2015年河南省郑州市高考数学一模试卷(理科)
2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015?郑州一模）已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a 的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]
2．（5分）（2015?郑州一模）在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，
则A对应的复数为（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i
3．（5分）（2015?郑州一模）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
4．（5分）（2015?郑州一模）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2015?郑州一模）已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）
A．100 B．200 C．360 D．400
6．（5分）（2015?宜昌模拟）已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P
到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为（）
A．B．2 C．D．1
7．（5分）（2015?郑州一模）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）
A．32 B．C．64 D．
8．（5分）（2015?郑州一模）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为（）
A．B． C． D．
9．（5分）（2015?郑州一模）如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）
A．4 B．3 C．1 D．0
10．（5分）（2015?郑州一模）设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b 分别是f（x），g（x）的零点，则（）
A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 11．（5分）（2015?郑州一模）在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）
A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]
12．（5分）（2015?郑州一模）设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，
2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则（）
A．I1＜I2B．I1=I2 C．I2＜I1D．无法确定
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13．（5分）（2015?郑州一模）已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．
14．（5分）（2015?郑州一模）已知，在二项式的展开式中，
x的一次项系数的值为．
15．（5分）（2015?郑州一模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
…=．
16．（5分）（2015?海口模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；
④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．
则正确命题是．
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）（2015?郑州一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边
AC的中点，
（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．
18．（12分）（2015?郑州一模）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错
误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首
背诵后总得分为S n”．
（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；
（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．
19．（12分）（2015?郑州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M
为棱PC上一点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA∥平面BMQ，并证明你的结论；
（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．
20．（12分）（2015?郑州一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，
设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．
21．（12分）（2015?郑州一模）已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．
（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．
四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】
22．（10分）（2015?郑州一模）如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE 上一点且PG=PD，连接DG并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．
（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；
（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．
【选修4-4：坐标系与参数方程】
23．（2015?郑州一模）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为
（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；
（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．
【不等式选讲】
24．（2015?郑州一模）已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．
（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；
（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．
2015年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）（2015?郑州一模）已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M?N，则实数a 的取值范围是（）
A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】集合．
【分析】由集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M?N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论
【解答】解：∵集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M?N，
∴a≥2，
实数a的取值范围是[2，+∞）
故选B．
【点评】本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错．
2．（5分）（2015?郑州一模）在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，
则A对应的复数为（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．
【解答】解：复数===2+i所对应的点（2，1）关
于虚轴对称的点为A（﹣2，1），
∴A对应的复数为﹣2+i．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题．
3．（5分）（2015?郑州一模）等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于（）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】由题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．
【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，
∴，
解得a1=4，d=﹣2．
故选C．
【点评】本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．
4．（5分）（2015?郑州一模）命题p：“a=﹣2”是命题q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的（）
A．充要条件 B．充分非必要条件
C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】直线与圆；简易逻辑．
【分析】根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，
故选：A
【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．
5．（5分）（2015?郑州一模）已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=（）
A．100 B．200 C．360 D．400
【考点】抛物线的简单性质．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．
【解答】解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，
|PF|=b+5=25，
∴b=20，
又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，
∴a2=20×20，
∴a=±20，
∴|ab|=400，
故选D．
【点评】本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．
6．（5分）（2015?宜昌模拟）已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P
到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为（）
A．B．2 C．D．1
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；不等式的解法及应用．
【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P 到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为
d=．
故选：B．
【点评】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
7．（5分）（2015?郑州一模）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为（）
A．32 B．C．64 D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．
【分析】由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值．
【解答】解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，
设三视图的高为h，
则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，
则x2+y2=128≥2xy，
∴xy≤64，
即xy的最大值为64，
故选：C
【点评】本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，基本不等式的应用，难度中档．8．（5分）（2015?郑州一模）如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为（）
A．B． C． D．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由题意可得Q，R的坐标，利用距离公式求出周期，ω的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．
【解答】解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，
∴可得Q（4，0），R（0，﹣4），|PQ|=3，T=6=，解得ω=，
∴函数经过Q，R，有
∵|?|
∴?=﹣
∴解得A=．
故选：C．
【点评】本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查．
9．（5分）（2015?郑州一模）如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m的最大值是（）
A．4 B．3 C．1 D．0
【考点】程序框图．
【专题】图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图．
【分析】由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）
=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．
【解答】解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：
计算并输出分段函数：h（x）=的值，
在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：
由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，
又∵h（x）≥m恒成立，
∴m的最大值是3，
故选：B．
【点评】本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查．
10．（5分）（2015?郑州一模）设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b 分别是f（x），g（x）的零点，则（）
A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0 【考点】函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a ＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．【解答】解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，
∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，
∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，
∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，
∴a＜1，b＞1，
∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，
故选：A
【点评】本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．
11．（5分）（2015?郑州一模）在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为（）
A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2
（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．
【解答】解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，
则A（3，0），B（0，3），
∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，
设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，
∵MN=，
∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，
∴a﹣b=1，
∴a=b+1，
∴0≤b≤2，
∴=（a，3﹣a）?（b，3﹣b）
=2ab﹣3（a+b）+9
=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，
∴b=1时有最小值4；
当b=0，或b=2时有最大值6，
∴的取值范围为[4，6]
故选：D
【点评】熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．
12．（5分）（2015?郑州一模）设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，
2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则（）
A．I1＜I2B．I1=I2 C．I2＜I1D．无法确定
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出
I2==log20152015．
【解答】解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．
∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|
=×2014
=．
∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．
∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|
==log20152015=1，
∴I1＜I2．
故选：A．
【点评】本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.
