2014年高考(理科数学)知识点归纳总结

2014年高考（理科数学）知识点归纳总结

一．常见的数集

自然数集：N ；正整数集：N *或N +；整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R 。复数集：C 二．集合间基本关系的几个结论

(1)A ?A （任何一个集合是本身子集）．（2）??A （空集是任何集合的子集）；（3）?

A （非

空集合）（空集是任何非空集合的真子集） （4）.若A 含有n 个元素，则A 的子集有2n 个，A 的非空子集有2n －1个，A 的非空真子集有2n －2个． 3．集合的运算及其性质

(1)集合的交、并、补运算：交集：A ∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}；并集：A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}；补集：?U A ＝{x|x ∈U ，且x ?A}．U 为全集，?U A 表示A 相对于全集U 的补集．（2）集合的交、并、补运算性质：①A ∪B ＝A ?B ②A ∩B ＝A ?A ③ A ∪(?U A)＝U ④A ∩(?U A)＝?⑤⑤?U (?U A)＝A.⑥?U (A ∪B) =(?U A) ∩ (?U A)⑦?U (A ∩B) =(?U A) ∪ (?U A) 三：映 射与函数

1.映射：设A 、B 是两个非空集合，如果按某一种对应法则f ，对于A 中的每一个元素，在B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集合A 到集合B 的映射．A 中的元素叫做原象，B 中的相应元素叫做象。在A 到B 的映射中，从A 中元素到B 中元素的对应，可以多对一，不可以一对多。

2.函数：设A ，B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，使对于集合A 中的每一个元素x ，在集合B 中都有唯一的元素y 和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记作y ＝f(x)，x ∈A 函数三要素：定义域A ：x 取值范围组成的集合。值域B ：y 取值范

围组成的集合。对应法则f ：y 与x 的对应关系。有解析式和图像和映射三种表示形式 3.函数与映射的区别在于：(1)两个集合必须是数集； (2)不能有剩余的象，即每个函数值y 都能找到相应的自变量x 与其对应。 四．定义域题型 ：

在

()0f x ≥；在

()

()

g x f x 中，()0f x ≠；在log ()a f x 中，()0f x >；在t a n ()f x 中，()2

f x k π

π≠+；在0()f x 中， ()0f x ≠；在

x a 与log a x 中

0a >且1a ≠

五． 指数与对数运算法则 1.指数运算法则：①m

n m n a

a a +?= ②m n m n a a a -÷=

③()m n mn a a = ④()m m m

a b ab =

2.对数运算法则：（1）同底公式：①log a b

a b = ②log log log ()a a a M N MN +=

③log log log a a a

M

M N N

-= ④log log n a

a M n M = （2）不同底公式：①

log log log m a m N N a

=

（换底公式） ②log log m n

a a n

b b m = ③1log log a b b a =

六．函数解析式解析式

1．换元法：如f(2x + 3)=x 2 + 3x + 5，求f(3-7x)，(设2x + 3=3-7t)。 2．构造法：如221

)1(x

x x x f +=+

，求f(x)。 3．待定系数法：（函数类型确定时）如通过图像求出y=Asin(ωx +?) + C 中系数 4．递推法：需利用奇偶性、对称性、周期性的定义式或运算式递推。

六 。常规函数的图像

1.指数函数与对数函数

指数函数：逆时针旋转。对数函数：逆时针旋底数越来越大 底数越来越小

2.幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。其他象限图象看函数奇偶性确定。

七 。函数的单调性

1.判断函数单调性：(1).求导函数：()0f x '≥为增函数，()0f x '≤为减函数

(2).利用定义：设x 1

(1).求值域：利用单调性画出图像趋势，定区间，截断。 (2).比较函数值的大小：画图看

(3).解不等式：利用以下基本结论列不等式，解不等式。

增函数1212()()x x f x f x >?>或1212()()f x f x x x >?> 减函数1212()()x x f x f x >?<或1212()()f x f x x x >?<

八 。函数的奇偶性

1.定义：如果()()f x f x -=,则()f x 为偶函数；如果()()f x f x -=-,则()f x 为奇函数。这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。

