不确定环境下供应链的生产与订购决策问

不确定环境下供应链的生产与订购决策问题

指导教员：杨国超

第十组：周春华韦哲冶吉利王玉珏

摘要

供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。本文通过建立供应链中销售商的最优订购量、生产商的最优计划产量、二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量的模型，解决了供应链中极为复杂的问题。

在问题一中，商品市场需求量是固定值，生产商实际生产量是随机变量，其波动区间为]

[0.85,1.15，因此可以运用计算机仿真，产生大量生产商实际生产量的随机数，然后求这些随机数的平均值，从而计算出最优生产计划，但为了简化计算过程本文假设了生产商实际生产量服从均匀分布，简化了模型。分别对生产商和销售商列出了净利润与订购量、市场需求量、批发价、生产成本、库存成本等关系式，先求出使销售商利润最大的订购量为400，再运用概率分布函数，求解生产商利润期望，最后求解得出期望的最大值，得到最优生产计划为406。

问题二中，市场需求为波动值，必须通过波动的概率分布确定最优订购量，然后得出最优生产计划。根据问题一的思路，计算生产商和销售商利润的期望，分别得出最大值，最后得到最优订购量400，最优生产计划406.

对于问题三，通过分析两级生产结构，并参照一、二问做法，先通过二级生产商利润期望的求解得出最优订购量393

M，再计算一级生产商利润期望得出

=

最优生产计划398

Q。针对市场需求有波动性的情况，对原有模型改进，通过=

二维独立随机变量的求解得出二级生产商最优订购量，再根据前面的做法就可得出一级生产商最优生产计划。

关键词：供应链数学期望概率密度函数微积分

一．问题重述

供应链是一种新的企业组织形态和运营方式,包括从客户需求信息开始经过原材料供应、生产批发销售等环节,到最后把产品送到最终用户的各项制造和商业活动。供应链运作过程中需要应对生产和需求的不确定性。在不确定环境下，研究供应链成员的生产与订购决策问题，具有重要的理论和现实意义。

（1）供应链中一般包含一个生产商和一个销售商，即销售商向生产商订购商品，生产商将商品按批发价格批发给销售商，销售商将商品按销售价格销售给最终顾客。若假设商品的最终需求量是确定的，而生产商生产商品量是不确定的，即由于受到各种随机因素的影响，商品实际产量可能不等于计划产量，呈现随机波动。确定销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量的数学模型。

已知单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60，商品市场需求量为400。商品生产量的波动区间为]

[0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为[0.85Q,1.1，根据建立的数学模型，试求供应链中销售商的最优订购量和生产

5Q]

商的最优计划产量是多少？

（2）在问题（1）的供应链中，如果商品的市场需求量也是随机的，即市场需求量是一个随机变量，试求解销售商的最优订购量和生产商的最优计划产量的数学模型。

已知单位商品生产成本为20，单位商品库存成本为5，单位商品批发缺货成本（即由于生产商的供应量不足销售商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位商品销售缺货成本（即由于销售商的供应量不足客户的需求量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为25，单位商品批发价格为40，单位商品销售价格为60。商品市场需求量的期望为400，市场需求量的波动区间为[0.8,1.2]，即实际市场需求量的区间为[320,480]。商品生产量的波动区间为]

[0.85,1.15，即若生产商计划生产量为Q，则产品实际产量的区间为[0.85Q,1.1，根据建立的数学模型，求解供应链中销售商的最优订购量和生产

5Q]

商的最优计划产量。

（3）在实际情况下大多数供应链具有两级生产不确定性，即原产品（或原材料）生产的不确定性和产成品生产的不确定性，如石油、煤炭、钢铁等供应链中，一级生产商生产原产品(原油、原煤、铁矿石)，二级生产商(炼油厂、洗煤厂、钢铁厂)利用原材料生产成品；又如，在副食品生产中，农民种植农产品，食品生产商利用农产品生产副食品。以上供应链中，一级生产商生产原产品（或原材料），二级生产商向一级生产商订购原产品（或原材料），并通过加工原产品（或原材料）生产产成品，进而销售给最终顾客，两级生产均具有不确定性。若假设产成品的市场需求量是确定的，请建立数学模型，研究在两级生产不确定的供应链中，二级生产商（产成品生产商）的最优订购量和一级生产商（原材料或原产品生产商）的最优计划产量。

