A

和B 为圆心，大于

1

2

AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．． A ．矩形 B ．菱形

C ．正方形

D ．等腰梯形

【答案】B

8. （2011广东茂名）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A ．B 、D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是

A ．3公里

B ．4公里

C ．5公里

D ．6公里

【答案】B

9. 2011四川重庆）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE

沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：

①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是(

)

A ．1

B ．2

C ．3

D ． 4

A

C

D

2

l 1l

10. （2011四川重庆）下面图形都是由同样大小的平行四边形按一定的规律组成，其中，第

①个图形一共有1个平行四边形，第②个图形一共有5个平行四边形，第③个图形一共有11个平行四边形，……，则第⑥个图形中平行四边形的个数为(

)

……

图① 图② 图③ 图④ A ．55 B ．42 C ．41 D ．29

【答案】C 二、填空题

11. （2011福建福州）如图4,直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,90C ∠=o ,则A B C ∠+∠+∠=

___________度.

【答案】270

12. （ 2011重庆江津）在梯形ABCD 中,AD ∥BC,中位线长为5,高为6,则它的面积是

___________. 【答案】30·

13. （2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，AC 、BD 相交于点

O.若AC=6，则线段AO 的长度等于

___________.

【答案】3

14. （2011江苏淮安）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形

ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)

【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD (答案不唯一，写出一种即可) 15. （2011湖北鄂州）如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周

B

C

D

A

长之和为_______．

【答案】28

16．（2011江苏盐城）将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得

到四边形ABCD ，则四边形ABCD 的形状是 ▲ ．

D

C

B A

【答案】等腰梯形

17. （2011山东烟台）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O 1、O 2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是 .

【答案】2 三、解答题：

18. （2011昭通）如图9所示，□AECF 的对角线相交于点O ，DB 经过点O ，分别与AE ，CF 交于B ，D 。

求证：四边形ABCD 是平行四边形。

【答案】证明：∵四边形AECF 是平行四边形 ∴OE ＝OF ，OA ＝

OC

E

A

B

C

D

AE ∥CF

∴∠DFO ＝∠BEO ，∠FDO ＝∠EBO ∴△FDO ≌△EBO ∴OD ＝OB ∵OA ＝OC

∴四边形ABCD 是平行四边形

19. （2011贵州毕节） 已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝AD (如图所示)，∠BAD 的平分

线AE 交BC 于点E ，连结DE .

(1) 在下图中，用尺规作∠BAD 的平分线AE (保留作图痕迹不写作法)，并证明四边形

ABED 是菱形。(7分)

(2) 若∠ABC ＝ 60，EC ＝2BE .求证：ED ⊥DC (6分)

【答案】（1）如下图

证明：∵AE 平分∠BAD

∴∠BAE ＝∠DAE ∵AB ＝AD AE ＝AE

∴ΔABE ≌ΔADE ∴BE ＝DE ∵AD ∥BC ∴∠DAE ＝∠AEB

B

D

C

A

(第19题)

B

D

C

A

E

B C

∴∠BAE ＝∠AEB ∴BE ＝AB

∴AB ＝BE ＝DE ＝AD ∴四边形ABED 是菱形

（2）如图，过点D 作AD ∥BC 交BC 于点F ∵ABED 是菱形

∴AB ∥DE

∴∠DEF ＝∠DFE ＝?60 ∴ΔDEF 为等边三角形 ∵EC ＝2BE ∴EF ＝DF ＝CF ∴∠CDF ＝

1

2

∠DFE ＝30? ∴∠CPE ＝?60+30?=90? ∴ED ⊥DC

20. （2011贵州贵阳）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F ．

（1）求证：△ADE ≌△BCE ；（5分） （2）求∠AFB 的度数．（5分）

【答案】解：（1）∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠ADC =∠BCD =90°，AD =BC ．

D

A

F E

3

2

1G

E

F

D C

B

A （第21题）①

∵△CDE 是等边三角形，

∴∠CDE =∠DCE =60°，DE =CE ． ∵∠ADC =∠BCD =90°，∠CDE =∠DCE =60°， ∴∠ADE =∠BCE =30°．

∵AD =BC ，∠ADE =∠BCE ，DE =CE ， ∴△ADE ≌△BCE ． （2）∵△ADE ≌△BCE ， ∴AE =BE ， ∴∠BAE =∠ABE ．

∵∠BAE +∠DAE =90°，∠ABE +∠AFB =90°，∠BAE =∠ABE ， ∴∠DAE =∠AFB ． ∵AD =CD =DE ， ∴∠DAE =∠DEA ． ∵∠ADE =30°， ∴∠DAE =75°， ∴∠AFB =75°．

21. （2011湖南永州）探究问题：

⑴方法感悟：

如图①，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF ，求证DE+BF=EF ． 感悟解题方法，并完成下列填空：

将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上．

∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．

∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌_______．

∴_________=EF ，故DE+BF=EF ． ⑵方法迁移：

如图②，将ABC Rt ?沿斜边翻折得到△ADC ，点E ，F 分别为DC ，BC 边上的点，且∠EAF=

2

1

∠DAB ．试猜想DE ，BF ，EF 之间有何数量关系，并证明你的猜想．

⑶问题拓展：

如图③，在四边形ABCD 中，AB=AD ，E ，F 分别为DC,BC 上的点，满足DAB EAF ∠=

∠2

1

,试猜想当∠B 与∠D 满足什么关系时，可使得DE+BF=EF ．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．

【答案】⑴EAF 、△EAF 、GF ． ⑵DE+BF=EF ，理由如下：

假设∠BAD 的度数为m ，将△ADE 绕点A 顺时针旋转?m 得到△ABG ，此时AB 与AD 重合，由旋转可得：

AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°， 因此，点G ，B ，F 在同一条直线上． ∵∠EAF=

?m 2

1 ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=?=?-?m m m 21

21

∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=?m 2

1

． 即∠GAF=∠EAF

E

F

D

C

B

A

（第21题）②

E

F

D C

B

A

（第21题）③

又AG=AE ，AF=AF ∴△GAF ≌△EAF ． ∴GF=EF ，

又∵GF=BG+BF=DE+BF ∴DE+BF=EF ．

⑶当∠B 与∠D 互补时，可使得DE+BF=EF ．

3

2

1G

E F

D

C B A （第21题）②解得图