2.判断函数的奇偶性： (1).先看定义域是否关于原点对称，再比较f(x)与f(-x)正负 (2).看图像对称性：关于y 轴对称为偶，关于原点对称为奇

2．奇偶性的利用(1).利用公式：f(-x)=- f(x)，f(-x)= f(x)，计算或求解析式(2).利用复合函数奇偶性结论：F(x)=f(x)g(x)，奇奇得偶，偶偶得偶，奇偶得奇F(x)=f(x)+g(x)，当f(x)为奇，g(x)为偶时，代入-x 得：F(-x)=-f(x)+g(x),两式相加可以消去f(x),两式相减可以消去g(x),从而解决问题。

九．不等式的解法

1．一次不等式：ax b >；解一次不等式主要考察讨论系数大于零小于零等于零的三种情况。 2．二次不等式：2

0ax bx c ++>两根之内或两根之外，主要考查根与系数的关系。 3．高次不等式：序轴标根法 十．简单的线性规划

解题步骤：（1）把不等式组中的一次式看成直线，在平面直角坐标系中画直线，标明直线序号 （2）依据以下结论确定平面区域（3）确定目标函数函数值的几何意义

（4）○

1若目标函数值z 表示截距，在已知区域内平移目标函数直线，找出使截距取最大值和最小值的端点，求出端点坐标代入目标函数，得出z 的最值。○

2若目标函数z 表示距离或者距离的平方，精确作图，在图像中直接观察距离的最大值与最小值相当于是点与点的距离还是点与直线的距离，用距离公式直接求最值。○3若目标函数z 表示斜率，精确画图，利用求斜率取值范围结论，求最值。 十一。导数及其应用

1．常见函数的导数①0='C ②1)(-='n n

nx x ③x x e e =')(④a a a x x ln )(='⑤1(ln )x x

'=

⑥a

x e x x a a ln 1log 1)(log ==

'

⑦x x cos )(sin =' ⑧x x sin )(cos -=' 2．导数的几何意义：/0()f x 是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率因此，如果

)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为

)(()(00/0x x x f x f y -=-

3．导数的四则运算：①和差：()u v u v '''±=±②积：v u v u uv '+'=')(

③商：2

)(v v u v u v u '-'=' 4.导数的应用

（一）利用导数判断函数单调性及求解单调区间。 1.导数和函数单调性的关系： (1)若f '(x)>0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是增函数，f '(x)>0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；(2)若f '(x)<0在(a ，b)上恒成立，则f(x)在(a ，b)上是减函数，f '(x)<0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。

2.利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：①确定)(x f 的定义域；②计算导数)(/x f ； ③求出0)(/=x f 的根；④用0)(/=x f 的根将)(x f 的定义域分成若干个区间,列表考察这若干个区间内)(/x f 的符号,进而确定)(x f 的单调区间：f '(x)>0，则f(x)在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f '(x)<0，则f(x)在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。 （二）利用导数求解函数极值与最值。

1．极值与最值的定义：(1)极大值： 一般地，设函数f(x)在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x 0)，就说f(x 0)是函数f(x)的一个极大值，记作y 极大值=f(x 0)，x 0是极大值点(2)极小值：一般地，设函数f(x)在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f(x)＞f(x 0)就说f(x 0)是函数f(x)的一个极小值，记作y 极小值=f(x 0)，x 0是极小值点

(3)函数的最大值和最小值:在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。

2．求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f ′(x) (2)求方程f ′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格检查

f ′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值

3．利用导数求函数的最值步骤:⑴求)(x f 在(,)a b 内的极值；⑵将)(x f 的各极值与)(a f 、

)(b f 比较得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值

十二。定积分与微积分基本原理 1、定积分的几何意义：定积分

?

b

a

dx x f )(在几何上,当()0f x ≥时,表示由曲线()y f x =、

直线x a =、直线x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积；当()0f x ≤时，表示由曲线

()y f x =、直线x a =、直线x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积的负值；一般情况下，

表示介于曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴之间的个部分面积的代数和 2、微积分基本定理：若函数()f x 在

[]b a ,上连续，且存在原函数()F x ，即

()()[]b a x x f x F ,,∈='，则f 在[]b a ,上可积，且

()()().a F b F dx x f b

a -=?这称为牛

顿一莱布尼茨公式，它也常写成 ()().b

a b

a x F dx x f =?