已知单位原产品生产成本为20，单位原产品库存成本为5，单位原产品缺货成本（即由于一级生产商的供应量不足二级生产商的订购量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为15，单位产成品生产加工成本为10，单位产成品库存成本为7，单位产成品缺货成本（即由于二级生产商的供应量不足市场的需求

量，而产生的惩罚性成本，比如信誉损失成本）为30，二级生产商投入单位原产品产出产成品数量为0.7（比如煤炭供应链中，洗煤厂入洗1吨原煤，产出0.7吨精煤），原产品价格为40，产成品价格为95，产成品市场需求量为280。原产

品生产量的波动区间为]

[0.85,1.15，产成品生产量的波动区间为[0.9,1.1]，根据建立的数学模型，求解供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。

在两级生产不确定的供应链中，如果产成品的市场需求量也是一个随机变量，如何改进所建立的数学模型，确定二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划产量。

二、模型假设

1. 假设只有一个生产商和一个销售商（针对问题1、2）；

2. 假设只有一个一级供应商和一个二级供应商(针对问题3)；

3. 市场需求是不确定的，其波动区间内其概率密度函数符合均匀分布；

4. 生产商的生产量是不确定的，其概率密度函数符合均匀分布；

5. 销售商的销售量是不确定的，其概率密度函数符合均匀分布；

6. 一级生产商的生产量是不确定的，其概率密度函数符合均匀分布；

7. 二级生产商的生产量是不确定的，其概率密度函数符合均匀分布。

三、问题分析

问题一、二研究的是单一生产商和单一销售商的问题，介于求解模型时题目所给的数据，假设所有的数据都是供应链系统达到稳定时的稳态值，且不存在上一个时期剩余的库存量。需要求解的是生产商和销售商都要达到最大利润，但是考虑到生产链的系统性，建立多目标规划是不符合本问题的题意的。以问题一为例，假如要求解使得生产商和销售商利润之和的最优解，由于销售商的订购量要跟市场需求相等时利润最大，小于或大于利润均会下降；而生产商的最大利润是与销售商的订购量正相关的。因此就有可能出现订购量越大，销售商利润越小甚至为负，而利润之和越大的现象，这是与实际情况相悖的。而市场的实际情况是销售商和生产商各自要达到最大利润，销售商的利润要以市场需求为依据，生产商的利润要以订购量为依据，总体上是靠市场的调节。因此这个问题上，本文分别考虑二者的最优解。

问题一中，销售商订购量分大于需求量和小于需求量两种情况，由于需求量确定，容易求出最优订购量。类似的，生产商生产量也分为大于和小于订购量两种情况，因为生产量是随机变量，需要求解利润的期望，再求其最大值，得出最优生产计划。

问题二中，市场需求量也为随机变量，就需要求解销售商利润的期望。其它与第一问相同，容易得出答案。

问题三中，一、二级生产商模型与上面的模型类似，所不同的是二级生产商的产成品量是随机的，原产品和产成品的储存成本不同，这样就要考虑二级生产商会留下一部分原产品。

模型改进中，在同一次计算中出现了两个随即变量的情况，即市场需求和订购量，由于这两者的决定机制不同，前者是由市场供求关系决定的，后者是由工

厂内部的系统结构决定的，可以认为是独立的，再根据二维随机变量的求解方法求解。

四、模型建立与求解

4.1问题一模型的建立与求解： 4.1.1问题一中的符号说明

Q ：生产商计划生产量 1Q ：生产商实际生产量 M ：销售商批发量 m ：市场需求量 a ：单位生产成本 b ：单位商品批发价 c ：单位商品库存成本

1d ：单位商品批发缺货成本 2d ：单位商品销售缺货成本 p ：单位商品销售价格 1e ：生产商净利润 2e ：销售商净利润

α：商品生产量实际生产量波动百分比

()x f ：商品生产量波动区间的概率密度函数

4.1.2 模型的建立

生产与销售和市场之间各环节的关系如图1：

库存成本c(Q-M)

aQ 缺货损失d 1(M-Q)库存成本c(M-m)

订货成本pM 缺货损失d 2(m-M)

图1生产与销售和市场之间各环节的关系图

对生产商而言，当批发量M 确定时，利润1e 只与生产量1Q 有关。但由于1

Q 是在()()[]Q Q αα+-1,1上波动的随机变量，只有确定了计划产量，才能计算出生产商利润的期望1e 。

影响生产商利润的因素主要包括销售产品所获得的收入，生产产品所需成本，产品的库存成本，产品的批发缺货成本。则有

()()

M Q M

Q Q M d aQ bQ M Q c aQ bM e ?????------=111111111 （1）

化简（1）式得

()()()M Q M

Q M

d Q d a b Q c a M c b

e ?????-+-+-+=1111111 （2）

又因为()()[]Q Q Q αα+-∈1,11，现在讨论，当M 与这个区间有三种关系时1

e 的期望取最大的问题。 若()Q M α-<1时，

()()()[]()

()()?

