浙大版概率论与数理统计答案---第七章

第七章 参数估计

注意： 这是第一稿（存在一些错误）

1、解 由θθθμθ

2

),()(0

1===?

d x xf X E ，20

4103)(2

221θθθ=

-==X D v ，可得θ的矩估计量为X 2^

=θ，这时θθ==)(2)(^

X E E ，n

n

X D D 5204)2()(2

2

^

θθθ=

?

==。

3、解 由)1(2)1(2)1(2)(21θθθθμ-=-+-==X E ，得θ的矩估计量为：

3

2

62121^

=-=-

=X θ。 建立关于θ的似然函数：482232)1(4)1())1(2()()(θθθθθθθ-=--=L

令014

8))1ln(4ln 8()(ln =--=?-+?=??θ

θθθθθθL ，得到θ的极大似然估计值：

32^=θ 4、解：矩估计：

()1012122μθλθλθλ=?+?+?--=--，

()()()()2

2

2

2222121νθλθθλλθλθλ=--++-++--, 11A =,

23

4

B =

, 故()()()(

)

22

2

??221,3??????????222121.4

θ

λθλθθλλθλθ

λ?--=??--++-++--=??

解得1?,43?.8λθ?=????=??

为所求矩估计。

极大似然估计：

(){}()3

3214526837,0,2,11L P X X X X X X X X θλθλθλ==========--，

()()(),ln ,3ln 2ln 3ln 1l L θλθλθλθλ==++--，

()(),33

0,1,230.1l l θλθθθλθλλλθλ??=-=???--???=-=??--?解得3?,81?.4θλ?=????=??即为所求。

5、解 由33)1(3)1(3)(222+-=-+-+=p p p p p p X E ，所以得到p 的矩估计量为

^

394(3)343

22X X p -----=

=

建立关于p 的似然函数：32

10)1()2

)1(3()()2)1((

)(22n n n n p p p p p p p L ---= 令0)

(ln =??p

p L ，求得到θ的极大似然估计值：n n n n p 22210^++=

6、解：(1)()1

1

12

EX x x dx θθθθ+=

+=

+?

， 由?1?2X θθ

+=+得21?1X X θ-=-为θ的矩估计量。 ()()()1

1

1,01,

,,0,n

n n

i i i i x x L f x θ

θθλθ==?+∏<

其他。 ()()()1

ln 1ln ,01,

,ln ,0,n i i n x x l L θθθλθλ=?

++<

∑其他。 令

()1

ln 01n

i i l n

x θθθ=?=+=?+∑得1

?1

ln n

i

i n

x

θ

==--∑，

所以θ的极大似然估计为1

1ln n

i

i n

x

=-

-∑。

(2)()1

20

,EX xf x dx e θ

θ=

=?

，令?

2e X θ=得?2ln X θ

=为θ的矩估计量。 ()()()

()

2

1

ln 21

21

1

,,2n

i i x n

i n n

i i

i L f x e

x θ

θλθπθ=-==∑=∏=

∏，

()()()()

2

1

1

ln ,ln ,ln 2ln 22n

i

n

i i i x n

l L x θλθλπθθ

====---

∑∑

令()()

2

1

2

ln 022n

i i x l n θθθ

θ=?=-+

=?∑得()21

1?ln n

i

i x n θ==∑为θ的极大似然估计。 (3)()2

2,1

EX xf x dx θ

θθ=

=

+?

， 令?2?1X θθ

=+得?2X X θ=-为θ的矩估计量。 ()()1

1

1

2,02,

,0,n n n n

i i i i x x L f x θθθθθ--==?∏<

其他。 ()()()1

ln ln 21ln ,02,

ln 0,n i i n n x x l L θθθθθ=?

-+-<

()1

ln 2ln 0n

i i l n

n x θθθ=?=-+=?∑得，1?ln 2ln n

i

i n n x θ==-∑为θ的极大似然估计。

(4)()100

100,2EX xf x dx θ

θθ+=

=?，令

?1002

X θ+=得?2100X θ=-为θ的矩估计量。 ()()()

1

1

,100n

i n

i L f x θθθ==∏=

-，因0100θ<<，要使()L θ最大，则θ应取最大。

又θ不能大于{}1min ,,n x x ，故θ的极大似然估计为{}1?

min ,,n X X θ=

(5)(),0EX xf x dx θ∞

-∞

=

=?