3、常用的不定积分公式： 1. C dx =?

0 2.

C x dx x ++=

+?

1

11ααα

(1-≠α) 3. C x dx x

+=?

ln 1

4. C a a

dx a x

x +=

?

ln 1(0>a ，1≠a ) 5. C e dx e x x +=?

6.

C x xdx +-=?cos sin

7.

C x xdx +=?sin cos 8.

C x xdx +=?

tan sec 2 9.

C x xdx +-=?

cot csc 2

10.C x xdx x +=?

sec tan sec

12.C

x xdx x +-=?

csc cot csc

13.

C x C x dx x +-=+=-?

arccos arcsin 112

14.

C x C x dx x +-=+=+?

cot arc arctan 11

2

十三。排列组合

1.排列数公式 m

n A =)1()1(+--m n n n =

！

！

)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．注:规定

1!0=.

2. 组合数公式 m n C

=

m n m

m

A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N *

，m N ∈，且m n ≤).

3. 组合数的两个性质：(1)m

n C =m n n C - ; (2) m

n C +1-m n C =m n C 1+.注:规定10

=n C .

十四。 二项式定理

1．二项式定理：n

n n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特

点：项数：共有1+n 项；系数：依次为组合数;,,,,,,210n

n r n n n n C C C C C 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幂排列，b 的升幂排列展开.

2．二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a

C T r

r n r n r ∈≤≤=-+

十五。古典概型与几何概型 1.古典概型：（1）如果一次试验的等可能事件有n 个，那么，每个等可能基本事件发生的概

率都是1

n

；如果某个事件A 包含了其中m 个等可能基本事件，那么事件A 发生的概率为

()m P A n

=

．（2）古典概型解题步骤：⑴阅读题目，搜集信息；⑵判断是否是等可能事件，并用字母表示事件；⑶求出基本事件总数n 和事件A 所包含的结果数m ；⑷用公式

()m

P A n

=求出概率并下结论.

2.几何概型的概率：一般地，在几何区域D 中随机地取一点，记事件＂该点落在其内部一个区域d 内＂为事件A ，则事件A 发生的概率()d P A D =

的测度

的测度

．说明：（１）D 的测度不

为0；（２）其中＂测度＂的意义依D 确定，当D 分别是线段，平面图形，立体图形时，相应的＂测度＂分别是长度，面积和体积．（３）区域为＂开区域＂；（４）区域D 内随机取点是指：该点落在区域内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的测度成正比而与其形状位置无关． 十六。分布列期望方差

1．离散型随机变量的分布列：(1)随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量；所有取值可以一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量． (2)设离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x

，…，x ，X 取每一个值x (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则称表为离散型随机变量X 的概率分布列，它具有的性质： ①p i ≥0，

i ＝1,2，…，n ；②∑n

i ＝

1

p i ＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．

2．如果随机变量X 的分布列为其中0

3．超几何分布列：在含有M 件次品数的N

件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，

则事件{X ＝k }发生的概率为P (X ＝k )＝

C k M C n －k

N －M

C n

N

，(k ＝0,1,2，…，m )，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N

，M ≤N ，n 、M 、N ∈N *.随机变量

X 的分布列具有以下表格的形式．则称随机变

量X 服从超几何分布．

3

(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差：称D (X )＝∑n

i ＝

1 (x i －E (X ))2

p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )

的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差． 十七。解三角形

1.正弦定理：在△ABC 中，

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===。在这个式子当中，已知两边和一角或已知两角和一边，可以求出其它所有的边和角。注明：正弦定理的作用是进行三角形中的边角互化，在变形中，注意三角形中其他条件的应用：(1)三内角和为180°(2)两边之

和大于第三边，两边之差小于第三边(3)面积公式：S=

21absinC=R

abc 4=2R 2sinAsinBsinC (4)三角函数的恒等变形。sin(A+B)=sinC ，cos(A+B)=-cosC ，sin 2B A +=cos 2

C

，

cos 2

B

A +=sin 2C

2.余弦定理：a 2

=b 2

+c 2

﹣2bccosA ；cosA=

bc a 2c b 2

22-+

b 2

=a 2

+c 2

﹣2accosB ；cosB=ac

b c a 22

22-+

c 2

=a 2

+b 2

﹣2abcosC ； cosC=ab

c b a 22

22-+注明：余弦定理的作用是进行三角形

中的边角互化，当题中含有二次项时，常使用余弦定理。在变形中， 3．其他常见结论①三角形内切圆的半径：2S r a b c ?