+-+-+=Q Q

dx x f x c a M c b e E αα111

1 （3） 若()Q M α+>1时，

()()[]()

()()?

+--+-=

Q

Q

dx x f M d x d a b e E αα111121 （4）

若()()Q M Q αα+≤≤-11时

()()[]()(

)()()[]()()dx x f x c a M c b dx x f M d x d a b e E Q

M

M

Q

?

?+-+-++-+-=

αα111

1

31（5）

由（3），（4），（5）式可以分别求出在三个区间的最大值，然后求出销售商获得最大利润的期望。即

{}max max max max )(,)(,)(max )(3121111e E e E e E e E = （6） 对销售商而言，影响销售商所获利润的主要因素包括产品的销售额，产品所

需要的成本，库存费用，缺货费用，因此销售商所获利润2e 可表示为

()()?

?

???------=m M m

M M m d bM pM m M c bm pm e 22 （7） 因为市场需求是个定值，由函数图像可判断2e 是个先增后减的曲线，当m M =时取到最大，因此最优订购量m M = 。

4.1.3 模型的求解

已知20=a ，40=b ，5=c ，151=d ，400=m ，15.0=α， 当()Q M α-?1时，

()Q M e E 254511-= （8） 随Q 的增大而减小，因此不可能在此区间上取到最大值。 当()Q M α+?1时，

()M Q e E 153521-= （9）

随Q 的增大而增大，因此不可能在此区间上取到最大值。 当()()Q M Q αα+??-11时，

()Q

M Q M e E 2

3

11002597215-

-=. （10）

由（8）、（9）、（10）可用Matalab 软件作出()1e E 的函数图像，如图2 当M Q 014.1=时，取到最大值()M e E 77.17max 1=。 要使销售商得到最大利润，400==m M 使得生产商取得最大利润406=Q

图2()

1e E 的函数图

4．2问题二的模型建立与求解

4.2.1销售商的模型建立

在问题一中商品市场需求量为400，是固定值；而在问题二中商品市场需求量的期望为)(m E ，市场需求量的波动区间为],1-[1ββ+，即实际市场需求量m 的区间为]1100)(),(ββ+-m m ，是个不固定值，m 围绕0m 上下波动。列出（11）式

()()

m M m M M m d bM pM m M c bm pm e ?????------=22 （11）

化简得（2）式

???≥--+<--+=M m m

d M b d p M

m cM m b c p e 222)()( （12）

M 为销售商的实际订购量，m 为市场需求量，p 为单位商品销售价格，b 为单位商品批发价，c 为单位商品库存成本，2d 为单位商品销售缺货成本。2e 为销

售商获得的利润。设市场需求量的概率密度函数为g(x)，g(x)可以根据实际情况进

行分析假设。

当)(β-<10m M 时 ()

()

dx x g x d M b d p e E m m ）（）（?

+---+=

ββ11221200])[(（13）

当)(β+>10m M 时 ()()

?

+---+=

ββ112200m m dx x g cM x b c p e E )

()(])[( （14）

当)()(ββ+<<-1100m M m 时

()[][]dx x g x d M b d

p dx x g cM x b c p e E m M

M

m ?

?

+---++--+=

)

()

()()()()(ββ122

13200（15）

由（13），（14），（15）式可以分别求出在三个区间的最大值，然后求出销售商获得最大利润的期望。

{}max max max max )(,)(,)(max

)(3222122e E e E e E e E = （16） 4.2.2销售商的模型的求解

在问题二中商品市场需求量的期望为400=)(m E ，市场需求量的波动区间为2].8,10[.，假设需求量概率密度函数)(x g 服从均匀分布，因此0m =400=)(m E 即实际市场需求量m 的区间为[320,480]，是个不固定值，m 围绕0m 上下波动。根据（2）式列出式（7）

