2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷(附解析)

2017年上海市杨浦区

高考数学三模试卷

一、填空题（共12小题，满分54分）

1．计算：=．

2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T=．

3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．

4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为．

5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是（用数字作答）．

6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a=．

7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为．

8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的最小值为．

9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四棱锥的体积为．

10．从1，2，3，4中选择数字，组成首位数字为1，有且只有两个数位上的数字相同的四位数，这样的四位数有个．

11．已知等边△ABC的边长为2，点E、F分别在边CA、BA上且满足?=2?=3，

则?=．

12．已知函数f（x）=的最小值为a+1，则实数a的取值范围为．

二、选择题（共4小题，每小题5分，满分20分）

13．“a＞1“是“＜1“的（）

A．充分非必要条件B．必要非充分条件

C．充要条件 D．非充分非必要条件

14．如果f（x）是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是（）A．y=x+f（x）B．y=xf（x）C．y=x2+f（x）D．y=x2f（x）

15．已知数列{a n}为等比数列，其前n项和为S n，则下列结论正确的是（）

A．若a1+a2＞0，则a1+a3＞0 B．若a1+a3＞0，则a1+a2＞0

C．若a1＞0，则S2017＞0 D．若a1＞0，则S2016＞0

16．已知集合M={（x，y）||x|+|y|≤1}，若实数对（λ，μ）满足：对任意的（x，y）∈M，都有（λx，μy）∈M，则称（λ，μ）是集合M的“嵌入实数对”．则以下集合中，不存在集合M的“嵌入实数对”的是（）

A．{（λ，μ）|λ﹣μ=2} B．{（λ，μ）|λ+μ=2} C．{（λ，μ）|λ2﹣μ2=2} D．{（λ，μ）|λ2+μ2=2}

三、解答题（共5小题，满分76分）

17．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥CD，AB⊥AD，AD=AB=1．AA1=CD=2．E 为棱DD1的中点．

（1）证明：B1C1⊥平面BDE；

（2）求二面角D﹣BE﹣C1的大小．

18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ），x∈R（其中A＞0，ω＞0，），其部分图象如图所示．

（I）求f（x）的解析式；

（II）求函数在区间上的最大值及相应的x值．

19．经市场调查，某商品每吨的价格为x（1＜x＜14）万元时，该商品的月供给量为y1吨，

y1=ax+a2﹣a（a＞0）：月需求量为y2吨，y2=﹣x2﹣x+1，当该商品的需求量大于供给量时，销售量等于供给量：当该商品的需求量不大于供给量时，销售量等于需求量，该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积．

（1）已知a=，若某月该商品的价格为x=7，求商品在该月的销售额（精确到1元）；（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格，若该商品的均衡价格不低于每吨6万元，求实数a的取值范围．

20．如图，由半圆x2+y2=r2（y≤0，r＞0）和部分抛物线y=a（x2﹣1）（y≥0，a＞0）合成的曲线C称为“羽毛球形线”，曲线C与x轴有A、B两个焦点，且经过点（2.3）．

（1）求a、r的值；

（2）设N（0，2），M为曲线C上的动点，求|MN|的最小值；

（3）过A且斜率为k的直线l与“羽毛球形线”相交于P，A，Q三点，问是否存在实数k，使得∠QBA=∠PBA？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

21．已知数列{a n}满足：a1=1，a n=，n=2，3，4，…．

（1）求a2，a3，a4，a5的值；

（2）设b n=+1，n∈N*，求证：数列{b n}是等比数列，并求出其通项公式；

（3）对任意的m≥2，m∈N*，在数列{a n}中是否存在连续的2m项构成等差数列？若存在，写出这2m项，并证明这2m项构成等差数列；若不存在，请说明理由．

2017年上海市杨浦区高考数学三模试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（共12小题，满分54分）