，故0X =。

22var 2X EX θ==，

由()22

211

11?2n n

i i i i X X X n n θ===-=∑∑和0θ>得 21

?2n

i

i X

n

θ

==∑为θ的矩估计量。

()()111,,,20,n

i i X n

i n n i e

x L f x θ

θθθ=-=?∑??-∞<<∞=∏=??

??

其他。 则

()()1

1ln 2ln ,,

ln 0,n i i n n x x l L θθθθ=?

----∞<<∞?==???

∑其他。 令()12

0n

i

i x l n θθθθ=?=-+=?∑得1

1?n i i x n θ==∑为θ的极大似然估计。

7、解 （1）记}4{<=X P p ，由题意有}4{}4{}4{-≤-<=<=X P X P X P p 根据极大似然估计的不变性可得概率}4{<=X P p 的极大似然估计为：

4484.05.0)6

4

()64(

5.0)25

/2444(

)25

/2444(

22^

=-Φ=-Φ-=--Φ--Φ=s s p （2）由题意得：)6

24

(

)25

/244(

}{}{105.012-Φ=-Φ=≤=>-=-A s A A X P A X P ，于是经查表可求得A 的极大似然估计为0588.12^

=A

8、(1)X μ=，()()()22222

111

1112n n n i i i i i i i E X E X EX EX n n n μμμμσ===-=-=-+=∑∑∑

(2)()()()()122

222

1111111221n n n

i i i i i i i i i i i E k X X k E X X k EX EX EX EX n k σ-++++===??-=-=-+=-????

∑∑∑

则

()1

21k n =

-即为所求。

9、解 由题意得μμμμ=-=-=∑∑==78)()(8

1

15

9

^

1i i i i X X E E

及μμμμ=-=-=∑∑==2)7141()(8115

9

^

2i i i i X X E E

所以^1μ和^

2μ都是μ的无偏估计量

又：2228

1

15

9

^

178)()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D

以及22281159^

214

5

497168)7141()(σσσμ=-=-=∑∑==i i i i X X D D

有)()(^2^1μμD D >，说明2^

μ更有效。

10、(1)依题，i X ，j Y 与l Z 相互独立，()222

2123ET aES bES cES a b c σ=++=++

故T 是2

σ的无偏估计的充要条件为1a b c ++= (2)记n 个样本的方差为2

S

，则()()22

2

11n S n χσ-- ，()4221

D S n σ=- 故()

2412D S σ=，()

24

2D S σ=，()

24323

D S σ=

故222

2

2

22

224

1

2

3

223b c DT a DS b DS c DS a σ??=++=++ ??

?

要使T 为最有效估计，只须使22

2

23

b c a +

+在1a b c ++=的条件下取最小值即可。 令()22

2

123

b c L a a b c λ=++-++- 由20,0,20,3 1.

L

a a L

b b L

c c a b c λλλ??=-=?????=-=?????=-=????++=?得1,

6

1,31

.2a b c ?=???=??

?=??即为所求。

11、解 由题意可以求出：θθ2);()(0

22==?∞

dx x f x X E 。

建立建立关于θ的似然函数：)(

)(212

θ

θ

θi X i

n i e

X L -

=∏=，于是有：

∑∑∑

==-

=--==n

i i i n i X i

n i X

n X e

X L i 12

121

2ln )ln()ln(

)(ln 2θ

θθ

θθ

令02)(ln 122=+-=??∑=n i i X n L θ

θθθ，得到θ的极大似然估计值：n

X

n

i i

21

2

^

∑==

θ。

又：θθθ====∑=2

2)2()2()(211

2

^

X E n X

E E n

i i

，无偏的。 12、()22,0,

,0,

x

x f x θθθ?≤，

()2,3EX xf x dx θ

θ∞

-∞==

?故3?2

X θ=为θ的矩估计量，且为无偏估计。 ()()211

2,0,,0,n n

n i

n i i i x x L f x θθθθ==?∏≤

=∏=???

