第5讲(学生) 角平分线(北师大版)
第 5 讲 角平分线
学习目标:能够证明角平分线的性质定理、判定定理。能够利用尺规作已知角的平分线。能够运用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。 重点：角平分线的性质定理、判定定理。
难点：利用角平分线的性质定理、判定定理解决几何问题。 学习过程 知识精讲 ．知识点
角的平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
1、点到直线的距离：这点向直线引垂线，这点到垂足间线段的长叫做这点到直线的距离。
2.
角平分线的性质及判定
（1）角平分线的性质：
文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 几何表达：
∵OP 平分∠MON （∠1＝∠2），PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，（已知） ∴PA ＝PB ．（角平分线的性质） 思考：这一性质定理的根据是什么？
（2）角平分线的判定：
文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 几何表达：
∵PA ⊥OM ，PB ⊥ON ，PA ＝PB （已知）
∴∠1＝∠2（OP 平分∠MON ）（角平分线的判定） 思考：这一判定定理的根据是什么？
3、三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。
4、点P 是△ABC 的三条角平分线的交点，且PE ⊥BC 于E ，PF ⊥AC 于F ，PD ⊥AB
于D ，则有 。 二、典型例题
例1. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，DA 平分∠CAB 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ， AB=10求△BDE 的周长
O
E
D
A
B
P
例2、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E是BC的中点，DE平分∠ADC．求证：AE是∠DAB的平分线．
例3、如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
思考：画一个任意三角形并作一个内角、一个外角的平分线相交；两个外角的平分线相交，观察交点到这个三角形三条边所在直线的距离的关系．
例4、如图4，在△ABC中，∠ABC=100°，∠ACB=20°，CE平分∠ACB，D是AC 上一点，若∠CBD=20°，求∠ADE的度数.
图4
二探究
1、如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且∠1 =∠2。
求证：OB = OC 。
2、如图，AB = AC ，DE 为△ABC 的AB 边的垂直平分线，D 为垂足，DE 交BC 于E 。 求证：BE + EC = AB 。
3、如图，在△ABC 中，AC = BC ，∠C = 90°，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E 。
（1）已知CD = 1 cm ，求AC 的长； （2）求证：AB = AC + CD 。
4、用尺规作图法作下列各个角的平分线。
5、如图，求作一点P ，使PC = PD ，并且点P 到∠AOB 两边的距离相等。
2
1O E D A
B C E
D A B C B A O
B A O O A
B
6、（1）利用角平分线的性质，找到△ABC 内部距三边距离相等的点。 （2）在右图△ABC 所在平面中，找到距三边所在直线．．
距离相等的点。
三 提升
1、如图，CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，BE 、CD 相交于O ，且OB = OC 。 求证：∠1 =∠2。
2、 如右图，已知BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB 于F ，BE 、CF 相交于点D ，若BD=CD 。 求证：AD 平分∠BAC 。
3、填空：
（1）如图1，点P 为△ABC 三条角平分线交点，PD ⊥AB ，PE ⊥BC ，PF ⊥AC ，则PD__________PE__________PF.
（2）如图2，P 是∠AOB 平分线上任意一点，且PD=2cm ，若使PE=2cm ，则PE 与OB 的关系是__________.
（3）如图3，CD 为Rt △ABC 斜边上的高，∠BAC 的平分线分别交CD 、CB 于点E 、F ，FG ⊥AB ，垂足为G ，则CF__________FG ，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF.
2
1O
E D A
B
C
图1 图2 图3
4、已知：如图在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC=32，且BD∶CD=9∶7，求：D到AB边的距离.
练习
1. 在R t△ABC中，∠C＝90°，AD是角平分线，若BC＝10，BD∶CD＝3∶2，则点D到AB的距离是（）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 10
2. 到三角形三边距离相等的点是（）
A. 三条高的交点
B. 三条中线的交
C. 三条角平分线的交点
D. 不能确定
3. 如图所示，三条公路两两相交，交点分别为A、B、C，现计划修一个油库，要求到三条公路的距离相等，可供选择的地址有（）
A. 一处
B. 二处
C. 三处
D. 四处
4.如图，AB∥CD，点P到AB,BC,CD距离都相等，则∠P=
5、如图，已知AB∥CD，0为∠CAB、∠ACD的平分线的交点．OE⊥AC，且OE=2，则两平行线AB、CD间的距离等于
作业
1、填空 （1）、如图，若点P 在∠AOB 的角平分线上，PE ⊥OA ，PD ⊥OB 。则有 。 （2）、如图，若PE ⊥OA ，PD ⊥OB ，且PD = PE ，则 点P 在 上。
2、如图，E 是线段AC 上的一点，AB ⊥EB 于B ，AD ⊥ED 于D ，且∠1 =∠2，CB = CD 。 求证：∠3 =∠4。
3、如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，AD ⊥BC ，AD 、BE 相交于点P ，AE = BD 。 求证：P 在∠ACB 的角平分线上。
角平分线作法：
在角
AOB 中，画角平分线
方法一：
1.以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB 两边于点M ，N 。
2.分别以点M ，N 为圆心，以大于1/2MN 的长度为半径画弧，两弧交于点P 。
3.作射线OP 。
则射线OP 为角AOB 的角平分线。
当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。 方法二：
1.在两边OA 、OB 上分别截取OM 、OA 和ON 、OB ，且使得OM=ON ，OA=OB ；
2.连接AN 与BM ，他们相交于点P ；
3.作射线OP 。
则射线OP 为角AOB 的角平分线。
2
3
1E D A B C 4O E D A B
P