M m M

m M

m M m e ≥

?+--=452545652 （17） 由)(x g 服从均匀分布可得，需求量概率密度函数160

1

=)(x g ，则根据

（13）,(14),(15)式分别得出（18），（19）（20）式 当)(β-<10m M 时， 100004512-=M e E )( （18） 当)(β+>10m M 时， 260004522+-=M e E )( （19） 当)()(ββ+<<-1100m M m 时，

()

6208003600045160

1

232-+-=

M M e E )( （20） 因为12)(e E 为单调递增函数，22)(e E 为单调递减函数，32)(e E 为开口向下的抛物

线，所以)(2e E 的函数图像如图3

图3函数)(2e E 图像

由此可知{}max max max max )(,)(,)(max )(3222122e E e E e E e E ==6200，此时M=400。所以销售商的最优订购量为400。 4.2.3生产商的模型建立与求解

由于400M =，与问题一的条件类似，因此建模及计算过程如问题一，生产商最优计划产量406=Q 。 4.3问题三模型的建立与求解 4.3.1问题三中的符号说明 Q ：原产品计划生产量； 1Q ：原产品实际生产量； 2Q ：产成品生产量； M ：二级生产商订购量； m ：市场需求量；

1a ：单位原产品生产成本； 1b ：单位原产品价格； 1c ：单位原产品库存成本； 1d ：单位原产品缺货成本；

2a ：单位产成品加工成本； 2b ：单位产成品价格； 2c ：单位产成品库存成本； 2d ：单位产成品缺货成本； p ：单位商品销售价格； 1e ：一级生产商净利润； 2e ：二级生产商净利润； α：原产品产量波动百分比； γ：产成品产量波动百分比；

ξ：单位原产品产出产成品数量；

()x h 1：原产品波动区间的概率密度函数； ()x h 2：产成品波动区间的概率密度函数。 4.3.2 模型的建立

一级生产商与二级生产商的生产链关系如下图4：

c 1(Q 1-M)c 2(Q 2-m)a 2Q 2缺货损失

d 1(M-Q 1)d 2(m-Q 2)

a 1Q 1

图4一级生产商与二级生产商的生产链关系图

在第三问中，要求解供应链中二级生产商的最优订购量和一级生产商的最优计划，而产量市场需求量是固定的，而原产品生产量是波动的，产成品生产量也是波动的。不妨设原产品生产量是波动区间为])(,)[(Q Q αα+-11，概率密度函

数为)(x h 1，产成品生产量的波动区间为])()[(M M ξγξγ+-11，，概率密度函数为)(x h 2。

4.3.3二级生产商模型的建立

影响二级生产商利润的因素主要包含产成品销售额，购买原产品的费用，加工原产品的成本，产成品的储藏成本，未加工的原产品的储藏，产成品的缺货成本。

当二级生产商的产量比市场需求量小时，即m Q <2时

)()(ξ

2122221222Q

M c Q m d Q a M b Q b e ------= （21）

当二级生产商的产量比市场需求量大时，即m Q ≥2时 )()(ξ

2

12222122Q M c Q m c Q a M b m b e -

-+----=

（22） 所以???

????≥--+----<------=m

Q Q M c Q m c Q a M b m b m Q Q M c Q m d Q a M b Q b e 22122221222

122221222)()()()(ξξ

（23）

将（23）式化简得（24）式

???

????≥+++--+-<-+-++-=m

Q m c b M c b Q c c a m Q m d M c b Q c d a b e 2221121222211212222)()()()()(ξξ

（24）

因为产成品生产量是波动的，没有固定值，波动区间为

])()[(M M ξγξγ+-11，，概率密度函数为)(x h 2，所以二级生产商获利的

数学期望)(2e E 可表示为 当M m ξγ)(-<1时，

)(])()()([)()()(x h m c b M c b x c c a e E M

M

21122111

2212?

+-+++--

+-=

ξγξγξ

（25）

当M m ξγ)(+>1时，

dx x h m d M c b x c d a b e E M

M

)(])()[()()()(2112111

22222?

+--+-+

+-=

ξγξγξ

（26）

当M m M ξγξγ)()(+≤≤+11时，

x

d x h m c b M c b x c c a x d x h m d M c b x c

d a b

e E M

m

m M

?