=

++，②特别地，2

a b c r +-=斜直

十八。空间中的平行关系

1.线线平行：①如果两条线都平行于第三条线，那么这两条线相互平行.

②如果一条线平行于另一个平面，那么这条线就平行于过这条线的平面与已

知平面的交线.③如果两个平面平行，那么另一个平面与这两个平面的交线互相平行.④如果两条直线都和另一个平面垂直，那么这两条直线平行.

⑤在同一平面内，如果两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线平行. 2.线面平行：①如果平面外一条直线平行于平面内的一条直线，那么直线与平面平行.②如果两个平面平行，一个平面内的任何一条直 线平行于另一个平面 ③如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一条直线，那么线面平行 ④如果平面与平面外一条直线同时垂直于另一个平面，那么线面平行

3.面面平行：①.如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么面

面平行②如果两个平面都平行于第三个平面，那么这两个平面平行。 ③如果两个平面同时垂直于同一条直线，那么这两个平面平行 十九。空间中的垂直关系

1线线垂直：如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直

线垂直于这个平面内的任何一条直线。

2.线面垂直：①如果一条直线垂直于平面内两条相交的直线，那么这条直线就垂直于两条相交直线所在的平面 ②如果两个平面垂直，在其中一个平面内，垂直于公共棱的直线垂直于另一个平面

3.面面垂直 ：过一个平面垂线的平面垂直于已知平面 二十。空间几何体的表面积与体积计算

1．多面体的表面积：(1)设直棱柱高为h ，底面多边形的周长为c ，则S 直棱柱侧＝ch. (2)正棱锥底面边长为a ，底面周长为c ，斜高为h ′，则S 正棱锥侧＝2

1

c h ′， (3)正棱台下底面周长为c ，上底面周长为c ′，斜高为h ′，则S 正棱台侧＝

2

1

(c+ c ′) h ′，（4）设圆柱的母线长为l ，底面圆的半径为r,则S 圆柱侧=2πrl （5）设圆锥的母线长为l ，底面圆的半径为r,则S 圆锥侧=πrl （6）设圆台的母线长为l ，上底面圆的半径为r 1, 下底面圆半径为r 2 则S 圆台侧=π(r 1+ r 2)l, (4)设球的半径为R ，则S 球＝球的表面积公式：24R S π=.

2．几何体的体积公式(1)柱体的体积V 柱体

＝Sh(其中S 为柱体的底面面积，h 为高)．(2)锥

体的体积V

锥体

＝1

3

Sh (其中S 为锥体的底面面积，h 为高)． (3)台体的体积V 台体

＝1

3 (S ′+S )h(其中S ′，S 分别是台体上、下底面的面积，h 为高)． (4)球的体积V

球

＝

3

3

4R V π=

.(其中R 为球的半径)． 二十一。空间向量的应用（立体几何中的证明与计算） 1．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u

(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2

2．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0 (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0 3.空间中角度的计算

(1)设异面直线l 1l 2的方向向量分别为m 1 m 2，则l 1l 2所成的角θ满足cos θ＝|cos 〈m 1，m 2〉| (2)设直线l 的方向向量和平面α的法向量分别为m ，n ，则直线l 与平面α所成角θ满足sin

θ＝|cos 〈m ，n 〉| (3)求二面角的大小1°如图①，AB 、CD 是二面角α—l —β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB →

，

CD →

〉2°如图②③，n 1，n 2分别是二面角α—l —β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉 二十二。直观图与三视图

1．空间几何体的三视图：空间几何体的三视图是用正投影得到，这种投影下与投影面平行的平面图形留下的影子与平面图形的形状和大小是完全相同的，三视图包括：主视图，左视图，俯视图。主视图与左视图：高平齐；主视图与俯视图：长对正；左视图与俯视图：宽相等