1．计算：=．

【考点】8J：数列的极限．

【分析】直接利用数列的极限的运算法则化简求解即可．

【解答】解：===．

故答案为：．

2．设集合S={x|≤0，x∈R}，T={2，3，4，5，6}，则S∩T={3，4，5}．【考点】1E：交集及其运算．

【分析】求出集合S，T的等价条件，结合集合交集的定义进行计算即可．

【解答】解：S={x|≤0，x∈R}={x|3≤x＜6}，

则S∩T={3，4，5}，

故答案为：{3，4，5}

3．已知复数z满足：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），则z的模等于．【考点】A8：复数求模．

【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出．

【解答】解：z（2﹣i）=3+i（其中i为虚数单位），

∴z（2﹣i）（2+i）=（3+i）（2+i），

∴5z=5+5i，可得z=1+i

|z|=．

故答案为：．

4．若抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点重合，则该抛物线的焦点到准线的距离为4．

【考点】KI：圆锥曲线的综合．

【分析】求出椭圆的顶点坐标，得到抛物线的焦点坐标，求出P即可得到结果．

【解答】解：抛物线x2=2py（p＞0）的焦点与椭圆+=1的一个顶点（0，2）重合，抛物线的开口向上，焦点坐标（0，2），

可得p=4，则该抛物线的焦点到准线的距离为：p=4．

故答案为：4．

5．二项式（x2+）5的展开式中含x4的项的系数是10（用数字作答）．

【考点】DA：二项式定理．

【分析】先求出二项式（x2+）5的展开式中通项公式，令x的系数等于4，求出r的值，即可求得展开式中含x4的项的系数．

【解答】解：二项式（x2+）5的展开式中通项公式为T r+1=x10﹣2r x﹣r=x10﹣3r．

令10﹣3r=4，可得r=2，

∴展开式中含x4的项的系数是=10，

故答案为10．

6．已知函数f（x）=（x﹣a）|x|存在反函数，则实数a=0．

【考点】4R：反函数．

【分析】a＞0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．

a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在R上单调递增，因此存在反函数．

a＜0时，f（x）=，利用单调性即可判断出不存在反函数．

【解答】解：a＞0时，f（x）=，

可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，0），上单调递增，因此不存在反函数．

a=0时，f（x）=，可得函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，因此存在反函数．

a＜0时，f（x）=，

可得函数f（x）在内单调递减，在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，

因此不存在反函数．

综上可得：a=0．

故答案为：0．

7．方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23}．

【考点】53：函数的零点与方程根的关系．

【分析】解：由已知条件得（2x）2﹣2?2x﹣3=0，解得2x=3，或2x=﹣1（舍），进一步求出x 的答案．

【解答】解：∵log2（4x﹣3）=x+1，

∴2x+1=4x﹣3，

∴（2x）2﹣2?2x﹣3=0，

解得2x=3，或2x=﹣1（舍），

∴x=log23．

∴方程log2（4x﹣3）=x+1的解集为{log23}．

故答案为：{log23}．

8．已知函数y=2sin（ωx+φ）（ω＞0），若存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，则ω的

最小值为．

【考点】HL：y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义．

【分析】化简等式可得sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，由正弦函数的性质可求ω=（k1

﹣k2）π﹣，k1、k2∈Z，结合ω＞0求得ω的最小值．

【解答】解：存在x0∈R，使得f（x0+2）﹣f（x0）=4，

即2sin[ω（x0+2）+φ]﹣2sin（ωx0+φ）=4成立，

∴sin（ωx0+2ω+φ）﹣sin（ωx0+φ）=2，

∴ωx0+2ω+φ=2k1π+①，

ωx0+φ=2k2π+②，k1、k2∈Z；

由①②解得：ω=k1π﹣k2π﹣，k1、k2∈Z；

又ω＞0，∴ω的最小值是．

故答案为：．

9．若正四棱锥P﹣ABCD的高为2，侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，则该正四

棱锥的体积为．

【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．

【分析】连结AC、BD，交于点O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，且PO=2，从而侧棱PA

与底面ABCD所成角为∠PAO，且，进而AO=2，AB=，由此能求出该正四棱锥的体积．

【解答】解：连结AC、BD，交于点O，连结PO，

∵正四棱锥P﹣ABCD的高为2，

侧棱PA与底面ABCD所成角的大小为，