?+-+++--

+-+

-+-++-=ξγξγξ

ξ

)()()(])()()([)(])()[()(1222111

2212211122232 （27）

由（5）（6）（7），可以确定函数图像，从而计算出二级生产商的最大获利期望max )(2e E ：

{}max max max max )(,)(,)(max

)(3222122e E e E e E e E = （28） 4.3.4二级生产商模型的求解 已知280954070571021122=======m b b c c a ,,,.,,,ξ， 当M m ξγ)(-<1时，

m M e E 10295112+-=.)( （29）

当M m ξγ)(+>1时，

m M e E 3054022-=.)( （30）

当M m M ξγξγ)()(+≤≤+11时,M

m m M e E 2324

47169601239..)(-+-= （31） 根据三者的函数关系式运用Matlab 画出二级生产商获利期望函数图5。

图5二级生产商获利期望函数图

当393=M 时，取得最大值69032=max )(e E 。

4.3.5一级生产商模型的建立

影响一级生产商利润的因素主要包含原产品销售额，生产原产品的成本，原产品储藏成本，原产品缺货成本。

当原产品的实际生产量大于二级生产商订购量时，即M Q >1时，列出一级生产商获利表达式1e :

)(M Q c Q a M b e ---=111111 （32）

当原产品的实际生产量不大于二级生产商订购量时，即M Q ≤1时， 列出一级生产商获利表达式1e :

)(1111111Q M d Q a Q b e ---= （33）

由（1），（2）式合并得

???≤-+->+-+=M Q M d Q b a d M

Q Q c a M c b e 111111

1111111)()()( （34）

因为原产品生产量是波动区间为])(,)[(Q Q αα+-11，概率密度函数为)(x h 1,则一级生产商的利润期望)(1e E ：

当Q M )(α-<1时，dx x h x c a M c b e E Q

Q

)(])()[()()()(111111111?

+-+-+=

αα （35） 当Q M )(α+>1时，dx x h M d x b a d e E Q

Q

)(])[()()()(111111121?

+--+-=

αα （36）

当Q M Q )()(

αα+≤≤-11时， ?

?

-+-+-+

+-+=

M

Q

Q

M

dx x h M d x b a d dx x h x c a M c b e E )()()(])[()(])()[()(αα11111111111131（37）

则一级生产商获得最大利润的期望max )(1e E

{}max max max max )()()(max

)(3121111e E e E e E e E ，，= 4.3.6一级生产商模型的求解 当Q M )(α-<1时，

14852511+-=Q e E )( （38）

当Q M )(α+>1时，

58953521-=Q e E )( （39）

当Q M Q )()(αα+≤≤-11时，

84495259715444900

31+--=Q Q

e E .)( （40）

由式（38）（39）（40），运用Matlab 画出其函数图像，如图6

图6一级生产商获利期望函数图

当398=Q 时，取得一级生产商最大值69501=max )(e E 。

五、模型改进

若市场需求量也是一个随机变量，在求解()2e E 时，就存在两个随机变量。由于市场需求量的波动是由市场供求关系决定的，而产成品生产量的波动是由工厂内部的系统结构决定的，在没有人为控制的情况下，随机变量2Q 与m 是独立的。不妨设m 的概率密度函数为()y g ，则2Q 与m 的联合概率密度函数为()()()y g x h y x f 2,=。

根据4.3.3的（24）式，易求得

()()()()()()?

?

?

???

????+++-????

??-+-+

??

????-+-???? ??++-=∞

+∞+x

y

dy

y c b M c b x c c a y x f dx dx y d M c b x c d a b y x f dy e E 0

22111220

21112220

2,,ξξ

带入具体数据，即可求出使得()2e E 最大的M 。

求解一级生产商的最佳计划产量，可参照4.3.5的做法求出。

六、模型评价

模型的优点：

模型思路清晰，在求解最优关系时进行了严格的数学推理，且以一般情况为研究对象增强了模型的普遍性和实用性。在假设概率密度函数都采用了均匀分布，这样有利于问题的简化求解。 模型的缺点：

模型中采用了很多抽象函数和隐函数来表现变量关系，且字母参数过多，不易于读者理解。

参考文献

[1] 侯定丕.《博弈论导论》.中国科学技术大学出版社.2004年 [2] 王金山.数学实验.解放军出版社.2008年 [3] 姜启源.数学模型,高等教育出版社.2007年

[4] 王雪琴.概率论与数理统计.军事科学出版社.2007年 [5] 王正林.精通MATALAB 科学计算.电子工业出版社.2009年