2．空间几何体的直观图：画空间几何体的直观图常用斜二侧画法，基本步骤是：(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴、y 轴，两轴相交于点O ，画直观图时，把它们画成对应的x ′轴、y ′轴，两轴相交于点O ′，且使∠x ′O ′y ′＝45度.(2)已知图形中平行于x 轴、y 轴的线

段，在直观图中分别画成平行于x 轴、y 轴的线段．(3)已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半(4)在已知图形中过O 点作z 轴垂直于xOy 平面，在直观图中对应的z ′轴也垂直于x ′O ′y ′平面，已知图形中平行于z 轴的线段，在直观图中仍平行于z ′轴且长度不变． 二十三。平面向量

1．坐标运算：基本运算法则：（1）加减法已知1122(,),

(,)

a x y

b x y ==

，1212(,)a b x x y y +=++ ，1212(,)a b x x y y -=--（2）平面向量数量积：已知1122(,),

(,)

a x y

b x y == 1212a b x x y y ?=+注：向量的加减法结果得到的是向量，向量的乘法得到是数（3）求向量的模：根据向量的乘法公式2

=2

a a =22x y +（4）求向量的夹角：根

据向量的乘法公式cos a b a b

θ?=

?，凡是提到向量夹角，一律列向量乘法公式解题。（5）向量垂直：

o 12129000a b a b x x y y θ⊥?=??=?+=夹角（6）向量平行：

1221//a b a kb x y x y ?=?=

二十四。三角函数

1．三角函数公式（1）同角三角函数关系式：①平方关系：1cos sin 2

2=+αα②商数关系：

αα

α

tan cos sin = （2）诱导公式2．诱导公式：①2kπ＋α ，－α，π＋α ，π－α ，2π－α 函数名不变，符号看象限②απ+2 ，απ-2 ， ，απ

-2

3 函数名改变，符号看象限（3）

两角和与差的公式

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

β

αβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(+=+

β

αβαβαsin cos cos sin )sin(-=-

βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

+ β

αβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=-

（4）二倍角公式

α

ααcos sin 22sin =

α

αααα2

222s i n 211c o s 2s i n c o s 2c o s -=-=-=

α

αα2tan 1tan 22tan -=

（2）正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：

（3）、常见结论：① )sin(

?ω+=x y 或)cos(?ω+=x y (0≠ω)的周期ω

π

2=T .

② )sin(?ω+=x y 的对称轴方程是2

π

π+

=k x (Z k ∈)，对称中心(0,πk )；

③

)cos(?ω+=x y 的对称轴方程是πk x =(Z

k ∈)，对称中心(0,2

1

ππ+k )；

④)tan(

?ω+=x y 的对称中心(0,2

π

k ). 二十五 .等差数列

1.定义式： 1n n a a d --=

2. 通项公式：n a 1()(1)m a n m d

a n d

=+-??

=+-? 一个数列是等差数列的等价条件：b an a n +=(a ，b 为常

数)，即n a 是关于n 的一次函数，因为n Z ∈，所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。

3. 前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=

na =中间项 1(1)

2

n n na d -=+

一个数列是等差数列的另一个充要条件：bn an S n +=2(a ，b 为常数，a ≠0)，即n S 是关于n 的二次函数，因为

n Z ∈，所以n S 关于n 的图像是二次函数图像的分点表示形式。

4.性质结论①a 与b 的等差中项2

a b A +=；②在等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则

m n p q a a a a +=+；若2m n p +=，则2m n p a a a +=；③若等差数列的项数为2()

+∈N n n ，则

，奇偶nd S S =-1

+=n n

a a S S 偶奇；若等差数列的项数为()

+∈-N n n 12，则()n n a n S 1212-=-，且n a S S =-偶奇，

1

-=

n n

S S 偶

奇④单调性：若公差d >0，则数列为递增数列；若d <0，则数列为递减数列；若d ＝0，则数列为常数列．⑤等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列． 二十六。.等比数列

1. 定义式：1

(2,0,0){}n

n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 2.通项公式：11-=n n q a a ，n m n m a a q -=数列{a n }是等比数列的一个等价条件是：

(1),(0,01n n S a b a b =-≠≠，）

当0q >且0q ≠时，n a 关于n 的图像是指数函数图像的分点表示形式。

3. 前n 项和：1

111(1)(1)(1)11n

n n na q S a a q a q q q q +=??=--?=≠?--?