其他。 显然()L θ关于θ单调递减。故θ取最小值时()L θ最大。

又θ不小于{}1max ,,n X X ，故()

{}21?max ,,n n X X X θ== 为θ的极大似然估计。 又()

()21

22,0,,0,

n n n X n x x f x θθθ-?≤

=???其他。，

故()220

2221

n n n

n

n

EX x dx n θ

θθ=

=

+?

即()

22?21

n n E EX n θθ==+故2

?θ为θ的有偏估计。 13、解 43);()(0

θ

θθ==?

dx x xf X E ，于是得θ的矩估计量为：3

4^X =θ。

建立建立关于θ的似然函数：)3(

)(3

2

1

θ

θi

n

i X L =∏=()i X >θ，若使其似然函数最大，

于是可以求出θ的极大似然估计值：),,,max(21^

n X X X =θ。 (2)由)(32211X X T +=

，可计算θ=+=)]()([3

2

)(211X E X E T E 。 设),max(21X X Z =，那么

)()(),()),(max(}{212121t X P t X P t X t X P t X X P t Z P <<=<<=<=<，

当0

于是

()767)1())(1())(1(0

2

330

θ

θθθθ

=-=???

? ??-=<-=-=?

??∞

∞

dt t dt t Z P dt t F Z E Z 从而：θ===)),(max(6

7

)),max(67()(21212X X E X X E T E

因此1T 和2T 都是θ的无偏估计量。

又2

221211135415194)]()([94))(32()(θθ=

?=+=+=X D X D X X D T D 2

22121236119633649)),(max(3649)),max(67()(θθ=?===X X D X X D T D

由于222136

1

)(1354)(θθ=>=T D T D ，所以2T 比1T 更有效。 14、(1)()()()

1

1

,n

i i X n

i i L f x e

μμμ=-

-=∑=∏=，

()1

()ln n

i i l L X n μμμ===-+∑，

()l μ为μ的单调递增函数，故μ取最大值时()l μ取最大值。

又μ不大于{}1min ,,n X X ，故(){}111?min ,,n X X X μ

== 为μ的极大似然估计。 因()()

()

,1x

t x F x e

dt e

μμμ

μ----=

=-?

易知()

()()1,,,0,

n x X i ne

x f x μμμ--?≥?=???其他。

所以()()

()1111

?,X i E EX xf x dx n μμμ∞

-∞

===+?，即1?μ

是μ的有偏估计。

*

111??n

μμ

=-是μ的无偏估计。 (2)()1x EX xe dx μμ

μ∞

--=

=+?，则2?1X μ

=-是μ的矩估计量且为无偏估计。 (3)()()()

()

()

12

*21

111211

???D D D EX EX n n

μμμ?

?=-==-=

??

? ()()()()*211??1D D X D X D n

μ

μ=-==>，故*

1?μ比2?μ更有效。 (4)由切比雪夫不等式知，0ε?>，{}

()

*1*1

2

2

2

?1?111D P

n μμ

μεε

ε

-<≥-

=-

→

{}()222

2

?1

?111D P n μ

μ

μεεε-<≥-=-

→ 故*

1?μ与2?μ

为μ的相合估计。 15、解 由于λλ==?∞

);()(dx x xf X E ，可求出λ的矩估计量为：X =^

λ

又根据λ的似然函数：λ

λλλ/11

);()(∑--===∏=n

i i X n i n i e

X f L ，

令

0)(ln 21

=+-=??∑=λ

λλλn

i i

X n L ，得到λ的极大似然估计量：X =^λ 因此X 既是λ的矩估计量，也是极大似然估计量。

（2）λcn X c E n i i =?∑=)(1

，以及2

2

1

)(λn c X c D n i i =?∑=。用∑=?n

i i X c 1

作为λ的估计量，

其均方误差为：

()

()

12)1(]2[])[()(2222

2

2

2

1

1

+-+=+-=-=∑∑==cn n n c X cn X n c E X c E X c Mse n

i i n i i λλλλ

于是，取11

+=n c 时，在均方误差准则下，∑=?n

i i X c 1

比X 更有效。

16、(1)2

223x

EX x

dx θ

θθ=

=

?