13．（5分）（2015?郑州一模）已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，
则S6=．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．
【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，
由于，
即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，
两式相除，可得，q=2，a1=．
则S6==．
故答案为：
【点评】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．
14．（5分）（2015?郑州一模）已知，在二项式的展开式中，
x的一次项系数的值为﹣10．
【考点】二项式系数的性质；定积分．
【专题】概率与统计．
【分析】利用微积分基本定理可得a==1，于是二项式
=，再利用展开式的通项公式即可得出．
【解答】解：==1，
∴二项式=，
其通项公式T r+1==（﹣1）r，
令10﹣3r=1，解得r=3．
∴T4==﹣10x，
∴一次项系数的值为﹣10．
故答案为：﹣10．
【点评】本题考查了微积分基本定理、二项式的通项公式，属于基础题．
15．（5分）（2015?郑州一模）设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到
(82)
【考点】函数的值．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论
【解答】解：∵f（x）=x3+sinx+2，
∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，
∴f''（0）=0，
而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，
函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），
即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，
∴…
=20×4+f（0）
=82．
故答案为：82．
【点评】本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f （x1）+f（x2）=4，是解题的关键．
16．（5分）（2015?海口模拟）给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列命题中：
①该方程没有小于0的实数解；
②该方程有无数个实数解；
③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；
④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．
则正确命题是②③④．
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．
【分析】根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；
根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，
分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．
【解答】解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，
则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，
此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；
对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，
当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1
且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，
因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点
因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；
对于③，当x＜0时，
由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点
当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，
因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；
对于④，由上面的分析知，
当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解
∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点
因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．
故答案为：②③④
【点评】本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．
三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（12分）（2015?郑州一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，
（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；
（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；三角函数的求值；解三角形．
【分析】（Ⅰ）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；
（Ⅱ）以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到．
【解答】解：（Ⅰ），c=3，
由余弦定理：b2=c2+a2﹣2cacos∠ABC
=，
∴．
又∠ABC∈（0，π），所以，
由正弦定理：，
得．
（Ⅱ）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，
则，BE=2BD=6，
在△BCE中，由余弦定理：BE2=CB2+CE2﹣2CB?CE?cos∠BCE．
即，
解得：CE=3，即AB=3，
所以．
【点评】本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．
18．（12分）（2015?郑州一模）某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错
误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首
背诵后总得分为S n”．
（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；
（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，从而分别求概率以列出分布列，再求
数学期望．
【解答】解：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，
若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；
若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，
此时的概率为：
；
（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，
又，
∴，
，
．
ξ10 30 50
∴．
【点评】本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．
19．（12分）（2015?郑州一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M
为棱PC上一点．
（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA∥平面BMQ，并证明你的结论；
（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．
【专题】空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，连结AC交BQ于N，连结MN，则MN∥PA，由此能证明PA∥平面BMQ．
（Ⅱ）以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，…（2分）
理由如下：连结AC交BQ于N，连结MN，
因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，
所以N为AC的中点．
当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，…（4分）
故MN∥PA，又MN?平面BMQ，PA?平面BMQ，
所以PA∥平面BMQ．…（5分）
（Ⅱ）由题意，以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，…（6分）
则P（0，0，2），Q（1，0，0），B（1，2，0），…（7分）
由PM=2MC可得点，
所以，
设平面PQB的法向量为，
则
令z=1，∴，…（9分）
同理平面MBQ的法向量为，…（10分）
设二面角大小为θ，．
∴二面角P﹣BQ﹣M的余弦值为．…（12分）
【点评】本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
20．（12分）（2015?郑州一模）已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，
设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）
（Ⅰ）求曲线E的方程；
（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ACBD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；
（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得
．利用根与系数的关系可得
，再利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，
整理可得：．
∴曲线E的方程是．