；(注意对公比的讨论)

4.性质结论：①a 与b 的等比中项

G 2

G ab G ?=?=,a b 同号)；②在等比数列{}

n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a ?=?；若2m n p +=，则2

m n p a a a ?=；③单调性：

????? a 1>0，q >1或??? a 1<000，0

或???

a 1<0q >1?{a n }是递减数列；q ＝1?{a n }

是常数列；q <0?{a n }是摆动数列．④等比数列前n 项和的性质：公比不为－1的等比数列

{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列 二十七。 数列求和

1．分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．

2.裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式有：

①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；②1(2n －1)(2n ＋1)＝)121121(21+--n n ；③1

n ＋n ＋1＝n ＋1－n . 3.错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．

二 错位相减法：凡等差数列和等比数列对应项的乘积构成的数列求和时用此方法，错位相减法的步骤：(1)将要求和的杂数列前后各写出三项，列出①式 (2)将①式左右两边都乘以公比q ，得到②式 (3)用①-②，错位相减 (4)化简计算 二十八。圆锥曲线 1.椭圆方程

（1）定义：12122PF PF a F F +=>方程为椭圆；12122PF PF a F F +=<无轨迹；

12122PF PF a F F +==以12,F F 为端点的线段。

（2）椭圆的方程:

①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：22

221(0)x y a b a b

+=>>.ii. 中心在原

点，焦点在y 轴上：22

221(0)y x a b a b

+=>>. ②一般方程：221(0,0)Ax By A B +=>>.③

椭圆的标准参数方程：122

22

=+b y a x 的参数方程为???==θ

θ

sin cos b y a x

（1）定义：

（2）双曲线的方程：

12121212121212222,PF PF a F F PF PF a F F PF PF a F F F F -=<-=>-==方程为双曲线

无轨迹

以的一个端点的一条射线

①双曲线标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：

22

221(,0)x y a b a b

-=>. ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：22

221(,0)y x a b a b

-=>②一般方程：221(0)Ax Cy AC +=<.

③椭圆的标准参数方程：22

221x y a b -=的参数方程为???==θ

θtan sec b y a x （

3.抛物线方程

（1）设0p >，抛物线的标准方程、类型及其几何性质：

（2）抛物线中常见结论①x c by ay =++2

顶点)244(

2a

b

a b ac --.②)0(22≠=p px y 则焦点半径2P x PF +

=;)0(22≠=p py x 则焦点半径为2

P

y PF +=.③通径为2p ，这是过焦点的所有弦中最短的.④px y 22

=(或py x 22

=)的参数方程为???==pt y pt x 222(或?

??==222pt y pt x )(t 为参数). 二十九。统计与统计案例

1.2.用样本估计总体

众数、中位数、平均数、方差、标准差

①一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。②一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据(或中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数。③如果有几个数,,n x x x ?12那么n

x x x x n

++?+=

12叫做这几个数的平均数。如果在几个数中，x 1出

现f 1次，x 2出现f 2次，k x 出现k f 次，（这里n f f f n ++?+=12)，那么

()k k x x f x f x f n

=

++?+11221

叫做这几个数的加权平均数。④标准差与方差：考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标准差是样本数据到平均数的一种平均

距离，一般用s 表示。设一组数据,,n x x x ?12的平均数为x ，则

()()

()n

s x x x x x x n

??=

-+-

+?+-??