，故1

3?2

X θ=为θ的矩估计量，且为无偏估计。 ()2

2

2

2220

22318x

DX EX EX x dx θ

θθ

θ??=-=-= ????

2199?448D DX DX n n θθ===

故{}

()2

1

1

2

??1118D P n

θθ

θμεε

-<≥-=-→，故1?θ为θ的相合估计。

(2)()()21

1

2,n

n

n

i i n

i i L f x x θθθ===∏=

∏

易知()L θ为θ的单调递减函数，故θ取最小值时，()L θ取最大值。

又θ不小于{}1max ,,n X X ，故()

{}21?max ,,n n X X X θ== 为θ的极大似然估计。

()()21

22,0,,0,

n n n

X n x x f x θθθ-?≤

=???其他。 故()

22?21

n n E EX n θθ==+，故2

?θ为θ的有偏估计。 ()()()

()

()()

2

2

2

22

?121n n n n D DX EX EX n n θθ==-=

++

所以{}

()()()2

2

2

2

2

2

??111121D n P n n θθθθεεε

-<≥-=-

→++

故2

?θ为θ的相合估计。 17、解 （1）只对X 做一次观察。由题意得：X 的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：

2)1()|2(θθθ-==X P ，2)1(),2(θθθ-==X P ，10≤≤θ

从而??=

-====1

2

1

12

1)1(),2()2(θθθθθd d X P X P θ的条件概率密度函数为2)1(12)

2()

,2()2|(θθθθπ-====

=X P X P X ，

于是θ的贝叶斯估计为：5

2)1(12)2|(10

221

^

=

-===??θθθθθθπθd d X B （2）对X 做三次观察。由题意得：321,,X X X 的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：

103321)1()|5,3,2(θθθ-====X X X P ，

103321321)1()()|5,3,2();5,3,2(θθθπθθ-========X X X P X X X P ，10≤≤θ 从而

4004

1

)1();5,3,2()5,3,2(1

1031

321321??=

-========θθθθθd d X X X P X X X P θ的条件概率密度函数为：

103321321321)1(4004)

5,3,2()

,;5,3,2()5,3,2|(θθθθπ-========

===X X X P X X X P X X X ，

于是θ的贝叶斯估计为：

15

4)1(4004)5,3,2|(1

1041

321^

=

-=====??θθθθθθπθd d X X X B

18、(1)因(){}{}

(1)(1)(1)1nx

X F x P X x P X x e μμμ--=-<=<+=-与参数μ无关，故可取

(1)X μ-为关于μ的区间估计问题的枢轴量。

(2)设常数a b <，满足

{}(1)1P a X b μα

<-<=-，即{}

(1)(1)1P X b X a μα-<<-=-

此时，区间的平均长度为L b a =-，易知，取1ln 12a n α??

=-

- ???

，1ln 2b n α=-时，区间

的长度最短，从而μ的置信水平为1α-的置信区间为

(1)(1)11ln ,ln 122X X n n αα??

??++- ? ????

?。

19、解 由题意得：

λ

λ1

);()(0==?∞

dx x xf X E ，由题意得：^λ的矩估计量为：

X

1

^

=λ。 由题意得：()14~227

1

χλ∑=i i X ，设存在两个数a 和b ，使得：

8.0)2(7

1

=<<∑=b X a P i i λ，即8.0)1414(

=<

b X a P λ，经查表得到 ()7895.7149.02==χa ，(

)0641.21142

1.0==χb ，于是λ的置信水平为80%的双侧置信区间为：（??? ??X X

50.1,56.0

20、易知μ的置信水平为95%的置信区间为0.0250.025,X z X z n

n σ

σ

??

-

+

??

?