22

2

2121，其中s 2

表示方差而s 表示标准差。 3.频率分布图(表)和频率分布直方图

1.频数分布图(表)能使我们清楚地知道数据分布在各个小组的个数；而频率分布图(表)则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律．它可以使我们看到整个样本数据的频率分布。

2.作频率分布直方图的步骤：①求极差，即一组数据中最大值和最小值的差。②决定组距与组数．将数据分组时，组数应力求合适，以使数据的分布规律能较清楚的呈现出来。这时应注意：a ．一般样本容量越大，所分组数越多；b ．为方便起见，组距的选择应力求“取整”；c ．当样本容量不超过100时，按照数据的多少，通常分成5组～l2组．③将数据分组．④计算各小组的频率，作频率分布表。．⑤画频率分布直方图。

(3)总体密度曲线是频率分布折线的一条极限曲线，随着样本容量不断增加，分组的不断加密，频率分布折线就会越来越光滑，最终形成总体密度曲线．总体密度曲线反映的是总体在各个范围内取值的百分比，实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但只能用样本的频率分布对它估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越准确． 4.茎叶图的应用

(1)茎叶图的优点是保留了原始数据，便于记录及表示，能反映数据在各段上的分布情况． (2)茎叶图不能直接反映总体的分布情况，这就需要通过茎叶图给出的数据求出数据的数字特征，进一步估计总体情况．茎是指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数。在样本数据较少时用茎叶图表示数据的效果较好，但当样本数据较多时，茎叶图就闲的不太方便了。 5.回归分析：(1)回归直线一组具有线性相关关系的数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其

回归方程的截距和斜率的最小二乘估计分别为a ^

＝y －b ^

x ，b ^

＝∑n

i ＝1

(x i －x )(y i －y )

∑n

i ＝

1

(x i －x )2

，其中x ＝1n ∑n i ＝1x i

，y ＝1

n ∑n

i ＝1y i

，(x ，y )称为样本点的中心．(2)相关系数r ①r ＝∑n i ＝1

(x i －x )(y i －y )

∑n

i ＝1

(x i －x )2∑n i ＝

1

(y i －y )2；②当r>0时，表明两个变量正相关；当r<0时，表明两个变

量负相关．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强；r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常，当r 的绝对值大于0.75时认为两个变量有很强的线性相关关系．

6.独立性检验(1)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．

(2)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表构造一个随机变量K 2＝

n (ad －bc )2

(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )

，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d

为样本容量．(3)独立性检验利用随机变量K 2来

判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验。（4）得到2

χ常与以下几个临界值加以比较：如果

2 2.706χ>，就有0090的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果 2 3.841χ> 就有0095的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果 2 6.635χ> 就

有0099的把握因为两分类变量X 和Y 是有关系；如果2 2.706χ≤，就认为没有充分的证据说明变量X 和Y 是有关系 三十。命题与逻辑用语 1．命题的概念：在数学中把用语言、符号或式子表达的，能够判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．

2．四种命题及其关系

(1)四种命题（右上图表）

(2)四种命题间的逆否关系（右中图表） (3)四种命题的真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；

②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系． 3．充分条件与必要条件

(1)如果p ?q ，则p 是q 的充分条件，q

是p 的必要条件；

(2)如果p ?q ，q ?p ，则p 是q 的充要条件．

4．逻辑联结词：命题中的或，且，非叫做逻辑联结词．“p 且q”记作p ∧q ，“p 或q”记作p ∨q ，“非 p”记作?p.

5．命题p ∧q ，p ∨q ，?p 的真假判断（右下图

表）

6.全称命题与特称命题

(1)常见的全称量词有：“任意一个”、“一切”、“每一个”、“所有的”等． (2)常见的存在量词有：“存在一个”、“至少

有一个”、“有些”、“有一个”、“某个”、

“有的”等． (3)全称量词用符号“?”表示；存在量词用符号“?”表示．

(4)全称命题与特称命题：①含有全称量词的命题叫全称命题．②含有存在量词的命题叫特称命题．

7．命题的否定与否命题

(1)命题否定是指只对命题的结论否定。命题“若p 则q ”的否定为“若p 则?q ” (2)否命题是指对命题的条件和结论同时否定。命题“若p 则q ”的否命题为“若?p 则?q ” (3)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题． (4)否命题 逆命题 逆否命题

1．算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤．这些程序或步骤必须是明确和有效的，而且能够在有限步之内完成．

2．程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形．通常程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步骤；流程线带方向箭头，按照算法进行的顺序将程序框连结起来．

3．顺序结构是由若干个依次执行的步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构．其结构形式为 4．条件结构是指算法的流程根据给定的条件是否成立而选择执行不同的流向的结构形式．其结构形式为

5．循环结构是指从某处开始，按照一定的条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的步骤称为循环体．循环结构又分为当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)．其结构形式为

6．算法的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、普遍性． 三十二。算法语句

1输入、输出语句输入语句的格式为INPUT “提示内容”．输出语句的格式为变量 PRINT “提示内容”．

2．赋值语句的格式为变量＝表达式，赋值语句中“＝”叫做赋值号，计算机执行赋值语句时，先计算“＝”右边表达式的值，然后把这个值赋给“＝”左边的变量．一个赋值语句只能给一个变量赋值.

3．条件语句表达算法中的条件结构．条件语句的一般格式是

IF 条件 THEN

语句体1

ELSE 语句体2

END IF

或IF —THEN 语句的一般格式是IF 条件 THEN 语句体END IF

4．算法中的循环结构是由循环语句来实现的，包括WHILE 语句和UNTIL 语句两种语句结构．WHILE 语句的一般格式是WHILE 条件

循环体WEND ，UNTIL 语句的一般格式是

DO

循环体LOOP UNTIL 条件

三十三。复数的概念

1．i 的周期性：i 4n+1=i, i 4n+2=-1, i 4n+3=-i, i 4n =1

2．复数与实数、虚数、纯虚数及0的关系：对于复数(,)a bi a b R +∈，当且仅当b=0时，复数a+bi(a 、b ∈R)是实数a ；当b ≠0时，复数z=a+bi 叫做虚数；当a=0且b ≠0时，z=bi 叫做纯虚数；当且仅当a=b=0时，z 就是实数0

3．复数的运算法则：①复数z 1与z 2的和的定义：z 1+z 2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i ②复数z 1与z 2的差的定义：z 1-z 2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i ③乘法运算的定义：设z 1=a+bi ，z 2=c+di(a 、b 、c 、d ∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac －

bd)+(bc+ad)i ④除法运算的定

义：

()()()()a bi a bi c di c di c di c di ++-=++-2222

ac bd bc ad

i c d

c d +-=+++ 4.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚

部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数复数z=a+bi 和z =a －bi(a 、b ∈R)互为共轭复数

5.复数的模：2||||||z a bi OZ a =+==

三十四。推理与证明

1.归纳与类比：(1)归纳推理：从个别事实中推演出一般性的结论的推理．归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．由归纳推理得到的结论不一定成立。(2)类比推理：根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同的推理．类比推理是由特殊到特殊的推理．由类比推理得到的结论不一定成立。我们把归纳推理和类比推理统称为合情推理（3）演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．（4）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提：已知的一般原理；②小前提：所研究的特殊情况；③结论：根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

2.数学证明方法：(1)综合法：①定义：由因导果法②框图表示：P ?Q 1→Q 1?Q 2→Q 2?Q 3→…→Q n ?Q (其中P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q 表示要证明的结论)．(2)分析法①定义：执果索因法②框图表示：Q ?P 1→P 1?P 2→P 2?P 3

→…→得到一个明显成立的条件.（3）反证法：①定义：在证明数学命题时，先假定 成立，在这个前提下，若推出的结果与定义、公理、定理相矛盾，或与命题中的已知条件相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明原命题成立，由此断定命题的结论成立，这种证明方法叫作反证法．② 反证法的证题步骤：(1)假设:命题结论不成立（命题结论反面成立）；(2)正确推理，推出矛盾；(3)否定假设，肯定原命题． 三十五。极坐标与参数方程

1.极坐标和直角坐标的互化：θρcos =x ，θρsin =y

222y x +=ρ，

)0(tan ≠=

x x

y

θ 2.圆与直线的参数方程.圆222r )b y ()a x (=-+-的参数方程可 表示为)(.

rsin b y ,rcos a x 为参数θθθ??

?+=+=.经过点)y ,x (M o o O ，倾斜角为α的直线l 的 参数方程可表示为)(.

t sin y y ,t cos x x o o 为参数t ??

?+=+=αα