将0.025 1.96z =，10σ=，25n =，140X =代入得

μ的置信水平为95%的置信区间为()136.08,143.92。

21、解设

)110(~10

/--t S X μ

， 由题意得，68.5=x ，29.0=s ，由给定的置信水平

95%，利用Excel 得到2622.2)9(025.0=t ，所以μ的置信水平为95%的置信区间为：

)887.5,473.5()10/29.0)9(,10/29.0)9((025.0025.0=?+?-t x t x

22、 2

σ的置信水平为99%的置信区间为()()()()22220.0050.09511,11n S n S n n χχ??-- ? ?--??

将16n =， 2.2S =，()20.00515χ及()2

0.09515χ的值代人得

2σ的置信水平为99%的置信区间为()2.213,15.779。

23、解 由题意得，()11~)112(22

2

χσ

s -，于是2σ的置信水平为90%的置信区间为： ()())096.0,022.0()5748

.411,6751.1911()1111,1111(2

295.02205.022==s s s s χχ 24 、已知112n =，13.8X =，1 1.2S =，215n =，12.9Y =，2 1.5S =，1222σσ=

(1)12μμ-的置信水平为95%的置信区间为()0.0251212

111w

X Y t n n S n n ?

?-±+-+ ? ??

?

其中()()22

1122212112

w

n S n S S

n n -+-=

+-，查EXCEL 表得()0.025

26t 的值，将各值代人得

12μμ-的置信水平为95%的置信区间为()0.198,1.998-

(2)依题()13.812.90.90.198,1.998X Y -=-=∈-，故可认为无显著差异。

25、解 （1）设1μ和2μ分别是第一种和第二种机器的平均分钟，取21μμ-的无偏估计为21X X -，由于两个总体的方差相等，所以有

())

2(~11212

12121-++---n n t n n S X X w μμ，

根据已知条件知6021==n n ，4.191=s ，8.182=s ，7.801=x ，1.882=x ，可以求得

2.3612

)1()1(212

222

112

=-+-+-=n n s n s n S w

于是，21μμ-的置信水平为95%的置信区间为：

)494.0,306.14(11)2120(,11)2120(21025.02121025.021--=???

?

??+-+-+---n n S t x x n n S t x x w w （2）从第一问的结果可以看出有显著差异。

26、116n =，155.7S =，220n =，231.4S =，10.95α-=

(1)2

122

σσ的置信水平为95%的置信区间为()()2222

12120.0250.975,15,1915,19S S S S F F ?? ? ???

查EXCEL 表得()0.02515,19F 和()0.97515,19F 的值，将各值代人得

2

12

2σσ的置信水平为95%的置信区间为()0.678,4.919 (2)这些资料不足于说明2

1σ不同于2

2σ。

28易知P 置信水平为10.95α-=的置信区间为

()()

22

114,422b b ac b b ac a a ??----+- ?

??

由已知资料计算得

2

20.02560 1.9663.8416a n z =+=+=，

()220.025202260 1.9643.841660b nx z ??=-+=-??+=-

???

， 2

2

2060 6.6760c nx ??

==?≈ ???

，故所求的置信区间为()0.227,0.459。

27、解 （1）设1σ和2σ分别是郊区A 和郊区B 的居民收入方差，则：

)1,1(~//212

2

212

2

2

1--n n F S S σσ， 根据已知条件知5221==n n ，52.2031=s ，12.3582=s ，35.57601=x ，

20.65702=x ，

于是，21/σσ的置信水平为95%的置信区间为：

)563.0,185.0()1,1(1,)1,1(121025.01222121

025.02221=?

??? ??-----n n F s s n n F s s 可见两郊区居民收入的方差有显著差异，郊区B 居民的贫富差距程度比郊区A

居民严重。

（2）设1μ和2μ分别是郊区A 和郊区B 的居民平均收入，取21μμ-的无偏估计为21X X -，由于两个总体的方差相等，所以有

())

2(~11212

12121-++---n n t n n S X X w μμ，

可以求得265.291]2)1()1([5

.0212

22211=-+-+-=n n s n s n S w

于是，21μμ-的置信水平为95%的置信区间为：

)891.697,809.921(11)2104(,11)2104(21025.02121025.021--=???

?

??+-+-+---n n S t x x n n S t x x w w ， 可见，两郊区居民的平均收入方差有显著差异，郊区A 居民平均收入比郊区B 居民低。